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2012高考数学知识点一本全

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高中数学知识点精析

（文理通用）

第一部分集合

1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.

2. 集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，.

[注] ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）

②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）

（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.

④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （注：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R

}二、四象限的点集.

③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.

例： ?

??=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.

②点集与数集的交集是φ.

（例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?）

4. ①n 个元素的子集有2n 个.

②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.

5. ? ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.

解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.

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②

，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3

x = 1或y = 2.

21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，

又不是必要条件.

?小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

例：若552x x x >?><，或.

6.De Morgan 公式 C u A ∩ C u B = C u （A ∪ B ） C u A ∪ C u B = C u （A ∩ B ）

第二部分函数 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在）

，（），（2110?上为减函数. 3. 反函数定义：只有满足y x ??→←唯一

，函数)(x f y =才有反函数. 例：2x y =无反函数.

函数)(x f y =的反函数记为)(1

y f

x -=，习惯上记为)(1

x f

y -=. 在同一坐标

系，函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图象关于x y =对称.

[注]：一般地，3)f (x 3)(x f 1

+≠+-的反函数. 3)(x f 1+-是先)f(x 的反函数，在

左移三个单位.3)f(x +是先左移三个单位，在)f(x 的反函数.

4. ?单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.

?如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.

?设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数)(1x f y -=在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同.

?一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且b a f =)(，那么a b f =-)(1

. 这就

是说点（b a ,）在函数)(x f y =图象上，那么点（a b ,）在函数)(1

x f y -=的

图象上.

5. 指数函数：x

a y =（0,1a a >≠），定义域R ，值域为（+∞,0）.

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?①当1a >，指数函数：x

a y =

②当01a <<，指数函数：x a y =?当1a

>时，x a y =的a 值越大，越靠近y 轴；

当01a <<时，则相反.

6. 对数函数：如果a （0,1a

a >≠）的

b 次幂等于N ，就是N a b

=，数b 就

叫做以a 为底的N 的对数，记作b N a =log （0,1a a >≠，负数和零没有对数）；

其中a 叫底数，N 叫真数. ?对数运算：

()n

a n a a a c

b a b b a N

a n a a n a a a a

a a a a a a a a c

b a N

N N

a M

n M M n M N M N

N M N M n a

1121log log ...log log 1

log log log log log log log 1

log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=

==±=-=+=?-推论：换底公式：

（以上12n M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 01>>>≠>≠>≠>≠且）注?：当,0a b <时，)log()log()log(b a b a -+-=?.

?：当0M >时，取“+”，当n 是偶数时且0M <时，0n M >，而0M <，故取“—”.

例如：x x x a a a log 2(log 2log 2 ≠中x ＞0而2

log x a 中x ∈R ）.

?x a y =（0,1a a >≠）与x y a log =互为反函数. 当1a >时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反.

7. 奇函数，偶函数： ?偶函数：)()(x f x f =-

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设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)

()

(=-x f x f . ?奇函数：)()(x f x f -=-

设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数.

②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，

()

(-=-x f x f . 8. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称

x f y y -=???→?

②y =f （x ））（轴对称

x f y x -=???→?

③y =f （x ））（原点对称

x f y --=???→?

9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

在进行讨论.

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.

例如：已知函数f （x ）= 1+x

-1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则

集合A 与集合

B 之间的关系是 . 解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ?.

11. 常用变换：

①)

()

()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =

-?=+. 证：)()(])[()()

()

()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=

- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y

x f +=??-=

212221212

22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）（A B ?

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证：

)()()()(y f y

f y y x f x f +=?= 12. ?熟悉常用函数图象：

例：|

|2x y =→||x 关于y 轴对称.

2|21+??

? ??=x y →|

|21x y ??

? ??=→

2|21+??? ??=x y

|122|2-+=x x y →||y 关于x 轴对称

?熟悉分式图象：

例：3

2312-+=-+=

x x x y ?定义域},3|{R x x x ∈≠，

值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比.

第三部分直线和圆

一、直线方程.

1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范

围是)0(1800παα

≤≤.

注：①当

90=α或12x x =时，直线l 垂直于

x 轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在

x 轴，y

轴上的截距分别为

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)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+

a x . 注：若232--

=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23

--=x y ，但若)0(23

≥--

=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.

3. ?两条直线平行：

1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则

1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）

推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ?两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有

12121-=?⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=?⊥k l l ，且2l 的斜率

不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：

?直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时2

21tan k k k k +-=

θ.

?两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交

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所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ?

???

2,0π，

当 90≠θ，则有2

21tan k k k k +-=

θ.

5. 过两直线???=++=++0:0

:222

21111

C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程

λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）

6. 点到直线的距离：

?点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2

00B

A C By Ax d +++=

?两条平行线间的距离公式：设两条平行直线

)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有

21B

A C C d +-=

7. 关于点对称和关于某直线对称：

?关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. ?关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.

?点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 注：①曲线、直线关于一直线（b x y +±=）对称的解法：y 换x ，x 换y. 例：曲线f (x ,y )=0关于直线y =x –2对称曲线方程是f (y +2 ,x –2)=0.

②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f (a – x , 2b – y )=0. 二、圆的方程.

1. ?曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的与一个二元方程

0),(=y x f 的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

?曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(y x M 其坐标与方程0),(=y x f 的一

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种关系，曲线上任一点),(y x 是方程0),(=y x f 的解；反过来，满足方程0),(=y x f 的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是

222)()(r b y a x =-+-.

特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.

注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+-

)],(),(,[b a b a b r -=或圆心

②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心 ③与轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

当042

F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2

E D C ，

半径2

422F

E D r -+=.

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--

2,2

E D . 当0422

F E D -+时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：??

?+=+=θ

sin cos r b y r a x （θ为参数）.

②方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且

0422 AF E D -+.

③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A （用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-?

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-? 5. 直线和圆的位置关系：

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设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-；直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ；圆心),(b a C 到直线l 的距离2

A C Bb Aa d +++=.

①r d =时，l 与C 相切；

附：若两圆相切，则??????=++++=++++0

2222

211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程. ②d r <时，l 与C 相交；

附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③d r >时，l 与C 相离.

附：若两圆相离，则??????=++++=++++0

2222

211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心21O O 的连线的中与线方程.

由代数特征判断：方程组??

???=++=-+-0)()(2

22C Bx Ax r b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的

一元二次方程，其判别式为?，则：

l ?=?0与C 相切； l ??0 与C 相交； l ??0 与C 相离.

注：若两圆为同心圆则011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 相减，不表示直线.

6. 圆的切线方程：圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是r k kx y 21+±=过圆

022=++++F Ey Dx y x

上一点),(00y x P 的切线方程为：02

000=++++++F y y E x x D

y y x x . ①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆

222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.

②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则?

??+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出?k 切线方0

:0:2222

22111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y x C

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程.

7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知O Θ的方程022=++++F Ey Dx y x …① 又以ABCD 为圆为方程为2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--…②

)()(2

b y a x R A A -+-=

…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.

第四部分三角函数

1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：

{}Z k k ∈+?=,360|αββ

②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|

ββ

④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{

Z k k ∈+?=,45180|

ββ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ

⑦若角α与角

β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、

四象限一半所在区域

C )

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（一）基本关系

公式组二公式组三

x x k x x k x x k x x k c o t

)2c o t (t a n )2t a n (c o s

)2c o s (sin )2sin(=+=+=+=+ππππ

x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-

公式组四公式组五公式组六

x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x c o t

)2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x x x x x x x x c o t

)c o t (t a n )t a n

(c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ （二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n

= β

αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

公式组一s i n x ·c s c x =1

tan x =

cos sin sin 2x +cos 2x =1

cos x ·sec x x =x x sin cos 1+tan 2x =sec 2x

tan x ·cot x =1 1+cot 2x =csc 2

x =1

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ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α

αα2

t a n 1t a n 22t a n -=

αβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2

c o s

s i n αα

-±

= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ 2

c o s

c o s αα

+±

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

- 公式组三公式组四公式组五 2tan 12tan

2sin 2

α+= 2tan 12tan

1cos 22ααα+-= 2

tan 12tan 2tan 2α

αα-=

2675cos 15sin -=

= ,4

2615cos 75sin +=

= ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .

()()[]

()()[]()()[]

()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=

cos cos 2

1sin sin cos cos 2

cos cos sin sin 21sin cos sin sin 2

cos sin 2

cos

2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin β

αβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2

sin 2sin 2cos cos β

αβαβα-+-=-α

αα

ααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

tan -=+=+-±=α

απsin )21

cos(-=+α

απcos )2

sin(=+α

απcot )21

tan(-=+α

απsin )2

cos(=-α

απcos )21

sin(=-α

απcot )21

tan(=-

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注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同

样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则(f y -=. ②x y sin =与x y cos =的周期是π.

③)sin(

?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ω

2=T .

tan

y =的周期为2π（π

2=?=T T ，如图，翻折无效）.

④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2

π+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s

(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,2

1ππ+k ）；)t

a n (?ω+=x y 的对称中

心（

0,2

k ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称

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⑤当αtan ·

,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2

Z k k ∈+=-π

πβα. ⑥x y cos =与??

? ?

?++=ππk x y 22

sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数，则

)cos()2

sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=.

⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：

)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)3

1tan(π+=x y 是非奇非

偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则无此性质）

⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T

x y cos =是周期函数（如图）

；x y cos =为周期函数（2

12cos +

=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

R k k x f x f y ∈+===),(5)(.

⑩a

b b a b a y =+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.

第五部分向量与解三角形

1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.

注意：①若b a

,为单位向量，则b a =.

（?）单位向量只表示向量的模为1，并

未指明向量的方向.

②若b a

=，则a ∥b . （√） 2.

①()a

μλ=()a λμ

②()a a a

μλμλ+=+

③()

b a b a

λλλ+=+

④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211

()2121,y y x x b a ++=+ ()2121,y y x x b a --=-

y=|cos2x +1/2|图象

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()21,y x a λλλ= 2121y y x x b a +=? 21

21y x a += （向量的模，针对向量坐标求模）

⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ?=? ⑥a b b a

?=? ⑦

()()()b a b a b a

λλλ?=?=? ⑧()

c b c a c b a ?+?=?+

注意：①()()c b a c b a ??=??不一定成立；c

b b a

?=?c a =.

②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.

③长度为0的向量叫零向量，记0 ，0 与任意向量平行，0

的方向是任意的，零

向量与零向量相等，且00

=-. ④若有一个三角形ABC

，则

0；此结论可推广到n 边形.

⑤若a n a m

=（R n m ∈,），则有n m =. （?）当a

等于0

时，0

==a n a m ，而n m ,不一定相等.

⑥a ·a

=2||a ，||a =2a

（针对向量非坐标求模），||b a

?≤||||b a

?. ⑦当0 ≠a 时，由0=?b a

不能推出0 ≠b ，这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·

=0. ⑧若∥，∥，则∥（×）当等于时，不成立.

3. ①向量b

与非零向量．．．．a

共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b

λ=（平行向量或共线向量）.

当a ,0 λ与b 共线同向：当,0 λa 与b 共线反向；当b 则为0,0与任何

向量共线.

注意：若,

= （×）

若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =?θcos

，=θcos （√） ②设a

=()11,y x ，()22,y x b =

∥b

?=-?01221y x y

x =??=λ

⊥b 001221=+?=??y y x x b a

③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则A 、B 、C 三点共线

?∥

=λ（0≠λ）

?（1212,y y x x --）=λ（1313,y y x x --）

（0≠λ）

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?（12x x -）

·（13y y -）=（13x x -）·（12y y -） ④两个向量a

、b 的夹角公式：

121cos y x y x y y x x +

⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）设 P 1P =λPP 2 （或P 2P λ

1P P ），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2

211y x y x y x ）（，则推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：

推广2λ则λ

λ++=1PM （λ对应终点向量）.

三角形重心坐标公式：△ABC

的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G

,：注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件. ⑥平移公式：若点

P ()y x ,按向量a

=()k h ,平移到

‘

(

)

,y x ，则????

?+=+=k y y h

x x '' 4. ?正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则

R C

B b A a 2s i n s i n s i n ===. ?余弦定理：???

????-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222

22222

?正切定理：2

tan

2tan

B A B

A b

a b a -+=

?三角形面积计算公式：

设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .

①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦

公式]

⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.

???

?++=++=33321321y y y y x x x x ???

???

+=+=222121x x x y y y ???

????

++=++=λλλλ112

1x x x y

y y B

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如图：

图1中的I 为S △ABC 的内

心， S △=Pr

图2中的I 为S △ABC 的一

个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a

图

1 图

2 图3

图4 附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

?已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周

长,即

b a ++] 则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=

c s -=1/2（a+b-c ）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =

c b a ab

c b a ++=

-+2（如图3）. ?在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C B

A B

A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结

论！

?在△ABC 中，D 是BC

上任意一点，则DC BD BC

AB BD AC AD ?-+=

222

. 证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 B BD AB BD AB AD cos 2222??-+=① 在△ABC

中，由余弦定理有 BC

AB AC BC AB B ?-+=

2cos 2

22②，②代入①，化简可得，DC BD BC

AB BD AC AD ?-+=

222

（斯德瓦定理） ①若AD 是BC 上的中线，222222

a c

b m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p b

c c

b t a -?+=2

，其中p 为半周长； ③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p a

h a ---=2，其中p 为半周长.

?△ABC 的判定：

B I A B

F I

B C D

E F r a

r a

c a

a b c C D

图5

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?+=222b a c △ABC 为直角△?∠A + ∠B =2

2c ＜?+22b a △ABC 为钝角△?∠A + ∠B ＜2π 2c ＞?+22b a △ABC

为锐角△?∠A + ∠B ＞

π 附：证明：ab

c b a

C 2cos 2

-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C +?-+?

?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和

)2=

第六部分数列

①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).

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?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n

②112

-+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )

① 注①：i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac b =、b 、c 等比数

列.

ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.

注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个.

③n n cq a =(q c ,为非零常数).

④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列. ?数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：???≥-===-)2()

1(111n s s n a s a n n

[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）.

②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ??

? ?

?-+??

? ??=+=22122 →2

可以为零也可不为零→

为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍

...,,232k k k k k S S S S S --；

②若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1

n n a a S S 偶

奇

；

③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1

-=n n S S 偶

奇

得到所求项数到代入12-?n n .

3. 常用公式：①1+2+3 …+n =

()2

1+n n

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②()()6

1213212222++=

+++n n n n

③()2

213213333??

???+=++n n n [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=?n n a ； 5，55，555，…()1109

-=?n n a .

4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：

?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：

1(1])1([)

1(...)1()1(1

r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++- ?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：

)1(...)

1()1()

1(10

1112

r a r a r a r a ++++++++=

)

1(1]

)1(1)[1(12r r r a +-+-+. ?分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.

()()

()

()()

()()()1

111111 (1112)

-++=?-+=+?++++++=+--m m m m

m m m

r r ar x r r x r a x r x r x r x r a

5. 数列常见的几种形式：

?n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②

若21x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设n

n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定

21,c c .

?r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.