(完整版)勾股定理经典题目及答案
勾股定理
1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.
2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是
直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.
△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2
?3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.
4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.
一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式
①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
212-k 2
1
2+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
122
-??? ??K 122
+??
?
??K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
典型例题分析
例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则
S 1+S 2+S 3+S 4=____
依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d
则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2
S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4
例2 已知线段a ，求作线段 a
5分析一：a ＝＝
525a 2
24a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。5分析二：a ＝52
492
a
a -∴a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。
5作图（略）
例3 如图：(1)以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S 1、S 2、S 3之间有何关系，说明理由。(2)如图(2)，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？
(3)如果将图(2)
中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为图(3)，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)
分析： (1)
中S 1，S 2，S 3的表示均与直角三
角形的边长有关。
所以根据勾股定理可得
出S 1，S 2，S 3的关系，S 1+S 2=S 3
(2)类似于
(1)
：S 1+S 2=S 3
(3)图中阴影部分的面积
是S 1+S 2+S △ABC -S 3 ∴S 阴影=S △ABC
例4. 如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm 2，试求最大的正方形的边长。 分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即 S 1+S 2=S 3，S 5+S 6=S 4，S 3+S 4=S 阴 所以S 1+S 2+S 5+S 6=S 3+S 4=S 阴
从而有3S 阴=507，即S 阴=169(cm 2) ∴最大的正方形的边长为13cm
例5 图(7)中，若大正方形EFGH 的边长为1，将这个正方形的四个角剪掉，得到四边形ABCD ，试问怎么剪才能使剩下的图形ABCD 仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形
面积的5/9
(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a ，b 且a>b ，
则
将正方形EFGH 的边长三等分，使
顺次连结A 、B 、C 、D ，所得正方形ABCD 的面积即为原正方形面积的
，只要剪去△
ABE ，△BCF ，△CDG ，△DAH 即可。
二、要学会用方程观点解题
例6. 已知：如图7，△ABC 中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC 折叠，使C 点与A 点重合，求折痕EF 的长。
分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF 。
由已知，可得
，因此欲求EF ，只要求AF 的长。
设AF=x ，则FC=x ，BF=4-x
只要利用Rt △ABF 中，AF 2-BF 2=AB 2这个相等关系布列方程 x 2-(4-x)2=9，问题就可以解决
例7. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ，b ，c 为连续整数(a 分析：有的同学认为，在Rt △ABC 中， ∵a、b、c为连续整数， ∴a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是别的数。 这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是 设b=x(x为正整数，且x≥2)，由已知，则 a=x-1，c=x+1 ∵c2-a2=b2 ∴(x+1)2-(x-1)2=x2 即4x=x2，又∵x>0， ∴只有x=4 ∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12 例8. 已知：如图8，△ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求△ABC的面积。 分析：为了求△ABC的面积，只要求出BC边上的高AD 若设 BD=x，则DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2 这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值 问题就能解决 例9细心观察图，认真分析各式，然后解答问题： (1)用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA10的长； (3)求出的值。 答案(1) 例10.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD,求证：AB＝AC 证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n 则c+n=b+m, c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AD2＝c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) (c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0 (c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0 ∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b ∴AB ＝AC 例11 .已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝ 求：的值3 2 a b - 解：根据勾股定理 a 2+ b 2=EF 2＝S EFGH ＝ ;① 3 2 ∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab= ②3 1 －②得 （a-b ）2= ∴＝ 3 1 a b -33例12 .已知△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC ，ME ⊥MF 求证：EF 2＝BE 2＋CF 2答案 .延长EM 到N ，使MN ＝EM ，连结CN ，显然△MNC ≌△MEB ，NC ＝BE ，NF ＝EF …… 例13 .Rt △ABC 中，∠ABC ＝90，∠C ＝60，BC ＝2，D 是AC 的中点，从D 作 DE ⊥AC 与CB 的延长线交于点E ，以AB 、BE 为邻边作矩形ABEF ，连结DF ，则DF 的长是＿＿＿＿。 答案与提示：. 可证DF ＝DE ＝23 （选讲）例14 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少? 答案2 210)2(+π练习 1 在边长为整数的△ABC 中，AB>AC ，如果AC = 4，BC = 3，求AB 的长. 分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从AC< AB< AC+ BC 知：4< AB<7，得AB 为5或6. 2 如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，且∠DCE=45°。 求证：DE 2=AD 2+BE 2。 C 分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。 3 如图，在△A BC 中，AB=13,BC=14,A C=15，则BC 边上的高A D= 。 答案12。 4 如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积是 。 E 设EF=x ，那么AF=CF=8-x ，AE^2+EF^2=AF^2,所以4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3， B C A A S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10 5 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5 A B 6 在△ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长. 答案25或7 7 在△A BC中，D是BC所在直线上一点，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC的面积。 答案84或36 A D A D A A D