【高中数学】数学复习题《不等式》知识点练习
一、选择题
1.已知ABC V 是边长为1的等边三角形,若对任意实数k ,不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r
恒
成立,则实数t 的取值范围是( ).
A .,??-∞?+∞ ? ?????
B .,??-∞?+∞ ? ?????
C .3??
+∞ ? ???
D .,3??
+∞ ? ???
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算,将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题,由0 因为ABC V 是边长为1的等边三角形,所以1 cos1202 AB BC ?=?=-u u u r u u u r , 由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2 222 ()2()1k AB kt AB BC t BC +?+>u u u r u u u r u u u r u u u r , 即2210k kt t -+->,构造函数2 2 ()1f k k tk t =-+-, 由题意,( ) 2 2 410t t ?--<=, 解得t <或t > . 故选:B. 【点睛】 本题考查向量数量积的运算,以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题,属综合中档题. 2.设a b c ,,为非零实数,且a c b c >>,,则( ) A .a b c +> B .2ab c > C . a b 2 c +> D . 112a b c +> 【答案】C 【解析】 【分析】 取1,1,2a b c =-=-=-,计算知ABD 错误,根据不等式性质知C 正确,得到答案. 【详解】 ,a c b c >>,故2a b c +>, 2 a b c +>,故C 正确; 取1,1,2a b c =-=-=-,计算知ABD 错误; 故选:C . 【点睛】 本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 3.若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥?? +-≤??≥? 则z x y =-的最小值为( ) A .4 B .0 C .2- D .4- 【答案】D 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的平面区域,结合图象确定目标函数的最优解,代入即可求解. 【详解】 由题意,画出约束条件360601x y x y y -+≥?? +-≤??≥? 所表示的可行域,如图所示, 目标函数z x y =-,可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时,z 取得最小值, 又由360 1x y y -+=?? =? ,解得(3,1)A -, 所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选:D . 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力. 4.关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞,则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是( ) A .(,1)(3,)-∞-+∞U B .(1,3)- C .(1,3) D .(,1)(3,)-∞+∞U 【答案】A 【解析】 【分析】 由0ax b ->的解集,可知0a >及 1b a =,进而可求出方程()()30ax b x +-=的解,从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】 由0ax b ->的解集为() 1,+? ,可知0a >且 1b a =, 令()()30ax b x +-=,解得11x =-,23x =, 因为0a >,所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U , 故选:A. 【点睛】 本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于基础题. 5.给出下列五个命题,其中正确命题的个数为( ) ①命题“0x R ?∈,使得2 0010x x ++<”的否定是“x R ?∈,均有210x x ++<”; ②若正整数m 和n 满足m n ≤2 n ; ③在ABC ?中 ,A B >是sin sin A B >的充要条件; ④一条光线经过点()1,3P ,射在直线:10l x y ++=上,反射后穿过点()1,1Q ,则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=; ⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率,则m n k ++为定值. A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】C 【解析】 【分析】 ①根据特称命题的否定的知识来判断;②根据基本不等式的知识来判断;③根据充要条件的知识来判断;④求得入射光线来判断;⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】 ①,命题“0x R ?∈,使得2 0010x x ++<”的否定是“x R ?∈,均有210x x ++≥”,故① 错误. ②,由于正整数m 和n 满足m n ≤,0n m -≥,由基本不等式得 22 m n m n +-=,当m n m =-即2n m =时等号成立,故②正确. ③,在ABC ?中,由正弦定理得sin sin A B a b A B >?>?>,即 sin sin A B A B >?>,所以A B >是sin sin A B >的充要条件,故③正确. ④,设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ,则线段AQ 中点为 11,22a b ++?? ? ??,则11 10221121 112AQ a b b k a ++?++=???+?-?==+? -??,解得2a b ==-,所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ,即312321 y x --=----,化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤,由于抛物线的离心率是1,所以(1)0f =,即10m n k +++=,所以1 m n k ++=-为定值,所以⑤正确. 故选:C 【点睛】 本小题主要考查特称命题的否定,考查基本不等式,考查充要条件,考查直线方程,考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率,属于中档题. 6.已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ,则实数m 的取值范 围是( ) A .()2,6 B .()(),26,-∞+∞U C .(](),26,-∞?+∞ D .[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论,结合题意得出关于m 的不等式组,即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】 当20m -=时,即当2m =时,则有40>,该不等式恒成立,合乎题意; 当20m -≠时,则()()2 20 421620m m m ->????=---? ,解得26m <<. 综上所述,实数m 的取值范围是[)2,6. 故选:D. 【点睛】 本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数,要注意对首项系数是否为零进行分类讨论,考查运算求解能力,属于中等题. 7.已知0a b >>,则下列不等式正确的是( ) A .ln ln a b b a ->- B .|||b a < C .ln ln a b b a -<- D .|||b a -> 【答案】C 【解析】 【分析】 利用特殊值代入法,作差比较法,排除不符合条件的选项,即可求解,得到答案. 【详解】 由题意,因为0a b >>,取,1a e b ==,则ln 0,ln a b b a e -=-=, 1b a e ==-,可排除A 、D 项; 取11,49a b = =71 1812 b a ==,可排除B 项; 因为满足0a b >>条件的排除法,可得A 、B 、D 是错误的. 故选:C . 【点睛】 本题主要考查了不等式与不等关系,以及不等式的的基本性质,其中解答中合理赋值,代入排除是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 8.已知集合{} 0lg 2lg3P x x =<<,2 12Q x x ? ?=>??-?? ,则P Q I 为( ) A .()0,2 B .()1,9 C .()1,4 D .()1,2 【答案】D 【解析】 【分析】 集合,P Q 是数集,集合P 是对数不等式解的集合,集合Q 是分式不等式解的集合,分别求出解集,再交集运算求出公共部分. 【详解】 解:{} 19P x x =<<,{} 02Q x x =<<; ()1,2P Q ∴?=. 故选:D. 【点睛】 本题考查对数函数的单调性及运算性质,及分式不等式的解法和集合交集运算,交集运算口诀:“越交越少,公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略: (1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解. (2)对数函数的单调性和底数的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按01a <<和1a > 进行分类讨论. 分式不等式求解:先将分式化为整式;注意分式的分母不为0. 9.若x ,y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥?? -≤??+-≥? 且z ax y =+的最大值为26a +,则a 的取值范 围是( ) A .[1,)-+∞ B .(,1]-∞- C .(1,)-+∞ D .(,1)-∞- 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a 的范围即可. 【详解】 作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +,所以 z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值,则1a -≤,即1a ≥-. 故选:A 【点睛】 本题主要考查线性规划的应用,利用z 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键. 10.若,x y 满足4,20,24, x y x y x y +≤??-≥??+≥? 则4 y x -的最大值为( ) A .72 - B .52 - C .32 - D .1- 【答案】D 【解析】 【分析】 画出平面区域,结合目标函数的几何意义,求解即可. 【详解】 该不等式组表示的平面区域,如下图所示 4 y x -表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出,当区域内的点为线段AB 上任意一点时,取得最大值. 不妨取84(,)33 B 时,4y x -取最大值 44 3183 -=- 故选:D 【点睛】 本题主要考查了求分式型目标函数的最值,属于中档题. 11.函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点A ,若点A 在直线 10mx ny +-=上,其中·0m n >,则 41 m n +的最小值为() A .16 B .24 C .50 D .25 【答案】D 【解析】 【分析】 由题A (4,1),点A 在直线上得4m+n =1,用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值. 【详解】 令x ﹣3=1,解得x =4,y =1, 则函数y =log a (x ﹣3)+1(a >0且a≠1)的图象恒过定点A (4,1), ∴4m+n =1, ∴ 41m n +=(41m n +)(4m+n )=16+14n 4m m n ++ 4n 4m m n ?=17+8=25,当且仅当m =n 15=时取等号, 故则 41 m n +的最小值为25, 故选D . 【点睛】 本题考查均值不等式,在应用过程中,学生常忽视“等号成立条件”,特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握. 12.已知集合{} 2 230A x x x =-->,(){} lg 11B x x =+≤,则() R A B =I e( ) A .{}13x x -≤< B .{}19x x -≤≤ C .{}13x x -<≤ D .{}19x x -<< 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合A 、B ,再利用补集和交集的定义得出集合() R A B ?e. 【详解】 解不等式2230x x -->,得1x <-或3x >; 解不等式()lg 11x +≤,得0110x <+≤,解得19x -<≤. {} 13A x x x ∴=-或,{}19B x x =-<≤,则{}13R A x x =-≤≤e, 因此,(){} 13R A B x x ?=-<≤e,故选:C. 【点睛】 本题考查集合的补集与交集的计算,同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解,考查运算求解能力,属于中等题. 13.已知ABC V 外接圆的半径2R =,且2 sin 2 A A =.则ABC V 周长的取值范围为( ) A . B .(4, C .4+ D .(4+ 【答案】C 【解析】 【分析】 由2 sin 2 A A =及倍角公式可得23A π=,2sin a R A ==得2212b c bc =++,再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】 由题意,2 2cos 112A A -=-,即cos 1A A =-,可化为 33A π??-= ???,即sin 3A π??-= ?? ?,因为0A π<<,所以33A ππ-=, 即 2 3 A π= ,2sin23 a R A ==,设ABC V的内角A,B,C,的对边分别为a,b, c,由余弦定理得,22 12b c bc =++,因为222 b c bc +≥(当且仅当b c =时取“=”),所 以22 123 b c bc bc =++≥,即4 bc≤,又因为222 12() b c bc b c bc =++=+-,所以2 ()124 bc b c =+-≤,故4 b c +≤,则423 a b c ++≤+,又因为b c a +>,所以243 a b c a ++>=,即43423 a b c <+++ ≤.故ABC V周长的取值范围为(43,423] +. 故选:C 【点睛】 本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围,涉及到辅助角公式、基本不等式求最值,考查学生的运算求解能力,是一道中档题. 14.若变量x,y满足 2, {239, 0, x y x y x +≤ -≤ ≥ 则x2+y2的最大值是 A.4 B.9 C.10 D.12 【答案】C 【解析】 试题分析:画出可行域如图所示,点A(3,-1)到原点距离最大,所以 22 max ()10 x y +=,选C. 【考点】简单线性规划 【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用,是一道基础题目.从历年高考题目看,简单线性规划问题是不等式中的基本问题,往往围绕目标函数最值的确定,涉及直线的斜率、两点间的距离等,考查考生的绘图、用图能力,以及应用数学知识解决实际问题的能力. 15.若均不为1的实数a、b满足0 a b >>,且1 ab>,则() A .log 3log 3a b > B .336a b +> C .133ab a b ++> D .b a a b > 【答案】B 【解析】 【分析】 举反例说明A,C,D 不成立,根据基本不等式证明B 成立. 【详解】 当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>,1ab > ,所以336a b +>=>>, 综上选B. 【点睛】 本题考查比较大小,考查基本分析论证能力,属基本题. 16.若 x y ,满足约束条件0 2323x x y x y ≥??+≥??+≤? ,则z x y =-的最小值是( ) A .0 B .3- C . 32 D .3 【答案】B 【解析】 可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2 A B C ,所以直线z x y =-过点 B 时取最小值3-,选B. 17.若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤?? -+≥??≥? ,目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅 为(1,3),则a 的取值范围为( ) A .(1,1)- B .(0,1) C .(,1)(1,)-∞?+∞ D .(1,0]- 【答案】A 【解析】 【分析】 结合不等式组,绘制可行域,判定目标函数可能的位置,计算参数范围,即可. 【详解】 结合不等式组,绘制可行域,得到: 目标函数转化为y ax z =-+,当0a -≥时,则<1a -,此时a 的范围为(]1,0- 当0a -<时,则1a ->-,此时a 的范围为()0,1,综上所述,a 的范围为()1,1-,故选A . 【点睛】 本道题考查了线性规划问题,根据最值计算参数,关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置,难度偏难. 18.设m ,n 为正数,且2m n +=,则1312 n m n ++++的最小值为( ) A . 32 B . 53 C . 74 D . 95 【答案】D 【解析】 【分析】 根据2m n +=,化简135112(1)(2) n m n m n ++=++++?+,根据均值不等式,即可求得答案; 【详解】 当2m n +=时, Q 131111212 n m n m n ++=++++++ 35 11(1)(2)(1)(2) m n m n m n ++= +=++?++?+ Q 2 1225(1)(2)24m n m n +++??+?+≤= ??? , 当且仅当12m n +=+时,即31 22 m n = =,取等号, ∴ 139 125n m n ++≥++. 故选:D 【点睛】 本题主要考查了根据均值不等式求最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意要验证等号的是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 19.若0a >,0b >,23a b +=,则36 a b +的最小值为( ) A .5 B .6 C .8 D .9 【答案】D 【解析】 【分析】 把36a b +看成(36a b +)×1的形式,把“1”换成()1 23a b +,整理后积为定值,然后用基本不等式求最小值. 【详解】 ∵3613a b +=(36 a b +)(a +2b ) =13(366b a a b + ++12) ≥ 13 =9 等号成立的条件为66b a a b =,即a=b=1时取等 所以 36 a b +的最小值为9. 故选:D . 【点睛】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用,解决本题的关键是“1”的代换,是基础题 20.已知x 、y 满足约束条件122326x y x y x y +≥?? -≥-??+≤? ,若22z x y =+,则实数z 的最小值为( ) A . 2 B .25 C . 12 D .2 【答案】C 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域,利用目标函数的几何意义求出2 2x y +的最小值,进而可得 出实数z 的最小值. 【详解】 作出不等式组122326x y x y x y +≥?? -≥-??+≤? 所表示的可行域如下图所示, 22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方, 原点到直线10x y +-=的距离的平方最小,() 2 22 min 21 22x y ??+== ? ??? . 由于22 z x y =+,所以,min 12 z = . 因此,实数z 的最小值为12 . 故选:C. 【点睛】 本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解,考查数形结合思想的应用,属于中等题. 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020 【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,,若1ABF ?为等边三角形,则椭圆的离心率为( ) 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x (其中321x x x <<),则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 ( ) A .a -1 B .1-a C .1- D .1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点,记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??,则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表,用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== (1)求1n a 和4n a ; (2)设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. (1)求动点P 的轨迹方程; 1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.(北京理6改)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件(从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择) 1.充分必要 2.(北京文9)设向量a =(1,0),b =(?1,m ),若()m ⊥-a a b ,则m =_________. 2.-1 3.(全国卷I 理6改)在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB = _________. (用,AB AC 表示) 3.3144 AB AC - 4.(全国卷II 理4)已知向量a ,b 满足||1=a ,1?=-a b ,则(2)?-=a a b _________. 4.3 5.(全国卷III 理13.已知向量()=1,2a ,()=2,2-b ,()=1,λc .若()2∥c a+b ,则λ=________. 5. 12 6.(天津理8)如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,120BAD ∠=?,1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点,则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.(天津文8)在如图的平面图形中,已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.(浙江9)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π 3,向量b 满足b 2?4e · b +3=0,则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.(上海8).在平面直角坐标系中,已知点(1,0)A -,(2,0)B ,E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF = ,则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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