数学思想方法及其应用毕业论文
数学思想方法及其应用
数学学院10级3班张瑜蝶
摘要：数学思想是对数学事实、概念及理论与方法的本质认识，是体现基础科学中具有奠基性、总结性的内容。它含有传统数学的精华和现代数学中的基本观点，并且将继续发展和完善。通过对数学思想的归纳，接受以及举例说明，让我们能更加深刻的学习好数学思想，并且能熟练的应用到具体的问题中。
关键字：数学思想数学方法
正文：数学科学在本世纪得到了空前的发展，这不仅标志着在基础理论研究的广泛深入，论文爆炸；更表现在数学内部各学科之间以及数学与其他科学的学科之间相互渗透的空前加强，除了我们熟知的自然科学之外，还有科学技术，人文，社会科学，哲学，文艺等方面。数学在其它各个学科中的广泛应用不仅形成了一大批新的应用数学学科，而且在与计算机结合过程中，又形成了数学技术。因此，数学不仅发挥着基础理论和基础应用的强大作用，而且成为现代社会中一种不可替代的技术，成为各个国家综合实力的一个重要组成部分。因此，数学学习作为学习中的一个重要组成部分，在发展人，发展社会意识等方面有着非常重要的作用。有文章精辟的指出了数学学习的价值和目标：“数学的贡献在于对整个科学技术尤其是高新技术水平的推进和提高，对科技人才的培养和滋润和对经济建设的繁荣还有对全体人民科学思维的提高与文化素质的哺育”。总之，数学俨然已经成为我们这个时代的一种文化，各种数学理念在众多不同的层次上深深地影响着我们的生活方式和工作方式，而数学思想作为数学知识内容的精髓，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学的精神与态度，数学的观点与文化。人们重视数学思想方法的提炼、概括和应用也就是顺理成章的事了。
“数学思想”一词无论在数学还是在数学教育范围内，或者是在其他科学中，都已被广泛使用。中学数学教育大纲中已经明确指出数学基础知识是指：数学概念，数学的性质，法则，公式，公理还有定理以及由其内容反映出来的数学思想。思想从词义解释来看是指客观存在的反映在人的意识中经过思维活动而产生的一种结果。从哲学角度看，思想的涵义有二：一个是与“观念”同义的词语，二是指相对于感性认识的理性认识的一种成果。兴许，人们就是从不同的起点出发，使数学思想的涵义有着多种多样的说法。既然数学思想是一种理性认识的成果，那么，作为对数学认识的一种反映，可以认为数学思想是数学历史长河中各个阶段上相对真理性的认识的总和，是人类对数学及其对象，数学概念和命题还有数学结论以及数学方法的本质性的认识。也有人把数学思想阐述为是人们对数学研究对象统一的、本质的认识，它不仅包括对数学本质的理解，还对数学基本特性、数学对象及数学与其他科学，数学与客观世界关系的认识，以及在数学中所创立的新概念，新理论以及新模型和新方法的认识。通过对上述各种说法的研究，我们不难发现它们的共同之处。首先，我们可以肯定的是数学思想是一种理性认识，因而它必然是在长期的数学认识活动中，经过实践与认识的多次循环往复和不断的深化。它不断的从数学概念和数学命题以及数学方法等理性认识中得到概括和提炼，成为了一种对数学本质及其中存在的规律的深刻认识，慢慢形成了解决数学问题的一般性观点。同时，数学思想作为人们对数学认识的一种反映，又直接支配着数学的一切实践活动。我们对于任何数学事实的理解，数学概念的掌握，还有数学方法的运用以及数学理论的建立，无一不是数学思想的体现和运用。因
此，数学思想是对数学概念，还有方法和理论的本质认识。于是，我们可以对数学思想的涵义作出一个简要的概括：数学思想是在一切数学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是对数学概念，命题，规律还有数学方法和技巧的本质认识，是数学中的智慧和灵魂。
这时肯定有人会提出疑问，数学思想和数学方法有什么联系和区别？或者什么是数学思想方法？在这里，我们不能像数学中的概念那样明确地给出它们的定义，只能给出一种解释或者是界定。首先，数学思想和数学方法都是以一定的数学知识，比如数学符号、概念、命题、算法等为基础的，反过来它们又促进者数学知识的深化以及向数学能力的转化。其次，它们两者都具有抽象概括程度的不同，表现出了互为表里的特殊关系。一方面，数学方法应该受到数学思想的指引，是数学思想在数学活动中的具体反映和体现，表现形式外显；另一方面，数学思想还是相应数学方法的结晶和升华，表现形式为内隐。也就是说，数学思想往往都带有理论性方面的特征，而数学方法却具有实践性的倾向。由于人们在数学系学生和研究活动中，很难把思想和方法严格区分开来，所以又常将两者统称为“数学思想方法”。同一个数学成就，当用它去解决别的问题时，我们就常称之为方法；当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，我们就称之为思想。
数学思想方法与数学基础知识相比较时，我们通常认为前者更为重要，它不仅是是学习者探索解题途径的一盏盏明灯，而且还是我们所必须具备的一个数学素养，一位著名的教育家曾经说过，真正教育的旨趣在于即使学生把教给他所有的知识都忘记了，但是还是有能使他获得受用终生的东西，那样的教育才是最高最好的教育。这里“受用终生的东西”在数学中就是指“数学思想方法”。
所以本论文就来探讨一些常见地数学思想。
一、函数与方程思想
函数思想，是指用函数的概念和其性质去分析、转化和解决问题。方程思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的已知条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题得到解决。有时，还可以实现函数与方程的互相转化与接轨，从而达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判
函数与方程思想是中学数学中十分重要的思想和方法之一，涉及的知识点很多，涉及面也比较广，是历年高考中考查的重点，所以我们要高度重视运用这一思想方法分析和解决数学问题，使这种思想在解题中的应用成为我们基本技能的重要组成部分。
二、数形结合思想
“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何最常用。例如求22)1()1(-+-b a +22)1(-+b a +22)1(b a +-+22b a +的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(1,1) 、(0,1)、(1,0)、(0,0)四点的距离，就可以求出它的最小值。
下面我们也根据几个具体的题来认识数形结合思想的应用：
例1：方程6x 2+5x =4实根的个数。
分析：直接解方程有一定难度，可以转化成函数Y 1=6x
2-4，Y 2=-5x 的交集，即考
虑两个函数图像的交点个数。
例 2. 设对于任意实数，函数总有意义，求实数a 的取值范围。
解法1：函数有意义，则，即在
上总成立。
设，即当时，总成立。
∴依抛物线的特征，将其定位，有，如图1所示。
图1
总结：在这道题中我们要抓住了抛物线的特征，由实数a的不等式组，将抛物线定位，再求解范围。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次数形结合的机会。
例2. 已知x2+4y2=4 表示的两曲线有公共点，求半径r的最小值和最大值。(x-4)2+ y2=r2
解：将方程x 2 +4y 2=4化为标准形式为：12222
=+y x 。它表示中心在O(0，0)，长半轴在x 轴上且为2，短半轴为1的椭圆。
而方程(x-4)2+ y 2=r 2表示圆心在A(4,0)的同心圆系。
如下图所示，易见当62≤≤r 时两曲线有公共点，即
。
总结：通过例2，我们可以清楚地看到利用数形结合的方法来解二次曲线的交点问题可以摆脱用判别式的困惑，从而减少运算方面的麻烦。
三、化归思想
化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 达到解决问题A 的方法。化归的原则有化未知为已知、化繁为简、化难为易、降维降次、标准化等。中学中主要用到的化归思想有三种：一是数与数之间的转化，二是数与形之间的转化，三是形与形之间的转化。
1、数与数之间的转化
数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式，通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化，从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化，例如变形所给出的方程求解，数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法，这就是我们常说的把问题“初等化”。
例：关于x 的方程cos 2x+sinx+a=0在（0，π）内有解，求a 的取值范围。
分析：假设由题意把x 看作未知数，那么那就是一个复合的方程，很难下手，但若考虑以sinx 为未知数，再由1-cos 2x=sin 2x ，则问题转化为常见的一元二次方程了，原问题即可解决。所以由1-cos 2x=sin 2x ，原式可化为：a=sin 2x-sinx-1
即a=（sinx-21
）2-45。因为x ∈（0，π），所以0 2、数与形之间的转化 数与形之间的转化包括两点： 1、“数”上构“形”。有些数学问题本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，将代数问题化归为几何问题来解决。 2、“形”中觅“数”。即问题中已知图形作出或容易作出，要解决这类问题，主要是寻找恰当的表达问题的数量关系式，就可以把几何问题代数化，以数助形，使问题获得解决。例如函数与其图像的关系，以及解析几何中曲线与方程的概念，复数及其运算的集合意义等等进行转化。 例：x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+a=0，求 的最大值和最小值。 分析：由x 2+y 2-4x+1=0联想到圆的方程，由 联想到斜率，即可将问题化归为数形的问题加以解决。 将x2+y2-4x+1=0整理得（x-2）2+y2=3，表示一个以（2，0）为圆心，半径长为3的圆；令斜率＝t，则y=tx表示一条斜率为t且过坐标原点的直线。 因为点（x，y）在圆上，所以求t的最值就是求过原点和圆上任意一点的直线斜率的最值。 3、形与形之间的转化 比如利用图像变换的知识做出函数的图像，利用分割、补形、折叠、展开、作辅助线、辅助面处理空间图形或平面图形，还有立体几何问题化归为平面问题等等。 应用化归思想方法解题时应注意以下三点： 1、注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性。化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象，要设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题为依据，而把要解决的问题化归为规律问题。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。 2、注意转化的等价性，保证逻辑上的正确。化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归（关于不等价化归本文不作讨论）。等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。 3、注意转化的多样性，设计合理的转化方案。前面我们讨论的内容从一个侧面也体现了化归思想方法在中学数学解题中的重要地位。利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解决问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系键”。化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的，因此，我们不能只停留在化归的分析上，还必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论。 四、分类讨论思想 当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。 1.分类讨论思想是中学数学的基本方法之一，是高考的重难点。 ⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点； ⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察； ⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧； ⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关． 2.分类讨论的思想本质 分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略． 3.运用分类思想的基本解题步骤 ⑴确定讨论对象和确定研究的区域； ⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）； ⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ⑷归纳总结，整合得出结论． 4.明确分类讨论的想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有： ⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n 项和公式等等； ⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等； ⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论； ⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； ⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等． 5.分类讨论思想的类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的． 如例1：解不等式1-2x 2+-+x x >3-x . 分析：不等式含的绝对值中各代数式的零点分别为：-2、1、-1、3.因而可将 实数分为(] 2--∞，(] 1--2，(] 11-，(] 31，()∞+ 3这五个小区间，分别讨论、分类求解。 解：（1）当x ≤-2时，02-2≥+x x ，x+1<0，x-3<0，原不等式变为： )3(12-2-->+++x x x x ，04-32>+ x x ，x<-4或x>1. 考虑到大前提 x ≤-2 x<-4. x<-4或x>1 (2) 当-2 )3(1)2-(-2-->+++x x x x ，0-2 考虑到大前提 -2 无解. 0 (3) 当-1 )3()1(-)2-(-2-->++x x x x ，022<++x x ，无解. (4) 当1 )3(-)1(2-2->+-+x x x x ，062>-+x x ，x<-3或x>2， 考虑到大前提 1 2 ， x<-3或x>2 （5）当x>3时，02-2>+x x ，x+1>0，x-3>0，原不等式变为： 3)1(2-2->+-+x x x x ，0-2>x x ，x<0或x>1， 考虑到大前提 x>3 x>3. x<0或x>1， 综上，原不等式的解为{} 2or 4x >-<∈x x x . 五、方程思想 当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。在中学数学中，我们常用的就是把现实生活中的一些问题抽象为方程问题；能根据实际情况检验计算结果，并且通过创设实际问题请教，引导学生主动参与探索解决现实生活中应用题的方法；激发学生学习数学的兴趣，并向学生渗透方程建模的数学思想；培养学生数学应用意识和实践能力。 下面我们就用一个实际例子来了解如何应用方程思想来解决问题： 例：某通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求、已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元， 乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元。若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买？ 解：设购买甲种型号手机x部，乙种手机y部，丙种手机z部，根据题意得： x+y=40 解得：x=30 1800x+600y=60000 y=10 y+z=40 解得： y=-20 （舍去） 600y+1200z=60000 z=60 z+x=40 解得： x=20 1200z+1800x=60000 y=20 答：该商场有两种购买方法：第一种是买甲种手机30部，乙种手机10部。第二种是买甲种手机20部，丙种手机20部。 点评：在遇到这种题时，我们首先要简化背景材料，其次是把现实生活中的一些问题转化为方程来解，最后是要注意求得的结果应检验其符合实际。 六、类比思想 把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。类比是从特殊到特殊的思考方法，类比得到的结论仅仅是一种猜想，可能正确也可能不正确。类比的关键是寻找合适的类比对象。类比在数学中应用较广泛、如：数与式之间、平面与立体之间、一维与多维之间、相等于不等之间、有限与无限之间等各个方面都能应用类比的思想。 数学学习与研究通常包括三个部分，一是通过观察、实验、比较、分析与综合提出符合现实情景的数学模型，二是由于数学的相对独立性，数学模型可以提供大量的数学命题，遇上设定各种数学猜想，然后加以证明或否定，以寻求数学基本规律，三是将数学理论用于现实问题，求得进一步发展，且一般而言，问题的提出与解决常常是简历在已有的知识体系和前人的工作基础上，之后，通过不断的探索和研究，进一步的丰富和发展了人类的知识体系，促使社会不断进步，而在探索和研究的过程中，人们在自觉和不自觉的使用者类比思想，因此强调类比的学习是有意义的。 下面我们通过一些例子来探讨类比在数学学习中的应用。 平面与空间的类比：把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，同时也有利于化难为易，启迪思维。 如，关于勾股定理，可有几个类比：（1）长、宽、高分别为p,q,r ，对角线长为d 的长方体中，有p 2+q 2+r 2=d 2，（2）长方体中过一顶点的三个长方形的对角线长分别为p,q,r,长方体对角线为d ，则有p 2+q 2+r 2=2d 2，（3）四面体交于一个顶点0三条棱两两互相垂直，与0相邻的三个面的面积分别为A,B,C,与0相对的面的面积为D ，则有：A 2+B 2+C 2=D 2 上述类比结论都是正确，通过类比，人们对平面俞孔坚形成了较清晰的认识，而结果的类似又打开了人们记忆的方便之门。 数与形的类比：数与形的类比经常在相反的方向上得到应用，即通过与“形”的比较去推测“数”的有关性质，又通过与“数”的比较去推测“形”的有关性质。 例：已知K b a a c b c b =+=+=+c a ，求k 的值。 解：利用K b a a c b c b =+=+=+c a 知直线L 1:ax+by+c=0和直线 L 2(b+c)x+(c+a)y+a+b=0重合. 从而（a+b+c ）(x+y+1)=0 于是：a+b+c=0时，K=1; a+b+c ≠0时，K=2 1. 上述例子通过数描述了形的关系，数与形的结合使用是类比思想的一种直观体现。 方法上的类比 类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已知解题方法迁移过来可有“柳暗花明又一村”的感觉。 总结：通过我们对初中数学思想的认识了解，并且总结了初中常用的几种数学方法，我们要从上述的几种常见数学方法中了解到其中的内在数学思想，我们都知道数学问题的解决离不开数学思想为指导的原则，以数学方法为手段。我们掌握了数学思想方法就能克服就题论题，死套模式的刻板学习方式；数学思想方法可以帮助我们将强思路分析，提高我们分析解决问题的能力，并且还能加强我们创造性思维和创新能力的培养等等。这样我们才能从真正的认识数学，了解数学，学好数学，最后才从数学学习中获益匪浅。 参考文献： [1] 肖柏荣.数学思想方法及其教学示例[M],江苏教育出版社,2009 [2] 钱珮玲、邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京师范大学出版社，1999. [3] 张奠宙、张广祥.中学代数研究[M].高等教育出版社，2010. [4] 李刚豪.函数思想与方程思想应用浅析[J ].数学学报，2005. [5] 曹一鸣、张春生. 数学思想方法[M]. 北京师范大学出版社，2010. [6] 朱水根、王延文.中学数学教学导论[M].教育科学出版社，2009. [7] 袁小明、胡炳生、周焕山.数学思想发展简史[M].高等教育出版社，2012.