缝宽对杨氏双缝干涉实验的影响
摘要：通过介绍干涉和衍射产生明显的条件，我们将对杨氏双缝干涉实验的结果进行分析，讨论缝的大小b对光的干涉条纹的影响。并利用MATLAB模拟了杨氏双缝干涉实验，绘制出了在不同条件下杨氏双缝干涉实验的几种情况的干涉条纹图样，并根据图样进行了简单的分析。
关键词：缝的大小杨氏双缝干涉实验衍射干涉图像
The Influence of the Raphe’s width to young’s two-slit Interference
Expriment
ShenQing
College of Physics and Electronic Information The 2007 level 4 class
Instructor: Lan XiaoGang
Abstract:Through the introduction of the interference and diffraction causes obvious conditions, we will have a young's a double-slit interference experiment results and discussed the size of the seam of interference streak optical b influence. And use of MATLAB simulation the young's a double-slit interference experiment, draw out the different conditions young's a double-slit interference experiment the interference fringes of several conditions, and according to the pattern pattern on the simple analysis.
Key words: Seam size Young's a double-slit interference experiment
Diffraction Interference images
如果两列波的频率相等，在观察时间内波动不中断，而且在相遇出振动几乎沿着同一直线，那么它们叠加后产生的合振动有些地方加强，在有些地方减弱。这一强度按空间周期性变化的现象称为干涉。在叠加区域内各点处的振动强度有一定的非均匀分布，那么这种分布的整体图像称为干涉图样。
光的干涉指多束相干光通过叠加形成的明暗相同、呈周期性变化的光强分
布。光的衍射现象指光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏上出现光强分布不均匀的现象，衍射是光的特有现象，只有明显与不明显之分，当缝或孔的尺寸比光的波长大或相当时，就发生明显的衍射。
光的干涉和衍射现象都是光的波动性的表现。其本质是一样的，是波的相干叠加。在杨氏双缝干涉实验中，缝的大小将影响实验结果，当缝的大小b 大于某一值时，将不能观察到光的干涉现象。缝的大小b 小于某一值时将出现衍射现象，也不能观察到干涉现象。
因此本文将研究缝的大小对杨氏双缝实验的结果的影响。
一 杨氏双缝干涉实验
1801年，英国物理学家托马斯. 杨在实验室里成功地观察到了光的干涉并且最早以明确的形式确定了光波叠加原理，用光的波动性解释了干涉现象，他用强烈的单色光照射到如图1所示的开有小孔S 的不透明的遮光板（称为光阑）上，后面放置另一块光阑，开有两个小孔1s 和2s 。杨氏利用惠更斯对光的传播所提出的次波假设，在实验中1s 和2s 可以以为都是从同一个光源S 而来的，所以永远都有恒定的相位关系，
1s 、2
s
都足够，1s 、2s 就成为两相干光源。广屏上
任一观察点上两振动相位差
212
1
2()n r r π
?λ
??
?=
-=
-
(1)
用A 和I 分别表示1s 、两2s 光束的振幅和光强则120E E E ==，
1
2
0I I
I ==在O 点附近的任一点P 处由：
22
12122I COS A A A A ?-
=
++?
2
2
002
2
02242
COS A A COS
A ??=+??= (2)
λ为真空中的波长，n 为介质的折射率，??=n （21r r -）为光程差δ ，
??为S1、S2两光束传播到P 点的振动相位差
故 ??=2π
δλ
(3) 在此实验中因整个装置在空气中所以n=1，光程差δ
=21r r -
在近轴和远场近似条件下，即，r d ，r λ 的情况下
2
1
r r
-≈
'1
2S
S =dsin θ (4)
2
S
其中
o
r
d sin θ≈tan θ=
y
r
n (5)
其中y 表示观察点p 到
p
的距离
o
r
为双缝光阑到接收屏的距离，d
为两缝的距离（含缝的大小b ）。
因而强度为最大值的那些点应满足条件：
dsin θ≈o
y
d
j r
λ=或0y j d
r λ= （ j=0, ±1, ±2……) (6)
同理强度为最小值那些点应满足条件：
dsin θ≈o
y
d
r
=
2j+1)2
λ
（或0
(21)
2
y j d r
λ
=+ （ j=0, ±1, ±2……) （7）
由以上这两式可知相邻两条强度最大值的条纹或相邻两条强度最小值
条纹的顶点之间的距离为：01j j y d
r y
y λ+?=
-=
即两相邻的明条纹或暗条纹之间距离：0
y d
r
λ?=
（8）
图一 杨氏双缝干涉 图二 杨氏双缝干涉条纹
二 杨氏双缝干涉实验中缝的大小对结果的影响
在上面杨氏双缝干涉实验中用的光为线光源，但实际生活中光线还是有2y
h d
d
r
δ
=+一定的宽度的，这时我们就把该光源看作许多线光源的叠加图3中AB 为宽度
为h 的带状光源，则AB 上任一点都表示一条垂直于图面的细线光源，这时由A 到1S 和2S 的光波经过的光程'1r 和'2r 不相等故在达到P 点时1S 和2S 两束光的光差
A
δ
=''2211()()r r r r +--=''
2121()()r r r r -+-
其中,l d l h 有实验一的方法计算出 ''
2122r h
h d d l l
r -≈=
1
S 2
S 2S
2
S l
2
S a
2
S R
2
S 2
r
2
S O
s
2
S 1
r 2
S x
故
2A
o
y
h d d
l r
δ
=+ =()2o y h
d l
r + （9）
那么由光源A 所产生的各级条纹如下：
1.零级明条纹：
00.δ=
2h l
r y
=-
（10） 2.第 j 级明条纹： j j λδ=
02j h j d l r r y λ=- (1,2,3...
j = （11）
图3 带状光源的双缝干涉
由以上所得入射光为带状光源的各级条纹与入射光为线光源的干涉图像相比较，
可知干涉图样完全相同，只是整个图样向-x 方向移动了02h
l
r 的距离。由图4可
知由于各干涉图样在垂直于条纹方向相互错开，相叠加后的光强与单个干涉图条纹间距是始终不变的，但条纹对比度却降低了。条纹对比度降低的程度随各干涉
图像错开的总距离A B y o o ?=而变化由式中R
y h l
?=，随着光源宽度h 增大y ?就
增大。由图4可以看出，在h 不大的情况下y P ? ，合光强曲线仍有较大的对比度，而随着h 增大，y ?增加，条纹对比度就开始逐渐下降了。
1S 2
S 2
S 2
S l
r
2
r
A
O B
O
2
S '
1r 2
S '
2
r 2S w 2
S S l
2
S A 2
S B
I
I 最
x
I 最大 I 最小 P
Ph △
x
O O
图4：各细线光源的干涉条纹的叠加
我们可以由y ?和P 表可以求出，干涉条纹消失时光源宽度为：
l
h d
λ=
（12） 所以双缝能产生干涉现象的光源线宽的极大值与双缝光阑到屏的距离0r 无关，那么当光源线宽度达到极大值时，在双缝光阑右方的区域内任何地方都不能观察到干涉条纹。
实验表明，如果4
p
y ?≤
时明条纹对比度的降低还不显著，还可以观察到清晰的干涉条纹，故我们可以把
14l h d
λ< （13）
作为双缝干涉装置中要观察到清晰的干涉条纹光源应满足的条件：
对于光源B 同理有：
()2B o
h y
d l r δ=-
+ （14） 1.零级明条纹
2h l
r y
=
（15） 2.第j 级明条纹
002j h
j d l
r r y
λ=+ （16） 与线光源相比带状光源的光程差的最大差别是带状光源的两边缘的线光源A 和
B 的光程差
A B d
h l
δδδ?=-= （17）
它与带状光源宽度h 成正比，光源越宽，这个最大值越大，干涉条纹错开的距离
O O △x
I 最大=I 最
就越大，当光源宽度h 使这个最大差值δλ?=时，两边缘的线光源各自的干涉
条纹在屏上任一点都恰好差一级此时y p ?=的光源的极大值d
h l
λ=.光源宽度
限度为极大值的14时，即14d h l λ=
时， 4λ
δ?=。 因此条件14d
h l λ≤反映出了一个普遍的条件： 4
λ
δ?≤，即要能观察到清晰的干涉图样，必须使光程差的最大值不超过
14
λ[1]
三 衍射光强
由一、二的讨论我们可知，无论是线光源还是带状光源，它们产生的干涉条纹都与双缝之间的距离d 有关即与缝的大小b 有关。当缝的大小b 很大时光线直接穿过双狭缝，出现在屏上的是一亮斑而不是干涉条纹，随着缝的大小b 减小，屏上开始慢慢出现了干涉条纹，当缝的大小继续减小时，屏上的图像不单只是干涉图样，还出现了另一种光的相干叠加现象，这就是衍射。 由双缝衍射的光强分布公式：
2
2
p 2204.s i n
c o s
2
u u
I A ?= (18)
其中 s i n
b u πθλ=
前一部分2
204cos 2A ?与杨氏双缝干涉实验一致，光强为20A 相位差为?的
两束光发生干涉时的光强分布，称为双缝干涉因子。后一部分22sin u u 表示单
缝衍射的光强分布，他来源于单缝衍射，是整个衍射图样的轮廓，称为单缝衍射因子，其中θ为衍射角。
杨氏实验中我们认为两条缝是任意窄的即缝的大小b λ ，这样光屏上所有相位差?相同的各点的有效光强几乎相同，即干涉时每个条纹差不多有相同情况，然而一般情况下缝的大小b λ 很难满足，故杨氏双缝干涉实验只是一种近似，换句话说，它是一种被单缝衍射调制的双缝干涉条纹。如图5所示。
2sin d θ
0 -9 1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 2cos 2? 1.0 0 8λ- 6λ- 4λ- 2λ- 2λ 4λ 6λ 8λ
4λ 2λ 0 2λ 4λ sin d θ
2λ λ λ 2λ sin a θ
图5：双缝衍射和干涉的光强分布
由式（18）可见，其光强主要集中在单缝衍射的主极大范围内，即 求出满足光强的一阶导数为零的那些点：
2
2
()sin du u d
u
3
2sin (cos sin )
0u u u u u
-=
=
得到 sinu=0 或 u=tanu 1 单缝衍射中央最大值的位置 由sinu=0，解得满足0
0sin b u πλ
θ=
的那个方向，即 0
sin 0θ
= （中央最大值的位置）
（19） 2 干涉最大值
sin j
d
λ
θ= （ j=0, ±1, ±2……)
（20）
3 单缝衍射最小值的位置 由sinu=0，解得满足
(sin )k
k b k u
πλπθ== 的一些衍射方向，即
sin k k
b
λ
θ=（ k=0, ±1, ±2…）（最小值位置）
（21）
如果sin d j θλ=确定的干涉最大值的方向正好与sin b k θλ=确定的衍射最小值的方向重合，那么j 级的干涉最大将不会出现
四 用MATLAB 编程模拟双缝干涉图像（程序见附录）
由双缝干涉实验理论，利用MATLAB 强大的图形化编辑功能，我们做了模拟杨氏双缝干涉实验的软件。其用户主界面如图六所示。
图6
在图6中同步显示出干涉实验装置的示意图，干涉条纹的光强分布等。屏幕下方为一组控键。通过单选按钮可以选择：（1）改变入射光的种类（2）改变双缝间距d ；（3）改变双缝光阑到屏的距离0r ；（4）沿狭缝S 所在平面上下移动狭缝；（5）改变双缝宽度等；显示出了双缝干涉图样的变化规律。 1 改变入射光的种类对干涉条纹的影响
图7
上图显示了保持其它变量不变的情况，只改变入射光的种类时，干涉条纹和相应的光强分布。从图中可知，当使用不同波长的光干涉时，干涉图样各级的强度大体不变，为等间距的明暗交替的直条纹，且纹宽随波长的增大而变宽。若用复色光照明，仅中间是复色光，其余各级由中间向外变成了由紫到红的彩带。除正负一级暗纹外，由于不同波长的光干涉极小相互分开，观察不到明显的暗条纹。彩带中，相同波长的光干涉加强的位置与使用单色光时相同。在较高干涉级中，
还可以观察到红光越过高一级紫光位置的情况。
2改变双缝间距d对干涉条纹的影响
在单色光照射时，在保持其他参数不变的条件下，只改变双缝间距d，随着d依次增大时，干涉条纹的缝宽应变窄，条纹变密，图8所示
图8
。
r对干涉条纹的影响
3改变
r，当双在保持其它变量不变的情况下，只改变双缝光阑与屏之间的间距
r增大时，干涉条纹的纹宽也随着增大。干涉条纹变化情形与缝光阑到屏距离
图8相似，图略
4单缝S沿所在平面上下移动时对干涉条纹的影响
在保持装置其他参数不变时，当缝光源上下移动时，干涉图样在屏上整体向相反方向平行移动。
5改变双缝宽度对干涉条纹的影响
上图显示了改变双缝透光部分的相对缝宽，对干涉图样对比度的影响。图中既给
出了干涉条纹对比度的变化，也准确给出了光强分布曲线。1S 缝的大小为1b ,2S 缝的大小为2b ，图（a ）12b b =因而对比度V=1，暗纹全暗，明暗分明；图（b ）中12b b >因而V<1，明纹光强下降，对比度降低了，光强分布曲线峰谷值的差减小了。图（c ）中表示了双缝中一条缝的透光缝的大小远大于另一条缝的大小其明暗条纹几乎不能分辨，光强分布曲线的峰谷值之间的差值已经非常小。
五 结论
由以上的研究分析，我们可以得到缝的大小b 对杨氏双缝干涉实验结果有比较大的影响。所以我们在做实验的时侯，应该注意将缝的大小b 调到适当的宽度，尽量减小光的衍射对干涉实验结果的影响，以达到干涉图样的最佳效果。
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附录
双缝干涉实验的Matlab 模拟程序
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figure('position',[217 266 694 244]); % Author's email:zjliu2001@https://www.wendangku.net/doc/aa3294031.html,
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title('Double slit interference \copyright zjliu')
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bh(n)=plot(xbs,ybs,'r');
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r=0;
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Yb=po(n);
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end
s=meshgrid(linspace(4,-4,300))';
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sin d j θλ=确定的干涉最大值的方向正好与sin b k θλ=确定的衍射最小值的
方向重合，那么j 级的干涉最大将不会出现其图如下所示
致 谢
本文的研究工作是在我的指导老师兰小刚还有我的同学们精心指导和悉心关怀下完成的，在我的学业和论文的研究工作中无不倾注着老师和同学辛勤的汗水和心血。老师和同学的严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神使我深受启迪。从尊敬的老师和同学身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理。在此向我的指导老师兰小刚和我的同学们致以最衷心的感谢和深深的敬意。
真诚的向所有关心和帮助过我的物理与电子信息学院的各位领导、老师、同学和朋友们表示由衷的谢意!
衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授!谢谢大家!