二次函数知识点汇总
1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2
ax y =的性质
(1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2
ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0 的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中a b a c k a b h 4422-=- =,. 5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①2 ax y =;②k ax y +=2 ;③()2 h x a y -=;④()k h x a y +-=2 ;⑤c bx ax y ++=2 . 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向: 当0>a 时,开口向上;当0 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+? ?? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★ 9.抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2-=,故: ①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0 b (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴交点的位置. 当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式:c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点 (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(c ,0) (2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2 有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组 ???++=+=c bx ax y n kx y 2 的解的数目来确定: ①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为()()0021,,, x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x =?-=+2121, () () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 13.二次函数与一元二次方程的关系: (1)一元二次方程c bx ax y ++=2 就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况. (2)二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点; 当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值, 即一元二次方程02 =++c bx ax 的根. (3)当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程c bx ax y ++=2 有两个不 相等的实数根;当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程 02=++c bx ax 有两个相等的实数根;当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时,则一 元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根 14.二次函数的应用: (1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值; (2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值. 15.解决实际问题时的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等. 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 二次函数题 选择题: 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x的二次函数,则m=( ) A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中,可以看作二次函数y =ax 2 +b x+c (a ≠0)模型的是( ) A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2,则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2)2+2 B y=—( x+2)2+2 C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2-6x+24的顶点坐标是( ) A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D (6,—6) 6、已知函数y=a x2 +bx+c,图象如图所示,则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a +c 〈b ③ a+b+c 〉0 ④ 2c〈3b A 1 B 2 C 3 D 4 7、函数y=ax 2 -bx+c(a ≠0)的图象过点(-1,0),则 c b a + = c a b + =b a c + 的值是( ) A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的( ) A B C D 二填空题: 13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2mx +m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y =a x2+b x+c (a≠0)的对称轴为直线x =2,最小值为-2,则关于方程ax 2 +bx+c=-2的根为——————————— —。 17、抛物线y=(k +1)x 2+k 2-9开口向下,且经过原点,则k=————————— 解答题:(二次函数与三角形) 1、已知:二次函数y=x 2 +bx+c ,其图象对称轴为直线x =1,且经过点(2,﹣ ). (1)求此二次函数的解析式. (2)设该图象与x轴交于B、C 两点(B 点在C 点的左侧),请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ,使△EBC 的面积最大,并求出最大面积. 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案 一、选择题 1.已知抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点,则函数y=的大致图象是()A.B. C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可求m<﹣2,即可求解. 【详解】 ∵抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点, ∴△=4﹣4(﹣m﹣1)<0 ∴m<﹣2 ∴函数y=的图象在第二、第四象限, 故选B. 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象,二次函数性质,求m的取值范围是本题的关键. 2.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是() A.原数与对应新数的差不可能等于零 B.原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C.当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D.当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误. 故答案选:D . 【点睛】 本题以规律探究为背景,综合考查二次函数性质和解一元二次方程,解题时要注意将数字规律转化为数学符号. 3.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b +=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=2 22ax bx +, 且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( ) A .①②③ B .②④ C .②⑤ D .②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【详解】 解:抛物线的开口向下,则a <0; 抛物线的对称轴为x=1,则- 2b a =1,b=-2a 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 二次函数题 选择题: 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数,则m=( ) A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是( ) A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2,则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2)2+2 B y=—( x+2)2+2 C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是( ) A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D (6,—6) 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示,则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a +c 〈b ③ a+b+c 〉0 ④ 2c 〈3b A 1 B 2 C 3 D 4 7、函数y=ax 2-bx+c (a ≠0)的图象过点(-1,0),则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是( ) A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的( ) A B C D 二填空题: 13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2mx +m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为直线x =2,最小值为-2,则关于方程ax 2+bx+c =-2的根为————————————。 17、抛物线y=(k+1)x 2+k 2-9开口向下,且经过原点,则k =————————— 解答题:(二次函数与三角形) 1、已知:二次函数y=x 2 +bx+c ,其图象对称轴为直线x=1,且经过点(2,﹣). (1)求此二次函数的解析式. (2)设该图象与x 轴交于B 、C 两点(B 点在C 点的左侧),请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ,使△EBC 的面积最大,并求出最大面积. 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 一、教学目标 1. 使学生会用描点法画出二次函数k h x a y +-=2 )(的图像; 2. 使学生知道抛物线k h x a y +-=2 )(的对称轴与顶点坐标; 3.通过本节的学习,继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力; 4.通过本节的教学,继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育,同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想; 5.通过本节课的研究,充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美,通过数学思维的审美活动,提高对数学美的追求。 二、教学重点 会画形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的图像,并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。 三、教学难点:确定形如 k h x a y +-=2 )(的二次函数的顶点坐标和对称轴。 4.解决办法: 四、教具准备 三角板或投影片 1.教师出示投影片,复习2 2 2 )(,,h x a y k ax y ax y -=+==。 2.请学生动手画1)1(2 1 2-+- =x y 的图像,正好复习图像的画法,完成表格。 3.小结k h x a y +-=2 )(的性质??? ?? ??平移顶点坐标对称轴开口方向 4.练习 五、教学过程 提问:1.前几节课,我们都学习了形如什么样的二次函数的图像? 答:形如2 2 2 )(,h x a y k ax y ax y -=+==和。(板书) 2.这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题,你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗? 由学生参考上面给出的三个类型,较容易得到:讨论形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的有关问题.(板书) 一、复习引入 首先,我们先来复习一下前面学习的一些有关知识.(出示幻灯) 请你在同一直角坐标系内,画出函数222)1(2 1 ,121,21+-=--=-=x y x y x y 的图像,并指出它们的开口方向,对称轴及顶点坐标. 这里之所以加上画函数2)1(2 1 +- =x y 的图像, 是为了使最后通过图像的观察能更全面一些,也更直观一些,可以同时给出图像先沿y 轴,再沿x 轴移动的方式,也可以给出图像 先沿x 轴再沿y 轴移动的方式,使这部分知识能更全面,知识与知识之间的联系能更清晰、 更具体. 画这三个函数图像,可由学生在同一表中列值,但是要根据各自的不同特点取自变量x 的值,以便于学生进行观察.教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板,由一名同 学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,待同学们基本做完之后加以总结,然后再找三名 同学,分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标,填入事先准备好的表格中. 然后提问:你能否在这个直角坐标系中,再画出函数1)1(2 1 2-+- =x y 的图像? 由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像,学生对画图已经有了一定的经验, 同时可在画这个图时,把这些经验形成规律,便于学生以后应用. (l )关于列表:主要是合理选值与简化运算的把握,是教学要点.在选值时,首先要考虑的是函数图像的对称性,因此首先要确定中心值,然后再左,右取相同间隔的值;其次,选值时尽量选取整数,便于计算和描点. 在选取x 的值之后,计算y 的值时,考虑到对称性,只需计算中心值一侧的值,另一侧由对称性可直接填入,但一定要保证运算正确. (2)关于描点:一般可先定顶点(即中心值对应的点,然后利用对称性描出各点,以逐步提高速度.) (3)关于连线:特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑,对称,并符合抛物线的特点. 由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值,然后画出它的图像,同样 找一名同学板演. 学生画完,教师总结完之后,让学生观察黑板上画出的四条抛物线,提问: (1)你能否指出抛物线1)1(2 1 2-+- =x y 的开口方向,对称轴,顶点坐标? 将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中,如下表: 二次函数应用题专题复习(含答案) 1、(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本. (1)请直接写出y与x的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元 (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元 ( 3.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少 (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量) ^ 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0中考数学复习专题二次函数知识点归纳
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