2014高考一轮复习不等式及线性规划专题一-理
第七章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．函数f (x )＝2x ＋1
2x 2－x －1
的定义域是
( )
A.??í?ìt?y?üx ??? x ≠－12
B.??í?ìt?y?üx ???
x >－12 C.?
?í?ìt?y?
üx ?
?? x ≠－12且x ≠1 D.?
?í?ìt
?y?
üx ?
?? x >－12且x ≠1 答案 D
解析 由题意，得??í?ì2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解此不等式组，得??í?ìt
?y?üx ???
x >－1
2且x ≠1
.故选D .
2．已知c <0，则下列不等式中成立的是 ( )
A ．c >2c
B ．c >(1
2)c C ．2c >(1
2)c D ．2c <(1
2)c
答案 D
3．已知f (x )＝x ＋b
x 在(1，e)上为单调函数，则b 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞)
B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞)
C ．(－∞，e 2]
D ．[1，e 2]
答案 A
解析 b ≤0时，f (x )在(1，e)上为增函数， b >0时，当x >0时，x ＋b
x ≥2b ， 当且仅当x ＝b
x 即x ＝b 取等号．
若使f(x)在(1，e)上为单调函数，
则b≤1或b≥e，∴0 综上b的取值范围是b≤1或b≥e2，故选A. 4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 013的末位数字是() A．1 B．3 C．7 D．9 答案 C 解析规律：71的末位为7,72末位为9,73的末位为3,74末位为1,75的末位为7，…，的末位为7,9,3,1,7,9,3,1，…，而2 013＝4×503＋1，∴2 013的末位是7. 5．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是() A．第一列B．第二列 C．第三列D．第四列 答案 D 解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列． 6．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则不等式f(x2－1)<0的解集为() A．(－1,0) B．(－2，0)∪(0，2) C．(0,2) D．(1,2) 答案 B 解析根据f(x)是偶函数，可得f(x)＝f(|x|)＝|x|－1.因此f(x2－1)＝|x2－1|－1.解不等式|x2－1|－1<0，得0 7．当实数x ，y 满足不等式组?íìx ≥0， y ≥0， 2x ＋y ≤2 时，恒有ax ＋y ≤3成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．[0,2] D ．(－∞，3] 答案 D 解析 画出可行域，如右图中阴影部分所示． 要使ax ＋y ≤3恒成立，即可行域必须在直线ax ＋y －3＝0的下方，故分三种情况进行讨论： ①当a >0且3 a ≥1，即0 8．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 答案 C 解析 ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋3 5x ＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥13 5＋3x 5y ·12y 5x ＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1 2时等号成立． 9．图1是一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上 分别长出一个小正方形，如图2，且三个正方形围成的三角形(含30°锐角的)是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成图3，“生长”10次后，变成图4，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，那么n次“生长”后，所得图形中所有正方形的面积和为() A．n B．n＋1 C．n＋2 D．2n 答案 B 解析根据勾股定理以及正方形的面积公式并结合解题探究可知，经过n 次“生长”后，所得图形中所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(n＋1)倍，即为n＋1.故选B. 10．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0 答案 C 解析 设AD ＝x ，S ＝x (16－x )≤(x ＋16－x 2)2 ＝64. 当且仅当x ＝8时成立．∵树围在花圃内， ∴0 ?ì64， 0 a (16－a )，8 选C. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则实数a 、b 的值分别为________． 答案 －4,1 12．已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )(y x ＋x )的最小值为________． 答案 4 解析 依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2 y ＝4，当且仅 当x ＝y ＝1时取等号． 13．已知cos π＝1；cos πcos 2π＝1 ； cos π7cos 2π7cos 3π7＝18； …… 根据以上等式，可猜想出的一般结论是________． 答案 cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1 ＝1 2n ，n ∈N * 解析 从已知等式的左边来看，余弦的个数从1逐个增加，分子上从π开始也是逐个增加，分母分别是3,5,7，…，可以看出分母的通项为2n ＋1，等式的右 边是通项为1 2n 的等比数列，由以上分析可以猜想出的结论为cos π 2n ＋1 cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1 ＝12n ，n ∈N *. 14．(2012·福建)若函数y ＝2x 图像上存在点(x ，y )满足约束条件 ?íìx ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ， 则实数m 的最大值为________． 答案 1 解析 由约束条件作出其可行域如图所示： 由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x 的图像与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m . 15．a ，b 都为正实数，且1a ＋1 b ＝1，则2＋b 2ab 的最大值为________． 答案 9 16 解析 依题意得2＋b 2ab ＝1ab ＋12a ＝12a ＋1a (1－1a ＝－(1a )2＋32a (1a －34)2＋9 16的最9(1－3＝01＝3，1＝1 时取得最大值)． 16．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________． 答案 12 解析 设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤2 3，S ＝a 2 ＋b 2 ≥2×(a ＋b 2)212，当且仅当a ＝b ＝1 2时取等号． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知OP →＝(1，cos x )，OQ → ＝(cos x,1)，x ∈[－π，π]，记f (x )＝cos →，OQ →>. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求cos →，OQ →>的取值范围． 答案 (1)f (x )＝2cos x 1＋cos 2x (2)223≤cos 解析 (1)∵OP →＝(1，cos x )，OQ →＝(cos x,1)， ∴OP →·OQ →＝2cos x ，|OP →|·|OQ →|＝1＋cos 2x . ∴f (x )＝cos →，OQ →>＝2cos x 1＋cos 2x . (2)∵x ∈[－π4，π 4]， ∴f (x )＝cos 2， ∴223≤f (x )≤1，即223≤cos →，OQ →>≤1. 18．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 2 2≥12 . 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2， 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 2 2≥12， (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明． 解析 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋ a 2n 1n . (2)构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2 ＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2 n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ， 因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而 证得：a 21＋a 22＋…＋a 2 n 1n . 19．(本小题满分12分)不等式4x ＋a ·2x ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 答案 [－2，＋∞) 解析 由题可得a ≥－1 2x －2x 恒成立，由基本不等式可知－12x －2x ≤－2，所以a ≥－2. 20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋ 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 解析 (1)由已知得 ??í?ìa 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32， ∴d ＝2. 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q 、b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴??í ? ìq 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0. ∴(p ＋r 2)2 ＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 解析 (1)第n 次投入后，产量为10＋n 万件，销售价格为100元，固定成本为 80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元，所以，年利润为f (n )＝(10＋n )(100 80n ＋1 )－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )(100－80n ＋1 )－100n ＝1 000－80(n ＋1＋ 9n ＋1 )≤520(万元)． n ＋1＝ 9n ＋1 ，即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元． 答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围； (2)当x ∈(0,1]时，y ＝f (x )图像上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤π 4，求a 的取值范围． 答案 (1)a ≥3 (2)3 2≤a 3 解析 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，要使f (x )在(0,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立． ∵f ′(x )是开口向下的抛物线， ∴??í?ìf ′(0)≥0，f ′(2)＝－12＋4a ≥0， ∴a ≥3. (2)∵0≤θ≤π 4，∴tan θ＝－3x 2＋2ax ∈[0,1]． 根据题意0≤－3x 2＋2ax ≤1在(0,1]上恒成立， 由－3x 2＋2ax ≥0，得a ≥3 2x ，a ≥32. 由－3x 2＋2ax ≤1，得a ≤32x ＋1 2x . 又32x ＋12x ≥3(当且仅当x ＝3 3时取“＝”)， ∴a ≤ 3. 综上，a 的取值范围是3 2≤a ≤ 3. 1．若a <0，则下列不等式成立的是 ( ) A ．2a >è???÷? 12a >(0.2)a B ．(0.2)a >è???÷? 12a >2a C.è???÷?12a >(0.2)a >2a D ．2a >(0.2)a >è??? ÷?12a 答案 B 解析 ∵a <0，∴y ＝x a 在(0，＋∞)为减函数，∴(1 2)a <(0.2)a ，∴选B. 2．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，则 ( ) A ．a 2＋b 2＋c 2>a ＋b ＋c B ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac C ．a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ac ) D ．a 2＋b 2＋c 2>2(ab ＋bc ＋ac ) 答案 C 解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )． ∴a 2＋b 2＋c 2＝2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )<2(ab ＋bc ＋ac )． 3．(1)由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a ，b ，c 为三个向量，则(a ·b )c ＝a (b ·c )”； (2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2； (3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； (4)已知(2－x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝256. 上述四个推理中，得出的结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 答案 (2)(3) 解析 (1)三个实数之积满足乘法的结合律，而三个向量之积是向量，且两个向量相等要满足方向和大小都相等，向量(a ·b )·c 与向量a ·(b ·c )不一定满足，故(1)错误； (2)由a n ＋1＝2a n ＋2，可得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，故数列{a n ＋2}为等比数列， 易求得a n ＝2n －2，故(2)正确； (3)在四面体ABCD 中，设点A 在底面BCD 上的射影是O ，则三个侧面的面积都大于其在底面上的投影的面积，三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故(3)正确； (4)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝1，令x ＝0，则a 0＝28＝256，所以a 1＋a 2 ＋…＋a 8＝1－28＝－255，故(4)错误．综上可知，只有(2)(3)正确． 4．已知a ，b 为正数，且直线2x －(b －3)y ＋b ＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________． 答案 25 解析 依题意得2b －a (b －3)＝0，即2a ＋3 b ＝1,2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(2a ＋3b )＝13＋6(b a ＋a b )≥13＋6×b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝5时取等号，因此 2a ＋3b 的最小值是25. 5．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>5 2，f (16)>3，f (32)>7 2，则有________． 答案 f (2n )>n ＋2 2(n ≥2，n ∈N *) 解析 由题意f (22 )>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22. 故填f (2n )>n ＋2 2(n ≥2，n ∈N *)． 6．若数列{a n }的通项公式a n ＝ 1 (n ＋1)2 ，记f (n )＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测f (n )＝________. 答案 n ＋2 n ＋1 解析 方法一 由题意，得f (1)＝2(1－a 1)＝2×[1－1(1＋1)2]＝3 2 ， f (2)＝f (1)(1－a 2)＝32(1－132)＝4 3， f (3)＝f (2)(1－a 3)＝43(1－116)＝5 4， 由此归纳得f (n )＝ n ＋2n ＋1 . 方法二 事实上，由题意，得f (n )＝2(1－122)(1－1 32) (1) 1(n ＋1)2 ]＝2(1－1 2)(112)(1－13)(1＋13)…(1＋1n ＋1)(1＋1n ＋1)＝2×12×32×23×43×34×…×n n ＋1×n ＋2n ＋1n ＋2n ＋1 . 7．若不等式|a －1|≤|x ＋1 x |对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤3 解析 |a －1|≤2，即－1≤a ≤3. 8．已知x ，y 满足?íìx ≥1， x ＋y ≤4， ax ＋by ＋c ≤0， 且目标函数3x ＋y 的最大值为7，最 小值为1，则 a ＋ b ＋c ＝________. 答案 1 3 解析 分别作出直线x ＝1，x ＋y ＝4,3x ＋y ＝7,3x ＋y ＝1， 联立??í ?ìx ＋y ＝4， 3x ＋y ＝7与??í?ìx ＝1，3x ＋y ＝1， 求出(32，5 2)与(1，－2)， 知两点在直线ax ＋by ＋c ＝0上， 得c ＝－119a ，b ＝－1 9a . ∴a ＋b ＋c ＝－1 3a ，∴a ＋b ＋c a ＝－13. 9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形． (1)求出f (5)的值； (2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式； (3)1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1 的值． 解析 (1)f (5)＝41. (2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …… 由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n. 因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n ?f(n)＝f(n－1)＋4(n－1) ＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2) ＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3) ＝… ＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4 ＝2n2－2n＋1. (3)当n≥2时， 1 f(n)－1 ＝1 2n(n－1) ＝1 2( 1 n－1 －1 n)， ∴1 f(1)＋1 f(2)－1 ＋1 f(3)－1 ＋…＋1 f(n)－1 ＝11 2·(11 2 ＋1 2 －1 3 ＋1 3 －1 4 ＋ (1) n－1 －1 n) ＝11 2(11 n) 3 2 －1 2n. 基本不等式与线性规划 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为 正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值 为 ． 8.若1 2017 高考全国卷及自主招生数学高考真题 线性规划专题真题整理（附答案解析） x 3y 3, 1. （ 17 全国卷 I ，文数 ）设 x ，y 满足约束条件 x y 1, 则 z=x+y 的最大值为（ ） 7 y 0, A ． 0 B ． 1 C ．2 D ．3 答案： D 解析：如图，由图易知当目标函数 z x y 经过 直线 x 3 y 3 和 y 0 （即 x 轴）的交点 A(3,0) 时， z 能取到最大值，把 A(3,0) 代入 z=x+y 可得 z max 3 0 3 ，故选 D. x 2 y 1 2.（17 全国卷 I, 理数 14 题）设 x ，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值 x y 0 为 答案： 5 x 2 y 1 解析：不等式组 2x y 1 表示的平面区域如图所示。 x y 0 由 z 3x 2 y 变形得 y 3 x z 。要求 z 的最小值， 2 2 即求直线 y 3 x z 的纵截距的最大值。由右图，易知 2 2 当直线 y 3 x z 过图中点 A 时，纵截距最大。 2 2 联立方程组 2 x y 1 ，此时 z 3(1) 2 1 5 。 x 2 y 1 ，解得 A 点坐标为 ( 1,1) 故 z 3x 2 y 的最小值是 -5. 2x+3y 30 3. （17 全国卷Ⅱ，文数 7、理数 5）设 x、y 满足约束条件2x 3 y 3 0 .则z2x y的 y 30 最小值是（） A.-15 C.1D9 答案： A 2x+3y 30 解析：不等式组2x 3y 30 表示的可行域如图所示， y30 易知当直线z 2x y 过到y 2 x 1与 y 3 交点 3 6 ，3 时，目标函数 z2x y 取到最小值，此时有 z min 26315 ，故所求z 最小值为15． ）设，满足约束条件 3x 2 y60 的取值范围是 4. （17 全国卷Ⅲ，文数 5 x0，则 z=x-y x y y0 () A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 答案： B 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z x y 在直线3x 2y 60 与= - 直线 x0 （即x 轴）的交点A0,3处取得最小值， 此时 z min0 3 3。在点B2,0处取得最大值，此时 z max 2 0 2 . 故本题选择 B 选项 . 5.（17 全国卷Ⅲ，理数13）若 x，y 满足约束条件x y 0 x y 2 0 则z3x 4 y 的最小值为y 0 ________． 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为 ． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为 ． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ． 4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为 ． 8.若1 线性规划 1. （安徽11）若满足约束条件：；则的取值范围为 【解析】的取值范围为 约束条件对应边际及内的区域： 则 2. 北京2．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A）（B）（C）（D） 【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 ，故选D。 【答案】D 3.福建9.若直线上存在点满足约束条件，则实数的最 大值为（） A． B．1 C． D．2 考点：线性规划。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。 解答：可行域如下： 所以，若直线上存在点满足约束条件， 则，即。 4.广东 5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为( ) 【解析】选约束条件对应边际及内的区域： 则 5.江苏14．（2012年江苏省5分）已知正数满足： 则的取值范围是▲． 【答案】。 【考点】可行域。 【解析】条件可化为：。 设，则题目转化为： 已知满足，求的取值范围。 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切 线的斜率，设过切点的切线为， 则，要使它最小，须。 ∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。 当（）对应点时，， ∴的最大值在处，为7。 ∴的取值范围为，即的取值范围是。 6.江西8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（） A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 8.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为 .线性约束条件为即作出不等式组 表示的可行域,易求得点. 平移直线，可知当直线经过点,即 时,z取得最大值,且（万元）.故选B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为： 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 线性规划及基本不等式 一、知识梳理 （一）二元一次不等式表示的区域 1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________ 2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域. 当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域. 3、问题1:画出不等式组?????≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值 注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 （二）基本不等式 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成 立2.、已知x 为正数，求2x+x 1 的最小值 线性规划专题 一、命题规律讲解 1、 求线性（非线性）目标函数最值题 2、 求可行域的面积题 3、 求目标函数中参数取值范围题 4、 求约束条件中参数取值范围题 5、 利用线性规划解答应用题 一、线性约束条件下线性函数的最值问题 线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。 例1 已知4335251x y x y x -≤-??+≤??≥? ，2z x y =+，求z 的最大值和最小值 例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=??+≥??-≥-? ，求z=5x y -的最大值和最小值 二、非线性约束条件下线性函数的最值问题 高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。 例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值 例4 求函数4y x x =+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。 三、线性约束条件下非线性函数的最值问题 这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。 例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ，求22448x y x y +--+的最小值。 例6 实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?，求11y x -+的最小值 四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题 在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。 例7 已知,x y 满足y 2 y x +的最大值和最小值 1. “截距”型考题方法：求交点求最值 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知10,220x y x y ?? -+≤??--≤?则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表 示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满 足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。 图2 x y 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最 小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13， 4 5 D 、13，255 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2 =13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离 的平方，即为4 5，选C 练习2、已知x ，y 满足?? ? ??≥-+≥≥≤-+0320,10 52y x y x y x ，则 x y 的最大值为___________，最小值为 ____________． 2，0 三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例3、在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表 示的平面 区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 2x + y - 2= 0 x – 2y + 4 = 3x – y – 3 = 0 O y 高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1 不等式 1. 实数的性质： 0>-?>b a b a ；0<-??<，a b b a ． 传递性 a b >且b c a c >?>． 加法性质 a b a c b c >?+>+；a b >且c d a c b d >?+>+． 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>；0a b >>，且00c d ac bd >>?>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>；0,n n a b n N a b *>>∈?>． 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <． 3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥，2()2 a b ab +≤， 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式： 2a b ab +≥ 常见变式： 2≥+b a a b ； 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4. 利用重要不等式求最值的两个命题： 命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2. 命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2 s 时，积ab 有最大值 42s . 注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或 积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有 结论：ax 2+bx+c>0 ? 2 0040 a a b a c >?=?-0 △=0 △<0 图象 ax 2+bx+c=0的解 x=x 1或x=x 2 x=x 1=x 2=-b/2a 无实数解 ax 2+bx+c>0解集 {x ︱x 线性规划与基本不等式 1．若222x y x y ????+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 2．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 3．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ，则z ＝2x ＋y －4的最大值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．5 4．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 8．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23 x y +的最小值为（ ) 2010年高考线性规划归类解析 线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-112 2y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1, 10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?则22x y +的最小值是 . 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条 件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件00 24x y y x s y x ≥??≥?? +≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数 32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数 32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即 max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数 32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0 003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x = 围 图 2 图1 C 高2015级高二下期线性规划和不等式集训试题 3月2日星期天下午2:30高二十班教室（带必修5） 1、设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ） A ．6- B ．4- C ．2 D ． 答案：B 2、设变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为( ) A ．-3 B ．2 C ．4 D ．5 【答案】C 3、点(x ，y )满足??? x ＋y －1≥0， x －y ＋1≥0， x ≤a ， 若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a )时达到最大值1，即a －2(1－a )＝1，解得a ＝1. C 5、设0,0 x y x y +≥?? -≥?与抛物线2 4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，) ,(y x P 为D 的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为( ) A. 1- B. 0 C. 2 D. 3 6、若不等式组0 3434 x x y x y ≥??+≥? ?+≤?， 所表示的平面区域被直线4 3y kx =+ 分为面积相等的两部分，则k 的值是（ B ）A 、73 B 、37 C 、43 D 、3 4 7、已知2z x y =+，x y ，满足2y x x y x m ≥?? +≤??≥? ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ．17 考点：简单线性规划 线性规划 基础知识： 一、知识梳理 1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点． 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二：积储知识： 一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0 2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0 3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不． 包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 例题： 1. 如图1所示，已知ABC ?中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC ?内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是1y z x -=或z =你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得min z 和max z ？ 基本不等式 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_____________． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.24 5 B.28 5 C ．5 D ．6 5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( ) A.????－∞，14 B.????0，14 C.??? ?－1 4，0 D.? ???－∞，1 4 题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例 1 已知x >0，y >0，z >0. 求证：????y x ＋z x ????x y ＋z y ???? x z ＋y z ≥8. 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝ 1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 题型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的 最小值为________； (2)当x >0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则 x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.9 2 D.112 题型三 基本不等式的实际应用 1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将直线 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2， 过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260 302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域， △ABC 的面积即为所求， 由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得 到整点个数为13个，选 D 四,求非线性目标函数的最值 例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 不等式与线性规划 考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题．(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形?f (x )g (x ) ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； ②当0a g (x )?f (x )基本不等式与线性规划
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