勾股定理集体备课
红崖子沟乡中心学校集体备课记录
前置性学习
1、设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜
边长为c
（1）、已知a=6,c=10,求b;
（2）、已知a=5,c=12,求b;
（3）、已知c=25,b=15,求a;
2、在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，c=5，求b
3、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，
求AC长
小组长检查小组同学前
置性作业完成情况，向老师汇
报，并给小组评分。
1.（
1）8
(2)13;(
3)20
=4
难点勾股定理的灵活运用．
学具三角板
教师活动学生活动
主案副案主案副案一、知识回顾与理解
2
小组合作学习
二、探索新知
一个门框的尺寸如图所示：回答下列问题
1、若有一块长3米，宽米的薄木板，问
怎样从门框通过
2、若薄木板长3米，宽米，能通过门框
吗
小组讨论：（1）木板横着能过吗为
什么竖着能过吗为什么若不能，你会选
择怎样做
（2）门框内能通过的最大长度是那
条线段，你能计算它的长度吗
（3）根据你的计算出的结果，判断
木门能否从门框内通过
∵木板的宽
米大于1米
∴横着不能
从门框通过
∵木板的宽
米大于2米
∴竖着也不
能从门框通过
汇报交流
例：如图，边长为1的正方体中，一只蚂
蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点
B的最短距离是
小组讨论：（1）A、B两点之间最短
（2）你能找到这条线段吗怎样找
（3）怎样求这条线段的长度
先独立思考并完成，然后在小
组内讨论交流解决，并在小组间展
示、交流。
长方体侧
面展开图是矩
形，所以A、B
两点间的距离
即为直角三角
形对角线的长
3
巩固拓展
2.一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
⑴若梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,则
梯子的顶端A与它的底端B哪个距墙角C 远
⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m,那么
它的底端是否也滑动1m ⑶有人说,在滑动
过程中,梯子的底端滑动的距离总比顶端下
滑的距离大,你赞同吗
通过典型习题的训练，熟练掌
握勾股定理并学会运用勾股定理解
决实际问题
（1）利用
勾股定理可以
得出BC=6；
（2）梯子
顶端下滑1m，即
AC=7,而AB=10
所以
2
2
2
2
7
10-
=
-
=AC
AB
BC
作业布置1.课后作业：
课本28页习题的第5、8、11题。
2.前置作业：
（1）. 直角三角形有哪些性质
通过作业
中几个小练习，
让学生更好的
理解勾股定理，
并能运用勾股
定理解决实际
问题
（2）.一个三角形，满足
什么条件是直角三角形
（3）我们是否可以不用
角,而用三角形三边的关系来
判断是否为直角三角形呢
通过写作
业加深对勾股
定理的认识，利
用勾股定理解
决实际问题
4
5
《勾股定理》教材分析
勾股定理教材分析 勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又用与生活”是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。 2、教学目标 <1> 通过对几种常见的勾股定理验证方法，进行分析和欣赏。理解数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，进一步感悟勾股定理的文化价值。 <２> 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。 <３>让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。 <4> 掌握勾股定理及其逆定理，并能运用这两个定理解决实际问题. 重点： <1> 分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。 <2>勾股定理和逆定理的探索和应用。 难点： <1> “数形结合”思想方法的理解和应用。 <2> 通过拼图，探求验证勾股定理的新方法。 4、教法和学法： 在整个教学过程中，本课的教法和学法体现如下特点： 1、以学生自我探索、合作交流为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。 2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。 3、通过学生自己得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。
鲁教版 第三章勾股定理单元备课
第三章勾股定理 教学目标： 知识与能力： 掌握勾股定理及其逆定理，并能应用它们解决简单的问题 过程与方法： 经历勾股定理及直角三角形判别条件（勾股定理逆定理）的探索过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，进一步发展学生的推理能力。 情感态度价值观： 感受勾股定理的历史文化价值，培养学生探索知识的兴趣 教材分析： 勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，勾股定理的探索使学生对直角三角形有了进一步的认识和理解。同时，本章借助勾股定理渗透了代数计算和几何图形间的关系。学生先前已经经历过较多的操作性活动和探究性活动，具备了一定的探究能力，在教师适当的指导下学生具有探究勾股定理的能力。正基于这些思考，我们不满足于学生掌握勾股定理及其定理，并应用它们解决具体问题，而力图让学生经历勾股定理及其逆定理的探究过程，在探究过程中进一步丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力和分析问题、解决问题能力，同时感受勾股定理的文化价值。 重点：勾股定理及其逆定理的运用 难点：勾股定理的验证和验证的应用 突破重难点的措施： 注意勾股定理的推论验证，关注应用，多联系实际生活；注意渗透数形结合的思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示。 教学建议：1、注重使学生经历探索勾股定理等活动过程 2、注重创设丰富的现实情境，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用。 3、尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值。 4、注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透 评价建议：1、关注对探究勾股定理等活动过程的评价。 2、关注对勾股定理及其逆定理的理解与应用的考查。 课时安排： 探索勾股定理 2课时 一定是直角三角形吗 1课时 勾股定理的应用举例 2课时 回顾与思考 1课时 练习课 1课时 讲评课 1课时 学情分析：
最新勾股定理单元复习教案
年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间： 勾股定理 知识梳理 1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 3．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。 4．勾股定理的应用: ①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离； ②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。 5．直角三角形的判别： ①定义，判断一个三角形中有一个角是直角； ②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。 6．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。 精讲点拨 考点1. 勾股定理 【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 变式1 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________ 变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边， （1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
考点2. 勾股定理的证明 【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2 2 2 a b c += 变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2 2 2 a b c += 考点3 勾股定理的应用 【例3】 如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
勾股定理教材分析教案
本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动 小结 1课时 一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图： 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。 勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。 勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。 由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。 在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。 几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理
第17章《勾股定理》单元备课
第十七章勾股定理单元备课 一、教材分析： 新版教材在原有教材的基础上进行了修订，“勾股定理”为独立的一章，其主要内容包括勾股定理（直角三角形三边的关系）；勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）；勾股定理及逆定理的应用。 本章所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。 1.本章的主要内容 （1）勾股定理（直角三角形的三边关系） （2）勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法之一） （3）勾股定理及勾股定理逆定理的应用。 2.重点与难点 本章内容的重点是勾股定理及勾股定理逆定理的应用。勾股定理是解几何题中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。本章的难点是勾股定理的证明。课本通过构造图形，利用面积相等来证明的，证明思路的获得学生感到困难，这涉及到了解决几何问题的方法之一：割补法。 二、教学目标：
（1）理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边。 （2）能验证勾股定理。 （3）会运用勾股定理的逆定理，判定直角三角形。 （4）通过介绍古今中外对勾股定理的研究，激发学生的爱国热情。 （5）能运用勾股定理及勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。 三、教学中应注意的问题： 1.让学生获得更多与勾股定理有关的知识背景，注重介绍数学文化。 2.让学生体验勾股定理的探索和运用过程。 3.注意引导学生体会数形结合的思想方法，培养应用意识。 4.适当总结与定理、逆定理有关的内容 四、课时安排： 17.1勾股定理4课时 17.2 勾股定理的逆定理3课时 小结与复习1课时第十八章单元测试2课时
勾股定理的教学设计(第一课时)
17.1 勾股定理（第一课时） 【教学目标】 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感。 2.能用勾股定理解决一些简单问题。 【重点难点】重点：探索和证明勾股定理。难点：应用勾股定理解决实际问题。【教学过程设计】 【活动一】 (一)创设问题情境 1、你听说过“勾股定理”吗？ (1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理 (2)在中国，相传4000多年前，大禹曾在治理洪水的过程中，利用勾股定理来测量两地的地势差 (3)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。 2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。 （1）现在请你一观察一下，你能发现什么？ （2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？ （二）师生行为教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。 （三）（三）设计意图 ①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。 ②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。 ③鼓励学生用语免得数学活动的困难，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。并通过方法的反思，获得解决问题的经验。 在本次活动中教师用重点关注： ①学生能否将实际问题（地砖图形在三个正方形围成的一个直角三角形）转化成数学问题（探索直角三角形的特性三边关系）。 ②给学生足够的时间去思考和交流，鼓励叙述大胆说唱自己的看法。 ③学生能否准确挖掘图形中的隐含条件，技术各个正方形的面积 ④是否能用不同的方法（先补全在分割、数格子的个数、拼图等等），引导学生正确地得出结论。 ⑤学生能否主动参与探究活动，在探究中发表意见，与他人合作的意识。【活动二】 勾股定理的教学设计（第一课时） 一、教案背景 （一）教材分析 这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一节《勾股定理》第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 （二）学情分析 1．通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。 3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。 （三）教学设想 1．课型：新授课 2．设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。 3．教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。 二、教学目标 （一）知识目标 1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。 2．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算 3．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。 （二）能力目标 1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。 3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。 4．通过勾股定理的简单应用，能用数学的眼光观察现实世界和有条理思考与表达的能力，感受勾股定理的价值，也能写出简单的推理格式，以培养学生的逻辑思维能力。 ﹙三﹚情感与价值观 培养学生参与的积极性，及合作交流的意识。学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，逐步体验数学说理的重要性。 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。引导学生积极探索，注意观察生活，体验生活中的数学。 通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 三、重点难点剖析 （一）重点 1．体验勾股定理的发现过程，勾股定理的内涵。 2．勾股定理的简单应用，即在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。 （二）难点 1．勾股定理的发现过程。 2．应用勾股定理时斜边或直角的确定，推理格式的正确书写。 3．灵活运用勾股定理。 （三）难点成因 在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想，而学生已有的知识能力水平很难从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这对学生具有一定的挑战性。 （四）难点突破 为了突出重点，突破难点，在探索勾股定理的过程中，按特殊到一般的思想，引导学生先由特殊的直角三角形开始研究，然后从正方形的面积联想a2、b2、c2；得出结论后，不把重点放在勾股定理的验证过程中，而只是简单介绍勾股历史，简单提到古今中外对勾股定理有很多证明方法，而对于怎样证明则作为课后阅读留给学生自己探索。然后直接进入勾股定理的应用。在教学中，给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的办法，并与他人进行合作与交流。另外对练习的精选，也选择学生易错的题型，让他们养成先确定斜边或直角再利用定理的习惯。 四、教学策略及教法设计 （一）教学策略 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，以熟悉的学习工具—三角板为导入，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握勾股定理探索的方法。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握勾股定理。 辅助策略：借助多媒体课件，使学生直观形象地观察、动手操作。 （二）教法设计 探索法：让学生在探索直角三角形三边关系的活动中，积累数学活动经验。 讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。 练习法：教学中通过对形的计算，使学生了解数对形的意义，使数形结合在勾股定理教学中得到充分的展示。并精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平。 五、教学过程 师生双边教学活动教学手记教学过程学生活动 这是新课，要掌握的哦。 新知介 绍 1、 由身边熟悉的工具---三角板开始新课根据三角板拓展思维回答相关问题 情景创 设
八年级数学勾股定理教材分析报告
第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，
集体备课稿三角恒等变换
三角恒等变换 【1】（A ，新课标I ，理2）sin 20cos10-cos160sin10= A.2- B.2 C.12- D.12 【2】（A ，重庆，文6）若1 1 tan ,tan() 3 2 ,则tan = A.17 B.16 C.57 D.56 【3】（C ，重庆，理9）若5 tan 2tan πα=则 =-- ) 5 sin() 103cos(παπα A.1 B.2 C.3 D.4 【4】（A ，四川，理12） 75sin 15sin +的值是___. 【5】（B ，四川，文13）已知0cos 2sin =+αα，则ααα2cos cos sin 2-的值是 . 【6】（B ，江苏，文理8）已知2tan -=α，7 1 tan =+）（βα，则βtan 的值为 . 【7】（A ，广东，文16）已知tan 2α=． (1)求tan()4 π α+的值； (2)求 2sin 2sin sin cos cos 21 α αααα+--的值．
解三角形 【1】（A ，广东，文5）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ．若2a = ，c = cos A = b c <，则b = A.3 B. C.2 【2】（A ，湖 北，文15理13）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得 公路北侧一山顶D 在西偏北 30 的方向上， 行驶600m 后到达B 处，测 得此山顶在西 偏北75的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度CD = m. 【3】（A ，广东，理11）．设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，若a = 1 sin 2 B =，6 C π =，则b = . 【4】（A ，福建，理12）若锐角ABC ? 的面积为，且5,8AB AC ==，则BC 等于 . 【5】（B ，北京，文11）在ABC △中，3=a ， 6=b ，3 π 2= ∠A ，则=∠B . 【6】（B ，北京，理12）在ABC ?中，6,5,4===c b a 则=C A sin 2sin . 【7】（ B ，天津，理13）在△AB C 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知△ABC 的面积为153,2=-c b ,4 1cos -=A ,则a 的值为 . 【8】（B ，重庆，文13）设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且2a =,1 cos 4 C =-，3sin A A B 第2题图
勾股定理单元设计分析教案
区域集备组教学设计案例 单元设计总体分析——《勾股定理》 (一)教材所处的地位 1、教材分析：本章是华东师大版《数学》八年级下册第14章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。 勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。在理论和实践上都有广泛的应用。勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要的应用。 2、教材特点： ①在呈现方式上，突出实践性与研究性。（对勾股定理是通过问题引出加以探索认识的。 ②突出学数学、用数学的意识与过程，勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来。 ③对实际问题的选取，注意联系学生的实际生活。 ④注意扩大学生的知识面。（本章安排了两个阅读材料和一个课题学习） ⑤注意训练系统的科学性，减少操作性习题，增加探索性问题的比重。 （二)单元教学目标（包括情感目标） 知识与技能目标： 1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用 数学的意识与能力。 2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。 3、掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），会运用勾股定理逆定理解决相关问题。 4、运用勾股定理及其逆宣解决简单的实际问题。 情感与态度目标： 5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的 思想感情。 （三）单元教学重难点 教学重点：
北师大版-数学-八年级上册-勾股定理 教材分析 第1课时
初中-数学-打印版 勾股定理教材分析第1课时 勾股定理把几何图形中直角三角形的形的特征转化成数量关系，为几何图形与数量关系之间搭建桥梁发挥了重要作用．由于直角图形的普遍性，勾股定理在实际应用中及其重要． 教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想及证明过程，首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说，并让学生也去观察同样的图案，通过研究等腰直角三角形这种特殊直角三角形的面积关系，发现它的三边之间的数量关系，在进一步的探究中，又让学生对一般直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，进而得到这些直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，然后，对更一般的结论提出了猜想．并用赵爽证法加以证明，这是一个典型的从特殊到一般的思想方法，这样安排有利于学生认识结论研究的探究过程（观察、想象、计算、猜想、证明），激发学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯． 历史上对勾股定理的证明的研究很多，得到了很多证明方法．教科书正文中介绍了3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法．这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成另个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和 对图形面积的不同算法得到等量关系．在教科书中，主要是将边长分别为、的两个正方形切割成四个直角三角形和一个小正方形，其中，直角三角形两直角边分别为、，面积都等于；小正方形的边长为,面积为．这样，由于 从而证明了勾股定理． 本节课的教学重点是勾股定理的探究和证明． 初中-数学-打印版
勾股定理教学设计
《勾股定理》教学设计 泸水市鲁掌中学王晓荣 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）教学目标 基于以上分析和数学课程标准的要求，制定了本节课的教学目标。 知识与技能： 1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。 2、了解勾股定理的内容。 ； 3、能利用已知两边求直角三角形另一边的长。 过程与方法： 1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。 情感与态度： 1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股 定理的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。 2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气， 培养合作意识和探索精神。
（三）教学重、难点 重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理 } 二、学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。 三、教学策略 本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。 四、教学程序
《勾股定理教材分析》
《勾股定理》教材分析 一、课标要求： 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题； 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 二、中考要求： 1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。 3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。 三、 本章结构图： 互逆定理 四、 本章的地位和作用 五、本章课时安排： 本章教学时间约需要7课时，具体安排如下： 18.1 勾股定理 3课时 18.2 勾股定理的逆定理 2课时 18.3 小结 2课时
六、本章重要的数学思想和方法 1. 在定理、逆定理探究过程中所体现出来的由特殊到一般的思想 2.数形结合思想：面积法证明数学问题及由数到形、由形到数 3、整体的方法. 4.分类讨论思想 5.方程思想贯穿始终 6.转化思想：化斜为直，化空间为平面，化曲为直 七、教学内容设计 八、数学思想的贯穿 2、数形结合思想 例1、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边分别为a,b. 那么（ a+b)2的值为_____ 例2 如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，他们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km。现要在高速公路上
《勾股定理》教学设计方案#(精选.)
教学设计（《勾股定理》为主题） 班级：2015级3班学号：2015060336 姓名：吴玲性别：女 序言：勾股定理是几何中几个重要定理之一，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是对直角三角形性质的进一步学习和深入，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，在实际生活中用途很大。它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域中也被广泛地应用，而说明数学是一门基础学科，是人们生活的基本工具。 勾股定理知识是我国数学领域的璀璨明珠，代表着历代人民智慧和探索精神的结晶。通过学生亲身再次重温它的得来的过程从中感触我国数学知识源远流长和数学价值的伟大从中得到良好的思想的熏陶。
教学活动1 活动一：故事场景→发现新知 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角 形的三边之间的某种数量关系。 地面 同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？ 提问：1）上图中的等腰直角三角形有什么特点？ 2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的的直 角三角形是否也满足这种特点？ 引导学生分析情景、提出问题： 你是怎样观察这个砖铺的现场的？ （从基本砖铺材料、图形单元、位置形态进行观察：铺设材料是 正方形砖块，其中丰富的图案都是由等腰Rt△色块作为基本单元 构成。） A B 由于对角线的作用，通过进一步的观察或者手工拼图可以发现用等腰直角三角形拼正方形的基本方法（充分展示出了等腰直 角三角形与正方形的结构关系）。
3)在课堂上开展分组活动，让学生亲手操作：对正方形进行 剪切、拼贴然后再将它们关联（由正方形的边长关系到等腰直角 三角形）起来从而实现真正意义上的发现----合围(以等腰直角三 角形的三边为边) 教学活动2 活动二、深入探究→网络信息 等腰Rt△有上述性质其它的Rt△是否也具有这个性质呢？ 网格 提问： （1）你是如何计算那个建立在Rt△斜边上的正方形面积的？ 怎样探索“其它”的Rt△的三边关系呢？ 目标体验：有区别的看待直角三角形（从地板上的等腰直角三角 形出发，构建“其它”直角三角形并且在它的三边建立正方形以 突出便利于探究性学习的网格图形）。 （2）要求学生画一个两直角边分别为2，3的直角三角形，并以它的三边为边长（根据定义法辅用以直尺）建立正方形。 (3)计算各正方形面积并验证这个Rt△的三边存在的关 系。
勾股定理数学活动
第十七章《勾股定理》数学活动教学设计 【教材分析】本节课是人教版义务教育课程标准试验教科书《数学》八年级下册第十七章《勾股定理》中的数学活动，即通过“赵爽弦图”来进一步对勾股定理的证明。教学时数为1课时。勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。是初中数学教学内容重点之一。勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题，是直角三角形特有的性质，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 【学情分析】学生在以前学习和掌握了一般三角形的基本性质，现在将进一步学习一种特殊三角形-直角三角形的三边关系“勾股定理”。以与勾股定理有关的历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。 【教学目标】 知识技能：1、理解并掌握勾股定理的内容及其证明方法，能运用勾股定理 解决实际问题。 2、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理探索过程。 数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想。 问题解决：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程 和探究过程。 情感态度：1、通过对勾股定理历史的了解，增强学生爱国情操，激发学生 学习兴趣。 2、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和积极探索精神【教学重点】1、掌握勾股定理的内容。2、理解勾股定理的证明 3、运用勾股定理解决具体问题。
【教学难点、关键】利用“拼图”、“数形结合”的方法验证勾股定理. 【教学方法】观察法、小组讨论法、引导练习法、启发式教学及探究式教学法。【教学手段】三角尺、拼图、多媒体投影、课件 【教学过程设计】 学习目标： 1．通过拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维．在证明勾股定理过程中体会“出入相补”的思想，发展逻辑思维； 2．了解勾股定理历史，感受数学文化． 教师活动 出示教学目标，板书课题：数学活动 学生活动 默读目标，明确任务1分钟 设计意图 利用多媒体，展示学习目标,明确本节课的学习任务，坚守先学后教，以学定教的理念 自学指导： 1. 请同学们认真看课本36页活动1、活动2探究的内容，并用4张全等的直角三角形纸片，拼出了一些与教科书上不同的图案，用自己拼出的图案证明了勾股定理 2. 由此你能得出什么结论? 8分钟后看谁做得又快又好，现在自学比赛开始。教师活动 教师巡视指导自学 学生活动 学生拿出自己准备好的4张全等的直角三角形纸片，把自己的拼图方案展示在桌面上 设计意图
解直角三角形单元备课
解直角三角形单元备课 内容： 1.第一部分包括第1、2、3节要学习正弦、余弦、正切等锐角三角比的概念 2.第二部分包括第4、5节，主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形目标： 1.课程目标 （1）了解锐角三角比的概念，能够正确应用sinA,cosA,tanA表示直角三角形中两边的比；记忆300 ,450 ,600的正弦、余弦、正切的比值，并会由一个特殊角的三角比值说出这个角。 （2）会使用计算器由已知锐角比求它的三角比；由已知的三角比求它的对应锐角。 （3）能用锐角三角比解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。（4）培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力，增强学生的应用意识。（5）掌握直角三角形的边与角、数与形之间的联系，体验转化、数形结合等数学思想。 2.单元目标 （1）了解锐角三角比的概念，能够正确应用sinA,cosA,tanA表示直角三角形中两边的比；记忆300 ,450 ,600的正弦、余弦、正切的比值，并会由一个特殊角的三角比值说出这个角。 （2）会使用计算器由已知锐角比求它的三角比；由已知的三角比求它的对应锐角。 （3）理解直角三角形中边与边的关系、角与角的关系和边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余，以及锐角三角比解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 （4）学会将某些实际问题通过数学建模转化为数学问题，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力，增强学生的应用意识。 （5）掌握直角三角形的边与角、数与形之间的联系，体验转化、数形结合等数学思想。 （6）通过引导学生对问题的讨论、交流来提高学生判断、分析的能力，培养好奇心、求知欲及合作交流的意识。 3.课时目标 第一课时 1、理解锐角三角比的概念，记住三角比的符号，会进行锐角三角比的文字语言与符号语言 的转化； 2、会求直角三角形中指定锐角的三角比 第二课时 1、经历探索30,45,60角的三角比的过程，知道求出这些特殊角的三角比的值的方
最新北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析优秀名师资料
北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析核准通过，归档资料。 未经允许，请勿外传～心浪微博:朴恩俊丶熊猫 核准通过，归档资料。 未经允许，请勿外传～ 核准通过，归档资料。 未经允许，请勿外传～ 北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析 本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 全章分为两节: 18。1勾股定理。本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题(画出长度是无理数的线段等)中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。
18。2勾股定理的逆定理。本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画 直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题 的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2， 得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。 课标对本章的要求(本章学习目标): 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题; 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形; 3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原 命题成立其逆命题不一定成立。 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30?的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，它是几何中几个最重要的定理之一，揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析
北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析 本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 全章分为两节： 18。1勾股定理。本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。 18。2勾股定理的逆定理。本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。 课标对本章的要求（本章学习目标）：