2014年文登高三一模数学(文科)
①
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.
4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{11}A x x =-<<，2{log 0}B x x =≤，则A B = A.{}|1x x -<<1 B.{}|01x x <<
C.{}|1x x -<≤1
D.{}|1x x -∞<≤
2.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n
人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人， 则n 等于 A.660
B.720
C.780
D.800
3.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A c C C b B += 则B ∠
A.6π
B.4
π
C.3
π
D.34π
4.如果执行右侧的程序框图，那么输 出的S 的值为
A.1740
B.1800
C.1860
D.1984
5.a 是函数12
()2log x
f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足
A.0()0f x =
B.0()0f x >
C.0()0f x <
D.0()f x 的值正负不定 6.已知三条直线,,a b c 和平面β，则下列推论中正确的是
A.若ββ//,,//a b b a 则?
B.若//a β，//b β，则//a b 或a 与b 相交
C.若b a c b c a //,,则⊥⊥
D.若,//,,a b a b ββ? 共面，则//a b 7.若不等式2
230x x a -+-<成立的一个充分条件是40< 则实数a 的取值范围应为 A. 11a ≥ B.11a > C.9a > D.9a ≥ 8.已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +≥??-≤??≤≤? ， ， ，若目标函数，z y ax =+仅在点(5,3)处取得最小值, 则实数a 的取值范围为 A.(,1)-∞- B.(0,)+∞ C.3(,)7 +∞ D. (1,)+∞ 9.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A. 192π B.π319 C.173π D.13 3 π 10.已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取最小值时，过P 点(,)x y 引圆C ：2215()()124 x y -++=的切线，则此切线长等于 A.1 D.2 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11.复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数 . 12.在[0,2]上任取两数,a b ，则函数2()f x x b =++有零点的概率为 ． 13.抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点(0,1)M 任作一直线交抛物线C 于 11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，且124x x ?=-，则抛物线C 的方程为 ． 14.若等边ABC ?的边长为1，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+ ，则 MA MB ?= . 15.若函数()f x 的图象如图所示， ()f x '是函数()f x 的导函数，且(1)y f x =+ 是奇函数，则下列结论中 ①(1)(1)0f x f x -++= ②'()(1)0f x x -≥ ③()(1)0f x x -≥ 正确的序号是 . 第9题图 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知(sin ,cos ),(cos ,cos )2222 x x x x m b a n ==- ，()f x m n a =?+ ，其中,,a b x R ∈.且 满足()2,(0)3 f f π '==(Ⅰ)求,a b 的值； (Ⅱ)若关于x 的方程13 ()log 0f x k -=在区间[0,]π上总有实数解，求实数k 的取值范围. 17．（本题满分12分） 各项均为正数的数列}{n a ,其前n 项和为n S ，满足 11 21n n n n a a a a ++-=（*N n ∈） ，且562S a +=. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式; （Ⅱ）若*N n ∈，令2 n n a b =， 设数列}{n b 的前n 项和为n T （*N n ∈），试比较 n n T T 412 1++与2的大小，写出推理过程. 18 (本小题满分12分) 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .试就方程组3 22 ax by x y +=?? +=? 解答下列问题： （Ⅰ）求方程组没有解的概率； （Ⅱ）求以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率. 19. （本小题满分12分） 如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD AF ==. (Ⅰ)求四棱锥E ABCD -的体积E ABCD V -； (Ⅱ)求证：平面AFC ⊥平面CBF ； (Ⅲ)在线段CF 上是否存在一点M ，使得//OM 平面ADF ,并说明理由． 20.(本小题满分13分) 已知直线:1l x my =+过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F ，抛物线 ： 2 x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ== .试判断12λλ+ 的值是否为定值，若是求出定值，不是说明理由. 21.(本小题满分14分） 已知函数2 1()(21)2ln (0)2 f x ax a x x a =-++>． (Ⅰ)若1 3a = ，求()f x 在[1,3]上的最大值； （Ⅱ）若1 2a ≠，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅲ）当1 12 a <<时，判断函数)(x f 在区间[1,2] 上有无零点？写出推理过程. 高三文科数学答案 2014.3 三．解答题 16解：由题意知2 ()s i n c o s c o s 2 22 x x x f x m n a b a a =?+=-+ (1c o s )s i n 22a b x x =-+由()23 f π = 得，8a =， ……………………………………3分 ∵()sin cos 22 a b f x x x '= + ，又(0)f '= b =，∴2a = ……… 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ) 得()1cos f x x x =-2sin()16 x π =-+ ……………… 7分 ∵[]0x π∈，，56 6 6 x π π π-≤- ≤ ， ∴12sin()26 x π -≤-≤，[]()03f x ∈，. ………… 9分 又∵ 13 ()log 0f x k -=有解，即3()log f x k =-有解， ∴33log 0k -≤≤，解得1127k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1 [,1]27 . …12分 17．解:（Ⅰ）由 11 21n n n n a a a a ++-=得，22 1120n n n n a a a a ++--=, 即11()(2)0n n n n a a a a +++-=………2分 又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以∴12+=n n a a 所以数列}{n a 是公比为2的等比数列. …………………………4分 由562S a += 得5511(12) 2212 a a -+=-,解得21=a . 故数列}{n a 的通项公式为*)(2N n a n n ∈=……………………………6分 （Ⅱ）因n n n n a b 4222===，即数列}{n b 是首项为4,公比是4的等比数列…7分 所以4(14)4(41)143n n n T -==--， 1 431)14(48441211-+=-+=+++n n n n n T T ……9分 ∴41n -随n 的增大而增大，所以min (41)3n -=， 所以3 1241 n + ≤- ……11分 所以对任意的*N n ∈均有 112 24n n T T ++≤ 总成立 ………………………12分 （说明：学生做差也可以） 18解：（Ⅰ）由题意知，总的样本空间有36组 ……1分 方法1：若方程没有解，则 12 a b =，即2b a = ……3分 （方法2：带入消元得(2)32b a y a -=-，因为320a -≠，所以当 2b a =时方程组无解） 所以符合条件的数组为(1,2),(2,4),(3,6)， ……4分 所以313612p = =，故方程组没有解的概率为1 12 ……5分 （Ⅱ）由方程组322ax by x y +=??+=?得260 2320 2b x b a a y b a -? =>??-?-?= ……6分 若2b a >，则有3 32 b a >?? ?>?? 即2,3,4,5,6,4,5,6a b ==符合条件的数组有 (2,5),(2,6)共有2个 ……8分 若2b a <，则有332 b a ? ∴所以概率为121 3612 p += = ， 即以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率为 1 12 . ……12分 19. （本题满分12分） 解：(Ⅰ) AB 为圆O 的直径，点F 在圆O 上，BF AF ⊥∴ 且2,160AB AF OAF ==∴∠=?……………1分 作FG AB ⊥交AB 于一点G , 则1sin 60FG =?= ……………2分 平面⊥ABCD 平面ABEF FG ∴⊥面ABCD ,所以FG 是G 到AB 的距离， 11//,213323 E ABCD F ABCD ABCD EF AB V V F G S --∴==??=??= ……4分 (Ⅱ) 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，…5分 ?AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,……… 6分 又,AF BF BF BC B ⊥= ， ⊥∴AF 平面CBF .……… 7分 AF ? 面AFC ,∴平面AFC ⊥平面CBF ；……… 8分 （Ⅲ）取CF 中点记作M ,设DF 的中点为N ，连接AN ,MN 则MN //CD 21，又AO //CD 2 1 ，则MN //AO ， 所以MNAO 为平行四边形， ……… 10分 //OM ∴AN ，又?AN 平面DAF ，?OM 平面DAF ， //OM ∴平面DAF . 所以在线段CF 上存在中点M ，使得//OM 平面ADF ．……… 12分 20解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点),0,1(F ∴1=c ， 抛物线2x =的焦点坐标( ………1分 22b b ∴== 2223a b c ∴=+= ……………3分 ∴椭圆C 的方程22 132 x y + =. ……………4分 ∵ 2122121211423234y y m m m y y y y m ??+-++==?= ?+-?? ……………10分 ∴12121111 223m m y y m λλ??+=-- +=--?=- ??? …………12分 所以，当m 变化时， 12λλ+的值是定值，定值为3-.……………13分 21解：(Ⅰ)当13a = ，215 ()2ln (0)63 f x x x x x =-+>， /52(2)(3) ()333x x x f x x x --=-+= …………………1分 当[1,2]x ∈时()0f x '≥，()f x 在[1,2]是增函数，当[2,3]x ∈时()0f x '≤，()f x 在[2,3]是减函数，∴()f x 的最大值为8 (2)2ln 23 f =-+.…………………3分