人教版全等三角形讲义
全等三角形
全等三角形性质
图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?表示，读作“全等．．．．．．．．于”．．
全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC ??和全等时，点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点，记作DEF ABC ???。
F
D
A B
C
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ） A ．①②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④
2.如图,△ABD ≌△ACE,则AB 的对应边是_______,∠BAD 的对应角是______．
3.已知:如图,△ABE ≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．
4.如图:△ABC ≌△DCB,AB 和DC 是对应边,∠A 和∠D 是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________．
5.已知:如图,△ABC ≌△DEF,BC ∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____． 2题
3题
4题
5题
三角形全等的条件一（SSS）
三角形有六个条件：三条边和三个角
如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全
等？
满足一个条件：①只有一条边对应相等；②只有一个角对应相等；
E
E
B
结论：
满足两个条件：①两角对应相等；②两边对应相等； 一边一角对应相等
D
C
F
B F
结论：
如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？
①两边一角对应相等
F
结论：
②两角一边对应相等
结论：
③三边对应相等
E D
E
结论：
④ 三个角对应相等
D
A
B
结论：
定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．写为“边边边”，或简记为（）。．．．．．．．．．．．．．．．
A
E
例1. 已知：如图，DE=CE ，DF=CF ．求证：△DEF ≌△CEF ．
例2. 已知：如图，DA=CB ，DB=CA ．求证：△DAB ≌△CBA ．
D A
C
例3.已知：如图AB=CD,AD=BC，求证：AD∥BC。
例4..已知：如图，点A、C、B、D在同一条直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN, 求证：△AMB≌△CND．
例6.已知AB=CD，BF=CE，AE=CF，问AB∥CD吗？
例6.已知：如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE, C,D在BE边上.求证：∠CAE=∠DAB．
课堂练习：
1.如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )
°°°°
2.如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是( )
A.△ABC≌△BAD
B.∠CAB=∠DBA =OC D.∠C=∠D
3.如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．
4.如图,AD⊥BC，垂足为D，BD=CD.求证：△ABD≌△ACD.
6.已知：如图，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O．求证：△AOB≌△DOC．
7.如图，已知：AB=AC，BE=CE ，E为AD上一点，求证：∠BED=∠CED。
8.已知：如图，A、E、F、B在一条直线上，AC=BD , AE=BF，CF=DE。求证：AD∥BC
课后练习：
1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：∠AOB是一个任意角，在OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线。你知道这样做的理由吗？
2.已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF ，求证：△ABC≌△DEF。
3.如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．
4.已知AC=BD，AE=CF，BE=DF，问AE∥CF吗？
10.如图，AC=BD， BC=AD，求证: △ABC≌△BAD．
能力提高：
1.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC=
2.已知：如图 , E是AD上的一点 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE．求证：∠B=∠CAE．
3.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。 (1)求证：△ABE≌△DCF;(2)CF∥BE.
4.如图,AD=BC,AB=DC. 求证：∠A+∠D=180°.
三角形全等的条件二(SAS)
定义：
．．．如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．简．
写成“边角边”或简记为（）
．．．．．．．．．．．．．
两边一角对应相等
A
B C
D
F
结论：
例1.如图，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证:△ABC≌△DEF．
例2.如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求证：△ABC≌△ADE．
例3.已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．
例4.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．
例5.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.
求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .
课堂练习：
1.在△ABC和△A'B'C'中 , 要使△ABC≌△A'B'C' , 需满足条件（）
=A'B',AC=A'C',∠B=∠B' =A'B', BC=B'C',∠A=∠A'
=A'C',BC=B'C',∠C=∠C' =A'C', BC=B'C',∠C=∠B'
2.如图 , 在∠AOB的两边上截取AO=BO , 在AO和BO上截取CO=DO , 连结AD和BC交于点P , 则△AOD≌△BOC理由是（）
3题
3.如图，在ABC △和DEF △中，已知AB DE =，BC EF =，根据（SAS ）判定
ABC DEF △≌△，还需的条件是（ ）
A.A D ∠=∠
B.B E ∠=∠
C.C F ∠=∠
D.以上三个均可以
4.如图,AD=AE,AB=AC,BE 、CD 交于F,则图中相等的角共有___对,（除去∠DFE=∠BFC ）( )
6.如果两个三角形全等,则不正确的是（ ）
A.它们的最小角相等
B.它们的对应外角相等
C.它们是直角三角形
D.它们的最长边相等
7.如图,已知:△ABE ≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是（ ） =AC B.∠BAE=∠CAD =DC =DE
2题
4题
8.下图中全等的三角形是（）
A.Ⅰ和Ⅱ
B.Ⅱ和Ⅳ
C.Ⅱ和Ⅲ
D.Ⅰ和Ⅲ
9.如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需条件（）
=AD，BC=DE =DE，AC=AE C.∠
B=∠D，∠C=∠E =AE，AB=AD
10.已知：AD∥
BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．
7题8题
11.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，试说明△ABD ≌△ACD.
12.如图，AD ＝BC,∠ADC ＝∠BCD.求证：∠BAC ＝∠ABD ．
13.如图,已知:AC=DF,AC ∥FD,AE=DB,求证:△ABC ≌△DEF.
14.如图,在ABC △中,40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB,AC 为边作两个等腰直角△ABD 和△ACE ， 使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．
15.如图：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE.求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE
16.如图∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。 求证：AB=AC 。
课后练习：
1.下面各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件的是（ ） =DE,∠A=∠D,BC=EF =BC,∠B=∠E,DE=EF =EF,∠A=∠D,AC=DF =EF,∠C=∠F,AC=DF
2.如图，AD,BC 相交于点O ，OA=OD ，OB=OC ．下列结论正确的是（ ）
A.AOB DOC △≌△
B.ABO DOC △≌△
C.A C ∠=∠
D.B D ∠=∠
3.如图，已知AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠．下列结论不正确的有（ ）． A.BAD CAE ∠=∠ B.ABD ACE △≌△ =BC =CE
4.如图所示,△ABC 与△BDE 都是等边三角形,AB =CD >CD 5.已知：如图 , CE ⊥AB , DF ⊥AB , 垂足分别为E , F , AF=BE , 且AC=BD , 则不正确的结论是（ ） △AEC ≌Rt △BFD B.∠C+∠B=90° C.∠A=∠D ∥BD. 6.如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC 和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 7.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____. 8.已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，则∠AGC的度数是______. 9.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D ，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个． 10.如图，已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是。 11.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。 12.已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE． 13.如图,已知:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD． 14.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF． 15.已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF． 16.如图，在ABC 中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 17.如右图，已知DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AE=CF，DC∥AB， （1）试证明：DE=BF；（2）连接DF、BE，猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性． 18.已知如图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DC．DE交AB于F点。求证：（1）AD∥BC（2）AF=BF． 19.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4。 能力提高： 1.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ ） A.22 n+ B.44 n+ C.44 n- D.4n 2.如图,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a，AD=h,CB=k,∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为 ( ) A. a B. k C. 2 h k+ D. h 3.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE。 4.如图已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形，D在AE延长线上。求证：BD+DC=AD 。 …… 第1个第2个第3个