北京市朝阳区九年级综合练习(二)
数 学 试 卷 2016.6
考
生
须
知
1.本试卷共8页,共三道大题,29道小题,满分120分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4.在答题卡上,选择题、作图题用2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束,请将本试卷、答题卡一并交回.
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.2015年6月国家主席习大大和比利时国王菲利普,在人民大会堂共同见证了两国公司在 集成电路方面进行合作研发的签约仪式,两国将共同着力研发14纳米量产技术,这标志 着我国芯片制造能力将进入国际顶尖水平.14纳米为0.000 000 014米,将0.000 000 014 用科学记数法表示应为
A .7
0.1410-? B .8
1.410-? C .6
0.01410-? D .9
1410-? 2.如图,在单位长度为1的数轴上,点A 、B 表示的两个数互为相反数,那么点A 表示的 数是
A .2
B .-2
C .
3 D
.-3 3.在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱,人们会用这些图案来装饰生活,祈求平安. 比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”,其中是.轴对称图形,不是..中心 对称图形的为
A B C D
4.一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球,这些球的形状、质地等完全相同,其中白色球有2个, 黑色球有n 个.在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋子 中并摇匀.同学们进行了大量重复试验,发现摸出白球的频率稳定在0.4附近,则n 的值为 A .2 B .3 C .4 D .5
5.如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,这个正六边形ABCDEF 的半径是23cm , 则这个正六边形的周长是
A .63cm
B .12 cm
C .
123cm D .36 cm
6.某篮球队12名队员的年龄统计如图所示,则该队队员年龄的众数和中位数分别是
A .16,15
B .15,15.5
C .15,17
D .15,16 7.一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置,雷达示意图如图所示,搜救船位于图中 圆心O 处,事故船位于距O 点40海里的A 处,雷达操作员要用方位角...把事故船相对于搜救船 的位置汇报给船长,以便调整航向,下列四种表述方式中正确的为
A .事故船在搜救船的北偏东60°方向
B .事故船在搜救船的北偏东30°方向
C .事故船在搜救船的北偏西60°方向
D .事故船在搜救船的南偏东30°方向 8.现有A 、B 两种商品,买3件A 商品和2件B 商品用了160元,买2件A 商品和3件B 商品用 了190元.如果准备购买A 、B 两种商品共10件,下列方案中费用最低的为 A .A 商品7件和B 商品3件 B .A 商品6件和B 商品4件 C .A 商品5件和B 商品5件 D .A 商品4件和B 商品6件
9.把图1所示的正方体的展开图围成正方体(文字露在外面),再将这个正方体按照图2,依次 翻滚..
到第1格,第2格,第 3格,第4格,此时正方体朝上一面的文字为 A .富 B .强 C .文 D .民
10.如图,ABC ?为等边三角形,点O 在过点A 且平行于BC 的直线上运动,以A B C ?的高为半
径的⊙O 分别交线段AB 、AC 于点E 、F ,则
所对的圆周角的度数
A .从?0到?30变化
B .从?30到?60变化
C .总等于?30
D .总等于?60
第7题图
第5题图
图1
第9题图
图2 第6题图
F
E
O
C
B A 第10题图
二、填空题(本题共18分,每小题3分) 11.分解因式:2
312=a -________. 12.函数1
21
y x x =+
+的自变量x 的取值范围是________. 13.请写出一个开口向下,并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式,y =________. 14.将一元二次方程0562
=+-x x 化成2()x a b -=的形式,
则ab =________.
15.如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,
若OB 的长为10,4
sin 5
BOD ∠=
, 则AB 的长为________. 16.在数学活动课上,老师说有人根据如下的证明过程,得到“1=2”的结论.
大家经过认真讨论,发现上述证明过程中从某一步开始出现错误,这一步是________ (填入编号),造成错误的原因是________.
三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
17.计算:1112|5|()2tan602
-+---?.
18.解方程组212x y x y +=??
-=?,
.
19.已知2220a a --=,求代数式
221
11
a a a -÷-+的值. 20.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC = 90o,AD 是BC 边上的中线,
ED BC ⊥于D ,交BA 延长线于点E ,若∠E =35°,
求∠BDA 的度数.
设a 、b 为正数,且a =b . ∵a =b ,
∴ab =b 2
. ① ∴ab -a 2=b 2-a 2
. ②
∴a (b -a )=(b +a )(b -a ). ③ ∴a =b +a . ④ ∴a =2a . ⑤ ∴1=2. ⑥
E
D C
B
A
21.每年的4月23日,是“世界读书日”.据统计,“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅
读纸质图书460本,2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本,1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人,且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同.求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本?
22.如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,∠B = 90o, F 为DC 上一点,
且FC = AB ,E 为AD 上一点,EC 交AF 于点G . (1)求证:四边形ABCF 是矩形; (2)若ED = EC ,求证:EA = EG .
23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数4
y x
的图象 与正比例函数y =kx 的图象的一个交点为M (1,b ). (1)求正比例函数y =kx 的表达式; (2)若点N 在直线OM 上,且满足MN=2OM , 直接写出点N 的坐标.
24.如图,O 是∠MAN 的边AN 上一点,以OA 为半径作⊙O ,交∠MAN 的平分线于点D ,
DE ⊥AM 于E .
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)连接OE ,若∠EDA =30o,AE =1,求OE 的长.
前四天每天接待的观众人数统计图
图1
5月3日观看各种戏剧人数分布统计图
图2
25.为弘扬中国传统文化,2016年4月30日“北京戏曲文化周”在北京园博园开始举行,活动
期间开展了丰富多样的戏曲文化互动体验活动,同时也推出了好戏连台园博看大戏的活动,主办方统计了前几天观看戏剧情况的部分相关数据,绘制统计图表如下:
(1)m =_______;
(2)若5月3日当天看豫剧的人数为93人,请你补全图1;
(3)请你根据前四天接待观众人数,估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为 ________人.5月4日的戏曲活动,分别演出 “京剧”、“北京曲剧”、“沪剧”、
“秦腔”、“粤剧”. 通过对100名观众的调查发现, 有12人喜欢“沪剧”,5人喜 欢“秦腔”,8人喜欢“粤剧”.主办方希望把“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”三种戏 剧安排到以下五个园(如下表)中的三个园进行演出.请你结合下表为这三种戏剧选择 合适的演出地点,并说明理由.
园中可以容纳人数
北京园 130人 江苏园 100人 岭南园 70人 福建园 60人 晋中园
30人
26.(1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线1
32
y x =
+与抛物线y = x 2相交于点A 、B , 与x 轴交于点C ,A 点横坐标为x 1,B 点横坐标为x 2(x 1 < x 2),C 点横坐标为x 3. 请你计算1211x x +与3
1
x 的值,并判断它们的数量关系.
x
y
x 3
x 1x 2
C B
A O
(2)在数学的世界里,有很多结论的形式是统一的,这也体现了数学的美.请你在下列两组 条件中选择一组....
,证明1211x x +与3
1
x 仍具有(1)中的数量关系. ①如图,∠APC =120o,PB 平分∠APC ,直线l 与PA 、PB 、PC 分别交于点A 、B 、C , PA =x 1,PC =x 2,PB =x 3.
②如图,在平面直角坐标系xOy 中,过点A (x 1,0)、B (0,x 2)作直线l ,与直线y =x 交于 点C ,点C 横坐标为x 3.
27.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2
2(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =.
(1)求抛物线表达式和顶点坐标;
(2)将该抛物线向右平移1个单位,平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ,求点A 的坐标; (3)抛物线2
2(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ,点A 关于平移后抛物线的对称轴的
对称点为点B ,两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分(包含点A 、B 、C ) 记 为图象M .将直线22y x =-向下平移b (b >0)个单位,在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点,请你写出b 的取值范围_________.
l
l
C
B
A
P
x
y x 3
x 1
x 2
C
A
B
O
28.在ABC ?中,点D 、E 分别在AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点O ,且A EBC DCB ∠=
∠=∠2
1
. (1)如图1,若AB =AC ,则BD 与CE 的数量关系是______________;
(2)如图2,若AC AB ≠,请你补全图2,思考BD 与CE 是否仍然具有(1)中的数量关系, 并说明理由;
(3)如图3,?=∠105BDC ,BD = 3,且BE 平分∠ABC ,请写出求BE 长的思路. (不用写出计算结果)
29.P 是⊙O 内一点,过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ,我们把PA PB ?的值称为点P 关于⊙O 的“幂
值”.
(1)⊙O 的半径为5,OP = 3.
①如图1,若点P 恰为弦AB 的中点,则点P 关于⊙O 的“幂值”为________; ②判断当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值,若是定值,证明你的结论;若不是定值,求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围.
(2)若⊙O 的半径为r ,OP = d ,请参考(1)的思路,用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围________;
(3)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为4,若在直线3
3
y x b =
+上存在点P ,使得 点P 关于⊙O 的“幂值”为13,请写出b 的取值范围________.
图1
图3
图1
P
O
B
A O
备用图
图2
北京市朝阳区九年级综合练习(二)
数学试卷评分标准及参考答案 2016.6
一、选择题(本题共30分,每小题3分) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案
B
D
C
B
C
D
B
A
A
C
二、填空题(本题共18分,每小题3分) 题 号 11
12
13
答 案 ()()322a a +-
1x ≠-
22x -+(答案不唯一)
题 号 14 15 16
答 案 12
16
④;等式两边除以值为零的式子,不符合等式性质.
三、解答题(本题共72分,第17~26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分, 第29题8分)
17.解:原式=235223+-- …………………………………………………………4分 =3.…………………………………………………………………5分
18.解:21,2.x y x y +=??-=?
①+②,得33x =,
1x =.………………………………………………………2分 把1x =代入②,得12y -=,
1y =-.……………………………………………………4分 所以这个方程组的解是1,
1.
x y =??=-? …………………………………………………5分
19.解:原式()()2
1
111a a a a +=?
+-- ……………………………………………………1分
()
2
2
=
1a - ……………………………………………………………………3分
22
=
21
a a -+.
∵2
220a a --=,
∴2
22a a -=.……………………………………………………………4分
①
②
∴ 原式2
3
=
.………………………………………………………………5分 20.解:∵ED BC ⊥,35E ∠=?,
∴55B ∠=?. …………………………………………1分
∵在Rt △ABC 中,∠BAC = 90o,AD 是BC 边上的中线, ∴AD BD =. …………………………………………3分
∴55BAD B ∠=∠=? .………………………………4分 ∴70BDA ∠=?.…………………………………………………………………5分
21.解:设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x 本.……………………1分 由题意,得
4602184
20x x
?=+. …………………………………………3分 解得 4.6x =. ……………………………………………………4分 经检验, 4.6x =是原方程的解,且符合题意.……………………………5分 答:这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本. 22.证明:(1)∵AB ∥DC ,FC=AB ,
∴四边形ABCF 是平行四边形.…………………………………………1分
∵90B ∠=?,
∴四边形ABCF 是矩形.…………………………………………………2分
(2)由(1)可得,90AFC ∠=?,
∴90DAF D ∠=?-∠,90CGF ECD ∠=?-∠. ………………3分 ∵ED EC =,
∴D ECD ∠=∠.…………………………4分 ∴DAF CGF ∠=∠.
∵EGA CGF ∠=∠, ∴EAG EGA ∠=∠.
∴EA EG =.………………………………………………………5分 23.解:(1)∵双曲线4
y x
=
过点M (1,b ), ∴4b =.……………………………………………………………………1分 ∵正比例函数y kx =的图象过点M (1,4),
∴4k =.……………………………………………………………………2分
E D C
B
A
∴正比例函数的表达式为4y x =.………………………………………3分 (
2
)
(
-1
,
-4
)
,
(
3
,
12). …………………………………………………5分 24.(1)证明:连接OD .
∵AD 平分MAN ∠, ∴EAD OAD ∠=∠. ∵OA OD =, ∴ODA OAD ∠=∠.
∴EAD ODA ∠=∠.……………………………1分 ∵DE AM ⊥于E , ∴90AED ∠=?. ∴90EAD EDA ∠+∠=?, ∴90ODA EDA ∠+∠=?.
∴OD ED ⊥.
∴DE 是⊙O 的切线. ………………2分 (2)解:∵30EDA ∠=?,
∴60ODA ∠=?. ∵OA OD =,
∴△ADO 为等边三角形.…………………………………………………3分 在Rt △AED 中,1AE =,可得2AD =,3ED =.………………4分 ∴2OD AD ==.
在Rt △ODE 中,由勾股定理可得7OE =. ………………………5分
25.解:(1)41. ……………………………………………………………………… ……1分 (2)补全图1,如图所示. ……………………………………………… ………2分
(3)801; ………………………………………………………………3分
前四天每天接待的观众人数统计图
图1
答:预计观看“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”的人数分别约为96、40、64,…………4分
所以演出应分别安排在江苏园、福建园、岭南园.………………………………5分
26.(1)解: 由题意可得2
1
32
x x =
+. ∵12x x <,
∴13
2x =-
,22x =. …………………………………………………1分 ∴12111
6
x x +=-.
∵直线1
32
y x =+与x 轴交于点C ,C 点横坐标为3x ,
∴36x =-.………………………………………………………………2分
∴311
6x =-.
∴123
111
x x x +=.…………………………………………………………3分
(2)①证明:如图,过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E .
∴△BEC ∽△APC .…………………………………………………4分 由PB 平分APC ∠,120APC ∠=?,可得△PBE 是等边三角形.
∴3BE PE PB x ===.
∴23EC x x =-.
∵
BE EC
AP PC =, ∴323
12
x x x x x -=.
∴231312x x x x x x +=. ∴
123
111
x x x +=.…………………………………………………………5分 ②解:过点C 作CD ⊥x 轴于点D ,CE ⊥y 轴于点E .
∵点C 在直线y x =上,且横坐标为3x , ∴点C (3x ,3x ).
∴3CE CD x ==.……………………………4分 ∵BOC AOC AOB S S S ???+=,
l
x
y E D
x 3x 1
x 2C A B
O l
图 2 ∴
231312111
222
x x x x x x +=. ∴
123
111
x x x +=.…………………………………………………………5分 27.解:(1)∵抛物线()2
296y x m x =-++-的对称轴是2x =,
∴9
22(2)
m +-
=?-.
∴1m =-. ……………………………………………………………1分
∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-.…………………………………2分 ∴22(2)2y x =--+.
∴顶点坐标为(2,2).………………………………………………3分 (2)由题意得,平移后抛物线表达式为 ()2
232y x =--+……………………4分 ∵()()2
2
2223x x --=--,
∴52x =
. ∴A (52,3
2).………………………5分
(3)7
02
b <≤. ……………………………7分
28.(1)BD CE =;………………………………………1分
(2)补全图形.………………………………………2分 证明:如图2,在BE 上截取BF CD =,连接CF .
∵1
2
DCB EBC A ∠=∠=
∠, ∴△DCB ≌△FBC .………………………3分 ∴BD CF =,FCB DBC ∠=∠.
∴CFE FBC FCB FBC ABE ∠=∠+∠=∠+∠2.
∵CEF A ABE ∠=∠+∠.
∴CFE CEF ∠=∠.………………………………………………………4分 ∴CF CE =.
∴BD CE =.………………………………………………………5分
(3)求解思路如下:
a .如图3,过点E 作EM BC ⊥于M ;
b .由BE 平分ABC ∠,可得ABC A ∠=∠;
c .由BDC ∠=?105,可得EBC ∠=?25,
图3 A
D B
M
C
E
50A ∠=?,80ACB ∠=?;………………………………………………………6分
d .由(2)知CE BD ==3,在Rt △CEM 中,可求EM 的长度;
e .在Rt △BEM 中,由EBM ∠的度数和的EM 的长度,可求BE 的长度.…7分
29.(1)①16.………………………………………………………………………………1分
②当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”为定值.………………2分 证明:如图,AB 为⊙O 中过点P 的任意一条弦,且不与OP 垂直. 过点P 作⊙O 的弦''A B ⊥OP ,连接'AA 、'BB . ∵在⊙O 中,''AA P B BP ∠=∠,''APA BPB ∠=∠,
∴△'APA ∽△'B PB .…………………………………………………3分
∴
'
'PA PA PB PB
=. ∴''PA PB PA PB ?=?.…………………………4分
∵OP ⊥''A B ,3OP =,⊙O 半径为5. ∴''4A P B P ==.
∴16PA PB ?=.…………………………………………………………5分 ∴当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”为定值.
(2)22
r d -. …………………………………………………………………………6分
(3)22b -≤≤. …………………………………………………………………8分
说明:各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.