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线性代数习题册行列式-习题详解

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行列式的概念

一、选择题

1. 下列选项中错误的是( ) (A)

b

a d c d

c b a -

= ; (B)

a

c

b d d

c b a =

(C)

d

c b a d

c

d b c a =

++33; (D)

d

c b a d

c b a -----

=.

答案:D

2.行列式n D 不为零,利用行列式的性质对n D 进行变换后,行列式的值( ).

(A)保持不变; (B)可以变成任何值; (C)保持不为零; (D)保持相同的正负号. 答案:C

二、填空题

1.

a

b b a log 1

1

log = .

解析:

0111log log log 1

1log =-=-=a

b a

b

b a b

a . 2.

6

cos

3sin

6sin

3

cos

π

π

ππ

= . 解析:

02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6

cos 3

sin

6sin

3

cos

==-=πππππππ

π

π

3.函数x x x

x

x f 1213

1

2)(-=中,3x 的系数为 ; x

x x

x x x g 2

1

1

12)(---=中,3x 的系数为 . 答案:-2;-2.

阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案:1.

5. 三阶行列式11342

3

2

1-中第2行第1列元素的代数余子式

等于 . 答案:5.

6.若

02

1

8

2=x

,则x = . 答案:2. 7.在

n

阶行列式ij

a D =中,当i

),,2,1,(0n j i a ij L ==,则D = .

答案:nn a a a Λ2211.

8.设a ,b 为实数,则当a = ,b = 时,

01

0100=---a

b b a .

解析:0)()1

(1

010022=+-=--=---b a a

b b

a a

b

b a

故0,0==b a .

三、解答题

1.用行列式的定义计算.

(1)

1

100001001011

010;

解:原式=1

000101

01)1(1010000011)

1(1412

1++-?+-?

11

0010

100-=-

-

=

(2)

000000h

g

f e d c b a

.

原式=0

000

0g

f e d b h

f e d

c a - =0

0000

g f bd h

f d

f e c a +???

? ?

?-

=bdfg adfh -

2. 设行列式λλλ

01010101-=D , 3

512321

132=D ,若21D D =,求λ的值.

解:由对角线法则,得()()0,1122

1=-+=D D λλ

若21D D =,则()()0112

=-+λλ

于是1-=λ或1.

四、证明题

1.(略)

行列式的性质

一、选择题

1.设行列式x x x

D 01

010

1

1-=, 1

133512

322=D ,若21D D =,

则x 的取值为 ( ).

(A)2,-1; (B)1,-1; (C)0,2; (D)0,1.

答案:B

2.若333

32

31

232221

13

1211

==a a a a a a a a a D ,

则33

32

3331

23222321

13

121311

1525252a a a a a a a a a a a a D +++==( ). (A)30; (B) -30; (C)6; (D)-6. 答案:C

二、填空题

1.若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8,x ,19,则x = . 解析:1820190,4x x ?-+?==. 2.

2016

201420182016 = .

解析:

42

0222016

20142

22016

201420182016==

=

.

3.行列式c

b d

c a b

c

b a

D =,则312111A A A ++= . 解析:312111A A A ++0111==c

b c a

c

b .

4.行列式x

x x x

x D 3121

3

2

31232

154-=

的展开式中,4

x 的系数

为 ;3

x 的系数为 .

解析:x

x

x x x x x x x

x D 3121

3

1

23232153121

3

2

31232

154--

=-=

x

x x x 312

1

312512585

103215---

= 含4

x ,3

x 的项仅有主对角线上元素之积项,故4

x ,3

x 的

系数分别为15,-3.

三、解答题

1.计算下列行列式 .

(1)

3

214214314324

321;

解:各行加到第一行,得

原式=

321421431432111110

3

2142143143210

101010=

=1604

004

001210111110

1

230121

12

10111110

=---=------.

(2)4

4

4

4

33332222

5432154321543215432111111;

解:原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.

(3)

4936251636

25169

25

169

416

941;

原式=

022

22222297531694113

1197119

7

5975316941==

.

(4)

000000

x

y

y x y x x y ;

原式=x

y x y

x x x

y

y y x

y 000

00

00

0-- =2

22

2

2

)(y x x

y

y x x

x

y

y x y

--=-.

(5)xy z zx y

yz

x

11

1; 原式=)

(0

)(0

1

x z y x z x y z x y yz

x

------ =))()((11)

)((x z z y y x y

z x z x y ---=---.

(6)2

00

01200000

0130012000101--;

原式=3

1012

010140

1

312010142

000130120010

12

---=--=--

=203

1124

=---. (7)

4

32

1111

1

11111

1

111111x x x x ++++;

解:原式=

4

321111

1

0010011x x x x x x x ---+

=

4

3211141

312110

0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++

+ =

3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.

2.设4

32

2

321143113

151-=

D ,计算44434241A A A A +++的值.

其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.

解:44434241A A A A +++61

11

1321143113

151=-=

.

3. 已知1

142

1

1

3

110111253------=

D ,求

41312111M M M M +++.

解:41312111M M M M +++

=41312111)1(1)1(1M M M M --?+--?

=

1

1411

1

3

1

10111251-------=0.

4.计算下列n 阶行列式.

(1)

2

111

21112Λ

M

M M ΛΛ

; 解:原式=

2111

21111Λ

M M M

ΛΛ

+++n n n =2

111

21111)1(Λ

M

M

M ΛΛ+n =11

00010111)

1(+=+n n Λ

M

M M ΛΛ

. (2)x

y y

y

y x y y

y y x y

y y y x Λ

M M M M ΛΛΛ ; 解:原式=[]x y y y y x y y

y y x y

y n x Λ

M M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]y

x y x y x y n x ----+Λ

M M M M

Λ

Λ

Λ0

00

0001111

)1(

=[]1

)

()1(---+n y x y n x .

(3)),,2,1,0(0

1

001

11110

21

n i x x x x i n

ΛΛ

M M M M ΛΛ

Λ=≠.

解:原式=

n

n

i i

x x x x Λ

M M M M ΛΛΛ00

00000011101211

=- =)1

(121∑=-n

i i

n x x x x Λ.

四、证明题

1.设a ,b ,c 是互异的实数,证明01

11

3

3

3

=c b a c b a

的充分必要条件是a+b+c=0.

证明:3

33

3

3

3

3

3

001111

a c a

b a

a c a

b a

c

b

a

c b a

----=

=

3

33

3a c a b a c a b ----

=2

22

211)

)((a ac c a ab b a c a b ++++--

=))()((2

2

ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,

由于a ,b ,c 是互异的实数,故要上式成立,当且仅当a+b+c=0.

2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c d

a a a

b a b

c a b c

d a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++

证明:左边43

32

21

02320

363a b c d r r a a b a b c

r r a a b a b c r r a a b a b c

-+++-+++-+++

4332100

020

03a b c d r r a a b a b c

a a

b r r a a b

-++++-+4

43

00020

00a b c d a a b a b c

r r a a a b a

+++-=+

=右边

克莱姆法则

一、选择题

1.方程组???

??=++=++=++1

,1,1321

321321x x x x x x x x x λλλ

, 有唯一解,则( ).

(A)1-≠λ且2-≠λ; (B) 1≠λ且2-≠λ;

(C) 1≠λ且2≠λ; (D) 1-≠λ且2≠λ.

解析:由克莱姆法则,当0)1)(2(1111

1

12

≠-+=λλλ

λ

λ

,即

1≠λ且2-≠λ,选B.

2.当≠a ( )时,方程组??

?

??=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解.

(A) -1 ;(B) 0 ;(C) -2 ;(D) 2. 解析:由克莱姆法则,

当0)2(21

20

121

001

21210≠-=--=-a a

a

a a

a

即2≠a ,选D.

三、解答题

1.用克莱姆法则下列解方程组.

(1)??

?

??=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x

解: 031

12221

1

21

≠=---=D , 由克莱姆法则知,此方程组有唯一解,

31

1

3

22

31

221=---=D ,

61

3

223

11212=-=D ,93

323312213==D ,

因此方程组的解为

11==D D x ,22==D D

y ,33==D

D z .

(2)..2

3342,223,3232,124321432143214321???????=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x

解:043

3

4

212312132112

1≠=---=

D

由克莱姆法则知,此方程组有唯一解,

833

4

21232213311211=---=

D , 23

322122121

3211112-=---=

D ,

23

2421

2

31233211213=--=

D ,22

3

4

222313

13211214=-=D .

因此方程组的解为

211==

D D x ,2122-==D D x ,2133==D D x ,2

1

44==D D x . 2.判断线性方程组???

??=-+=+-=-+0

285,042,

022321

321321x x x x x x x x x 是否有非零解

解:因为系数行列式2

85

122

42

12

8

5

421

122

----=---=D

=0305

00

960

4

2

122

18

960

42

1≠-=--=----, 所以,方程组只有零解.

3.已知齐次线性方程组???

??=+-=++=-+0

2,0,0321

321321x x x x x kx x kx x 有非零解,求k 的值.

解:因为齐次线性方程组有非零解,所以该方程组的系数行列式

必为零,即

3

210110

1

11

1

211

112

k k k

k k

k --+--=--

=)21)(1()1(32

k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得,k =-1或k =4.

4.当μ取何值时,齐次线性方程组???

??=--+-=-+-=-++0

)1(02)3(0)1(42321

321321x x x x x x x x x μμμ有非

零解

解:由齐次线性方程组有非零解的条件可知,

01

11

213

1

42=------μ

μμ,解得3,2,0=μ.

第一章综合练习

一、判断题

1. n 阶行列式n D 中的n 最小为

2.( ╳ )

2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数,则D 必为整数.( √ )

3.

413223144433221144

41

3332232214110

000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳

)

二、选择题

1.若1

1

131--+=

x x x D ,2

1

1122-+=

x x D ,则1D 与2D 的大

小关系是( ).

(A)21D D <; (B)21D D >;(C)21D D =;(D)随x 值变化而变化.

答案:C 2.行列式

{})2,1,1,,,(-∈d c b a d

c b a 的所有可能值中,

最大的是( ).

(A) 0; (B)2; (C)4; (D)6.

答案:D

三、填空题

1.

?

???40cos 20sin 40sin 20cos = .

解析:

??-??=?

???40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos

2

160cos =

?=. 2.若y y x x y x -=

-1

12

2,则x+y = . 解析:由y y x x y x -=-1

122,得xy y x 22

2-=+ 即0)(2

=+y x ,从而x+y =0.

3.已知

111,

01

12==y

x x ,则y = . 解析:由11

1,

01

12==y

x

x ,得x =2,x-y =1,从而y =1

4. 若222222222

6

4

2

5

31

C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析:24

2312=-

=C .

5.设x

x

x x x

x f 1

11

12

3111212)(-=

,则4

x 的系数为 ;3

x 的

系数为 .

解析:当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4

x ,系数为2;含3

x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积,系数为-1. 答案:2,-1.

6.设0

123411222641232

21115

4321=D ,

则(1)333231A A A ++= ; (2)3534A A + ; (3)5554535251A A A A A ++++ . 解析:0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A

于是0333231=++A A A ,03534=+A A .

5554535251A A A A A ++++1

111111222641232

21115

4321=

01

111133333641232

211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .

四、解答题

1.计算下列行列式.

(1)

4

43

42

41

4433323134

23222124131211

1y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++;

解:原式=

1

41

31

21

41413121

31

413121

21413121

1y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+

=

00

000000001

413121

41

31

211=------+x x x x x x y y y y y y y x .

(2)432

11111

11111

1

111111x x x x ++++;

解:原式=

4

321111

1

0010011x x x x x x x ---+

=4

3211141

312110

0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++

+ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.

(3)

2007

000

0020060002005000200

01000Λ

ΛΛM

M M M M ΛΛ. 解:原式=!2006)1(20072

2005

2006?-?=!2007-

2.已知1

23452

2211

273

12451112243150

D ==, 求(1)434241A A A ++;(2)4544A A +. 解:27)(21114544434241=++?+?+?A A A A A

0)()(24544434241=++++A A A A A

得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.

(1)n

n n n n n n D Λ

M M M Λ

ΛΛ22

2

333222111=; 解:(利用范德蒙行列式计算)

1

1221333

21

111!--==n n n T

n n n n n D D Λ

M M

M

Λ

ΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ

!2)!2()!1(!Λ--=n n n .

(2)

2

111

21112Λ

M

M M ΛΛ

; 解:原式=

2111

21111Λ

M M M

ΛΛ

+++n n n =2

111

21111)1(Λ

M

M

M Λ

Λ

+n =1100010111)

1(+=+n n Λ

M

M M ΛΛ

.

(3)m

x x x x m x x x x m

x D n n n n ---=

Λ

M M M Λ

Λ

2

1

2121

解:将第2列,L ,第n 列分别加到第一列,并提取第一列的

公因子,得

m x x m

x x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=

Λ

ΛM M M

Λ

ΛΛ

Λ221221221

m

x x x m x x x m x x x n n n n ---+++=Λ

M

M M Λ

Λ

Λ2

22211

11

)

(

m

m m x x x n ---+++=Λ

M M M ΛΛΛ0

1

01001)

(21

1

21))((---+++=n n m m x x x Λ

(4)n

n n n n a a a a a a b b b b b D 1

3221

13210

000

000-----=Λ

M M M M M Λ

Λ

Λ (其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠)

解: 12211000

00000)1(-+----=n n

n n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ

1

2

22

1

122100

000

00------+n n n n n a a a a a b b b b a Λ

M M M M ΛΛ

Λ 121-+?

=n n n

n

n D a a b a a a Λ ???

?

??==∑=n i i i

n a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题

1.试证:如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零.

(提示:用范德蒙行列式证明)

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