数学建模例题及解析
。
例1差分方程——资金的时间价值
问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起
每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。
a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的：
需要借多少钱，用记；
月利率(贷款通常按复利计)用R记；
每月还多少钱用x记；
借期记为N个月。
b．建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数，则一
个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为
k=0，1，2，3，
而一开始的借款为。所以我们的数学模型可表述如下
(1)
c. (1)的求解。由
(2)
这就是之间的显式关系。
d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年＝60个月，
已知；每月还款x＝1200元，已知A。即一次性付款购买价减去70000元后剩下
的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得
(3)
A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0
A。例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出0
53946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝
123946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或
Mathematica这样的
数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑
下面两个问题。
注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用
某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。
例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款
期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这
对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢?
解：现在的问题就是要求使的x，由(2)式知
现＝60000，R＝0．01，k＝300，算得x=632元，这说明这对夫妇有能力买房。例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告：“若借款60000元，22
年还清，只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了的关系要你预付
三个月的款，即316×6＝1896元。这对夫妇想：提前三年还清当然是好事，每
半个月还316元，那一个月不正好是还632元，只不过多跑一趟去交款罢了；要
预付18％元，当然使人不高兴，但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟，
是1896元的十几倍哪!这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢?这对夫
妇请教你给他们一个满意的回答。
具体解法略。
问题2：养老基金
今后，当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人的养老基
金，所在单位（若经济效益好的话）每月再投入一定数量的钱，再存入某种利息
较高而又安全的“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用。也就是
说，若退休金不足以维持一定的生活水平时，就可以动用自己的养老基金，每月
取出一定的款项来补贴不足部分。假设月利率及＝0．01不变，还允许在建立养
A(不论多少)，每月存入y元(个人和单老基金时自己可以一次性地存入一笔钱0
位投入的总和)；通常从三十一岁开始到六十岁就可以动用。这当然是一种简
化的假设，但作为估算仍可作为一种考虑的出发点。本问题实际上有两个阶段，
即退休前和退休后，其数学模型为
其中x为每月要从养老基金中提出的款项。
习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的
积蓄1万元也一次性地存入，已知月利率为0．01 (以复利计)，每月存入300
元，试问当小李60岁退休时，他的退休基金有多少?又若，他退休后每月要从
银行提取l000元，试问多少年后他的退休基金将用完?你能否根据你了解的实际情况建立一个较好的养老基金的数学模型及相应的算法和程取软件)。
习题2 渔业(林业)管理问题
设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条，鱼的平均年净繁殖率为R，每年捕捞x条，记第N年有鱼条，则池内鱼数按年的变化规律为
注意，在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数的。若对某海域的渔业作业中＝100000吨，R＝0．02，x＝1000吨，试问会不会使得若干年后
就没有鱼可捕捞了（资源枯竭了）？
例2比例分析法——席位分配
问题：某学校有三个系联合成立学生会，
（1）试确定学生会席位分配方案。
（2）若甲系有100名，乙系60名，丙系40名。学生会设20个席位，分配方案如何？
(3)若丙系有3名学生转入甲系，3名学生转入乙系，分配方案有何变化？
（4）因为有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10： 10的平局，会议决定下一届增加1席，若在第（3）问中将学生会席位增加一席呢？
（5）试确定一数量指标衡量席位分配的公平性，并以此检查（1）—（4）。
公平而又简单的席位分配办法是按人数的比例分配，若甲系有100名，乙系60名，丙系40名。学生会设20个席位，三个系分别应有10，6，4个席位。
19席分配完毕后，剩下的1席按照惯例分给余数最大的丙系，于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．
因为有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10：10的平局，会议决定下一届增加1席，于是他们按照上述惯例重新分配席位，计算的结果令人吃惊：
看来，要解决这个矛盾，必须重新研究所谓惯例分配方法，提出更加“公平”的办法．
下面就介绍这样一个席位分配模型．设A、B两方人数分别是p1 和p2，分别占有n1 和n2 个席位，
则两方每个席位所代表的人数分别是p1 ／n12和p2／n2．很明显，仅当这两个数值相等时，席位的分配才是公平的．但是，通常它们不会相等，这时席位分配得不公平。
不公平的程度可以用数值来表示，它衡量的是“绝对不公平”．从
下表所举的例子来看，A、B之间的“绝对不公平”与C、D之间是一样的。但是从常识的角度看，A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重的不公平．所以
的人数越多，或者说，总人数一定时分配的席位越少。所以，如果p1／n13＞p2/n2，则A方是吃亏的，或者说，对A是不公平的，由此，我们这样定义“相对不公平”：
若p1／n1＞p2／n2，则称
为对A的相对不公平值，记做
若p1／n1＜p2／n2，则称
为对B的相对不公平值，记做
假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位，我们利用相对不公平的城念来讨论，当总席位再增加1席时，应该给且A方还是B方?
不失一般性，可设p1／n1＞p2/n2，即此时对A方不公平，，
有定义．当再分配1个席位时，关于p／n的不等式有以下三种可能：
1)p1／(n1十1)＞p2／n2，这说明即使A方增加1席，仍然对A不公平，所以这1席当然应给A方；
2)p1／(n1十1)＜p2／n2，说明当A方增加1席位，将对B不公平，此时应参照式，计算对B的相对不公平值
3）说明当B方增加1席时，将对A方不公平，此时计算得对A 的相对不公平值是
（注意：在p1/n1p2/n2的假设下，不可能出现p1／n1＜p2／(n2+1)的情况因
为公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小，所以如果
则这1席应给A方；反之应给B方．根据(3)、（4）两式，(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况的p1／(n1十1)＞p2／p2也可推出。于是我们的结论是：当(6)式成立时，增加的1席应分配A方；反之，应分配给B方．
若记，则增加的1席位应分配给Q值较大的一方．
将上述方法可以推广到有m方分配席位的情况．
下面用这个方法，重新讨论本节开始时提出的，三个系分配21个席位的问题．首先每系分配1席，然后计算：
甲系n1＝1，
乙系， n2=1，
丙系，n3=1，
因为最大，所以第4席应分配给甲系，继续计算：
甲系n1＝2，
将与上面的相比，最大，第5席应分给乙系，继续计算。如此继续，
习题：
学校共1000名学生，235入住在A 宿合，333人住在B 宿合，432人住在C 宿合．学
生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数．
1）惯例的方法，印按比例分配完整数名额后，剩下名额给余数最大者。
2）Q 值方法。
如果委员会从10人增至15人，分配名额将发生什么变化? ，
例3 状态转移问题——常染色体遗传模型
随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥秘，越来越注重遗传学的研究，特别是
遗传特征的逐代传播，引起人们的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特
征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基
因对将确定后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗
传和x —链遗传。根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可
以逐代研究一个总体基因型的分布。
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基
因对，基因对也称基因型。如果我们所考虑的遗传特征是有两个基因A 和控制的，
那么就有三种基因对，记为AA ，A ，。例如，金草鱼由两个遗传基因决定花的颜
色，基因型是AA 的金鱼草开红花，型的开粉红色花，而型的开白花。又如人类
的眼睛的颜色也是提高通过常染色体遗传控制的。基因型是的人，眼睛是棕色，
基因型是的人，眼睛是兰色。这里因为都表示了同一外部特征，我们认为基因A
种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一
代的三种基因型分布如何？
第一步：假设：令 ,2,1,0=n 。
（1） 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中，基因型为AA,Aa 和aa 的植物占
植物总数的百分率。令)(n x
为第n 代植物的基因型分布: ??????????=n n n n c b a x )
( 当n=0时
??????????=000)0(c b a x
表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布），显然有
1000=++c b a
（2） 第n 代的分布与第n-1代的分布之间的关系是通过上表确定的。
第二步：建模
根据假设（2），先考虑第n 代中的AA 型。由于第n-1代的AA 型与AA 型结合，
后代全部是AA 型；第n-1代的Aa 型与AA 型结合，后代是AA 型的可能性为1/2，
第n-1代的aa 型与AA 型结合，后代不可能是AA 型。因此，当 ,2,1,0=n 时
11102/1---?++?=n n n n c b a a
即2/11--+=n n n b a a
类似可推出
2/11--+=n n n b c a
0=n c
将式相加，得
111---++=++n n n n n n c b a c b a
根据假设（1），有
1000=++=++c b a c b a n n n
对于式、式和式，我们采用矩阵形式简记为
,2,1,)1()(==-n Mx x n n
其中
??????????=00012/1002/11M ??????????=n n n n c b a x )(
式递推，得
)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--
式给出第代基因型的分布与初始分布的关系。
为了计算出n
M ，我们将M 对角化，即求出可逆矩阵P 和对角阵D ，使
1-=PDP M
因而有
,2,1,1==-n P PD M n n
其中
??????????=??????????=n
n n n n D 32132
1
0000000000
00λλλλλλ
这里321,,λλλ是矩阵M 的三个特征值。对于式中的M ，易求得它的特征值和特征
向量:
0,2/1,1321===λλλ
因此
??????????=00002/10001D ,??????????=0011 ??????????-=0112 ??????????-=1213 所以
[]??????????--==100210111321 P 通过计算1-=P P ，因此有
)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==
????????????????????--????????????????????--=000100210111000
0)21(0010100210111c b a n 即?
???????????????????--=??????????=--00011)
(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ??????????+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n
所以有
?????=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a
当∞→n 时
0)2/1(→n ，所以从式得到 0,1→→n n b a 和n c =0
即在极限的情况下，培育的植物都是AA 型。
第三步：模型讨论
若在上述问题中，不选用基因AA 型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基
并且)0()(x M x n n =，其中
??????????=14/1002/1004/11M M 的特征值为2/1,1,1321===λλλ
通过计算，可以解出与21,λλ相对应的两个线性无关的特征向量1 和2 ，及与
3λ相对应的特征向量3 ：
??????????-=1011 ??????????=1002 ??????????-=1213 因此
[]??????????--==111200101321 P ??????????-=-02/1011102/111P
)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==
????????????????????-????????????????????--=00002/1011102/11)2/1(000100
01111200101c b a n n 所以有
?????-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(b b c c b b b b a a n n n n n n
当∞→n 时0)2/1(→n ，所以从式得到
0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→
因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅具有基因AA
和aa 。
例4 合作对策模型
在经济或社会活动中，几个社会实体（个人、公司、党派、国家）相互合作或结
成联盟，常能获得比他们单独行动更多的经济或社会效益。这样合理地分配这些
效益是合作对策要研究的问题。请看下面的例子。
问题一：经商问题
甲、乙、丙三人经商，若单干，每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙
合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元，问三人合作时
如何分配10元的收入。
甲的收入应按照甲对各种形式的合作的贡献来确定．对于某一合作的贡献定义
为：有甲参加时这个合作的收入与无甲参加时这个合作的收入之差．例如甲对甲
乙二人合作的贡献是7—1＝6 (因为甲乙合作获利7元，而乙单干仅获利1
元)．甲可以参加的，合作有四个：甲自己(单干视为合作的特例)、甲乙、甲丙、
甲乙丙． 甲对这些合作的贡献分别是甲：1一0＝1元；甲乙：7—1＝6元；甲
内：5—1＝4元；甲乙丙：10—4＝6元，甲应分得的收入是这四个贡献的加权平
均值，加权因子将由下面的一般模型给出．
这个问题叫做3人合作对策，是对策论的一部分，这里介绍它的一种解法。
一般的n 人合作对策模型可以叙述如下：
记n 人集合为I=
,如果对于I 中 的任一子集，都对应一个实值
函数v （s ），满足
则称为定义在I 上的特征函数．所谓合作对策是指定义了特征函数的I 中n 个人
的合作结果，用向量值函数
来表示．在实际问题中．常可把I 中各种组合的
合作获得的利益定义为特征函数，上式表示合作规模扩大时，获利不会减少。不
难看出，如将三人经商问题中合作的获利定义为特征函数v ，v 是满足(1)、(2)
的．
为了确定，Shapley 在1953年首先制定了一组
应该满足的公理，然后证明了满足这组公理的
的唯一解是
其中是I 中包含{i}的所有子集，是集合s 中的人数， 是加权因子，由
确定．(3)式中
可看作成员{i}对合作s 的贡献；
表示对所有包含{i}的集合求和．称为由v 定义的合作的Shapley 值． 我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到的收入．
甲、乙、丙分别记作{1}，{2}，{3}，包含{1}的集合有{1}、{1，2}、{1，3}、
W(
.
同样可以算出乙、丙应得收入为＝3．5元，＝2.5元。 问题二：三城镇的污水处理方案
沿河有三城镇1、2和3，地理位置如图4；6所示．污水需处理后才能排入河中．三
城镇或者单独建立污水处理厂，或者联合建厂，用管道将污水集中处理(污水应
于河流的上游城镇向下游城镇输送)。以Q 表示污水量(吨／秒)，工表示管道长
度(公里)。
按照经验公式，建立处理厂的费用为712.0173Q P =，铺设管道的费用为
L Q P 51.0266.0=．今
5,3,5321===Q Q Q ．L 的数值38,202312==L L ．试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案；包
括是单独还是联合建厂；如果联合，如何分担投资额等．
三城镇或单干或不同形式的联合，共有五种方案。下面一一计算所需的投资．
方案一 三城镇都单干。投资分别为
总投资：
方案二城1、2合作。这时城1、2将从节约投资的角度对联合还是分别建厂作出决策，所以城1、2的投资为：
=3500
C（3）=2300
总投资：
方案三城2、3合作。
C（1）=2300
总投资：
方案四城1、3合作。
C（2）=1600
总投资：
方案五三城镇合作
=5560
总投资：
比较五个方案可知，应该选择三城合作，联合建厂的方案．
下面的问题是如何分担总额为5560的费用．
城3的负责人提出，联合建厂的费用按三城的污水量之比5：3：5分担，铺设管道费应由城1、2担负．城2的负责人同意，并提出从城2到城3的管道费由城
1、2按污水量之比5：3分担；从城1到城2的管道费理应由城1自己担负．城1的负责人觉得他们的提议似乎是合理的，但因事关重大，他没有马上表示同意；
而是先算了一笔账．联合建厂的费用是
4530
)5
3
5(
73712.0=
+
+，城2到城3
的管道费是730，城1到城2的管道费是300，按上述办法分配时，城3负担的费用为1740，城2的费用为1320，域1的费用为2500．结果出乎意料之外，城3和城2的费用都比单独建厂时少，而城1的费用却比单独建厂时的C(1)还要多.城1的负责人当然不能同意这个方法，但是一时他又找不出公平合理的解决办法．为了促成联合的实现，你能为他们提供一个满意的分担费用的方案吗?
首先，应当指出，城3和城2负责人提出的办法是不合理的：从前面的计算我们知道，三城联合，才能使总投资节约了640的效益应该分配给三城，使三城分配的费用都比他们单干时要少，这是为促成联合所必须制定的一条原则．至于如何分配，则是下面要进一步研究的问题．
把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担的费用反比单独建厂费用高的情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数.于是有
v(
φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-35 00=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c (1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.
W(
即
197
)
(
1
=
v
?
同理得
321
)
(
2
=
v
?,122
)
(
3
=
v
?
那么, 城1分担的费用为2300-197=2103, 城2分担的费用为1600-321=1279, 城3分担的费用为2300-122=2178,合计5560.
习题：
某甲（农民）有一块土地。如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产，可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业，可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时，年收入可达400元。为实现最高收入，试问如何分配各人的所得才能达成协议？
例5动态规划模型
有不少动态过程可抽象成状态转移问题，特别是多阶段决策过程的最优化如最短
路径问题，最优分配，设备更新问题，排序、生产计划和存储等问题．
动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题的最优化方法，它的基本特征是包含多个阶段的决策．1951年，美国数学家贝尔曼(R ．Bellman)等人，提出了解决多阶段决策问题的“最优化原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了动态规划·
动态规划方法的基本思想是：将一个复杂问题分解成若干个阶段，每一个阶段作为一个小问题进行处理，从而决定整个过程的决策，阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”的含义，然而，一些与时间无关的静态规划中的最优化问题，也可人为地把问题分成若干阶段，作为一个多阶段决策问题来处理，计算过程单一化，便于应用计算机．求解过程分为两大步骤，①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态的最优化决策；②再顺序地求出整个题的最优策略和最优路线． 下面，结合一个求最短路径的例子，来说明动态规划的一些基本概念． 最短路径问题
如图所示的交通网络，节点连接线路上的数字表示两地距离，计算从A 到E 的最短路径及长度。
1．阶段．
把所要处理的问题，合理地划分成若干个相互联系的阶段，通常用k 表示 阶段变量。如例中，可将问题分为4个阶段，k=1,2,3,4.
2．状态和状态变量．
每一个阶段的起点，称为该阶段的状态，描述过程状态的变量，称为状态变量，它可以用一个数、一组数或一个向量来描述，常用k x 来表示第k 阶段的某一状
态．如果状态为非数量表示，则可以给各个阶段的可能状态编号，i x i k =)(()(i k x 表
示第k 个阶段的第i 状态)。第k 阶段状态的集合为
},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =
如例6中，第3阶段集合可记为
}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X
3．决策和决策变量．
决策就是在某一阶段给定初始状态的情况下，从该状态演变到下一阶段某状态的选择。即确定系统过程发展的方案．用一个变量来描述决策，称这个变量为决策变量。设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x 的决策变量．)(k k x D 表示初始状态为k x 的允许决 策集合，有
)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }
如例6中},,{)(3211B B B A D =，若先取2B ，则21)(B A u =。
4．策略和子策略．
由每段的决策)(k k x u 组成的整个过程的决策变量序列称为策略，记为n P ,1，即
n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u
从阶段k 到阶段n 依次进行的阶段决策构成的决策序列称为k 子策略，记为n k P ,即
)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++
显然，k=1时的k 子策略就是策略。
如例6，选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略．从允许策略集中选出的具有最佳效果的策略称为最优策略。
5．状态转移方程．
系统在阶段k 处于状态k x ，执行决策)(k k x u 的结果是系统状态的转移，即由阶段K 的状态k x 转移到阶段K 十1的状态1+k x 适用于动态规划方法求解的是一类具有无后效性的多阶段决策过程．无后效性又称马尔科夫性，指系统从某个阶段往后的发展，完全由本阶段所处的状态以及其往后的决策决定，与系统以前的状态及决策无关，对于具有无后效性的多阶段过程，系统由阶段k 向阶段k+1的状态转移方程为
))(,(1k k k k k x u x T x =+
意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关，而与前面状态无关．
))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子．分确定型和随机型，由此形成确定型动态规划和随机型动态规划．
6．指标函数和最优指标函数．
在多阶段决策中，可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策的效果，这个数量指标就是指标函数，为该阶段状态变量及其以后各阶段的决策变量的函数，设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+
指标的含义在不同的问题中各不相同，可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等．
例6中，指标的含义就是距离，指标函数为A 到E 的距离，为各阶段路程的和． 最常见的指标函数取各阶段效果之和的形式，即
∑==n k j j j j n k u x V V )
,(,
指标函数n k V ,的最优值，称为相应的最优指标函数，记为)(k k x f
n k k k optV x f ,)(=
式中opt 是最优化之意，根据问题要求取max 或min ．
7．动态规划最优化原理．
贝尔曼指出“作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略”基于这个原理，可有如下定理：
定理 若策略*,1n P 是最优策略，则对于任意的k(1 ),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点的k 到n 子过程来说，必是最优策略． 实质上，动态规划的方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径的一种方法． 8．动态规划的数学模型． 利用最优化原理，可以得到动态规划的数学模型 )}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-= 0)(11=++n n x f 这是一个由后向前的递推方程． 下面以例6的最短路径问题说明这种递序解法．指标函数为两点之间的距离，记为),(k k u x d ，例中共分4个阶段． (倒推) 第4阶段 2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f 第3阶段 6835)(),(624)(),(min )(2421141113=??????=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f },,{11*4,3E D C P = 4431)(),(826)(),(min )(2422141223=??????=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f },,{22*4,3E D C P = 6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=??????=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f },,{33*4,3E D C P = 第2阶段 7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=??????=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f },,,{221*4,2E D C B P = 7734)(),(826)(),(min )(2322131222=??????=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f },,,{222*4,2E D C B P = 91468)(),(945)(),(min )(3333232332=??????=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f },,,{223*4,2E D C B P = 第1阶段 10 111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=?? ????????=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f },,,,{221*4,1E D C B A P = 故最短路径为E D C B A →→→→221，从A 到E 的最短距离为10。 上述步骤可归纳为下述递推公式 )}(),(min{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k ） 0)(55=x f 此递推关系叫做动态方程，即最短路径问题的动态规划模型，应用动态规划方法解决问题的关键是根据所给问题建立具体的动态规划模型，建立动态规划模型时的主要困难在于：如何将所遇到的最优化解释为合适的多段决策过程问题．从例6看出，划分I 阶段、定义状态、确定指标函数，是动态规划模型化时的主要工作，其合适性决定应用动态规划的成败． 建模时，除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外，还须明确下列几点： (1)正确选择状态变量，使它既能描述过程的状态，又要满足无后效性． 此处的状态与一般所说的状态观念有别，必须具有3个特性：要能够用来描述受控过程的演变特征；要满足无后效性；可知性． (2)确定决策变量“‘及每阶段的允许决策集合 )(k k x D ={k u } (3)写出状态转移方程 ))(,(1k k k k k x u x T x =+ (4)列出指标函数n k V ,，并要满足递推性 ∑==n k j j j j n k u x V V ),(, 综上所述，如果一个问题能用动态规划方法求解，那么，我们可以按下列步骤，首先建立动态规划的数学模型。 (1)划分阶段，确定阶段的状态变量。 (2)确定决策变量及指标函数。 (3)建立状态转移方程。 (4)根据动态规划的最优化原理建立递归方程。 一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij 1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以， (元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为： 6 小行星的轨道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定 系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵 关于中国人口增长趋势的研究 【摘要】 本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。 首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。 在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。 最后，本文对模型进行了评价，特别指出了各个模型的优缺点，同时也对模型进行了合理性分析，针对我国的人口情况给政府提出了建议。 关键字：Logistic模型灰色预测动态模拟 Compertz函数 数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有 数学建模比赛总结 我是广西电力职业技术学院发电厂及电力系统专业的一名学生，我很高兴有机会参加20XX年的数学建模竞赛并幸运地获得了广西二等奖。首先要感谢的是学校、学院领导及老师对我们队的支持和帮助。特别要感谢施宁清老师、覃州老师、麦宏元老师、陶国飞老师等老师一直以来对我们精心的辅导和鼓励，才有我们队获奖的机会。参加数学建模竞赛是一件很有意义的事情，它不仅能锻炼每个参赛者连续工作的能力、创造性的思维、把各方面的知识综合运用的能力、熟练使有用计算机以及计算机软件的能力，而更重要的是锻炼了参赛者与伙伴合作、共同完成某项工作的能力。 今年的这个暑假是个不平凡的暑假，我们参加20XX全国数目竞赛的同学都只有一般的时间，因为还有一半的时间是用来进行培训的。起初参加学校的数学建模选修课，我只是对于数学的爱好，那是的我根本不知道什么是数学建模，更不知道它的魅力何在？我们有一个30多人组成数模之家，其中有几个大家长，那就是我们的指导老师。他们为了我们花了很多功夫和时间。我们培训只有短短的一个月，而要在一个月内让一个初学者变成一个能参加全国比赛的选手，是多么大的挑战啊？老师在图书馆的阅览室为我们上模模培训课，从最数模软件Lingo到Mathematic，再到Spss等， 从简单的线性规划到层次分析法，从牛奶配送问题到NBA赛事分析，老师指导我们一步一步走向数模，去零落数模的魅力！ 在这次竞赛当中，我们队的三个人我，黄国志，张高做了很好的分工，一个人主要写论文、另一个人主要收集资料还要协助写论文，而我主要在计算机上编程序进行计算。我们队首先选择了题目C，开赛第一天我们就在讨论C题，确定了基本思路，但是到了下午，我们的思路断了，3个人都没了思路然后我开始看题目D，题目D是学生宿舍的分析，这个题很类似于我们培训时老师讲评过的NBA赛事分析题，于是我们想可不可以运用相同或者类似的方法思路去求解D 题呢？我们就开始集中全力对D题展开分析进行计算。下午我们已经有了比较清晰的思路去求解D题了，最后在晚上决定悬着D题来做。第二天，我们在网上查阅了很多相关的资料，数据。然后我进行计算机模拟，即根据我得到的数据用数学软件如Matlab把我们要的图形模拟出来，把实际的东西转化为数字来计算，然后我负责编辑图形和输入软件进行求解，而他们两个人负责去讨论并把他们想到的新思路告诉我，然后开始写论文。写论文是一件很繁琐的事，因此要用的时间也多，这样等到我把一些基本的结果得出来时正好给他们加到论文里面去，在模拟时要用很多时间，而这些时间都是计算机在工作，所以我就利用这段时间去他们写论文， 一、人体重变化 某人得食量就是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中得503８焦/天。每天得体育运动消耗热量大约就是６9焦/（千克?天)乘以她得体重(千克)。假设以脂肪形式贮存得热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量４１868焦。试研究此人体重随时间变化得规律. 一、问题分析 人体重W（t)随时间t变化就是由于消耗量与吸收量得差值所引起得,假设人体重随时间得变化就是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W得变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存得热量１０0%有效 2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重得变化就是一个连续函数 4、初始体重为Ｗ0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重得变化量为W（t＋△ｔ）—W(t); 身体一天内得热量得剩余为（1０4６7—50３8-６9*W（t)） 将其乘以△ｔ即为一小段时间内剩下得热量； 转换成微分方程为:ｄ[W(t+△t）-Ｗ（t）］=(１0467—５038－6９*W（ｔ))ｄt; 四、模型求解 d（５42９—6９W)/（54２9-69W)＝-６9ｄt/416８6 W(0）=W0 解得： ５4２9-６９W=（54２９－69W0)ｅ（－6９t/４1686) 即： W（t）=５4２９／６9—（5429－６9Ｗ０)/５４29e(-6９t/41686） 当t趋于无穷时，ｗ=８１; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间得最佳方案。５年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i得开始买进汽车并在年j得开始卖出汽车,将有净成本ａｉj（购入价减去折旧加上运营与维修成本).以千元计数ａiｊ得由下面得表给出： 请寻找什么时间买进与卖出汽车得最便宜得策略。 二、问题分析 本问题就是寻找成本最低得投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本得投资策略。 三、条件假设 除购入价折旧以及运营与维护成本外无其她费用; 四、模型建立 二 5 11 7 三６ 4 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题参考答案 注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 问题分析： 本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。 运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现； 第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从1207 10 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。 对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。 调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。 这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。 合理的假设主要有： 1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况； 2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即 可，不进行排时讨论； 3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量； 4. 卡车可提前退出系统。 符号：x ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的石料运量 单位 吨； c ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的距离 公里； T ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上运行一个周期平均所需时间 分； A ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点最多能同时运行的卡车数 辆； B ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上一辆车最多可以运行的次数 次； p i ~ i 号铲位的矿石铁含量。 % p =(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) q j ~ j 号卸点任务需求 吨 q =(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000 。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由 （2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对 数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩 11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ） 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针 1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000 数学建模疾病的诊断 现要你给出疾病诊断的一种方法。 胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。从胃癌患者中抽 取5人（编号为1-5），从萎缩性胃炎患者中抽取5人（编号为6-10），以及非胃病者 中抽取5人（编号为11-15），每人化验4项生化指标：血清铜蓝蛋白（ X）、 1 蓝色反应（ X）、尿吲哚乙酸（3X）、中性硫化物（4X）、测得数据如表1 2 所示： 表1. 从人体中化验出的生化指标 根据数据，试给出鉴别胃病的方法。 论文题目：胃病的诊断 摘要 在临床医学中，诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。因此，对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。在临床医学上，既提高了临床诊断的正确性，又对疾病的治疗效果起了重要效果，同时也减轻了病人的负担。 判别分析是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。 其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。 首先，由判别分析定义可知，只有当多个总体的特征具有显著的差异时，进行判别分析才有意义，且总体间差异越大，才会使误判率越小。因此在进行判别分析时，有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。 其次，利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。 最后，利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率，以及对其修正。 本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数，最后进行了回判并测得了误判率，从而获得了在临床诊断中模型，给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。 关键词：判别分析；判别函数；Fisher判别；Bayes判别 一问题的提出 在传统的胃病诊断中，胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者，为了提高医学上诊断的准确性，也为了减少因误诊而造成的病人死亡率，必须要找出一种最准确最有效的诊断方法。为诊断疾病，必须从人体中提取4项生化指标进行化验，即血 一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。（15分） 解：一、模型假设： 1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。 3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 （3分） 二、建立模型： 以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定： ()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和 由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。 由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。 （3分） 问题归结为： 已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ， ()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立 若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。 （3分） 由f g 和的连续性知h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在 ()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。 最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。 （3分） 图 5 组号：702 田宇；孙蕙雯；樊博 校园减速路障间距设计 摘要：减速路障的间距设计合理对于减速带作用的发挥具有重要的意义。本文利用查阅的相关资料，采用Lingo回归分析和最小二乘法，对汽车的加速时加速度和加速时的加速度进行了参数估计。根据题意进行数学建模，建立了汽车在一条具有多个减速带的公路上加速后减速匀速通过减速带的一维直线运动的模型。通过牛顿运动学公式进行了模型求解，最后得出了相邻减速带间的最佳距离。 关键词：减速带间距；一维直线运动模型；最小二乘法 一、问题的提出 1.1 问题的背景 校园、居民小区的道路中间，常常设置用于限制汽车速度的减速带（路障）。减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速目的，设置在需要车辆减速慢行的路段和容易引发交通事故的路段，是用于减速机动车、非机动车行使速度的新型交通专用安全设置。减速带很大程度减少了各交通要道口的事故发生，是交通安全的新型专用设施。汽车在行驶中既安全又起到缓冲减速目的，提高交通道口的安全。随着校园车辆的逐渐增多，在校园中合理的设置减速带又成为一个很重要的实际问题。 减速带的使用效果在很大程度上取决于车辆的运行速度和减速带的放置间距间距。因此，为确保限速安全和驾驶人的舒适，合理设定道路的限速具有很重要的意义。 1.2 问题重述 校园道路需要设置路障以限制车速，如果车速不超过40km/h，应该相距多远？ 二、问题的分析 2.1 模型预备知识 道路减速带的减速原理：道路减速带的减速是通过影响驾驶员的驾驶心理实现的。当车辆以较高速度进入道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经车身及座椅传递给驾驶员,使驾驶员产生强烈的生理刺激(包括振动刺激和视觉刺激)和心理刺激,从而促使驾驶员主动减速,使车辆以较低的速度通过道路减速带。 2.2问题的分析 1、汽车通过减速带时速度近于零，过减速带后加速。 2、车速达到40km/h时因为前面有下一个减速带而减速，至减速带处车速又近于零。 3、如此循环达到减速目的。 。 例1差分方程——资金的时间价值 问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记； 月利率(贷款通常按复利计)用R记； 每月还多少钱用x记； 借期记为N个月。 b．建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数，则一个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为 k=0，1，2，3， 而一开始的借款为。所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. (1)的求解。由 (2) 这就是之间的显式关系。 d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年＝60个月，已知；每月还款x＝1200元，已知A。即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得 (3) A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0 A。例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出0 53946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝123946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Mathematica这样的 数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢? 历年全国数学建模试题及解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工 神经网络 00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建 赛题解法 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图 论、0-1规划 08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分 析、回归分析 2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制 2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综 合评价 2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据 〈〈数学模型及数学软件》上机报告 专业：班级：姓名：学号： 地点及机位编号：日期时间：5月26日 一、上机训练题目或内容 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 二、数学模型或求解分析或算法描述 解：设： 报纸具有时效性每份报纸进价b元，卖出价a元，卖不完退回份报纸c元。设每日的订购量为n,如 果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要 确定最优订购量n。 n的意义:n是每天购进报纸的数量，确定n一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方 面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n的意义是双重的。 本题就是让我们根据a、b、c及r来确定每日进购数n。 基本假设 1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。 2、假设报纸每日的需求量是r,但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r的 分布函数，只知道每份报纸的进价b、售价a及退回价c。 3、假设每日的定购量是n。 4、报童的目的是尽可能的多赚钱。 建立模型 应该根据需求量r确定需求量n,而需求量r是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为 自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到n值，我们可以 从卖报纸的结果入手，结合r与n的量化关系，从实际出发最终确定n值。 由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。 1、赚钱。赚钱又可分为两种情况： ①r>n,则最终收益为(a-b)n (1) r 2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题CT系统参数标定及成像 CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。 CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。 请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题： (1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见附件2。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。 (2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。 (3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。 (4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。 (1)-(4)中的所有数值结果均保留4位小数。同时提供(2)和(3)重建得到的介质吸收率的数据文件（大小为256×256，格式同附件1，文件名分别为和） 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。 问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出 。 所求速度33 ?? (=1.692210m/s,=1.613910m/s) v v 远 近 采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM) E。 问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。 问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角?,给?增加或减小一个角度?,分别求出各个对应的近月点坐标'y。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。 关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省数学建模典型例题
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