当前位置：文档库 › 人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质(1)》名师教案

人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质(1)》名师教案

12.3 角的平分线的性质

第一课时

一、教学目标

（一）核心素养

（二）学习目标

1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；

2. 探索并证明角平分线的性质；

3. 能用角的平分线的性质解决简单问题.

（三）学习重点

角的平分线的性质的证明及应用.

（四）学习难点

角的平分线的性质的探究.

二、教学设计

(一)课前设计

预习任务

用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

预习检测

一、填空题

1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，则点D 到AB 的距离为 . D

答案：3cm

解析：根据题意画出图形，过点D 作DE ⊥AB ，交AB 于点E ，D 点到AB 的距离即为DE 的长.

∵∠BCA=90°

∴AC⊥BC

∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB

∴CD=DE

∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD

∴DE=3cm

即D点到直线AB的距离是3cm.

点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答

2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离

为cm.

答案：2.5

解析：∵P是∠AOB平分线上一点,点P到OA的距离是2.5cm,

∴P到OB的距离等于点P到OA的距离,为2.5cm.

因此，本题正确答案是:2.5.

点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.

二、选择题

3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）

A、PD＝PE

B、OD＝OE

C、∠DPO＝∠EPO

D、PD＝OD

B E D

答案：D

解析：A 项；由角分线性质，正确

B 项；由角分线性质知PD ＝PE ，由HL 知Rt △OEP ≌△ODP ，则两三角形全等知OD ＝OE ，正确.

C 项；同B 项，由两三角形全等知∠DPO ＝∠EPO

D 项；错误

点拨：由题设可知OP 为∠AOB 的角平分线，PE 为P 到OB 的距离，PD 为P 到OA 的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）三角形的判断方法有哪些?

SSS,SAS,AAS,ASA,HL

（2）三角形中有哪些重要线段?

三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．

（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.

2.问题探究

探究一角的平分线的作法

●活动①

请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.

BD C

D B

M N 【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.

●活动②

如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗?

让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.

【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.

●活动③

老师提出问题：

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

讨论结果展示：

已知：∠MAN

求作：∠MAN 的角平分线.

作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.

（2）分别以B 、D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.

（3）画射线AC.

∴射线AC 即为所求.

D B C E

分组讨论：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1

BD的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？

学生讨论结果总结：

1．去掉“大于1

BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找

不到角的平分线．

2．若分别以B、D为圆心，大于1

BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能

在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯

探究二角的平分线的性质

●活动①

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？

学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）

【设计意图】让学生感知角平分线的性质.

●活动②

学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.

投影出下面两个图形，让学生评一评.

结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？

师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：PD=PE．

【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.

●活动③

以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：

证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB (已知)

∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)

在△PDO和△PEO中

∠PDO = ∠PEO（已证）

∠AOC = ∠BOC （已知）

OP=OP （公共边）

∴△PDO ≌△PEO（AAS）

∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）

于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：

∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）

∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.

探究三用角的平分线的性质解决简单问题

●活动①

应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形( )中PD＝PE.

A B C D

【知识点】角平分线的性质.

【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.

【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.

【答案】D

(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗?

【知识点】角平分线的性质.

【思路点拨】已知没有告诉OC 为∠AOB 的平分线，由此PD 与PE 不相等.

【解答过程】PD 与PE 不相等，因为OC 不是∠AOB 的平分线.

（3）如图,△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，CD ＝2cm ，则点D 到AB 的距离为 cm ．

【知识点】角平分线的性质.

【思路点拨】过D 作AB 的垂线段DE,垂足为E,由BD 平分∠ABC ，可得DC=DE=2.

【解答过程】解：过D 作AB 的垂线段DE,垂足为E,

∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC,DE ⊥AB,

∴DC=DE

∵CD ＝2cm ，

∴DE=2cm ，

即点D 到AB 的距离为2cm

【答案】2

D C B

A E D C

B A

练习：如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.

【知识点】角平分线的性质.

【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE, AD+DE=AD+DC=AC.

【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC,DE⊥AB,

∴DC=DE

∴AD+DE=AD+DC=AC.

∵AC=7cm,

∴AD+DE=7cm.

【答案】7

【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.

●活动②

例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？

【知识点】角平分线的性质

【思路点拨】

1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶

点500米处．

2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm ，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm 表示实际距离200 m 的意思．作图如下：

【答案】

第一步：尺规作图法作出∠AOB 的平分线OP ．

第二步：在射线OP 上截取OC=2.5 cm ，确定C 点，C 点就是集贸市场所建地了．练习：在S 区有一个贸易市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？

【知识点】角平分线的性质

【思路点拨】过P 分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P 点到公路和铁路的最短距离.

【答案】过P 点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等. ●活动3

例3如图,△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，F 在BC 上，AD=DF 求证：CF=EA

S 公路

铁路 P

【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质

【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等

【解答过程】

证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，

∴DC=DE

又∵AD=DF

∴△DCF≌△DEA（HL）

∴CF=EA

练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．

【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定

【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，

∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．

∵∠BOD=∠COE，

∴△BOD ≌ △COE．

∴OB=OC．

3. 课堂总结

知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）

（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；

（2）探索并证明角平分线的性质；

（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.

重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）

（1）角的平分线的性质的探究.

（2）角的平分线的性质的证明及应用.

（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.

（三）课后作业

基础型自主突破

1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=4，则点P 到边OB的距离为（）

A．4 B．3 C．3 D．1

【知识点】角平分线的性质

【思路点拨】因为PD⊥OA，PD=4，即P到OA的距离为4，P是∠AOB的平分线上一点，P到OA和OB的距离相等，所以P到边OB的距离为4.

【解答过程】解：过P做PE⊥OB于E,

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA, PE⊥OB,

∴PD=PE=4

即P到OB的距离为4.

【答案】A

2 .如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=5，则PQ 的最小值为

．

【知识点】角平分线的性质和点到直线的距离

【思路点拨】因为Q 在OM 上，当PQ ⊥OM 时，PQ 的长度最小.

【解答过程】解：过P 作OM 的垂线段，垂足为B,因为PQ 最小，则B 点与Q 点重合，

∵OP 平分∠MON ，PA ⊥ON ，PQ ⊥OM

∴PQ=PA=5.

【答案】5

3．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，AE 平分∠BAC ，交CD 于点E ，AC=6，DE=3，则△ACE 的面积等于（） E D

A C

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式

【思路点拨】过E 点作AC 的垂线EF,垂足为F ，根据角平分线的性质可得EF=ED=3,则△ACE 的面积等于9.

【解答过程】解：过E 作AC 的垂线段EF 垂足为F,

∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB,EF ⊥AC,

∴DE=EF

∵DE=3，

∴EF=3

又∵AC=6

∴S △ACE =12

AC ·EF=9 【答案】B F E

A C

4. 如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则（1）PD ＝PE ，（2）OD ＝OE ，（3）∠DPO ＝∠EPO ，（4）PD ＝OD 中正确的有（）个.

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 2

1D A P

O E

【知识点】角平分线的性质和三角形全等.

【思路点拨】由角平分线的性质可得PE=PD,易证△OPE ≌△OPD(HL),所以OE=OD, ∠DPO ＝∠EPO.

【解答过程】解：∵∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，

∴PE=PD,

即（1）正确

∵PE=PD,OP=OP

∴△OPE ≌△OPD(HL),

∴OE=OD, ∠DPO ＝∠EPO.

即（2）（3）正确.

【答案】B

5．如图，在△ABC 中，DC 平分∠ACB ，S △ACD : S △BCD =3:2，则AC ：BC=_________.

【知识点】角平分线的性质和三角形的面积.

【思路点拨】已知角平分线常常考虑在角平分线上找一个合适的点，过这个点作角两边的垂线段.

【解答过程】解:过D 点分别AC 和BC 作垂线段DE 和DF,垂足为E 和F, ∵DC 平分∠ACB ，DE ⊥AB,DF ⊥BC,

∴DE=DF

: :

:3:2ACD BCD AC DE BC DF S S AC BC ∴=

==V V g g 【答案】3:2

6．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC,AB ＝4cm ，AC=3cm ，BC=5cm ，则△DCE 的周长为________cm ．

【知识点】角平分线的性质和三角形全等.

D C A

【思路点拨】根据角平分线的性质可得AD=DE,易证△ABD 和△EBD 全等，则对应的边AB=EB,EC=BC-BE=BC-AB=1cm ，DE+DC=AD+DC=AC=3cm.

【解答过程】

HL cm,--cm

BD ABC DE BC DA AB AD ED

BD BD AD ED ABD EBD AB BE

AC EC BC BE BC AB ED EC DC AD EC DC AC EC ∠⊥⊥∴===∴∴=====∴++=++=+=314Q Q Q 平分，△≌△解（）

：

【答案】4

能力型师生共研

1..如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，D 到AB 的距离为9， BD∶DC=5∶3．试求BC 的长． D C

A B

【知识点】角平分线的性质.

【思路点拨】过D 作AB 的垂线DE,垂足为E,根据角平分线的性质可得DC=DE, D 到AB 的距离为9,即DE=9,所以DC=9,因为BD∶DC=5∶3，所以BD=15,BC=24.

【解答过程】解：过D 作AB 的垂线DE,垂足为E,

∵AD 平分∠BAC，DC ⊥AC,DE ⊥AB,

∴DC=DE

∵D 到AB 的距离为9，

∴DE=9

∴DC=9

∵BD∶DC=5∶3，

∴DB=15

∴BC=DC+DB=24.

E D

A B

2.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P 是△ABC 的内角平分线的交点，已知P 点到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为． E

F D

P C

A B

【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式.

【数学思想】等积法.

【思路点拨】利用割补法把△ABC 分成△ABP 、△BCP 和△ACP ，它们的高都为1

【解答过程】解：过P 分别作AC,BC,AB 的垂线段PG,PI,PH.

∵AP 平分∠CAB ，

∴PG=PH ，

同理可得：PG=PI,PI=PH

∴PG=PI=PH

∵PH=1

∴PG=PI=PH=1 ∵S △ABC = S △ACP +S △BCP +S △ABP

222

102

5ABC AC PG BC PI AB PH AC BC AB S ++++==∴==V g g g

【答案】5 I H G

E F D

P C

A B

探究型多维突破

1. 如图，∠AOB 的平分线为OC ，将三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试猜想PE 、PF 的大小关系，并说明理由．

【知识点】角平分线的性质和三角形全等.

【思路点拨】利用角平分线的性质构造PM 和PN 所在的两个三角形全等.

【解题过程】

解：PE=PF ，理由如下：

过点P 作PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，垂足是M ，N ，则∠PME=∠PNF =90°，

∵OP 平分∠AOB ，

∴PM=PN ，

∵∠AOB=∠PME=∠PNF =90°，

∴∠MPN =90°，∵∠EPF =90°，

∴∠MPE=∠FPN ，

∴△

PEM ≌△PFN ，

∴PE=PF ．

2.在△ABC 中，∠C=900,AD 平分∠BAC,AB=5,AC=4,BC=3,求BD 长.

【知识点】角平分线的性质.

【数学思想】等积法.

【思路点拨】过D 点作DE ⊥AB 于E,根据角平分线的性质可得DC=DE,由 S △ABC =S △ACD +S △ABD ,可以求出DC=DE=

4，所以DB=BC-DC=35. 【解题过程】

解：过D 点作DE ⊥AB 于E

∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC

∴DE=DC

∵S △ABC =S △ACD +S △ABD ,

∴222DE AB DC AC BC AC ?+?=? 2

524243DE DC +=? D C A B

∴DE=DC=3

4 ∴DB=BC-DC=3

5 E

C A

自助餐：

1．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距

离为________cm ．

【知识点】角平分线的性质. 【思路点拨】过D 作BC 的垂线DE ，垂足为E,由角平分线的性质可以AD=DE

【解答过程】解：过D 作BC 的垂线DE ，垂足为E,

∵BD 平分∠ABC ，AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，

∴AD=DE ，

∵AD ＝2 cm ，

∴DE=2 cm ，

即D 到BC 的距离为2cm

【答案】 2 D C A