《平面向量数量积》

平面向量数量积的物理背景及其含义

【课型】：新授课

【课时】：第一课时

一、教材分析

本节内容选自人教A版高中数学必修四第二章第二节2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。本节内容先通过物理中“功”的例子抽象出平面向量数量积的概念，了解它的物理背景，再在此基础上探究学习数量积的几何含义、性质与运算律。平面向量的数量积是继学习了向量的线性运算后的又一重要运算，在数学、物理等学科中都有广泛的应用。它既是对平面向量的深入学习与拓展，也为后续物理应用的学习、立体几何问题的解决等提供了新的思路，起着重要的承上启下的衔接作用。在平面向量数量积概念中，既有长度又有角度，既有数又有形，是代数、几何与三角的最佳结合点，也很好的体现了数形结合的数学思想方法。

二、学情分析

本节课的授课对象是高一学生，从知识起点看，在学习本节内容前，学生已经学习了向量的概念及其线性运算，学习了功等简单的物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法；从能力上看，学生具备了一定程度的分析问题与解决问题的能力，也形成了一定的逻辑思维；从情感上看，高一的学生对未知有探求的渴望，有学习新知的渴望。但在学习本节内容时，之前向量线性运算的知识会造成学生对数量积这个概念的理解上的偏差，干扰学生对数量积概念的理解，另外，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个不同性质的向量经过数量积运算后，结果却不是向量，这给学生的学习带来了困难。

三、重难点

重点：平面向量数量积的概念；

难点：平面向量数量积的定义与几何意义的理解。

四、三维目标

（一）知识与技能

说出平面向量数量积的概念； 知道平面向量数量积的物理背景；

描述平面向量数量积与向量的投影的关系；

（二）过程与方法

通过把功这个式子推广到一般形式来学习数量积概念的过程，学习从特殊到一半的数学学习方法；

通过进一步根据图式理解概念，巩固数形结合的数学思想方法。

（三）情感、态度与价值观

通过生活中的物理问题引出数量积的概念，体会数学与生活与其他学科密切相关；

通过解答新的运算与线性运算之间的区别，感受探索的乐趣，体验到成功解决疑问的快乐。

五、 教学过程

（一） 创设情境，导入新课

情景：某天老师的小车在路上抛锚了，看到前方有一修车厂，需要将车子推到修车厂门口才可以修理，老师用力F 拉动汽车产生的位移为s ，假设F 是恒力。 问题：老师做了多少功？

【学生活动】学生在物理知识的基础上，很容易得到:?cos Fs W =。

【师生活动】教师引导学生从数学的角度看这个式子，W 是数量，F 和s 都是向量，而从物理的角度看这个式子，其中F 和s 是力向量和位移向量的大小，所以可以将该式改成：cos W s F θ→

→=

。

问题：功的计算是一种向量间的运算，那是向量的线性运算么？ 【教师活动】教师带领学生回顾之前学习的向量的线性运算。 【学生活动】学生很容易得到功的计算不属于向量的线性运算。

问题：将向量的线性运算与功的计算进行比较，请学生找两者的区别。 结论：有两个不同点：

① 加、减法运算都是两个同性质的向量进行运算，数乘是实数与一个向量的运算，而功的运算是两个不同性质的向量—力和位移的运算；

② 线性运算的结果还是同性质的向量，而功的运算结果却是数量。 进而导入本节课的内容——平面向量数量积。

【设计意图】教师通过生活中的亲身经历提出问题引入新课，有利于激发学生的认同感与学习兴趣，体会数学与其他学科与生活之间的密切联系，后通过分析比较之前学习的向量运算，创建学生的认知冲突，引出了平面向量数量积，点明本节课的学习内容。

（二） 逐步探索，发现新知 1.剖析概念，知道物理背景

问题：你能用文字语言表述上面的“功的计算公式”—cos W s F θ→

→=

吗？

【学生活动】学生容易得到答案：功是力与位移大小及其夹角余弦的乘积。 问题：如果将这个特殊的式子推广到一般的式子，又该如何描述？ 【教师活动】教师通过一般的cos R a b θ→→

=

引导学生得出答案。

结论：数量R 是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。 【教师活动】给出向量数量积的定义。 定义（板书） 向量数量积：

已知两个非零向量a →和b →

，它们的夹角为θ，我们把数量cos a b θ→→叫做a

→

和b →

的数量积（或内积），记作.ab →→

，即.cos ab a b θ→→

→→

=

另外，我们规定零向量与任一向量的数量积为0。即00a ?=。 【师生活动】教师结合图像让学生做进一步的理解。

→

【教师活动】学习了数量积的概念后，又回到功的式子，请学生将功的式子改成数量积的形式。 【学生活动】：.cos s s F F θ→

→

→→=

。

【教师活动】教师点明功的数学实质就是力F 和位移s 两个向量的数量积。 注意点：

①两个不同性质的向量经过数量积运算后得到的是一个数量；

②两个向量的夹角取值θ范围为[0,]π； ③符号.ab →→

不能写成ab →→或者a b →→

?。

2. 明确内涵，掌握几何意义

【教师活动】学习了数量积的概念，也明确了它的物理背景，那么从数学角度看这个运算，它的几何意义又是什么呢？在发现它的几何意义之前，先学习另一个新的概念：向量投影。 定义（板书）： 向量投影：

如下图所示，我们把

cos b θ

→

叫做向量b →

在

a →

方向上的投影，记作

1cos OO b θ→

=

。

注意：投影也是数量。

【教师活动】请学生根据推车情景的简图回答s →

在F →

上的投影。 【学生活动】学生将容易的得到：

→

→

问题：学习了投影后，从新的角度看看数量积，能发现它的几何意义吗？ 【师生活动】教师引导学生一起得到几何意义是：

数量积.ab →→

等于a →

的长度

a →

与b →在a →方向上的投影cos b θ→

的乘积。

【设计意图】新课程中，教学是师生积极交往互动、共同发展的，通过这一环节调动师生间与学生间的合作交流，通过讨论合作突破难点，掌握重点，体会合作与成功的乐趣。

（三） 自我尝试，巩固新知

例1.已知

5,

4a

b

→

→

==，a →与b →的夹角120θ?

=，求.ab →→

。

【学生活动】该题请学生自主完成。 解：

.cos 54cos1201

=54(-)

2

=-10

ab

a b θ→→

→

→

==???? 例2.已知在⊿ABC 中， ,,AB a AC b ==当0a b ?<或0a b ?=时，试判断⊿ABC 的

形状。

【学生活动】该题请学生自主完成。 解：.cos ab a b θ→→

→→

=

，0a b

→→

>

当0a b ?<时，cos 0θ<，且[]0,θπ∈，∴ θ是钝角，⊿ABC 是钝角三角形； 当0a b ?=时，cos 0θ=，且[]0,θπ∈ ，∴θ=90°，⊿ABC 是直角三角形。 【设计意图】学生通过自主实践，亲身尝试解答问题，将知识内化、理解掌握。

（四） 小结升华，布置作业

【学生活动】最后请学生小结今天所学的知识，教师可以从几个问题引导学生进行总结，再由教师进行补充。引导的问题是：

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的物理背景和数学几何意义是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳？

4、学到了什么数学思想方法？ 最后布置作业：

课本P119习题2.4A 组2、5、6、9。 【设计意图】通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。