第九章解析几何9.2两直线的位置关系

§9.2两直线的位置关系

考纲展示?

1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．

2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

考点1 两条直线的位置关系

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?________；

②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为________．

(2)两条直线垂直

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?________；

②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为________．

答案：(1)①k1＝k2②平行(2)①k1k2＝－1 ②垂直

2．两条直线的交点

答案：唯一解无解无穷多解

(1)[教材习题改编]若直线l过点(－1,2)，且与直线y＝x垂直，则直线l的方程是________．

答案：x＋y－1＝0

解析：由条件知，直线l的斜率k＝－1，则其方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.

(2)[教材习题改编]过点A (4，a )和B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________.

答案： 2

解析：依题意有b －a

5－4

＝1，即b －a ＝1，则|AB |＝

b －a

2

＋－

2

＝ 2.

两直线位置关系的重点：平行和垂直．

(1)若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________. 答案：－2

3

解析：若l 1

∥l 2

，则需满足 ?????

－2

m

＝3，

1

m ≠1，

得 ?????

m ＝－23，m ≠1，

所以m 的值是－23

.

(2)[2016·辽宁锦州模拟]若直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝________.

答案：－3或1

解析：由k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0，得k ＝1或k ＝－3.

[典题1] (1)[2017·重庆巴蜀中学模拟]若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )

A ．1

B ．－13

C ．－2

3 D ．－2

[答案] D

[解析] 由a ·1＋2·1＝0，得a ＝－2，故选D.

(2)[2017·浙江金华十校模拟]“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 [答案] B

[解析] 由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行，得a 2

＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．

(3)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0

[答案] A

[解析] 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.

(4)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．

[答案] 4x ＋3y －6＝0 [解析] 解法一：由方程组???

?

?

x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，

得???

??

x ＝0，y ＝2，

即P (0,2)．

∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k ＝－4

3，

∴直线l 的方程为y －2＝－4

3x ，

即4x ＋3y －6＝0.

解法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，

∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，

∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，

∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. [点石成金] 1.由一般式确定两直线位置关系的方法

在判断两直线位置关系时，比例式1A 2与1B 2，1C 2

的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．

2．两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．

3．常见的三大直线系方程

(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是

Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．

(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是

Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．

(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋

C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.

考点2 距离公式的应用

三种距离

|P 1P 2|＝

x 2－x 12

＋y 2－y 1

2

距离问题中的易错点：平行线间的距离．

两平行直线3x －4y －1＝0与6x －8y ＋18＝0间的距离是________． 答案：2

解析：两平行直线的方程分别是3x －4y －1＝0和3x －4y ＋9＝0， 由两平行线间的距离公式得， 所求距离d ＝

|－1－9|32

＋－

2

＝2.

两平行直线l 1，l 2分别过点A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2间的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为________．

答案：y ＝0与y ＝5或5x －12y －5＝0与5x －12y ＋60＝0 解析：依题意，两条直线的斜率必存在．

设所求直线方程为l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝kx ＋5. ∵两条平行直线间的距离为5， ∴|5＋k |1＋k

2

＝5，

解得k ＝0或k ＝5

12

，

∴所求直线方程为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.

[典题2] 直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．

[解] 当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，

点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意， 故直线l 的斜率必存在，设为k ， ∵直线l 过点P (2，－5)，

∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.

∴点A (3，－2)到直线l 的距离

d 1＝

|3k －－

－2k －5|k 2＋1＝|k －3|

k 2＋1

，

点B (－1,6)到直线l 的距离

d 2＝

|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|

k 2＋1

.

∵d 1∶d 2＝1∶2，∴

|k －3||3k ＋11|＝1

2

，

∴k 2

＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17. ∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0. [点石成金] 利用距离公式应注意：

(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.

1.[2017·四川绵阳一诊]若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )

A.95

B.185

C.2910

D.295 答案：C

解析：因为36＝48≠－125

，所以两直线平行，

由题意可知，|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即

|－24－5|62＋8

2

＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 2．直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．

答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1

解析：解法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则它的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.

由题意知，|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|

k 2＋1，

即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－1

3，

∴直线l 的方程为y －2＝－1

3(x ＋1)，

即x ＋3y －5＝0.

当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 综上知，所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.

解法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－1

3

，

直线l 的方程为y －2＝－1

3(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.

当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.

故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.

考点3 对称问题

[考情聚焦] 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 主要有以下几个命题角度： 角度一

点关于点的中心对称问题

[典题3] 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．

[答案] x ＋4y －4＝0

[解析] 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，

则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二

点关于直线的对称问题

[典题4] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．

[答案] ? ??

??－3313，413 [解析] 设A ′(x ，y )，由已知得

?????

y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，

解得?????

x ＝－33

13，y ＝4

13，

故A ′? ??

??－3313，413.

角度三

直线关于直线的对称问题

[典题5] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线

m ′的方程．

[解] 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，

则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则

?????

2×? ????a ＋22－3×? ????b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得?????

a ＝613，

b ＝30

13，

∴M ′? ??

??613，3013.

设直线m 与直线l 的交点为N ，则

由?

??

??

2x －3y ＋1＝0，

3x －2y －6＝0，得N (4,3)．

又∵m ′经过点N (4,3)，

∴由两点式，得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用

[典题6] 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．

[答案] 43

[解析] 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ? ??

??43，43， 设AP ＝x ，则P (x,0)，x ∈(0,4)，

由光的反射定理知，点P 关于直线BC ，AC 的对称点P 1(4,4－x )，P 2(－x,0)，与△ABC 的

重心D ? ??

??43，43共线， 所以43

43

＋x ＝

43

－－x 43

－4，

解得x ＝43，AP ＝4

3

.

[点石成金] 1.点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足???

??

x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .

2．解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．

3．若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线

l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上．

4．解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解

.

[方法技巧] 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2?k 1＝k 2；l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1.

2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法

与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2

＋B 2

≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.

3．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 2

1＋B 2

1≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2

2＋B 2

2≠0)，则： (1)l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0；

(2)l 1∥l 2?A 1A 2＝B 1B 2≠C 1

C 2

(A 2B 2C 2≠0)； (3)l 1与l 2相交?A 1A 2≠B 1B 2

(A 2B 2≠0)； (4)l 1与l 2重合?A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2

(A 2B 2C 2≠0)．

4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．

[易错防范] 1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．

2．运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2

|

A

2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为对

应相等．

真题演练集训

1．[2016·四川卷]设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝???

?

?

－ln x ，01

图象上点P 1，

P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的

取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(0,2)

C ．(0，＋∞)

D ．(1，＋∞)

答案：A

解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)， 由于l 1⊥l 2，所以1x 1×? ??

??－1x 2＝－1，则x 1＝1

x 2

.

又切线l 1：y －ln x 1＝1

x 1

(x －x 1)，

l 2：y ＋ln x 2＝－1

x 2

(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.

联立?????

y －ln x 1

＝1

x 1

x －x 1

，y ＋ln x 2

＝－1

x

2

x －x 2

，

解得x P ＝

2x 1＋

1

x 1

.

所以S △PAB ＝12×2×x P ＝2

x 1＋

1

x 1

，

因为x 1>1，所以x 1＋1

x 1

>2，

所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.

2．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )

A. (0,1)

B. ? ??

??1－

22，12 C. ? ??

??1－

22，13 D. ????

??13，12 答案：B

解析：如图①所示，点F ? ??

??－b a

，0在线段AB 上时，

可求得E ?

??

?

?1－b a ＋1，a ＋b a ＋1， 则S △EFB ＝12? ????1＋b a ·a ＋b a ＋1＝12S △ABC ＝1

2，

整理得a ＝b 2

1－2b

， 由?????

－1≤－b

a <0，a ＝b

2

1－2b >0，

可解得13≤b <12

；

①②

如图②所示，当点F ? ??

??－b

a

，0在点A 左侧时，可求得E ?

????1－b a ＋1，a ＋b a ＋1，G ? ??

??

1－b a －1，a －b a －1， 则S 四边形ABEG ＝S △BEF －S △AFG ＝12? ????1＋b a ·a ＋b a ＋1－12? ????－1＋b a ·a －b a －1＝12S △ABC ＝1

2

，

整理可得a 2

＝－2b 2

＋4b －1，

由?????

－b a <－1，

a 2＝－2

b 2＋4b －1>0，

可解得1－

22

2

(舍去)． 综上可得，b 的取值范围为? ?

?

??

1－

22，12，故选B. 3．[2014·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2

＋b x

(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．

答案：－3

解析：由曲线y ＝ax 2

＋b x

过点P (2，－5)可得 －5＝4a ＋b

2.①

又y ′＝2ax －b x

2，

所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－7

2

.②

由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.

4．[2014·四川卷]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．

答案：5

解析：∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．

当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；

当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，

∴△APB 为直角三角形， ∴|PA |2

＋|PB |2

＝|AB |2

＝10，

∴|PA |·|PB |≤|PA |2

＋|PB |2

2＝10

2

＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．

课外拓展阅读

直线过定点及直线的距离最值问题

专题一 直线过定点问题

直线l 的方程中除去x ，y 还有其他字母(称为参数)，若直线l 过一个定点P ，求定点P 的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P 的坐标．

[典例1] 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，求过两点Q 1(a 1，

b 1)，Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程．

[思路分析] 由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程． [解] 因为点P (2,3)在已知直线上， 所以2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0， 所以2(a 1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0， 即

b 1－b 2a 1－a 2＝－2

3

， 所以所求直线方程为y －b 1＝－2

3(x －a 1)．

所以2x ＋3y －(2a 1＋3b 1)＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.

[典例2] 点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________． [思路分析]

[解析] 解法一：点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的距离d ＝|2m －1－3|m 2＋1＝|2m －4|

m 2＋1，

则设f (m )＝d 2

＝

m －

2

m 2＋1

＝4×m 2－4m ＋4m 2＋1

＝4? ??

??1＋3－4m m 2＋1， 下面求3－4m m 2＋1(m ∈R )的最大值．

设3－4m ＝t ，则m ＝3－t

4.

当m <3

4时，t >0，

则

3－4m m 2

＋1＝t ? ????3－t 42＋1＝16t t 2＋25－6t ＝16

t ＋25

t －6 ≤

16225－6

＝4，

当且仅当t ＝25

t

，即t ＝5时等号成立；

当m ＝34时，3－4m m 2＋1

＝0；

当m >34时，t <0，则0>3－4m m 2＋1＝t ? ????3－t 42

＋1

＝

16t

t 2

＋25－6t

＝

16t ＋25t

－6

≥16

－225－6＝－1， 当且仅当t ＝25

t

，即t ＝－5时等号成立．

综上可得，3－4m

m 2＋1

(m ∈R )的最大值为4，

所以点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是＋＝2 5.

解法二：对于直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )， 令m ＝0，则有－y －3＝0； 令m ＝1，则有x －y －3＝0，

解方程组?

??

??

－y －3＝0，

x －y －3＝0，得?

??

??

x ＝0，

y ＝－3，

则直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．

由原题答图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值，此时|PQ |＝－

2

＋＋

2

＝25，

所以点P (2,1)到直线l 的最大距离是2 5. [答案] 2 5 方法探究

受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴．

专题二 有关直线的距离最值问题

[典例3] 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小；

(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大． [思路分析]

[解] (1)设A 关于直线l 的对称点A ′(m ，n )，

则?????

n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋0

2

＋8＝0，解得?

??

??

m ＝－2，

n ＝8，

故A ′(－2,8)．

P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，

当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |， 则点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点，

解?

??

??

x ＝－2，

x －2y ＋8＝0，得?

??

??

x ＝－2，

y ＝3，

故所求的点P 的坐标为(－2,3)．

(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |， 当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |， 则点P 就是直线AB 与直线l 的交点， 又直线AB 的方程为y ＝x －2，

解?

??

??

y ＝x －2，

x －2y ＋8＝0，得?

??

??

x ＝12，

y ＝10，

故所求的点P 的坐标为(12,10)．

[典例4] 已知点A (3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上各找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．

[思路分析]

[解] 由点A (3,1)及直线y ＝x ，可求得点A 关于y ＝x 的对称点为点B (1,3)，同样可求

得点A 关于y ＝0的对称点为点C (3，－1)，如图所示．

则|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，

当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，△AMN 的周长最短，为|BC |＝2 5. 由B (1,3)，C (3，－1)可得，直线BC 的方程为2x ＋y －5＝0.

由?????

2x ＋y －5＝0，y ＝x ，

得?????

x ＝5

3，y ＝5

3，

故点M 的坐标为? ??

??53，53.

对于2x ＋y －5＝0，令y ＝0，得x ＝5

2

，

故点N 的坐标为? ??

??52，0. 故在直线y ＝x 上找一点M ? ????53，53，在y ＝0上找一点N ? ??

??52，0，可使△AMN 的周长最短，最短周长为2 5.

领悟整合

在直线l 上找一点P 到两定点A ，B 的距离之和最小，则点P 必在线段AB ′上，故将l 同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P 到两定点A ，B 的距离之差最大，则点P 必在AB ′的延长线或BA ′的延长线上，故将l 异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A ′，B ′为点A ，B 关于l 的对称点)．

两条直线的位置关系教案

课题：7.3两条直线的位置关系（二）垂直 教学目的： 1．熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的条件王新敞 教学难点：两直线的垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1、在平面几何中，两条直线垂直垂直的判定定理与性质定理是怎么描述的？ 2、问题：在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线垂直？ 二、讲解新课： 问题：如果两条直线的斜率分别是 1 k和 2 k，则这两条直线垂直时斜率之间有怎样的关系？ 用倾斜角的关系推导：如果 2 1 l l⊥，这时 2 1 α α≠，否则两直线平行王新敞设2 1 α α>，甲图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上方；乙图的特征是 1 l与 2 l的交 点在x轴下方；丙图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有2 1 90α α+ =．因为 1 l和 2 l的斜率为 1 k和 2 k，即0 1 90 ≠ α，所以0 2 ≠ α王新敞 2 2 1tan 1 ) 90 tan( tan α α α- = + =，即 2 1 1 k k- =或1 2 1 - = k k王新敞

反过来，如果2 11 k k - =或121-=k k ?20190αα+=?21l l ⊥． 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 21l l ⊥?2 11 k k - =?121-=k k 王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 特殊情况下的两直线垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 三、例题讲解： 例1 判断下列两直线是否垂直，并说明理由： （1）121 :42,:5;4 l y x l y x =+=- + （2）1:536,:355;l x y l x y +=-= （3）12:5,:8.l y l x == 例2 求过点A （3，2）且垂直于直线4580x y +-=的直线方程 例3 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值． 解 ： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直 ∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a 王新敞

空间直线与直线的位置关系(教学案)

青岛市中等职业学校信息化教学设计比赛 教学案 参赛人: 王立广 参赛单位: 青岛幼儿师范学校

课题：10.2空间两条直线的位置关系 学习目标： 1、知识与技能 （1）理解空间两条直线的位置关系。 （2）会用平面衬托来画异面直线。 （3）掌握并会应用平行公理。 （4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 在直线的位置关系的判断过程中，掌握借助平面判断空间两条直线的位置关系的方法； 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 学习重点：异面直线的判断； 学习难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）、手工制作模型 一、课前导学 平面内两条直线的位置关系有：、。其中相交直线有 个公共点；平行直线公共点。 【问题引导】在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交，不平行的两直线一定相交，在空间内任意两条直线这个结论是否还成立？ 【实例观察】观察下列两个图形，螺母与十字路口----立交桥，AB, CD所在直线平行吗？相交吗？） 二、新课导学A B D

1.异面直线的定义: 我们把 叫做异面直线。 【问题引导】你认为异面直线的定义中，关键字有哪些？为什么？ 2.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分?? ???? ?????? 不同在任何平面内 在同一平面内 按公共点个数分?? ? ? ?? ??????没有公共点有一个公共点 【合作探究】 1.在正方体ABCD －EFGH 中，和AE 相交、平行、异面的直线分别有哪些？ （学生快速对照模型寻找答案，然后收起模型，看图回答。） 2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对? （学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合 作讨论，找出异面直线。教师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 【问题引导】你是怎么判断直线的位置关系的？怎么判断两直线是否是异面直线的？ 3．异面直线的判断 经过 一点和 一点的直线，和 的直线是异面直线。 【问题引导】异面直线的判断需要平面的辅助，怎么寻找辅助的平面呢？ 4.异面直线的画法 说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托。下列三 A D C B E G H C

空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不

是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理

两条直线的位置关系说课稿

《两条直线的位置关系》说课稿 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础王新敞 “两条直线的位置关系”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线垂直在生活中应用事例非常多，在诸多求解角度、面积、长度等方面都要用到两直线的垂直关系，因此，找到两条直线垂直的充要条件，尤其是两直线垂直与方程中系数的关系成为急需解决的问题。另外，学生已经具备直线的有关知识（如垂直定义、向量垂直、方向向量、法向量、直线方程等），这样探索两直线垂直的充要条件成为可能，通过探索两直线垂直的充要条件，可以培养学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标分析 我确定教学目标的依据有以下三条： （1）教学大纲、考试大纲的要求 （2）新教材的特点

（3）所教学生的实际情况 教学目标包括：知识、能力、情感等方面的内容． “两条直线的位置关系”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生的情况，我把本节课的教学目标确定为： 1．熟练掌握两条直线垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．能够根据两条直线的位置关系求直线的方程 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的充要条件 教学难点：两直线垂直问题的转化与两直线的系数关系 二、关于教学方法和教学用具的说明 1、教学方法的选择 （1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”． （2）教学方法：观察---探索——归纳---应用 本节课的任务主要是两条直线垂直的充要条件及应用．我选

两条直线的位置关系

2.1两条直线的位置关系（第2课时） 一、教学目标： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生 的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 二、教学过程 1、创设情境引入新课 观察生活中的图片，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 设计意图：数学来源于生活，从生活中的图形中抽象出几何图形。在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.激发学生的学习兴趣。 2、总结归纳讲授新知 定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 说明：两条线段垂直是指它们所在的直线垂直。 表示：通常用“⊥”表示两直线垂直。直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD； 直线l 与直线m垂直，记作l⊥m．其中，点O是垂足． 设计意图：强调知识内容的准确性，加深对概念的理解。 3、动手实践探究新知 动手画一画1：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？小组交流，相互点评。 1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？

两条直线位置关系判断方法

两条直线的位置关系判断 方法 设平面上两条直线的方程分别为1 1 1 1 2 2 2 2 :0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为112 2 ,a b D a b =112 2 ,x c b D c b -= -112 2 y a c D a c -= - 1 l 和相交?0D ≠ 1 221b a b a ≠? 1 l 和2 l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 1 l 和重合?0===x y D D D 二．比值法 1 l 和相交2 12 1 b b a a ≠ ()0b ,a 2 2≠； 1 l 和垂直?0b a b a 2 21 1=+； 1 l 和平行2 1 212 1 c c b b a a ≠= () 0c ,b ,a 222≠； 1 l 和重合2 1 212 1 c c b b a a == ()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法

1 1 1 2 2 2 :y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交2 1k k ≠ ； 1 2 l l ?与平行2 121 b b k k ≠=， 12l l ?与重合2 121b b k k ==，； 12l l ?与垂直-1 .=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；

两条直线的位置关系及其判定

两条直线的位置关系及其判定教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 页 1 第 本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂

直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的 应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和 的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则+ = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 页 2 第

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系 知识点一空间两条直线的位置关系 1．异面直线 ⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线。 ⑵特点：既不相交，也不平行。 ⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此， 异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性。 ②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”。 ③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两 个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线． 2．空间两条直线的位置关系 ⑴相交——在同一平面内，有且只有一个公共点； ⑵平行——在同一平面内，没有公共点； ⑶异面——不同在任何个平面内，没有公共点． 例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案：③④ 例2、异面直线是指____． ①空间中两条不相交的直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线． 变式1、一个正方体中共有对异面直线．

变式1、如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四 边形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形 EFGH 的形状还是平行四边形吗？ 知识点三 异面直线 1、 异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，常常需要以辅助平面 作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能 画成(2)的图形。 画平面衬托时，通常画成下图中的情形。 2、异面直线的判定 ⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直 线是异面直线． ⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有： ①定义法：不同在任一平面内的两条直线． ②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面 直线． ③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线． ④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与 结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已 被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结 论，即命题的结论成立， 3、异面直线所成的角 a 与 b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a′∥a ，b ′//b ，直线a′和b ′所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．如下图所示． A B D E F G H A B C D E F G H 折

(教案1)2.1两条直线的位置关系

2.1两条直线的位置关系 主备人：祁梅华 教学目标 (一)教学知识点 1.余角、补角及对顶角的定义. 2.余角、补角及对顶角的性质. (二)能力训练要求 1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力. 2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题. (三)情感与价值观要求 通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念. 教学重点、难点 1.互为余角、互为补角的定义及其性质. 2.对顶角的定义及性质. 3、互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解. 教学过程 一、学 1、创设现实情景，引入新课 ［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？ ［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线. 下面大家来看几幅图片：(出示投影片：桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片) 你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？ (同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线) ［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线. 在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案. 相信大家，一定会学得很好. 2、自主探究。 我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋.如图所示(电脑显示上图).此时：∠1=∠2. 让我们来看看模拟实例(电脑演示：用白球撞击红球，红球反弹后入袋) 下面我们来看红球滑过的痕迹(电脑演示；让学生了解：数学源于实际). 我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图： 图2－1 其中：CD与EF垂直，各个角与∠1有什么关系？ 大家来分组讨论一下.

两条直线位置关系判断方法

两条直线的位置关系判断方法 设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为1 122,a b D a b = 和相交?0D ≠1221b a b a ≠? 1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 和重合?0 ===x y D D D 二．比值法 和相交()0b ,a 22≠； 和垂直?0b a b a 2211=+； 和平行()0c ,b ,a 222≠； 和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠； 2121b b k k ≠=， 2121b b k k ==，； -1.=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不 为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ?2 121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ?21212 1c c b b a a ≠=1l 2l ?2 12121c c b b a a ==12l l ?与平行12l l ?与重合12l l ?与垂直

1_两条直线的位置关系_课时2_教案

第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时） 课时安排说明: 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。

2.1两条直线的位置关系(二)教学设计

第二章相交线与平行线 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等 活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三， 学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”

2.1两条直线的位置关系(二)导学案

第二章 相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时） 导预习 1. 垂直 2. 点与直线的位置关系 导课堂 第一步：情境创设 问题：1.观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 2．你还能提出哪些问题？. 第二步：目标展示 知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 第三步：合作探究 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular ），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通 b c a

常用“⊥”表示两直线垂直。 动手画一画1： 工具1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 说出你的画法和理由. 工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。 归纳结论： 1. 点A和直线m的位置关系有 两种：点A可能在直线m上， 也可能在直线m外。 2.平面内，过一点有且只有 ．．．．一 条直线与已知直线垂直。 2.1—1 2.1—2 你能画出两条互相垂直的直线吗？ 你有哪些方法？小组交流，相互点评 用自己的语言描述你的画法。 图2.1-3 A A m

两条直线的位置关系习题

两条直线的位置关系（1）习题 一、选择题 1、下列说法中，正确的个数是（ ） ①在同一个平面内不相交的两条线段必平行 ②在同一个平面内不相交的两条直线必平行 ③在同一个平面内不平行的两条线段必相交 ④在同一个平面内不平行的两条直线必相交 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 3下列说法正确的是（ ） A 、一个角的补角一定比这个角大 B 、锐角大于它的余角 C 、两个角都与一个角互余，则这两个角一定相等 D 、互为余角、互为补角的关系必须在同一个图形中 4、已知∠A = 40°，则∠A 的余角的补角是（ ） A 、50° B 、150° C 、40° D 、130° 5、如果∠1 + ∠2 = 90°，∠2+ ∠3= 90°，则 （ ） A 、 ∠1 =∠2 B 、 ∠1 = ∠3 C 、 ∠2 =∠3 D 、 ∠1 = ∠2 = ∠3 6、∠1与∠2互补且相等， ∠3与∠2是对顶角，则∠3的一半是（ ） A 、45° B 、80° C 、75° D 、30° 7、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为（ ） A 、40° B 、50° C 、65° D 、75° 8、若∠α+ ∠β = 90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是（ ） A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、不确定 9、三条线相交于一点，所成的小于平角的对顶角有（ ） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 2 A 2 B 2 D 2 C

10、∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3=75°，则∠1的度数是（） A、75° B、105° C、90° D、75°或105° 二、填空题 11、∠1与∠2是对顶角，∠1=38°，则∠1= ； 12、右图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量 角器可以量出这个扇形零件的圆心角是度，你的 根据是； 13、如图1，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE 拼成的，则图中与∠A相等的角有个，分别是； ∠1与∠A关系是；∠2与∠1的关系是； 14、∠α=25°，则∠α的余角= ；∠α的补角= ； 15、已知：∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= ； 16、互为补角的两个角的度数之比为2:7，则这两个角分别是= ； 17、已知∠α的补角是∠α的4倍，则∠α=； 三、解答题： 16、如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数． 17、直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD=100°，∠1=30°，求∠2的度数．

最新2.1两条直线的位置关系说课稿

2.1两条直线的位置关系说课稿 今天我说课的内容是北师版新教材七年级下册第二章第一节《两条直线的位置关系》。下面，我将重点从课标，教材分析，教学建议这三个方面对本节课加以说明。 一、说课标 数学课程目标分为知识与技能、解决问题、数学思考、情感与态度四个维度，新课标指出，有效的数学学习不能单纯的依赖模仿与记忆，动手操作、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。这节课我们的学习目标如下： 1、结合具体情景了解同一平面内两条直线的两种位置关系，能正确判断相交和平行，知道对顶角，余角和补交的概念和运用。 2、结合具体情景体会数学与日常生活的联系。 3、在探索活动中，培养学生的观察、操作、想象等能力，发展初步的空间观念。 教学的重点是让学生理解掌握对顶角、余角、补交的运用。 二、说教材 新数学课程标准将“空间与图形”安排为一个重要的学习领域，强调发展学生的空间观念和空间想象能力。“两条直线的位置关系”就属于“空间与图形”这一领域的内容，它是学生在认识了直线和角等概念的基础上进行教学的，教材通过具体的生活情境，让学生充分感知同一平面内两条直线的两种位置关系。正确认识相交、平行、对顶角、余角、补交等概念是学生今后学习三角形、平行四边形等几何知识的基础。同时，它也为培养学生的空间观念提供了一个很好的载体。 1、引导学生通过观察、讨论、感知生活中的相交与平行的现象。 2、帮助学生初步理解相交与平行、对顶角、余角、补交知识。 3、培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探究的学习意识。 三、说教法和学法的建议 课堂教学首先是情感成长的过程，然后才是知识成长的过程，学生的学习过程是一

两条直线的位置关系及其判定

教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析 重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导.

本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角 ①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则 + = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 当到的角为锐角时，则和的夹角也是 ;当到的角为钝角时，则和的夹角也是 . ②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出. 再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式

两条直线的位置关系教案(七年级下册)

2.1 两条直线的位置关系 教学分析 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系）

空间直线与直线的位置关系(教案).

课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔 教材版本：新课标：人教版A版《数学必修2》 设计思想： 空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析： 直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。 教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体） 教学模式 问题——自主、合作——探究

北师大版初一数学下册2.1两条直线的位置关系

《两条直线的位置关系》教学设计 教学目标 一、知识与技能 1在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义； 2.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线； 二、过程与方法 1. 经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和 有条理表达的能力； 2. 善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识； 三、情感态度和价值观 1. 激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题； 2. 在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性；教学重点 对顶角、余角、补角、垂直的定义及其性质； 教学难点 性质的应用； 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入

观察下面几幅生活中的图片

问题 2:针对这三幅图，你还能提出哪些问题？ 数学来源于生活，通过引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平 面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备 二、新课 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图2-1，直线AB与CD相交于点0,那么/ 1与/ 2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？与同伴交流? 直线AB与CD相交于点0,/ 1与/ 2有公共顶点0,它们的两边互为反向延长线，这样的两个 角叫做对顶角? 对顶角有如下性质：对顶角相等? 设置问题的目的是通过创设生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富 的活动素材，使学生在自主学习的过程中，学会对顶角的概念及其性质?同时进一步培养学生抽象几 何图形进行建模的能力? 在图2-1中，/ 1与/ 3有什么数量关系？ 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角? 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角? 注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 如图2-2，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时 a和b的关系是

两条直线的位置关系

2.1两条直线的位置关系 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位 置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。