第二章代数式

第二章 代数式

基础知识点：

一、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。

3、代数式的分类

???

????????????无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 二、整式的有关概念及运算

1、概念

（1）单项式：像x 、7、y x 22，这种数与字母的积的式子叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 23

13-。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。

单项式和多项式统称整式。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

2、整式运算

（1）整式的加减

合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。

去括号法则：(1)括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；(2)括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

（2）整式的乘除

有关幂的运算法则，其中m 、n 都是正整数

同底数幂相乘：n m n m a a a +=?；

同底数幂相除：n m n m a a a -=÷；

幂的乘方：mn n m a a =)(

积的乘方：n n n b a ab =)(。

单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数直接作为积的一个因式。

单项式乘以多项式：就是利用乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数不变直接作为商的一个因式。

多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

（3）乘法公式

平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；

完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，

2222)(b ab a b a +-=-

注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a p

p ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

三、因式分解

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法

（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++

（2）运用公式法：

平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；

完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±

（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

即))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++

*（5）运用求根公式法：

若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则))((212x x x x a c bx ax --=++

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用平方差公式法分解因式；3项式可以尝试运用完全平方公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

四、分式

1、分式定义：形如B

A 的式子叫分式，其中A 、

B 是整式，且B 中含有字母。 （1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。

（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。

（7）有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的性质：

（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用符号表示为：

)0(的整式是≠??=M M B M A B A ； )0(的整式是≠÷÷=M M

B M A B A （2）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算：

（1）加、减 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，即;c

b a

c b c a ±=± 异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减，

即bd

bc ad d c b a ±=±。 （2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。 即;;bc

ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方，即);()(为整数n b

a b a n n

n = 五、二次根式

1、二次根式的概念：式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a 与a ；d c b a +与d c b a -）

2、二次根式的性质

（1） )0()(2≥=a a a ；

（2）???<-≥==)0()0(2a a a a a a ；

（3）b a ab ?=（a ≥0，b ≥0）；

（4）)0,0(≥≥=b a b a b a （注意：这里b>0，不能含等号）

3、二次根式的运算

（1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。

（2）二次根式的乘法：ab b a =?（a ≥0，b ≥0）。

（3）二次根式的除法：)0,0(≥≥=b a b

a b a

（注意：这里b>0，不能含等号） 注意：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

（4）二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

例题（要求写出解答过程）：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、)(6)(2422x y b y x a -+-

分析：先提公因式，后用平方差公式

[规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。

2、十字相乘法

例2、（1）36524--x x ；（2）12)(4)(2-+-+y x y x

分析：可看成是2x 和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。

[规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。

3、分组分解法

例3、2223--+x x x

分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。

[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。

*4、求根公式法

例4、552++x x

二、分式的运算

巧用公式

例5、计算：22)11()11(b

a b a -+--- 分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。

[规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。

2、化简求值：

例6、先化简，再求值：)74()53(52222xy y x x x +++-，其中x= – 1 y =21-

[规律总结]一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。

3、分式的计算：

例7、化简)33

16(625---÷--a a a a 分析：– 3-a 可看成3

92---a a [规律总结]分式计算过程中：（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；

（2）注意负号

4、二次根式的计算

例8、已知最简二次根式12+b 和b -7是同类二次根式，求b 的值。 分析：根据同类二次根式定义可得：2b+1=7–b 。

[规律总结]二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。