高考数学考点12导数与函数的极值与最值试题解读与变式
考点十二：导数与函数的极值与最值
【考纲要求】
（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】
利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中.
预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）函数的极值的意义
例1.【2017全国2卷（理）】若2x =-是函数()()
21`1e x f x x ax -=+-的极值点，则
()f x 的极小值为（ ）.
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1 【答案】A
【方法技巧归纳】对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数)(x f y =在
0x x =处取极值的充要条件应为（1）0)('0=x f ，（2）在0x x =左右两侧的导数值的符号
相反.从解题的规范性和正确性角度出发，求类似问题最后都要进行检验.
【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数
2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是（ ）
A ．1-是()f x 的零点
B ．1是()f x 的极值点
C ．3是()f x 的极值
D ．点(2,8)在曲线()y f x =上
【答案】A
【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极
值点，3是()f x 的极值，所以()()10
13
f f '=???=??，即203a b a b c +=??++=?，解得：23b a c a =-??=+?，因为点
()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +?-++=，解得：
5a =，所以10b =-，8c =，所以
()25108f x x x =-+，因为
()()()2
1511018230f -=?--?-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，
选项B 、C 、D 正确，故选A ．
【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【2014全国2卷理科】设函
数()3sin
x f x m
π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2200x f x m +
A.()(),66,-∞-?∞
B.()(),44,-∞-?∞
C.()(),22,-∞-?∞
D.()(),11,-∞-?∞ 【答案】 C
（二）求函数的极值
例2.【2017全国2卷理】已知函数()2
ln f x ax ax x x =--，且()0f x .
（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2
20e 2f x --<<.
【答案】（1）1a =；（2）答案见解析.
【解析】（1）因为()()ln 0f x x ax a x =--，0x >，所以ln 0ax a x --．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a 时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调递增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单递调递减，()110g g a ??
<= ???；
若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调递增，()110g g a ??
<= ???；
若1a =，则()()min 110g x g g a ??
=== ???
，()0g x ≥．
综上，1a =．
（2）()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >． 令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x
-'=-=，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以()min 112ln 202h x h ??
==-+< ???
．
因为()
22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??
∈+∞ ???
，，
所以在102?? ???，和12??
+∞ ???
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102??
???
，上单调递减， 所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．
因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12??
+∞ ???
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，
当2x x >时，()f x 单调递增，因此2x 是()f x 的极小值点． 所以()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -?
?∈ ??
?，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-， 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
．即()220e 2f x --<<. 【方法技巧归纳】求函数极值的步骤：①求函数的定义域；②求出函数的导函数)('x f ；③解方程0)('=x f ，求出x 的值；④判定在定义域内导函数为0的点两侧的单调性，并求出在该点的原函数值；⑤先增后减位极大值点，先减后增为极小值点，两侧单调性相同，则该点不是极值点.
【变式1】【改变例题的问法，通过极值求参数范围】【2017江苏卷】已知函数
()()3210,f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.
（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；
（3）若()f x ，()f x ' 这两个函数的所有极值之和不小于7
2
-
，求a 的取值范围. 【答案】（1）223
9a b a
=+，定义域为(3,)+∞；（2）答案见解析；（3）(]36，. 【
解
析
】
（
1）由
32()1
f x x ax bx =+++，得
2
22
()32333a a f x x ax b x b ??'=++=++- ???.
当3
a
x =-时，()f x '有极小值23a b -.
因为()f x '的极值点是()f x 的零点.
所以331032793a a a ab f ??
-=-
+-+= ???
，又0a >，故2239a b a =+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而()231
27039a b a a
-=-，即3a . 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；
3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=
a a
b x ---，223=a a b
x -+-. 列表如下
x
1(,)x -∞
1x
12(,)x x
2x
2(,)x +∞
()f x ' + 0 – 0 + ()f x
极大值
极小值
故()f x 的极值点是12,x x .从而3a >，
因此223
9a b a
=+，定义域为(3,)+∞.
（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223
x x a +=-，222
12469a b x x -+=.
从而()()3232
1211122211f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++=
()()()()2222
121122121212323223333
x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++=346420279
a a
b ab
--+=.
记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，
因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以()213
=9h a a a -+，3a >. 因为()223
=09h a a a '-
-<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为()7
6=2
h -，于是()()6h a h ，故6a .
因此a 的取值范围为(]36，.
【变式2】【改编例题条件和问题，求解含参函数的极值】【2017山东理】已知函数()22cos f x x x =+，()()e cos sin 22x g x x x x =-+-，其中e 2.71828
=是自然对数的底数.
（1）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；
（2）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（1）222y x =π-π-；（2）当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数
()
h x 有极大值，也有极小值，极大值是
()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??，极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是
()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.
【解析】（1）由题意()2
2f π=π-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，
因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()
()2
22y x -π-=π-π， 即222y x =π-π-.
（2）由题意得2
()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+，
因为
()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---
()()2e sin x a x x =--，
令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0m =，所以当0x >时，()0m x >，当0x <时，()0m x <. （i ）当0a 时，e x a -0>
当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，
所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；
（ii ）当0a >时，()()()ln 2e e
sin x a
h x x x '=--
由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，
当(),ln x a ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，ln e e 0x a ->，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增. 所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.
极大值为()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??，
当0x =时()h x 取到极小值，极小值是()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，
所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >
所以 当(),0x ∈-∞时，ln e e 0x a -<，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()0,ln x a ∈时，ln e e 0x a -<，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln e e 0x a ->，()0h x '>，()h x 单调递增； 所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--； 当ln x a =时()h x 取得极小值.
极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.
综上所述：当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数
()
h x 有极大值，也有极小值，极大值是
()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??，极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是
()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.
【变式3】【根据函数在某处取得极值求参数范围】【2016山东文】设
()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R .
（1）令()()'g x f x =，求()g x 的单调区间；
（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）当0≤a 时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,
2a ?
? ???，单调递减区间为1,2a ??
+∞ ?
??
. （2）12a >.
（2）由（1）知，()'10f =. ①当0≤a 时， ()'f x 单调递增.
所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ②当102a <<
时，112a >，由（1）知()'f x 在10,2a ?? ???
内单调递增， 可得当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,
2x a ??
∈ ???
时，()'0f x >， 所以()f x 在()0,1内单调递减，在11,
2a ??
???
内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =
时，即1
12a
=时，()'f x 在()0,1内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >
时，即1012a << ，当1,12x a ??∈ ???
时，()'0f x >，()f x 单调递增,
当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12
a >
. 【变式4】【根据极值点的关系证明等式】【2016天津文】设函数b ax x x f --=3
)(，
x ∈R ，其中,a b ∈R .
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （3）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．4
1
. 【答案】答案见解析
【解析】（1）由3
()f x x ax b =--，可得2
()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a
时，有2()30f x x a
'=-恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.
②当0a >时，令()0f x '=，解得x =
或x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示.
所以()f x 的单调递减区间为,33?- ??，单调递增区间为,3?-∞- ??，
3??
+∞ ? ???
.
（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论： ①当3a
时，3311
,3
3
a a
-
-<由()1知()f x 在区间[]1,1-上单调递减， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为[]
(1),(1)f f -， 因此()(){}{}max
1,1max 1,1M f f a b a b =-=---+-=
{}max 1,1a b a b -+--1,0
1,0
a b b a b b -+?=?
--
②当
334
a <时，233323113
333
a a a a
-
-<-
<<， 由（1）和（2） 知233(1)
a a f f f ?--= ????
，233(1)a a f f f ??= ???
?， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为33,a a f
f ?
?
??? ????
????
， 所以33max ,33a a M f f ??????
?
=-= ??
? ?????????
22max 3399a a a b a b ??=???? 2222331
max 333||3999
9444a a a a b a b a b ??=???=????.
③当3
04
a <<
时，33323113333a a a a -<-<-<<<，
由（1）和（2
）知，(1),33f f f ???-<-= ?
????
?(1)33f f f ???
>=- ? ????
?， 所以()f x 在区间[]
1,1-上的取值范围为()()1,1f f -????， 因此
()(){}
=max 1,1M f f -={}max 1,1a b a b ---+-={}1
max 1,114
a b a b a b ---+=-+>
. 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]
1,1-上的最大值不小于14
. （三）求不含参函数的最值
例3.【2017北京卷理】已知函数()e cos x
f x x x =-.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2
??????
上的最大值和最小值.
【答案】（1）1y =；（2）()f x 在区间π0,2??
????上的最大值为(0)1f =，最小值为
ππ22f ??
=- ???
.
【解析】（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x
f x x x '=--，(0)0f '=.
又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （
2
）
设
()e (cos sin )1
x h x x x =--，则
()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-.
当π0,2x ??∈ ???时，
()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2??
????
上单调递减. 所以对任意π0,2
x ??∈ ??
?
有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.
所以函数()f x 在区间π0,2??
????
上单调递减.
因此()f x 在区间π0,2??????
上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ
22f ??=- ???.
【方法技巧归纳】在],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值的步骤：①讨论单调区间；②判断极值；③极值与闭区间端点的函数值比较，最大的为最大值，最小的是最小值.
【变式1】【在给定区间上求函数的最值】【2018河北石家庄二中八月模考】已知函数
()()2
1x f x xe x =-+.
（Ⅰ）当[]
1,2x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值； （Ⅱ）讨论方程()1f x ax =-的实根的个数.
【答案】(1) 最小值是()2
ln21--,最大值是229e -;(2) 1a <-时，方程
()1f x ax =-有1个实根； 1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根.
【解析】试题分析：(1) ()()()
12x f x x e =+-',明确函数的单调性，求出极值与端点值，比较后得最值；（2）方程()1f x ax =-的实根的个数即()2x
g x e x a =---的图象
与x 轴的交点个数，分类讨论函数()g x 的单调性，借助极值与0的关系确定交点个数. 试题解析：
（Ⅰ）因为()()2
1x f x xe x =-+，
所以()()()()()
12112x x f x x e x x e =+-+=+-'，
令()0f x '=得121,ln2x x =-=， ()(),f x f x '的变化如下表：
()f x 在[]1,2-上的最小值是()2
ln21--，
因为2211
290,0,29e e e e
->-
--， 所以()f x 在[]
1,2-上的最大值是2
29e -.
（ⅰ）当10a -->时，即1a <-时， ()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根；
（ⅱ）当10a --=时，即1a =-时， ()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根；
（ⅲ）当10a --<时，即1a >-时， ()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根.
综上可得， 1a <-时，方程()1f x ax =-有1个实根； 1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根.
（四）求含参函数的最值
例4.【2016全国2卷理】（1）讨论函数2()e 2
x
x f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++>
（2） 证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2
e =
(0)x ax a
g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
【答案】答案见解析
【解析】（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， 2x ≠-.
因为()2e 2x x f x x -=+，所以()()()22
224e e 222x x x x f x x x x ??-' ?=+= ?+++??
. 因为当x ∈()()22-∞--+∞，
，时，()0f x '>，所以()f x 在()()22,
-∞--+∞，和上单调递
增， 所以当0x >时，()2e 0=12
x
x f x ->-+，所以()2e 20x x x -++>. （
2
）
由
已
知
得
，
()
()()
2
4
e 2e x
x
a x x ax a g x x ----'=
()
4
e 2e 2=
x
x
x x ax a x -++=
()322e 2x x x a x x
-??
+?+
?+??
，
[)
01a ∈，.
解法一：记()2e 2
x
x h x a x -=
++，因为()()01020h a h a =-<=，，所以由（1）知()h x 在[)02，
上存在唯一零点.
记零点为0x ，即()00h x =，则()g x 在()00x ，上单调递减，在()02x ，上单调递增. 故0x 为()g x 的极小值，此时极小值为()0g x . 因为
0002e 02x x a x -+=+，所以[)(]0
0002e 0022
x x a x x -=-∈?∈+，1，. 所以()()()0
00000000220002e e 1e 12e =2x x x x x x a x x x x x x ??---
+ ?-++??==+ｇ.
记()0
00e 2
x P x x =+,，则()()()
()
00002
2
00e +2e 1
=
e 0+2+2x x
x x x P x x x -+'=
>，所以()0P x 在(]002x ∈，上单
调递增，所以()201e 24P x ??
∈ ???
，.
解法二：由(1)知，当0x >时，()2e 2
x
x f x x -=
?+的值域为()1-+∞，，只有一解，使得2e 2
t
t a t -?=-+，(]02t ∈，.
当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.
.
()()
()
2
22e 1e
e 1e 22t t
t
t t t a t t h a t t t -++?-++=
=
=+.
记()e 2t
k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2
e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增，所以()()21e 24h a k t ??
=∈ ???
，．
【方法技巧归纳】超越函数（指数函数、对数函数、三角函数）的最值一般都是利用导函数求单调性或极值得到的.函数在区间上的最大（小）值，若不是区间端点值就是极大（小）值.
【变式1】【由最大值存在的不等关系求参数的取值范围】【2015全国2卷文】已知函数
()()ln 1f x x a x =+-．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时,求a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）0a ≤, ()f x 在()0,+∞是单调递增； 0a >, ()f x 在10,
a ?
?
???
单调递增,在1,a ??
+∞
???
单调递减；
（Ⅱ）()0,1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1
f x a x
'=
-,可分0a ≤, 0a >两种情况来讨论；
（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为
1ln 1.f a a a ??
=-+- ???因此122ln 10f a a a a ??
>-?+-< ???
.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时, ()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值
范围是()0,1.
试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞, ()1
f x a x
'=
-,若0a ≤,则()0f x '>, ()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a
?
?
∈ ??
?
时()0f x '>,当1,x a ??∈+∞ ??
?
时
()0f x '<,所以()f x 在10,a ??
??
?
单调递增,在1,a
??+∞ ???
单调递减.
【变式2】【求函数取得最值时自变量的取值】【2014安徽卷理】设函数
23()1(1)f x a x x x =++--,其中0a >.
（1）讨论
()f x 在其定义域上的单调性；
（2）当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.
【答案】（1）
()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增；（2）
所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处
同时取得最小只；当14a <<时，
()f x 在0x =处取得最小值.
【解析】
试题分析：（1）对原函数进行求导，2
'()123f x a x x =+--，令
'()0f x =，解得
121211,33
x x x x --+==<，当1x x <或2x x >时'()0f x <；从
而得出，当1
2x x x <<时，'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在
12(,)x x 内单调递增.（2）依据第（1）题，对a 进行讨论，①当4a ≥时，21x ≥，由（1）
知，()f
x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②
当04a <<时，2
1x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，
因此
()f x 在213
x x -+==
处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当
01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取
得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.
（1）
()f x 的定义域为R ，2'()123f x a x x =+--.令'()0f x =，得
121211,33x x x x --+==<，所以12'()3()()f x x x x x =---.当
1x x <或2x x >时'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >.故()f x 在1(,)x -∞和
2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增.
因为0a >，所以120,0x x <>.
①当4a ≥时，2
1x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1
x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，2
1x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单
调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在213
x x -==
处取得最大值.又
(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()
f x 在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.
【数学思想】
分类讨论思想
1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．
2.分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的. 【处理导数的极值与最值问题注意点】
对参数的讨论要做到不重不漏.至于如何分类的思想是将导函数零点之间的大小以及区间端点值的大小进行比较，将区间端区限定不动，变动零点位置. 【典例试题演练】
1．【2018广东广州珠海区高三检测（一）理】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 10,2?? ???
B. ()0,1
C. (),0-∞
D. 1,
2??-∞ ???
【答案】A
2．【2018海南八校联盟开学考试理】已知函数()2
13ln 2f x x x a x ?
?
=-+-
???
在区间()1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是( )
A. 1,52??-
??? B. 111,22??- ??? C. 111,22?? ??? D. 1,52??
???
【答案】B
【解析】因为()3122f x x a x '=
-+-，所以由题设()31
22
f x x a x '=-+-在()1,3只有一个零点且单调递减，则问题转化为()()10{ 30f f ><，即1
1112{ 1122
2
a a a +
>?-<<-<，应选答案B 。
3．【2018湖南永州第一次模拟考试理】函数()2
25x
f x ae x a =-+-的值域为D ，若
1D ∈，则实数a 的取值范围为（ ）
A. (],1-∞
B. (],2-∞
C. (]0,2
D. [
)2,+∞
【答案】B
【解析】排除法，当0a = 时， ()25f x x =--， ,1D R R =∈ ，符合题意，排除选项C 、D ；当2a =时， ()()221,'22x
x
f x e x f x e =-+=-，由()'0f x >，得()f x 在
()1,+∞上递增，由()'0f x <得()f x 在()0,1上递减， ()()11f x f ∴≥=，即
[)1D =+∞， 1D ∈， 2a =合题意，排除选项A ，故选B.
4．【2018河北石家庄二中八月模考（文）】已知对()0,x ?∈+∞，不等式ln 1n
x m x
+≥-
恒成立，则
m
n
的最大值是 ( )
A. 1
B. 1
- C. e D. e-
【答案】C
5．
【2018“超级全能生”全国卷26省9月联考（文）】已知函数()32
3
2
32
t
f x x x x t
=-++在区间()
0,+∞上既有极大值又有极小值，则t的取值范围是__________．【答案】
9
0,
8
??
?
??
【解析】()232
f x tx x
'=-+，由题意可得()0
f x
'=在()
0,+∞有两个不等根，即2320
tx x
-+=，在()
0,+∞有两个不等根，所以
3
{2
980
t
t
>
?=->
，解得
9
8
t<<，填
9
0,
8
??
?
??6．【2018四川雅安中学高三第一次月考】设函数()
f x在R上存在导数()
f x
',对任意的x R
∈有()()2
f x f x x
-+= ,且在()
0,+∞上()
f x x
'> .若()()
222
f a f a a
--≥- ,则实数a的取值范围__________．
【答案】(],1
-∞
【解析】令()()2
1
2
g x f x x
=-，所以()()0
g x g x
+-=，则()
g x为奇函数 . 0
x>时，()()0
g x f x x
''
=->，由奇函数性质知：()
g x在R上上递增 .
()()()()
222221
f a f a a
g a g a a a a
--≥-?-≥?-≥?≤，则实数a的取值范围是(],1
-∞
7．【2017江西师大附中三模（文）】设
12
,x x是函数
函数的极值与导数教案完美版
《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f
高中数学：导数与函数的极值、最值练习
高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=，
高中数学选修2-2精品教案 3.2 函数的极值与导数
§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
函数的极值与导数教学设计一等奖
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
第三十九讲：函数的极值最值与导数
第三十九讲 函数的极值、最值与导数 一、引言 1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点． 2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题． 3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法． 二、考点梳理 1．函数的极值： 一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说()0f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说()y f x =是函数()y f x =的一个极小值．极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 理解极值概念要注意以下几点： （1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而4()f x >)(1x f ． 2．函数极值的判断方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，
(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】
试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
高中数学 利用导数研究函数的极值和最值
专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x )
(完整word版)函数的极值与导数导学案
§1.3.2函数的极值与导数 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．复习与思考 已知函数 3 2 ()267f x x x =-+ (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系? 二．新课讲授 1、极值点与极值 (1)极小值点与极小值： 若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝ ，而且在点x ＝a 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极小值点， 叫做函数y ＝f (x )的极小值． (2)极大值点与极大值： 若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝ ， 而且在点x ＝b 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y ＝f (x )的极大值点， 叫做函数y ＝f (x )的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 2.关于极值概念的几点说明 (1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值 （3）函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。 （5）函数y=f(x)在一点的导数为0是函数在这点取极值的 条件。 3.函数的极值与单调性有什么联系？ 【提示】 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性． 函数极值的求法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： (1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值. 求下列函数的极值． （1）3 1()443 f x x x =-+
函数的极值与导数-复习课导学案(可编辑修改word版)
f(a) O a x y f ( b) O b x 【学习目标】： 函数的极值与导数（复习学案） 1.回顾函数极值的概念. 2.总结掌握函数极值的四种类型题型. 3.培养分析问题、解决问题的能力. 【温故知新】： 极值的概念： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的，其中x0叫作函数的. 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个，其中x0叫作函数的. 【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值 【针对训练1】 1.图3 中的极大值点有；极小值点有. 2.观察函数在X2 与X6 的极值，能发现什么？ 【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值 1.由图3 分析极值与导数的关系
x0是函数f(x)的极值点f(x0) =0 f(x0) =0 x0是函数f(x)的极值点 总结：f(x0)=0 是函数取得极值的条件. 2.利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是； ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是；【针对训练2】 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点， 并指出那些是极大值点，那些是极小值点？ 【针对训练3】 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ （2）导函数y=f’(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？ 【类型3】求函数y=f(x)的极值 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： (1) (2) (3) (4) (5)
利用导数求函数的单调区间、极值和最值
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60） 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间： 备课时间： 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性； 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 1.定义：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)(' >x f ，那么函数)(x f y = 在 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0)(' 二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数)(x f 在点x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f <，就说)(0 x f 是函数的一 个极大值，记作()x y f 0=极大值 ，x 0是极大值点 2、极小值 一般地，设函数)(x f 在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f >就说)(0 x f 是函数) (x f 的一个极小值，记作 ()x y f 0=极小值 ，x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x 1 是极大值点， x 4 是极小值点，而)()( 1 4 x x f f >. （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 f(x 2)f(x 4) f(x 5) f(x 3) f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4x 3x 2 x 1b a x O y 4、判别()x f 0 是极大、极小值的方法: 若 x 满足 0)(0' =x f ，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则x 0是)(x f 的极值点，()x f 0是极值，并且如果 )(' x f 在 x 两侧满足“左正右负”，则x 是)(x f 的极大值点，()x f 0 是极大值；如果)(' x f 在x 0两侧满足“左负右正” ，则x 0是)(x f 的极小值点，()x f 是极小值 5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 )(' x f 1.3.2 函数的极值与导数（教案） 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ （提高学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数 ()h t =-4.9t 2 +6.5t+10的图象，回答 以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： a o h t 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 3.3.2 函数的极值与导数教学设计 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单 调性的关系是什么？ （提问学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t 函数极值与导数（基础） 1.下列说法正确的是 A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、函数3()13f x x x =+-有（ ） A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3 4、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数()y f x =在区间13,2?? -- ?? ?内单调递增； ②函数()y f x =在区间1,32?? - ??? 内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当4x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12 x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 5、函数3223y x x a =-+的极大值是6，那么实数a 等于_______ 6、函数x x x f ln 1 )(+= 的极小值等于_______. 7、求下列函数的极值： (1)．x x x f 12)(3-=；(2)．2()x f x x e =；(3)．.21 2)(2-+= x x x f 8、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ． (1)．试求常数a 、b 、c 的值； (2)．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 9、已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是． 1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12；－8 B ．1；－8 C ．12；－15 D ．5；－16 [答案] A [解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0?x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1，x ＝－1时y ＝12，x ＝1时y ＝－8. ∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A. 2．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值也有极小值 [答案] D [解析] y ′＝－3x 2－2x ＝－x (3x ＋2)， 当x >0或x <－23时，y ′<0， 当－23 B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－32 C ．a ＝－3，b ＝0，c ＝－3 D ．a ＝3，b ＝0，c ＝3 [答案] C [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴由题意得， ????? f ′(1)＝0f ′(－1)＝0f (－1)＝－1，即????? 3＋2b ＋c ＝03－2b ＋c ＝0－1＋b －c ＋a ＝－1， 解得a ＝－3，b ＝0，c ＝－3. 4．函数y ＝2x x 2＋1 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] 1，－1 [解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2 ，令y ′>0得－1 人教版高中数学精品资料 高中数学 1.3.2函数的极值与导数练习 新人 教A 版选修2-2 一、选择题 1．(2015·吉林实验中学高二期中)已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 [答案] B [解析] 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3 在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2 ，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立． 故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B. 2．函数y ＝14x 4－13x 3 的极值点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B [解析] y ′＝x 3 －x 2 ＝x 2 (x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表 3．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3 的极大值点坐标为(b ，c )，则 ad 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 [答案] A [解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3 的极大值点， ∴c ＝3b －b 3 ，且0＝3－3b 2， ∴? ?? ?? b ＝1， c ＝2，或? ?? ?? b ＝－1， c ＝－2.∴a d ＝2. 4．已知f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－16 D ．a <－1或a >2 [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根， ∴Δ＝4a 2 －12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 5．已知函数f (x )＝x 3 －px 2 －qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ，0 B ．0，4 27 C ．－4 27，0 D ．0，－4 27 [答案] A [解析] f ′(x )＝3x 2 －2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得， ? ?? ?? 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得? ?? ?? p ＝2， q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2 ＋x . 由f ′(x )＝3x 2 －4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1， 易得当x ＝13时f (x )取极大值4 27. 当x ＝1时f (x )取极小值0. 6．函数f (x )＝－x e x (a f (b ) D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 （十五）导数与函数的极值、最值 [小题常考题点——准解快解] 1．(2018·太原一模)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是() A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间 B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3 三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A. 5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x) 导数与函数的极值、最值 【题型突破】 利用导数解决函数的极值问题 ?考法1根据函数图象判断函数极值的情况 【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) D ?考法2求已知函数的极值 【例2】已知函数f(x)＝(x－2)(e x－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]∵f′(x)＝(e x－ax)＋(x－2)(e x－a) ＝(x－1)(e x－2a)， ∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a. ①当a＝e 2时，f′(x)＝(x－1)(e x－e)≥0，∴f(x)单调递增，故f(x)无极值． ②当0＜a＜e 2时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2a)ln 2a (ln 2a,1)1(1，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值 ③当a＞e 2时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1)1(1，ln 2a)ln 2a (ln 2a，＋∞) f′(x)＋0－0＋ f(x)极大值极小值 综上，当0＜a ＜e 2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ； 当a ＝e 2 时，f (x )无极值； 当a ＞e 2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2. ?考法3 已知函数极值求参数的值或范围 【例3】 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________. (2)若函数f (x )＝e x －a ln x ＋2ax －1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－e 2，－e) B .? ? ???－∞，－e 2 C .? ? ???－∞，－12 D ．(－∞，－e) (1)－7 (2)D [方法总结] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程 2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． A ．2或6 B ．2 C .23 D ．6 (2)(2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有极值，则实数a 的取值范围 是( )函数的极值与导数(教案
导数与函数极值、最值问题(解析版)
《函数的极值与导数》教学设计
函数极值与导数练习(基础)
3-3-2 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数
人教版 高中数学 选修2-2 1.3.2函数的极值与导数练习
导数与函数的极值、最值-高考理科数学试题
(完整版)导数与极值、最值练习题.doc
导数与函数的极值、最值
- 导数与函数的极值、最值
- 利用导数求函数的极值和最值
- 用导数求函数的最大值与最小值
- 高中数学：导数与函数的极值、最值练习
- 3-3-2 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数
- 导数与函数的极值、最值题型归纳
- 高考数学导数与函数的极值、最值
- 利用导数研究函数的极值和最值问题
- 高中数学 利用导数研究函数的极值和最值
- 导数与函数的极值和最值ppt课件
- 导数与函数的极值和最值考点及题型
- 导数与函数的极值和最值问题
- 利用导数求函数的单调区间、极值和最值
- 导数与函数极值、最值问题(解析版)
- 导数与函数的极值、最值练习含答案
- 导数与函数的极值、最值问题
- 利用导数求函数的单调区间 极值和最值
- 导数与函数的单调性、极值、最值
- 高二数学选修1、3-3-2函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数
- 导数及极值、最值练习题