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非线性规划讲义

第三章非线性规划

§1 非线性规划

1.1 非线性规划的实例与定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。

下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。

例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。试选择最佳投资方案。

解设投资决策变量为

???=个项目

决定不投资第，个项目

决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1 =，

则投资总额为∑=n

i i i x a 1

，投资总收益为∑=n

i i i x b 1

。因为该公司至少要对一个项目投资，并

且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件

∑=≤<

i i i

A x a

另外，由于),,1(n i x i =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i ==-

最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学模型为：

∑∑===

i i

x a

b Q 11max

s.t. ∑=≤<

i i i

A x a

.,,1,0)1(n i x x i i ==-

上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP ）。可概括为一般形式

)(min x f

q j x h j ,,1,

0)(s.t.

=≤ (NP)

p i x g i ,,1,

0)( ==

其中T

n x x x ][1

=称为模型

（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i =和),,1(q j h j =称为约束函数。另外，0)(=x g i ),,1(p i =称为等式约束，

0)(≤x h j ),,1(q j =称为不等式约束。

对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：

（i ）确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。

（ii ）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。

（iii ）给出价值标准：在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。

（iv ）寻求限制条件：由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。

1.2 线性规划与非线性规划的区别如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。

1.3 非线性规划的Matlab 解法

Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式 )(m i n x f ?????

??=≤=?≤0

)(0)(x C e q x C B e q

x A e q B Ax ,

其中)(x f 是标量函数，Beq Aeq B A ,,,是相应维数的矩阵和向量，)(),(x Ceq x C 是非线性向量函数。

Matlab 中的命令是

X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS) 它的返回值是向量x ，其中FUN 是用M 文件定义的函数)(x f ；X0是x 的初始值；A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束Beq X Aeq B X A =≤*,*，如果没有等式约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB 和UB 是变量x 的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果x 无下界，则LB=-inf ，如果x 无上界，则UB=inf ；NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函数)(),(x Ceq x C ；OPTIONS 定义了优化参数，可以使用Matlab 缺省的参数设置。

例2 求下列非线性规划问题

???

???≥=+--≥-++=.0,0208)( min 212

2122

12221x x x x x x x x x f

（i ）编写M 文件fun1.m function f=fun1(x); f=x(1)^2+x(2)^2+8; 和M 文件fun2.m

function [g,h]=fun2(x); g=-x(1)^2+x(2);

h=-x(1)-x(2)^2+2; %等式约束

（ii ）在Matlab 的命令窗口依次输入

options=optimset;

[x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[], ... 'fun2', options)

就可以求得当1,121==x x 时，最小值10=y 。 1.4 求解非线性规划的基本迭代格式记（NP ）的可行域为K 。若K x ∈*，并且 K x x f x f ∈?≤),

()(*

则称*x 是（NP ）的整体最优解，)(*x f 是(NP)的整体最优值。如果有

,),

()(x x K x x f x f ≠∈?<

则称*x 是（NP ）的严格整体最优解，)(*x f 是(NP)的严格整体最优值。

若K x ∈*，并且存在*x 的邻域)(*

x N δ，使 K x N x x f x f )(),

()(*

δ∈?≤，则称*x 是（NP ）的局部最优解，)(*x f 是(NP)的局部最优值。如果有

K x N x x f x f )(),

()(*

δ∈?<

则称*x 是（NP ）的严格局部最优解，)(*x f 是(NP)的严格局部最优值。

由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。

对于非线性规划模型(NP)，可以采用迭代方法求它的最优解。迭代方法的基本思想是：从一个选定的初始点n

R x ∈ 出发，按照某一特定的迭代规则产生一个点列

}{k

x ，使得当}{k

x 是有穷点列时，其最后一个点是(NP)的最优解；当}{k

x 是无穷点

列时，它有极限点，并且其极限点是(NP)的最优解。

设n

R x ∈是某迭代方法的第k 轮迭代点，n

k R x

∈+1

是第1+k 轮迭代点，记 k

k k k p t x x +=+1 （1）

这里1,,1=∈∈k n k k p R p R t ，显然k p 是由点k x 与点1

+k x 确定的方向。式（1）就

是求解非线性规划模型(NP)的基本迭代格式。

通常，我们把基本迭代格式（1）中的k

p 称为第k 轮搜索方向，k t 为沿k

p 方向的步长，使用迭代方法求解(NP)的关键在于，如何构造每一轮的搜索方向和确定适当的步

长。

设0,≠∈p R x n

，若存在0>δ，使

),0(),()(δ∈?<+t x f tp x f ，称向量p 是f 在点x 处的下降方向。设0,≠∈p R x n ，若存在0>t ，使

K tp x ∈+，

称向量p 是点x 处关于K 的可行方向。

一个向量p ，若既是函数f 在点x 处的下降方向，又是该点关于区域K 的可行方向，则称之为函数f 在点x 处关于K 的可行下降方向。

现在，我们给出用基本迭代格式（1）求解(NP)的一般步骤如下：

0° 选取初始点0x ，令0:=k 。

1° 构造搜索方向，依照一定规则，构造f 在点k x 处关于K 的可行下降方向作为搜索方向k p 。

2° 寻求搜索步长。以k x 为起点沿搜索方向k p 寻求适当的步长k t ，使目标函数值有某种意义的下降。 3° 求出下一个迭代点。按迭代格式（1）求出

k k k p t x x

+=+1。若1+k x 已满足某种终止条件，停止迭代。

4° 以1+k x 代替k x ，回到1°步。

1.5 凸函数、凸规划

设)(x f 为定义在

n 维欧氏空间)(n E 中某个凸集R 上的函数，若对任何实数

)10(<<αα以及R 中的任意两点)1(x 和)

2(x ，恒有

)()1()())1(()2()1()2()1(x f x f x x f αααα-+≤-+ 则称)(x f 为定义在R 上的凸函数。

若对每一个)10(<<αα和R x x ∈≠)2()1(恒有 )()1()())1(()

2()

1()

2()

1(x f x f x x f αααα-+<-+

则称)(x f 为定义在R 上的严格凸函数。

考虑非线性规划

???=≤=∈},,2,1,0)(|{)( min l j x g x R x f j R

假定其中)(x f 为凸函数，),,2,1)((l j x g j =为凸函数，这样的非线性规划称为凸规划。

可以证明，凸规划的可行域为凸集，其局部最优解即为全局最优解，而且其最优解的集合形成一个凸集。当凸规划的目标函数)(x f 为严格凸函数时，其最优解必定唯一（假定最优解存在）。由此可见，凸规划是一类比较简单而又具有重要理论意义的非线性规划。 §2 无约束问题

2.1 一维搜索方法

当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数

的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有：（1）试探法（“成功—失败”，斐波那契法，0.618法等）；插值法（抛物线插值法，三次插值法等）；（3）微积分中的求根法（切线法，二分法等）。

考虑一维极小化问题

)(m i n t f b

t a ≤≤ （2）

若)(t f 是],[b a 区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短],[b a 的长度，来搜索得（2）的近似最优解的两个方法。

为了缩短区间],[b a ，逐步搜索得（2）的最优解*t 的近似值，我们可以采用以下途径：在],[b a 中任取两个关于],[b a 是对称的点1t 和2t （不妨设12t t <，并把它们叫做搜索点），计算)(1t f 和)(2t f 并比较它们的大小。对于单峰函数，若)()(12t f t f <，则必有],[1*t a t ∈，因而],[1t a 是缩短了的单峰区间；若)()(21t f t f <，则有

],[2*

b t t ∈，故],[2b t 是缩短了的单峰区间；若)()(12t f t f =，则],[1t a 和],[2b t 都是

缩短了的单峰。因此通过两个搜索点处目标函数值大小的比较，总可以获得缩短了的单峰区间。对于新的单峰区间重复上述做法，显然又可获得更短的单峰区间。如此进行，在单峰区间缩短到充分小时，我们可以取最后的搜索点作为（2）最优解的近似值。

应该按照怎样的规则来选取探索点，使给定的单峰区间的长度能尽快地缩短？ 2.1.1 Fibonacci 法若数列{n F }满足关系：

110==F F ,,3,2,

12 =+=--n F F F n n n

则称}{n F 为Fibonacci 数列，n F 称为第n 个Fibonacci 数，称相邻两个Fibonacci 数之比

n F F 1-为Fibonacci 分数。

当用斐波那契法以n 个探索点来缩短某一区间时，区间长度的第一次缩短率为

n F F 1-，其后各次分别为

1231,,,F F

F F F F n n n n ---。由此，若1t 和)(122t t t <是单峰区间],[b a 中第1个和第2个探索点的话，那么应有比例关系

n F F a

b a t 11-=--， n

n F F a

b a t 22-=--

从而 )(11a b F F a t n

n -+

=-，)(22a b F F a t n

n -+

=- （3）

它们关于],[b a 确是对称的点。

如果要求经过一系列探索点搜索之后，使最后的探索点和最优解之间的距离不超过精度0>δ，这就要求最后区间的长度不超过δ，即

δ≤-n

F a b （4）

据此，我们应按照预先给定的精度δ，确定使（4）成立的最小整数n 作为搜索次数，

直到进行到第n 个探索点时停止。

用上述不断缩短函数)(t f 的单峰区间],[b a 的办法，来求得问题（2）的近似解，是Kiefer(1953年)提出的，叫做Finbonacci 法，具体步骤如下：

1° 选取初始数据，确定单峰区间],[00b a ，给出搜索精度0>δ，由（4）确定搜索次数n 。 2° 00,,1b b a a k ===，计算最初两个搜索点，按（3）计算1t 和2t 。

3° while 1-

)(),(2211t f f t f f == if 21f f < )()()1(;;1122a b k n F k n F a t t t t a ----+===

else

)()

()1(;;2211b a k n F k n F b t t t t b ----+

===

end

1+=k k

end 4° 当进行至1-=n k 时， )(2

121b a t t +=

这就无法借比较函数值)(1t f 和)(2t f 的大小确定最终区间，为此，取 ???????

-++=+=))(2

1()(2

112a b a t b a t ε

其中ε为任意小的数。在1t 和2t 这两点中，以函数值较小者为近似极小点，相应的函数值为近似极小值。并得最终区间],[1t a 或],[2b t 。

由上述分析可知，斐波那契法使用对称搜索的方法，逐步缩短所考察的区间，它能

以尽量少的函数求值次数，达到预定的某一缩短率。

例3 试用斐波那契法求函数2)(2

+-=t t t f 的近似极小点，要求缩短后的区间不大于区间]3,1[-的0.08倍。

程序留作习题。 2.1.2 0.618法

若0>ω，满足比例关系

ωωω-=11 称之为黄金分割数，其值为 6180339887

.02

15=-=

ω。

黄金分割数ω和Fibonacci 分数之间有着重要的关系，它们是

1° 11--<

1-->

>n n n

n F F F F ω，n 为奇数。

2° n

n n F F 1lim

-∞

→=ω。

现用不变的区间缩短率0.618，代替斐波那契法每次不同的缩短率，就得到了黄金分割法（0.618法）。这个方法可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，效果也相当好，因而易于为人们所接受。

用0.618法求解，从第2个探索点开始每增加一个探索点作一轮迭代以后，原单峰区间要缩短0.618倍。计算n 个探索点的函数值可以把原区间],[00b a 连续缩短1-n 次，因为每次的缩短率均为μ，故最后的区间长度为

100)(--n a b μ

这就是说，当已知缩短的相对精度为δ时，可用下式计算探索点个数n ：

δμ≤-1

当然，也可以不预先计算探索点的数目n ，而在计算过程中逐次加以判断，看是否已满足了提出的精度要求。

0.618法是一种等速对称进行试探的方法，每次的探索点均取在区间长度的0.618倍和0.382倍处。

2.2 二次插值法对极小化问题（2），当)(t f 在],[b a 上连续时，可以考虑用多项式插值来进行一维搜索。它的基本思想是：在搜索区间中，不断用低次（通常不超过三次）多项式来近似目标函数，并逐步用插值多项式的极小点来逼近（2）的最优解。

2.3 无约束极值问题的解法无约束极值问题可表述为

)

(),( min n E x x f ∈ （5）求解问题（5）的迭代法大体上分为两种：一是用到函数的一阶导数或二阶导数，

称为解析法。另一是仅用到函数值，称为直接法。

2.3.1 解析法

2.3.1.1 梯度法（最速下降法）对基本迭代格式

k k k p t x x

+=+1

（6）

我们总是考虑从点k

x 出发沿哪一个方向k

p ，使目标函数f 下降得最快。微积分的知识告诉我们，点k

x 的负梯度方向 )(k

x f p -?=，

是从点k x 出发使f 下降最快的方向。为此，称负梯度方向)(k x f ?-为f 在点k

x 处的

最速下降方向。

按基本迭代格式（6），每一轮从点k

x 出发沿最速下降方向)(k

x f ?-作一维搜索，来建立求解无约束极值问题的方法，称之为最速下降法。

这个方法的特点是，每轮的搜索方向都是目标函数在当前点下降最快的方向。同时，用0)(=?k x f 或ε≤?)(k x f 作为停止条件。其具体步骤如下：

1°选取初始数据。选取初始点0x ，给定终止误差，令0:=k 。

2°求梯度向量。计算)(k x f ?，若ε≤?)(k x f ，停止迭代，输出k x 。否则，进行3°。

3° 构造负梯度方向。取

)(k

x f p

-?=.

4° 进行一维搜索。求k t ，使得

)(m i n )(0

t k

k k

tp x f p t x f +=+≥

令,1:,1+=+=+k k p t x x k k k k 转2°。

例4 用最速下降法求解无约束非线性规划问题

222125)(min x x x f +=

其中T x x x ),(21=，要求选取初始点T x )2,2(0=，终止误差610-=ε。解：（i ）T x x x f )50,2()(21=? 编写M 文件detaf.m 如下 function [f,df]=detaf(x); f=x(1)^2+25*x(2)^2; df(1)=2*x(1); df(2)=50*x(2);

（ii ）编写M 文件zuisu.m clc

x=[2;2];

[f0,g]=detaf(x);

while norm(g)>0.000001 p=-g'/norm(g);

t=1.0;f=detaf(x+t*p); while f>f0

t=t/2;f=detaf(x+t*p); end x=x+t*p

[f0,g]=detaf(x) end

2.3.1.2 Newton 法

考虑目标函数f 在点k

x 处的二次逼近式

))(()(2

1 )()()()()(2k

k T k k

x x x f x x x x x f x f x Q x f -?-+

-?+=≈

假定Hesse 阵

???

??????

???????????=?221

2122

122)()()()()(n

n k n

k k

x x f x

x x f x x x f x x f x f

正定。

由于)(2k x f ?正定，函数Q 的稳定点1+k x 是)(x Q 的最小点。为求此最小点，令

0))(()()(1

=-?+?=?++k

k k

k x x

x f x f x

Q ，

即可解得

)()]([1

k x f x f x x

??-=-+.

对照基本迭代格式（1），可知从点k x 出发沿搜索方向。 )()]([12k k k x f x f p ??-=-

并取步长1=k t 即可得)(x Q 的最小点1+k x 。通常，把方向k p 叫做从点k x 出发的Newton 方向。从一初始点开始，每一轮从当前迭代点出发，沿Newton 方向并取步长为1的求解方法，称之为Newton 法。其具体步骤如下：

1°选取初始数据。选取初始点0x ，给定终止误差0>ε，令0:=k 。

2°求梯度向量。计算)(k x f ?，若ε≤?)(k x f ，停止迭代，输出k x 。否则，进行3°。

3°构造Newton 方向。计算12)]([-?k x f ，取 )()]([12k k k x f x f p ??-=-.

4° 求下一迭代点。令1:,1+=+=+k k p x x k k k ，转2°。例5 用Newton 法求解，

125)(min x x x x x f ++= 选取T x )2,2(0=，6

-=ε。

解：（i ）T

x x x x x x x f ]210024[)(221322

131++=?

?????++=?21222

2212

430044212x x x x x x x x f 编写M 文件nwfun.m 如下：

function [f,df,d2f]=nwfun(x);

f=x(1)^4+25*x(2)^4+x(1)^2*x(2)^2; df(1)=4*x(1)^3+2*x(1)*x(2)^2; df(2)=100*x(2)^3+2*x(1)^2*x(2); d2f(1,1)=12*x(1)^2+2*x(2)^2; d2f(1,2)=4*x(1)*x(2); d2f(2,1)=d2f(1,2);

d2f(2,2)=300*x(2)^2+4*x(1)*x(2);

（ii ）编写M 文件： clc

x=[2;2];

[f0,g1,g2]=nwfun(x)

while norm(g1)>0.00001 %dead loop,for i=1:3 p=-inv(g2)*g1',p=p/norm(p) t=1.0,f=detaf(x+t*p) while f>f0

t=t/2,f=detaf(x+t*p), end x=x+t*p

[f0,g1,g2]=nwfun(x) end

如果目标函数是非二次函数，一般地说，用Newton 法通过有限轮迭代并不能保证可求得其最优解。

Newton 法的优点是收敛速度快；缺点是有时不好用而需采取改进措施，此外，当维数较高时，计算12)]([-?-k x f 的工作量很大。

2.3.1.3 变尺度法变尺度法（V ariable Metric Algorithm ）是近20多年来发展起来的，它不仅是求解无约束极值问题非常有效的算法，而且也已被推广用来求解约束极值问题。由于它既避免了计算二阶导数矩阵及其求逆过程，又比梯度法的收敛速度快，特别是对高维问题具有显著的优越性，因而使变尺度法获得了很高的声誉。下面我们就来简要地介绍一种变尺度法—DFP 法的基本原理及其计算过程。这一方法首先由Davidon 在1959年提出，后经Fletcher 和Powell 加以改进。

我们已经知道，牛顿法的搜索方向是)

()]([12k k x f x f ??--，

导数矩阵)]([2k x f ?及其逆阵，我们设法构造另一个矩阵，用它来逼近二阶导数矩阵的逆阵12)]([-?k x f ，这一类方法也称拟牛顿法（Quasi-Newton Method ）。

下面研究如何构造这样的近似矩阵，并将它记为)(k H 。我们要求：每一步都能以现有的信息来确定下一个搜索方向；每做一次选代，目标函数值均有所下降；这些近似矩阵最后应收敛于解点处的Hesse 阵的逆阵。

当)(x f 是二次函数时，其Hesse 阵为常数阵A ，任两点k x 和1

+k x

处的梯度之差为

)()()(1

k k k x x

A x f x

f -=?-?++

或

)]()([1

k k

k x f x

f A x x

?-?=-+-+

对于非二次函数，仿照二次函数的情形，要求其Hesse 阵的逆阵的第1+k 次近似矩阵)1(+k H 满足关系式

)]()([1

)

1(1

k k k k x f x

f H

x x

?-?=-+++ （7）

这就是常说的拟Newton 条件。若令

???-=??-?=?++k

k k k k k x x

x x f x f G 11)()

()( （8）则式（7）变为 )

()

1(k k k

x ?=?+，（9）

现假定)(k H

已知，用下式求)

1(+k H （设)

(k H

和)

1(+k H

均为对称正定阵）；

)

()()

1(k k k H H H

?+=+ （10）

其中)(k H ?称为第k 次校正矩阵。显然，)1(+k H 应满足拟Newton 条件（9），即要求

)()()()(k k k k G H H x ??+=?

或

)

()

(k k k k k G

x G

?-?=?? （11）

由此可以设想， )

(k H

?的一种比较简单的形式是

k k k T

k k

k W

H Q x H

)()()

()

(?-?=? (12)

其中)(k Q 和)

(k W

为两个待定列向量。

将式（12）中的)

(k H

?代入（11），得

)

()

()()(k k k k T k k k k T k k

x G

H G

x ?-?=??-??

这说明，应使

1)()()

()

(=?=?k T k k T

k G

W G

（13）

考虑到)

(k H

?应为对称阵，最简单的办法就是取

??????=?=)

()()

()(k k k k k

k k G H W

x Q

ξη （14）由式（13）得 1)()()

()

()()(=??=??k k T

k k k T k k G

H G G x ξη （15）

若)()(k T k G x ??和)

()

()()(k k T k G

G ??不等于零，则有

???

??=

??=??=)()()()()()(1)(1)(1k k T k k k T k k T k k G H G x G G x ξη （16）于是，得校正矩阵

)

()

()()()()(k k T k k T k k k k

k T k k k G

H G

x x H

????-

????=

? (17)

从而得到

)

()

()()

()

1()()()()(k k T k k T k k k k

k T k

k k G

H G

x x H

????-

????+

=+ （18）

上述矩阵称为尺度矩阵。通常，我们取第一个尺度矩阵)0(H 为单位阵，以后的尺度矩

阵按式（18）逐步形成。可以证明：

（i ）当k

x 不是极小点且)(k H 正定时，式（17）右端两项的分母不为零，从而可按式（18）产生下一个尺度矩阵)

1(+k H

；

（ii ）若)(k H 为对称正定阵，则由式（18）产生的)

1(+k H 也是对称正定阵；

（iii ）由此推出DFP 法的搜索方向为下降方向。现将DFP 变尺度法的计算步骤总结如下。

1°给定初始点0

x 及梯度允许误差0>ε。

2°若ε≤?)(0x f ，则0x 即为近似极小点，停止迭代，否则，转向下一步。 3°令

I H

0(（单位矩阵）

， )(0)0(0x f H p ?-=

在0p 方向进行一维搜索，确定最佳步长0λ： )()(m i n 0

p x f p x f λλλ

+=+

如此可得下一个近似点 0001p x x λ+=

4°一般地，设已得到近似点k x ，算出)(k x f ?，若

ε≤?)(k x f

则k x 即为所求的近似解，停止迭代；否则，计算)

(k H

：

)

1()

1()1()

1()

1(1

)1(1

)

1()

()()( )()

(------------????-

????+

=k k T

k k T k k k k T

k T k k k k G

H G

G H

并令)()

k k x f H

p ?-=，在k

p 方向上进行一维搜索，得k λ，从而可得下一个近似点

k k k p x x

λ+=+1 5°若1+k x 满足精度要求，则1+k x 即为所求的近似解，否则，转回4°，直到求

出某点满足精度要求为止。

2.3.2 直接法

在无约束非线性规划方法中，遇到问题的目标函数不可导或导函数的解析式难以表示时，人们一般需要使用直接搜索方法。同时，由于这些方法一般都比较直观和易于理解，因而在实际应用中常为人们所采用。下面我们介绍Powell 方法。

这个方法主要由所谓基本搜索、加速搜索和调整搜索方向三部分组成，具体步骤如下：

1° 选取初始数据。选取初始点0x ，n 个线性无关初始方向，组成初搜索方向组

},,,{1

-n p

p p 。给定终止误差0>ε，令0:=k 。

2°进行基本搜索。令k

x y =:0

，依次沿},,,{1

-n p p p 中的方向进行一维搜

索。对应地得到辅助迭代点n

y y y ,,,2

，即

j tp

f p

t y

f p

t y y j j t j j j j j j j

,,1)(min )(1

111

=+=++=--≥------

3°构造加速方向。令0

y y p n

，若ε≤n p ，停止迭代，输出n

k y x =+1

。

否则进行4°。

4°确定调整方向。按下式

}1|)()(max{)()(1

n j y f y

f y f y

f j

j m m ≤≤-=---

找出m 。若

)]()([2)2()(2)(1

m n

y f y

f y y f y f y f -<-+--

成立，进行5°。否则，进行6°。

5°调整搜索方向组。令 )(min )(:0

1n n t n n n n n n k tp y f p t y f p t y x +=++=≥+.

同时，令

},,,,,,{:},,,{11101110n n m m k n p p p p p p p p -+-++= ，

1:+=k k ，转2°。

6°不调整搜索方向组。令1:,:1+==+k k y x n k ，转2°。 2.4 Matlab 求函数的极小值和函数的零点

2.4.1 求单变量有界非线性函数在区间上的极小值 ],[ x , )(min b a x f x

∈

Matlab 的命令为

[X,FV AL] = FMINBND(FUN,x1,x2,OPTIONS)，

它的返回值是极小点x 和函数的极小值。这里fun 是用M 文件定义的函数或Matlab 中的单变量数学函数。

例6 求函数 ]5,0[ ,1)3()(2∈--=x x x f 的最小值。解编写M 文件fun1.m function f=fun1(x); f=(x-3)^2-1;

在Matlab 的命令窗口输入 [x,y]=fminbnd('fun1',0,5) 即可求得极小点和极小值。

2.4.2 求多变量函数的极小值 , )(min x f x

其中x 是一个向量，)(x f 是一个标量函数。

Matlab 中的基本命令是 [X,FV AL]=FMINUNC(FUN,X0,OPTIONS,P1,P2, ...)

它的返回值是向量x 的值和函数的极小值。FUN 是一个M 文件，当FUN 只有一个返回值时，它的返回值是函数)(x f ；当FUN 有两个返回值时，它的第二个返回值是)(x f 的一阶导数行向量；当FUN 有三个返回值时，它的第三个返回值是)(x f 的二阶导数阵（Hessian 阵）。X0是向量x 的初始值，OPTIONS 是优化参数，使用确省参数时，OPTIONS 为空矩阵。P1，P2是可以传递给FUN 的一些参数。

例7 求函数2

122

12)1()(100)(x x x x f -+-=的最小值。

解：编写M 文件fun2.m 如下： function [f,g]=fun2(x);

f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;

g=[-400*x(1)*(x(2)-x(1)^2)-2(1-x(1)) 200*(x(2)-x(1)^2)];

在Matlab 命令窗口输入

fminunc('fun2',rand(1,2)) 即可求得函数的极小值。

求多元函数的极值也可以使用Matlab 的命令 [X,FV AL]= FMINSEARCH(FUN,X0,OPTIONS,P1,P2,...)。 §3 约束极值问题

带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫约束规划问题。求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多。为了简化其优化工作，可采用以下方法：将约束问题化为无约束问题；将非线性规划问题化为线性规划问题，以及能将复杂问题变换为较简单问题的其它方法。

3.1 最优性条件

库恩—塔克条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，是确定某点为最优点的必要条件，但一般说它并不是充分条件（对于凸规划，它既是最优点存在的必要条件，同时也是充分条件）。

3.2 二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量x 的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。

Matlab 中二次规划的数学模型可表述如下：

b Ax x f

Hx x T

≤+ s.t. ,2

min

这里H 是实对称矩阵，b f ,是列向量，A 是相应维数的矩阵。

Matlab 中求解二次规划的命令是

[X,FV AL]= QUADPROG(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

X 的返回值是向量x ，FV AL 的返回值是目标函数在X 处的值。（具体细节可以参看在Matlab 指令中运行help quadprog 后的帮助）。

例8 求解二次规划

?????

??≥≤+≤++=0, 94 3 36442)( min 2

1212121222121x x x x x x x -x -x x x -x x f

解编写如下程序： h=[4,-4;-4,8]; f=[-6;-3]; a=[1,1;4,1]; b=[3;9];

[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

求得

1.02501)( M i n , 0500.19500.1-=??

???=x f x 。 3.3 罚函数法

利用罚函数法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题，因而也称这种方法为序列无约束最小化技术，简记为 SUMT (Sequential Unconstrained Minimization Technique)。

罚函数法求解非线性规划问题的思想是，利用问题中的约束函数作出适当的罚函数，由此构造出带参数的增广目标函数，把问题转化为无约束非线性规划问题。主要有两种形式，一种叫外罚函数法，另一种叫内罚函数法，下面介绍外罚函数法。

考虑如下问题：

)(min x f

s.t. ???

??===≥=≤t.,1,i ,0)(k s,,1,i ,0)(,,,1 ,0)(i

x x h r i x g i i

取一个充分大的数 0>M ，构造函数

∑∑∑===+-+=t

i i

i i r

i i x k

x h M

x g M

x f M x P 1

|)(|)0),(min(

)0),(max(

)(),(

（或||)(||)0),(min()0),(max()(),(321x K M x H M x G M x f M x P +++= 这里 ??????????=)( )()(1x g x g x G r ，???

??????=)( )()(1x h x h x H s ，??????????=)( )()(1x k x k x K t ，321,,M M M 为适当的

行向量，Matlab 中可以直接利用 max 和 min 函数。）则以增广目标函数),(M x P 为

目标函数的无约束极值问题

),(min M x P

的最优解x 也是原问题的最优解。

例9 求下列非线性规划

??????≥=+-≥-++=.

0,x 02x - 0

x 8)( min 212

2122

12221x x x x x x f 解 (i)编写 M 文件 test.m function g=test(x); M=50000;

f=x(1)^2+x(2)^2+8;

g=f-M*min(x(1),0)-M*min(x(2),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)... +M*abs(-x(1)-x(2)^2+2);

(ii)在Matlab 命令窗口输入 [x,y]=fminunc('test',rand(2,1)) 即可求得问题的解。

§4 飞行管理问题

在约10，000m 高空的某边长160km 的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：

1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km; 2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时800km;

4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km 以上； 5）最多需考虑6架飞机；

6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为：飞机编号横座标x 纵座标y 方向角（度） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注：方向角指飞行方向与x 轴正向的夹角。

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。

提示：

64))()(())()((2

>-+-t y t y t x t x j i j i

11-≤≤n i ，n j i ≤≤+1，},min{0j i T T t ≤≤

其中n 为飞机的总架数，

))(),((t y t x i i 为t 时刻第i 架飞机的坐标，j i T T ,分别表示第j i ,架飞机飞出正方形区域边界的时刻。这里

i i i vt x t x θcos )0()(+=，i i i vt y t y θsin )0()(+=，n i ,,2,1 =；

i i i θθθ?+=0

，6

||π

θ≤

?i ，n i ,,2,1 =；

其中v 为飞机的速度，i i θθ,0

分别为第i 架飞机的初始方向角和调整后的方向角。

令

c bt at t y t y t x t x l j i j i j i ++=--+-=2

,64))()(())()((

其中2

sin

i v a θ

θ-=，

)]

sin ))(sin 0()0(())0()0([(2j i j i j i y y x x v b θθ--+-=

64))0()0(())0()0((2

2--+-=j i j i y y x x c

则两架飞机不碰撞的条件是042

<-ac b 。

习题三

1. 用Matlab 的非线性规划命令fmincon 求解飞行管理问题。

2. 用罚函数法求解飞行管理问题。

3. 某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40台，第二季末交60台，第三季末交80台。工厂的最大生产能力为每季100台，每

季的生产费用是2

2.050)(x x x f +=（元），此处x 为该季生产发动机的台数。若工厂生产的多，多余的发动机可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存贮费，每台发动机每季的存贮费为4元。问该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存货）。

2019年注册城市规划师考试城市规划原理真题及答共7页word资料

单选题： 1、城市的理解是最理想的聚居地？人类创造理想生活的场所 2、大都市区功能地域概念：法国都市国情调查区加拿大的国情调查大都市区英国的标准大都市劳动区和大都市经济劳动区澳大利亚的国情调查扩展城市区瑞典的劳动—市场区。 3、城镇发展应避免那个阶段：空间分异等阶段城市更新与再城市化 4、40个车位停车场最合理布局:C A 55×14 B 45×14 C 55×18 D 45×18 5、错误：城市规划的组织和实施有各地人民政府承担 34城市规划实施错误的：B个人房地产开发对规划产生负面影响 6、不是城市实施内容： A拟定规划设计条件 B产业优惠政策 C行政许可编制专项规划，以保证工程设计与具体建设行动开展 7、省域体系规划原则错误的：可持续发展和保护基本农田方针与国民经济计划和计划 8、城市总体规划的作用错误的：生产力布局的依据 9、社会调查不包括：城市居民收入政府及企事业单位基本情况 10、矿产城市不容易形成类型：星座型 11、城市职能定城市在一定地域内的经济、社会发展中发挥的作用和承担的分工是城市职能 12、中国古代城市形态形成原因错误的：龙山农耕社会赵国意识形态汉长安地形原因 13、错误的：总体规划应考虑居住区级配套设施

14、城市交通（规划？）作用：完善子系统等 15、城市公共停车场用地总面积按规划人口人均0.8-1.0平米 16、紫线定义： A保护范围线 B控制范围线 17、污水错误的： 18、不用在城市绿地系统中（?）:居住小区内绿地林地等 19、下面错误的（B） A、1929年南京“首都计划”采用功能分区 B、1929年南京“首都计划”采用方格网路网 C、1946年《大上海都市计划总图》采用有机疏散理论 D、1949年《大上海都市计划总图》代表近代中国城市规划的最高成就 20、城市“四线”不需要划定的：首末站（好象） 21、与全球化（？）正确的：担当管理/控制职能必须在大城市CBD 担当研究/开发职能，在……小城镇发展制造向第三国家转移，在（？）无法生存 22、不属于法律规划:村庄控规 23、预测城镇化水平关联最小的：综合增长率、农村剩余劳动力数量 24、交通战略方面的（忘了，请记的给回忆出来） 25、交通需求与关联最小的：城市人口结构 26、：防洪标准错误： A防洪标准与城市经济地位有关 B山洪比河洪标准高 C校核标准比设计标准高 D频率为0.5/百年，200年重现期 27、错误：地下空间各层次规划审批机关方面的内容 28、公共设施错误: 规模由城市人口决定可以有政府，团体和私人投资开发

线性规划模型及其举例

线性规划模型及其举例摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。一.背景介绍如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都

考虑如下线性规划问题

考虑如下线性规划问题： Min z=60 x+402x+803x 1 . 3 x+22x+3x≥2 1 4 x+2x+33x≥4 1 2 x+22x+23x≥3 1 x,2x,3x≥0 1 要求：（1）写出其对偶问题；（2）用对偶单纯形法求解原问题；（3）用单纯形法求解其对偶问题；（4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。解：(1)设对应于上述约束条件的对偶变量分别为 y,2y,3y；则 1 由原问题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为： Max Z’=2 y+42y+33y 1 3 y+42y+23y≤60 1 2 y+2y+23y≤40 1 y+32y+23y≤80 1 y,2y,3y≥0 1 (2)用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量 x,5x,6x） 4 MaxZ= -60 x-402x-803x+04x+05x+06x 1 -3 x-22x-3x+4x=-2 1 -4 x-2x-33x+5x=-4 1 -2 x-22x-23x+6x=-3 1

1x ,2x ,3x ≥0 建立此问题的初始单纯形表，可见：从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b 列数字为负，故需进行迭代运算。换出变量的确定，计算min （-2，-4，-3）=-4，故5x 为换出变量。换入变量的确定，计算得15,40，80/3,故1x 为换入变量。

由表可知，6x 为换出变量。2x 为换入变量。然后继续画单纯形表：可得4x 为换出变量，3x 为换入变量。继续做单纯形表：

所以此问题的最优解为X=（11/10,19/30，1/10），此对偶问题的最优解为Y=（16,12,30），原问题的最小值为118/3. （3）MaxZ ’=21y +42y +33y +04y +05y +06y 31y +42y +23y +4y =60 21y +2 y +23y +5y =40 1y +32y +23y +6y =80 1y ,2y ,3y ,4y ,5y ,6y ≥0 然后建立单纯形表，可得 i

城市规划实务

规划师——规划实务一、城镇体系规划——方案评析要点 1、是否符合国家、区域对本地区城镇发展的战略要求 2、是否从实际出发研究问题，城镇发展战略的依据是否充分，目标是否可行 3、城市化水平及各城镇的发展规模预测方法是否科学，结果是否合理 4、城镇布局是否与资源的合理配置及地区的发展战略有机结合。城镇的等级、职能的确定依据是否充分 5、区域性交通网络布局是否合理，与区域外的交通现状及规划有无衔接 6、区域性能源供应、水资源分配、防灾规划等基础设施规划是否能满足社会经济发展的需要 7、是否与更大范围及相邻区域的规划衔接，是否与生态环境保护规划、风景旅游规划、土地利用总体规划进行衔接 8、规划内容是否齐全，文字、图纸成果是否规范 ?方案评析一般着重于：规划构思、分析论证、功能划分、空间组织、环境景观、生态系统、地方特色、综合交通、重要基础设施、保障设施的可行性和可操作性等方面 ?实例评析要点 1、布局结构：是否合理，与自然地形地貌、自然资源、交通区位等的关系，中心城区的地位和作用是否发挥 2、产业结构（职能结构）：产业布局是否恰当，产业发展是否与市（县）情、自然条件相背 3、等级结构：中心镇选取是否过多，选取是否正确，位置是否恰当 4、区域交通：是否合理（路网过密还是过疏；环路有无必要；高速公路选线是否恰当；路网与城镇发展是否有机联系；有些公路是否必要、是否可行、是否经济） 5、市镇设施：布局是否合理（水厂、污水处理厂、变电站等）和自然条件是否相背 6、生态环境：主要是工业、港口和风景区、水体等生态保护区的关系，污水厂和水源的关系等 7、文字与图面是否一致，图纸是综合性还是单项内容规划

六种经典线性规划例题培训资料

六种经典线性规划例题

求线性目标函数的取值范围 x y [3,6] y 2 i O x=2 求可行域的面积 y y C 5 \ M O ) 13 x y x x O x y ) D y =2 x , 个 2 2 x + y -3 = 0s D 、无穷大 2 2 2 2 () y y y y 三、求可行域中整点个数 y x B A 2x + y =5 旦y =2 解：如图，作出可行域，△ OMBC 的面积减去梯 x L ' x + y =2 D 、( 3,5] ABC 的面积即为所求，由梯形 OMAC 的面积即可，选 B (x (x (xp 0 (xp 0 中整点(横纵坐标都是整数)有、14个 A 、[2,6] B 、[2,5] C 解：如图，作出可行域，作直线 l 向右上方平移，过点 A ( 2,0 2，过点B ( 2,2 )时，有最大值线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。例1、若x 、y 满足约束条件例3、满足|x| + |y| <2的点 A 、9 个 B 、10 个 C 、，则z=x+2y 的取值范围是 2 0,y 0) 0, y p 0) y 0) yp 0) 作出可行域如右图，是正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为 13个，选D () A 、 4 B 、 1 x 解：凶+ |y| <2等价于 y 6 y 3 0表示的平面区域的面积为 2 2x 例2、不等式组 x x+2y = 0，将时，有最小值 6，故选A

1不等式与线性规划-拔高难度-讲义

不等式与线性规划知识讲解一、不等式的定义 1.定义：用不等号（><≠，，≥，，…）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形． 3.不等式的性质 1）a b b a >?<（反身性或对称性） 2）a b >，b c a c >?>（传递性） 3）a b a c b c >?+>+ 4）,a b c d >>，则a c b d +>+． 5）a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 6）00a b c d >>>>，，则ac bd >． 7）0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ． 8）0a b >> ,1)n n +∈>N 二、不等式的解法 1.一元二次不等式的解集如下表

2.分式不等式的解法 1） () 0()()0()f x f x g x g x >??> 2） () 0()()0()f x f x g x g x ≥??≥且()0g x ≠ 3） ()()() (00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠?>?-> 3.无理不等式的解法 12()0 ()()0()[()] f x g x g x f x g x ?≥?>?≥??>?或()0 ()0f x g x ≥??时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+

2021年城市规划师考试《规划原理》第三章复习资料(整理

2010年城市规划师考试《规划原理》第三章复习资料第三章城市规划的任务、体系及与其他规划的关系本章结构内容精讲一、城市规划的地位、作用和任务大纲要求： 1、掌握城市规划的作用 2、掌握城市规划的主要任务（一）城市规划的地位和作用（掌握） 1、城市的功能和作用城市是国家或一定区域的政治、经济、文化中心，是物资文明和精神文明建设和发展的主要载体。城市是我国经济、政治、科学技术、文化教育的中心，是现代工业和工人阶级集中的地方，在社会主义现代化建设中起着主导作用。 2、城市规划的作用及基本任务作用： ①引导和控制整个城市建设和发展的基本依据和手段； ②城市建设和发展的龙头； ③重要的政府职能； ④城市规划具有高度的综合性、战略性、政策性和实施管理手段，在以下几方面发挥着日益突出的作用：优化城市土地和空间资源配置，合理调整城市布局，协调各

项建设，完善城市功能，有效提供公共服务，整合不同利益主体的关系，实现城市经济、社会的协调和可持续发展，维护城市整体和公共利益。基本任务：根据一定时期经济社会发展的目标和要求，确定城市性质、规模和发展方向，统筹安排各类用地和空间资源，综合部署各项建设，以实现经济和社会的可持续发展。 3、城市规划的地位 1978年，《中共中央关于加强城市建设工作的意见》——城市规划是一定时期内城市发展的计划，是城市各项建设工程设计和管理的依据； 1984年，《关于经济体制改革的决定》——城市政府应该集中力量做好城市的规划、建设和管理； 1996年，《关于加强城市规划工作的通知》——城市建设和发展，对建立社会主义市场经济体制，促进经济和社会协调发展关系重大，城市规划是指导城市合理发展，建设和管理城市的重要依据和手段；要求各级人民政府要切实发挥城市规划对城市土地及空间资源的调控作用，促进城市经济和社会的协调发展； 1999年，温家宝讲话——城乡规划和建设是社会主义现代化建设的一个重要组成部分。城乡规划是一项全局性，综合性，战略性很强的工作，涉及政治、经济、文化和社会生活等广泛领域。城乡规划是城乡建设和发展的蓝图，是管理城市和乡村建设的重要依据； 2000年，《关于加强和改进城乡规划工作的通知》——进一步明确新时期规划工作的重要地位：城乡规划是政府指导和调控城乡建设和发展的基本手段，是关系我国社会主义现代化建设事业全局的重要工作。（二）城市规划的主要任务（掌握） 1．城市规划的主要任务

线性规划讲义

简单的线性规划问题高考要求：能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。知识梳理： 1．线性规划的基本概念： (1)二元一次不等式组是一组对变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,所以又称为线性约束条件。 (2)by ax z +=),(R b a ∈是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做目标函数。由于 by ax z +=又是y x ,的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 (3)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数by ax z +=取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。 2．基本思想：数形结合高考热点：热点1：平面区域问题 1．设集合A ＝{),(y x |x ，y ，y x --1是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( ) 热点2：目标函数的最值问题 2．若变量y x ,满足不等式组?? ? ??≥+≥-≥+-0203052y x x y x ，求下列目标函数的最值：（1）y x z 2+= （2）y x z +=3 （3）y x z -=3 （4）1 1 ++=x y z （5）22)1()1(+++=y x z 小结：拓展延伸：（6）若),(y x M 为D 上的动点，点A 的坐标为)1,3(-，则z OM OA =? 的最大值为（7）已知向量)3,(z x +=，),2(z y -=，且b a ⊥，则z 的取值范围是（8）y x z 2+= （9）y x z 2+= （10）若y x ,在上述不等式组所表示的区域内变动，且t x y +=2，则实数t 的取值范围是热点3：已知最优解逆向求解参数值或范围 3．（2010. 浙江理7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥?? --≤??-+≥? 且x y +的最大值为9，则实数m =（）（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 变式1：若上述不等式组中1=m ，使目标函数y ax z +=取最大值的最优解有无穷多个时，a 的值为。若最优解只有一个时，a 的取值范围是。变式2：若原题中不等式组不变，且目标函数y mx z +=的最大值为9，则a 的值为。

城市规划原理讲义整理lj汇总版

城市规划原理精讲班第1讲课件讲义（环球职业教育在线）城市规划原理精讲班第1讲讲义相关信息前言一、相关信息 1．全国城市规划执业资格考试科目为：《城市规划原理》、《城市规划管理与法规》、《城市规划相关知识》、《城市规划实务》。 2．注册城市规划师执业资格考试时间安排《城市规划原理》考试时间两个半小时。考试题型分布如下： ①单项选择题：共70题。 ②多项选择题：共30题。注意：考试大纲对各考试科目分层次列出了具体的内容，分别用掌握、熟悉、了解来界定各条目的考试要求。“掌握”是指必须具备的重要知识，“熟悉”是指应当具备的较重要知识，“了解”是指一般知识。本门讲课中，考 P13 代表教材13页，二、答题注意事项（一）考前准备。首先是精神准备，注意劳逸结合，避免过度疲劳。身体健康、精力充沛是考试成功的必要条件。其次是物质准备，应该准备两只以上的2B铅笔和准许带入考场的计算器、橡皮等。铅笔要事先削好，铅笔头呈扁片状，以便于涂抹答题卡，计算器用于客观题中的计算题。（二）答题原则。单项选择中，最符合题意的选项指的是最正确最全面的选项，例如，若A、B两项都是正确的，但是B项的内容覆盖了A项的内容，则B项是最符合题意的最正确答案。（三）掌握速度。每科的考试时间是2.5个小时，应根据题量，事先有大体的答卷速度安排。如果遇到一时答不上来的题，可以暂时跳过，先答其他题目，等卷子基本上答完再回过头来重新考虑。切勿在个别题目上耽误过多的时间，影响整个考试。（四）减免差错。一是每题都要注意审题，弄清题意；二是注意填涂答题卡时不要错行，最好每隔五道题就核对一次题号；三是要注意在考卷发下来时首先填写姓名、考号等项，并且在交卷时再核对一次；四是在答题完毕后浏览全卷，检查是否有漏题未答。（五）答题技巧。考试中合理运用排除法，首先去掉与题目无关或明显错误的选项，然后在剩下的选项中分析作答。考题选项中有时存在两个矛盾选项，尤其在多选中，矛盾选项至少有一个是错误的。另外合理的猜测也是答题的技巧，因为答总比不答强，所以每个考题都应该作答，一定不要漏答或不答。还要会用单选的唯一性。如果四个选项中有三个与另一个属性不一样，那这一个就很可能是答案。三、复习注意事项 1．复习方法。第一步，通读全书，理清全书知识框架和脉络；第二步，抽取知识点重点记忆；第三步，查漏补缺。 2. 复习技巧。复习时要“避轻就重”，对于大纲要求掌握、熟悉的内容要重点把握；对于方便出题的内容要重点突破；对于前后矛盾的内容，一般考题不会涉及。

高考数学一轮复习第6章不等式第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义理(含解析).pdf

第 2 讲　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [考纲解读]　1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点) 2.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决．(难点) [考向预测]　从近三年高考情况来看,本讲是高考必考内容．预测2020 年的考查,主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数,同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现,属中档题型. 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 2．线性规划相关概念 3．重要结论 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点,特殊点常选原点；若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)

或(1,0)来验证． (2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0 或Ax＋By＋C<0,则有 ①当B(Ax＋By＋C)>0 时,区域为直线Ax＋By＋C＝0 的上方； ②当B(Ax＋By＋C)<0 时,区域为直线Ax＋By＋C＝0 的下方． (3)最优解和可行解的关系最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一,有时有多个． 4．利用线性规划求最值,用图解法求解的步骤 (1)作可行域； (2)将目标函数进行变形； (3)确定最优解； (4)求最值． 1．概念辨析 (1)不等式Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0 的上方．( ) (2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( ) (4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0 在y轴上的截距．( ) 参考答案　(1)×　(2)√　(3)√　 (4)× 2．小题热身 (1)不等式组Error!表示的平面区域是( )

2014年注册城市规划师真题和答案

2014年城市规划原理真题一、单项选择题(共80题，每题1分。每题的备选项中，只有一个最符合题意) 1．不属于全球或区域性经济中心城市基本特征的是（C）。 A．作为跨国公司总部或区域总部的集中地 B．具有完善的城市服务功能 C．是知识创新的基地和市场 D．具有雄厚的制造业基础 2．在快速城镇化阶段，影响城市发展的关键因素是（B）。 A．城市用地的快速扩展 B．人口向城市的有序集中 C．产业化进程 D．城市的基础设施建设 3．在国家统计局的指标体系中，（B）属于第三产业。 A．采掘业 B．物流业 C．建筑安装业 D．农产品加工业

4．在“核心—边缘”理论中，核心与边缘的关系是指（C）。A．城市与乡村的关系 B．城市与区域的关系 C．具有创新变革能力的核心区与周围区域的关系 D．中心城市与非中心城市的关系 5．城市与区域的良性关系取决于（C）。 A．城市规模的大小 B．城市与区域的二元状态 C．城市与区域的功能互补 D．城市在区域中的地位 6．与城市群、城市带的形成直接相关的因素是（D）。A．区域内城市的密度 B．中心城市的高首位度 C．区域的城乡结构 D．区域内资源利用的状态 7．（D）不是欧洲绝对君权时期的城市建设特征。 A．轴线放射的街道 B．宏伟壮观的宫殿花园 C．规整对称的公共广场 D．有机组合的城市形态 8．关于点轴理论与发展极理论，表述更准确的是（D）。

A．点轴理论与发展极理论是指导空间规划的核心理论 B．点轴理论强调空间沿着交通线以及枢纽性交通站集中发展C．发展极核通过极化与扩散机制实现区域的平衡增长 D．发展极理论的核心是主张中心城市与区域的不均衡发展和增长 9．关于我国古代城市的表述，不准确的是（C）。 A．唐长安城宫城的外围被皇城环绕 B．商都殷城以宫廷区为中心，其外围是若干居住聚落 C．曹魏邺城的北半部为贵族专用，只有南半部才有一般居住区D．我国古代城市的城墙是按防御要求修建的 10．下列城市中，在近代发展中受铁路影响最小的是（B）。A．蚌埠 B．九江 C．石家庄 D．郑州 11．最早比较完整地体现了功能分区思想的是（B）。 A．柯布西埃的“明天的城市” B．《马丘比丘宪章》 C．戈涅的“工业城市” D．马塔的“带形城市” 12．下列工作中，难以体现城市规划政策性的是（B）。 A．确定相邻建筑的间距

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第一章城市与城镇化一、城市的形成第一次劳动分工：农业与畜牧业的分工，农业从畜牧业分出第二次劳动分工：商业与手工业从农业中分离。以农业为主的就是农村，具有商业及手工业职能的就是城市。二、城镇化 1、城镇化的含义：农业人口和农用土地向非农也人口和城市农地转化的现象及过程。包括：人口职业的转变，产业结构的转变，土地及地域空间的变化 2、城镇化水平是指城镇化人口占总人口的比重。 3、城镇化分为起步，加速和稳定三个阶段起步阶段：生产水平尚低，城镇化的速度较慢，较长时期才能达到城市人口占总人口的30%左右。（高出生率，高死亡率，低自然增长率）加速阶段：当城镇化超过30%时，进入了快速提升阶段，经济实力明显增加，城镇化的速度加快，在不长的时期内，城市人口占总人口的60%或以上（高出生率，低死亡率，高自然增长率）稳定阶段：农业现代化的过程已基本完成，农村的剩余劳动力已基本上转化为城市人口，随着城市工业的发展和技术的进步，一部分工业人口又转向第三产业（低出生率，低死亡率，低自然增长率）第二章城市规划思想发展一、周礼考工记匠人营国，方九里，旁三门。国中九经九纬，经涂九轨。左祖右社，面朝后市，市朝一夫。二、各朝都城 1、秦：相天法地，强调方位，以天体星象坐标为依据，布局灵活具体。规模宏大。 2、汉长安：宫殿与市民居住生活区在空间上分隔，强调皇权，周礼制的规划思想理念得到全面的体现。 3、三国(邺城)：采用城市功能分区的布局方法，继承战国时期以宫城为中心的规划思想 4、唐（长安）：以宫城为中心，“官民不相参”和便于管制的指导思想。里坊制在唐长安进一步发展，布局符合周礼考工记。（唐长安由宇文恺负责制定规划） 5、宋：里坊制逐渐被废除，出现开放的街巷制度。三、西方古代城市规划思想 1、希波丹姆模式：古希腊城邦时期出现以方格网的道路系统为骨架，以城

线性规划在企业管理中的应用

线性规划在企业管理中的应用摘要：随着运筹学广泛应用，作为其一重要分支的线性规划在企业的生产管理中起到了极其重要的作用。本文分别对线性规划和企业管理简单介绍，然后着重讨论线性规划在现代企业生产管理中的应用，并应用几种常见的解法对所提出的问题加以解答，从而获得最优解或制定最佳方案等。关键词：线性规划企业管理数学建模线性求解 Linear Programming Be Used In Business Management Abstract：With the Operational Research has been widly used. As the major branch,The L inear Programming paly an important role in Business Management. This dissertation main introduce the L inear Programming and Business Management, then we will discuss the apply of L inear Programming in modem Business Managemen, and use some usual methods to solve this problems which we found and applied, so that we can gain the optimal solution or work out optimal schema. Keywords：Linear Programming，Business Managemen ，Mathematical Modelling，Deprecatory ，Apply 由于计算机技术的发展，许多利用运筹学处理的问题可在较短的时间内得出结果，线性规划作为运筹学的一重要分支，它的应用也日益广泛，如利用其数学方法，通过计算机软件应用于生产组织、几乎与管理中。线性规划所探讨的问题是在由所提出的问题的性质决定的一系列约束条件下，如何把有限的资源进行合理的分配，制定出最优实施方案。企业管理是对企业的生产经营活动进行组织、计划、指挥、监督和调节等一系列职能的总称。它运用各类策略与方法，对企业中的人、机器、原材料、方法、资产、信息、品牌、销售渠道等进行科学管理，从而实现组织目标的活动。在企业的各项活动中，如计划、生产、运输、技术等问题，为达到目的所采取的各种有效的方法手段，从各种限制条件的组合中，选择出最合理的计算方法，从而求得最佳结果。企业的最终目的是盈利，要获得较好的效益需要有足够的竞争力，竞争力来源于有效的管理，线性规划在企业管理中的应用对企业的管理起到了极其重要的作用。 1线性规划应用简介 1.1线性规划概念线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线

高中数学专题讲义-线性规划

【例1】设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ?+--+????≥≤≤≤≤，则OA OB ?u u u v u u u v 的最小值为（） A ．2 B ．2 C ．3 D ．22+ 【例2】已知变量,x y 满足120x y x y ????-? ≥≤≤，则x y +的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【例3】不等式组0,10, 3260x x y x y ??--??--?≥≥≤所表示的平面区域的面积等于．典例分析线性规划

【例4】设变量,x y满足约束条件 3 1 x y x y + ? ? -- ? ≥ ≥ ，则目标函数2 z y x =+的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 【例5】设变量,x y满足 0, 10 3260 y x y x y ? ? -- ? ?-- ? ≥ ≥ ≤ ，则该不等式组所表示的平面区域的面积等于，z x y =+的最大值为．【例6】目标函数2 z x y =+在约束条件 30 20 x y x y y +- ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≥ 下取得的最大值是________．【例7】下面四个点中，在平面区域 4 y x y x <+ ? ? >- ? 内的点是（） A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2) -D．(2,0) -

【例8】已知平面区域 1 ||1 (,)0,(,) 1 y x y x x y y M x y y x ?? + ? ?? -+ ? ?? ??? Ω== ?????? ? ?? ????? ? ?? ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（） A．1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【例9】若x，y满足约束条件 30 03 x y x y x + ? ? -+ ? ? ? ≥ ≥ ≤≤ ，则2 z x y =-的最大值为．【例10】已知不等式组 y x y x x a ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≤ ，表示的平面区域的面积为4，点() , P x y在所给平面区域内，则2 z x y =+的最大值为______．

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城市规划原理精讲班第1讲讲义前言前言一、相关信息 1．全国城市规划执业资格考试科目为：《城市规划原理》、《城市规划管理与法规》、《城市规划相关知识》、《城市规划实务》。 2．2007年度注册城市规划师执业资格考试时间安排日期时间科目 2007年10月20日上午9∶00-11∶30城市规划原理下午2∶00-4∶30城市规划相关知识 2007年10月21日上午9∶00-11∶30城市规划管理与法规下午2∶00-5∶00城市规划实务《城市规划原理》考试时间2个半小时。考试题型分布如下： ①单项选择题：共70题。 ②多项选择题：共30题。注意：考试大纲对各考试科目分层次列出了具体的内容，分别用掌握、熟悉、了解来界定各条目的考试要求。“掌握”是指必须具备的重要知识，“熟悉”是指应当具备的较重要知识，“了解”是指一般知识。本门讲课中，考 P13 代表教材13页，二、答题注意事项（一）考前准备。（二）答题原则。（三）掌握速度。（四）减免差错。（五）答题技巧。三、复习注意事项 1．复习方法。第一步，通读全书，理清全书知识框架和脉络；第二步，抽取知识点重点记忆；第三步，查漏补缺。 2．复习技巧。复习时要“避轻就重”，对于大纲要求掌握、熟悉的内容要重点把握；对于方便出题的内容要重点突破；对于前后矛盾的内容，一般考题不会涉及。城市的形成与发展规律第一章：城市与城市发展

本章结构内容精讲一、城市的形成与发展大纲要求 1、了解城市形成的主要动因 2、了解城市发展的基本规律（一）城市形成与发展的主要动因（了解）考 P1 1、定义：城市是以非农产业和非农业人口为主要特征的居民点，在我国是指按国家行政建制设立的市和镇。『例题』城市有哪些主要特征：（） A. 以商业活动为主要居民点 B. 非农业人口聚集的居民点 C. 非农业生产聚集的居民点 D. 公共活动聚集的居民点答案： BC 分析：这个题考查的知识点就是城市定义。这个题是对定义考查的题目，这是考试中比较偏爱的一种题型，对这类题目我们的策略是记住关键词，这样可以比较省时省力，还能记忆准确。 2、城市产生的动因：城市是人类文明史的重要组成部分，最早的城市是人类劳动大分工的产物。两次劳动大分工对于城市的产生具有较大的促进作用。第一次人类劳动大分工：即农业与畜牧业的分工，在原始社会产生了固定居民点。第二次人类劳动大分工：即商业和手工业从农牧业中分离出来，商业和手工业的聚集地就成为了城市人类历史上最早的城市出现在公元前3000年左右，是人类社会的第二次劳动大分工的产物，出现在从原始社会向奴隶社会的过渡时期。 3、城市发展的主要动因：人类社会的城市化进程是与工业化进程紧密相关的。工业化对于城市化的促进作用表现在两个方面：一是农村推动力二是城市的吸引力建立在工业化基础上的经济发展是城市形成的和发展的根本动因（二）城市发展的基本理论（了解）考 P2 主要包括：城市发展的区域理论、城市发展的经济学理论、城市发展的人文生态学理论、城市发展的交通通讯理论、城市发展与经济全球化理论、城市发展与经济结构转型（1）城市发展的区域理论城市是区域环境的一个核心；城市与区域发展是互相促动：城市的中心作用强，就能带动周

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~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ 一、城镇体系规划分析（一）流传原版试题（二）流传文字版试题（网友回忆）某县城，西部为丘陵山区，北部为风景名胜区，南部、东部均为平原。高速公路从西北穿越县城，顺着水源地（北江）直至东南方向仅靠县域的区域中心城市甲。县域共设置5个重点镇，10个一般镇，一般镇的人口、规模都均衡。重点镇A位于西部，山区中间，仅一条公路与外界连接，发展农副产品加工业；重点镇B位于西北部，有高速公路环绕，重点发展商贸和旅游，周边有2个一般镇，距离较近，B镇上方还建设了个水库2，临靠水源地；重点镇C位于北部，风景名胜区范围内，重点发展建材、旅游，风景名胜区旁边设置了个水库1；重点镇D位于南部，仅一条公路与县城联系，重点发展商贸；重点镇E在东部，紧靠高速公路和北江，临近区域中心城市甲，重点发展化工和物流。

2009年，城镇化率42%，规划2020年，总规划人口80万，城镇人口30万，还有重点镇镇域人口2.6万一个，一般镇0.9万人口一个。（三）参考答案（网友总结答案） 1、根据该县的地理区位及地理特征70%的城镇化率是不切实际的。 2、镇的规模都一样，太机械，应该结合实际区别对待。 3、各重点镇直接缺乏必要的交通联系。 4、部分道路翻越山体是没有必要的，造成不必要的浪费。 5、高速在甲市绕过了北江，增加基础投资，还没必要。 6、一般镇分布过于均匀，应结合地形，在东部自然条件好的位置适当多一点，不但交通方便，而且有利用接受大城市的辐射。 7、A交通不便，不适合做重点镇。C位于风景名胜区内，也不适合做重点镇。 8、A不适合做弄产品加工,丘陵地区的农产品产量不高，原料需要从外地运输，成本高，离中心城市远，市场成问题。 9、C在风景区内，不适合做建材，有污染，对景观也有影响，对下游城镇用地也有影响。 10、E离甲太近，且位于甲的上游，距离远远小于取水点的防护距离，有污染，不适合做化工。适合做农产品加工，就地取材，离大城市近销售方便。二、总体规划分析（一）流传原版试题（二）流传文字版试题（网友回忆）某镇区，北侧为水源涵养地和景区，城区中部有条过境公路，城区南北仅一条主干道，城区（过境公路北侧）西部为工业，临靠景区，东部为居住和商业等，布置了一个卫生院。城区（过境公路南侧）多为居住用地，并沿过境公路布置了长途车站，在县城的南端，有一所小学。该镇为传统的农业镇，现在准备发展电解铝等产业。一个垃圾填埋场位于景区和水源涵养地中间。试通过城镇规模、产业发展、布局、市政、道路分析问题。（三）参考答案（网友总结答案）

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