二项式定理.版块四.二项式定理的应用1证明整除或求余数.学生版

知识内容

1．二项式定理

⑴二项式定理

()()

011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理．

⑵二项式系数、二项式的通项

叫做的二项展开式，其中的系数011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++()n

a b +叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表

()0,1,2,...,r n C r n =r n r r n C a b -1r T +示，即通项为展开式的第项：． 1r +1r n r r r n

T C a b -+=⑶二项式展开式的各项幂指数

二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是

()n a b +1n +①各项的次数都等于二项式的幂指数．

n ②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，a n b 从第一项起，次数由零逐项增1直到．

n ⑷几点注意

①通项是的展开式的第项，这里．1r n r r r n T C a b -+=()n

a b +1r +0,1,2,...,r n =②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项()n a b +1r +()n

b a +1r +r n r r n C b a -式定理时，其中的和是不能随便交换的．

a b ③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而

r n C 项的系数有时可为负．证明整除或求余数

④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是

()n a b +()n a b -（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在()11r

r n r r r n T C a b -+=-b -b 1r n r r r n T C a b -+=这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看r n C ()1r

r n C -r n C 出，二项式系数与项的系数是不同的概念．

⑤设，则得公式：． 1,a b x ==()12211......n

r r n n n n x C x C x C x x +=++++++⑥通项是中含有五个元素，1r T +=r n r r n

C a b -()0,1,2,...,r n =1,,,,r T a b n r +只要知道其中四个即可求第五个元素．

⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．

n x (1)n x +2．二项式系数的性质

⑴杨辉三角形：

对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也n 可以直接用杨辉三角计算．

杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”

⑵二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为()n a b +012,,,...,n n n n n C C C C r n C r 自变量的函数，其定义域是：．

()f r {}0,1,2,3,...,n 当时，的图象为下图：

6n =()f r

这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性6n =()f r 质．

①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

事实上，这一性质可直接由公式得到．

m n m n n C C -=②增减性与最大值

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．

由于展开式各项的二项式系数顺次是，()01211,,112

n n n n n n C C C -===?，．．．，()()312123

n n n n C --=??，，．．．，

()()()

()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=????-()()()()

()12...21123...1k n n n n n k n k C k k ---+-+=???-．

1n n C =其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘,1,2,...n n n --以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…

k 等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相r n C 等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．

当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的n 1n +1n +二项式系数最大，最大为．

2n n C 当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．n 1n +1n +这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．

1

1

22n n n n C C -+=③二项式系数的和为，即．2n 012......2r n n n

n n n n C C C C C ++++++=④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即

．

0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=常见题型有：

求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．

典例分析

二项式定理的应用1证明整除或者求余数

【例1】利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．

【例2】若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．

【例3】证明：22(1(1(*)n n n ++∈N 能被12n +整除．

【例4】证明：2121(1(1(*)n n n ++++∈N 能被12n +整除．

【例5】⑴3023-除以7的余数________；

⑵555515+除以8的余数是__________；

⑶20001991除以310的余数是 ．

二项式定理11种题型解题技巧

二项式定理知识点及11种答题技巧 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

(完整版)二项式定理典型例题解析

二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项

二项式定理的十大应用

二项式定理的十方面应用 一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 1.(2012年高考安徽卷理科7)(x2+2)( 1 x2-1)5的展开式的常数项是（） (A)-3(B)-2(C)2(D)321世纪教【答案】D 【解析】第一个因式取x2，第二个因式取 1 x2得：1?C1(-1)4=5 5 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2?(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3. 2.(2012年高考天津卷理科5)在(2x2- 1 x )5的二项展开式中，x的系数为（） （A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-40 点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点． 3．在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 解：ΘT r+1 =C r x11-r(-1)r 11 ∴要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C r为最大，由此得r=5，从而可知最小项的 11 系数为C5(-1)5=-462 11 二、利用二项式定理求展开式的系数和 1、若(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013(x∈R)， 则(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 010******** )=_______。(用数字作答) 解析：在(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013中，令x=0，则a=1， 令x=1，则a+a+a+a+Λ+a 01232004 =(-1)2013=1 故(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 0102030 精品资料 2013 )

高中数学专题讲义-二项式定理的应用 证明整除或求余数

1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数 ()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示， 即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． 知识内容 证明整除或求余数

④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这 里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念． ⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素． ⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值． 2．二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形： 对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质： () n a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自 变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图： 这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点：二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？ 预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2：若今天是星期一，再过)(8* ∈N n n 天后是星期几？怎么算？ 预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+； 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+； 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2：以5 )(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。 初步归纳出下式： ()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※） （设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7 )(b a + 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100) (b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷 的方法的欲望。） 继续新授 师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+

高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、 二项式定理及应用 1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) （A）65（B）56（C）565432 2 ????? （D）6543 ????2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力． 【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法. 【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座， 有 25 65 1800 C A= 1 800种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（） （A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置. 【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有 123 343 C C A =108(种)；当司机安排2人时有 23 33 C A =18(种).由分类 计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）. 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、 戊各有4种选择，因此共有33444576 ????=（种）安排方案. 3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) （A）12种（B）18种（C）36种（D）54种 【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩 余的2个信封分别放入2张卡片. 【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1 3种，其他卡片放法有 2 2 2 4 C C种，所以共有A132 2 2 4 C C=18 （种）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.

二项式定理练习题

10.3二项式定理 【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( 二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。 2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =???） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项 （2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的 系数是字母幂前的常数。 （3）注意0,1,2,,r n =??? 3、二项式展开式的二项式系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即 m n C =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值， 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。 （3）所有二项式系数的和等于2n ，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ 4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ???的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++???+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+???+-=- 5、证明组合恒等式常用赋值法。 【例题精讲】 例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +） 解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1

二项式定理各种题型解题技巧

二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数1 2n n C -,12n n C +同时

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数． 分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5 x 项的系数为6． 例3 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ；

（2）)12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ ． 解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边． （2）)! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5 2232??? ? ?-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开． 解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开， 不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) (（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0 =k ）． 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，

最新二项式定理应用常见题型大全(含答案)

二项式定理应用常见题型大全 一．选择题（共21小题） 1．（2012?重庆）的展开式中常数项为（） ．C D 2．（2012?桃城区）在的展开式中，有理项共有（） 2012 4．（2008?江西）展开式中的常数项为（） n*5 6．（2006?重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） 88 29211 2006 10．（2004?福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（） D． 11．若则二项式的展开式中的常数项为（） 12．（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）

C 10 14．的展开式中第三项的系数是（） ．C． 4n+1 n 17．设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是 [[，[ 18．在的展开式中系数最大的项是（） 6 8 2010

参考答案与试题解析 一．选择题（共21小题） 1．（2012?重庆）的展开式中常数项为（） ．C D 的展开式通项公式中，令 的展开式通项公式为 = 2．（2012?桃城区）在的展开式中，有理项共有（） ??， 2012

+ 4．（2008?江西）展开式中的常数项为（） 的展开式的通项为 的展开式的通项为= 的通项为= ，时，展开式中的项为常数项 n*5

6．（2006?重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） 则展开式的常数项为 88 29211 2006

分别取， 时，有）（ 时，有）（ （ 10．（2004?福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（） D． 中，化简可得答案． ， x= =2 11．若则二项式的展开式中的常数项为（） ∴二项式的通项为 的展开式中的常数项为=160

二项式定理习题精选精讲

例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x +的展开式； 解：原式=4 )1 3( x x += 24)13(x x + = ])3()3()3()3([144342 243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12 342++++x x x x x =54112848122 ++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 ） 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13 (x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13 (x x - 改写成4)]1(3[x x - +的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本 题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式= n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 33 22 11 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2( x x a -的展开式中3x 的系数为4 9，常数a 的值为 】 解：923 92999 12)1()2 ()(----+???-=-=r r r r r r r r r x a C x x a C T 令 392 3 =-r ，即8=r 依题意，得 4 9 2)1(894889= ??---a C ，解得1-=a 2．确定二项展开式的常数项 例5．103 )1( x x -展开式中的常数项是 解：r r r r r r r x C x x C T 6 5510 3 1010 1 )1()1() (--+?-=-= 令06 5 5=- r ，即6=r 。 所以常数项是210 )1(6 106=-C

(完整版)排列组合二项式定理新课

20.1.1 排列的概念 【教学目标】 1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法； 2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。 【教学重难点】 教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用 教学难点：排列数公式的推导 【教学课时】 二课时 【教学过程】 合作探究一：排列的定义 我们看下面的问题 （1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里 （2）从10名学生中选2名学生做正副班长； （3）从10名学生中选2名学生干部； 上述问题中哪个是排列问题？为什么？ 概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n个不同元素中，任取m（m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同） 按照一定的顺序 ．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 ．．．．。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二排列数的定义及公式 3、排列数：从n个不同元素中，任取m（m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导

探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n * ∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）4 10A ；(2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???L ，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A --B ．2979k A -C ．3079k A -D ．3050k A - 答案：1、5040、20、20；2、6；3、C 典型例题 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。 解：略 点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。 变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的 排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中，m =n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=L （叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）4 4A （3）)!1(-?n n 想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，25A 和3 355A A ÷有怎样的关系？ 那么，这个结果有没有一般性呢？ 排列数公式的另一种形式：

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页 系数和为n 3． 典型例题四 例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广及应用 曲靖市麒麟高级中学 车保勇 [摘 要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围． [关键词] 二项式定理 推广 方幂 应用 1 引言 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：() 0,(,,0)n n r n r r n r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．

2 问题的提出 虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围． 3 二项式定理的推广 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为： 011r n r r n n ()n n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +0 ,(,,0)n r n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑ 其中r n r r r 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!! r n n C r n r =-叫做二项式系数． 若令 -n r q =， 则 ! !! r n n C r q = ，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一 在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广． 先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式: ()[()]n n a b c a b c ++=++ ()n r r r n C a b c -=+++ ( )r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++ 若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式： (,,p q r n)r q p q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=， 其中()()!(r)!! !!q!q !!q!p! r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2] 类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为 ! (,,,)!!!s! p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ， 其中 ! !!!s! n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为： 定理１12()n m a a a +++12 121212!!! !m m i i i m i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．

二项式定理

二项式定理 编写人：王超 审核人：高三数学组 时间：2019.3.14 典例1 的展开式中, 的系数为 A ．60 B ．-60 C ．240 D ．-240 典例2 若a =d x (e 为自然对数的底数),则二项式(x-)6的展开式中的常数项为 A ．-160 B ．160 C ．20 D ．-20 典例3 已知关于x 的二项式(ax- )n 展开式的二项式系数之和为256,常数项为112,则a 的值为 A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 1．( -2x )6 的展开式中x 2 项的系数为 A ．240 B ．-240 C ．160 D ．-160 2．已知二项式 (n (a >0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x 2 项的系数为84,则a 的值为 A ．1 B ． C ．2 D ． 3 ．在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项. 典例4 若(x 2+1)(x-3)9=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2)2+a 3(x-2)3+…+a 11(x-2)11,则a 1+a 2+…+a 11的值为 A ．0 B ．-5 C ．5 D ．255 典例5 已知(1-2x )n 的展开式中的二项式系数的和是64,则n = ;若(1-2x )n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |= .

典例6 在二项式 n 的展开式中, (1)若所有二项式系数之和为,求展开式中二项式系数最大的项． (2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和. 4．在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为A．50 B．70 C．90 D．120 5．已知(1-x)4+4(1-x)3+6(1-x)2-4x+5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,那么a2+a4的值为A．9 B．18 C．25 D．41 6．已知二项式且. （1）若,展开式中含项的系数为960,求的值; （2）若展开式中各项系数和为,且,求展开式的所有二项式系数之和. 典例7 利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n* ∈N)能被25整除. 7．被49除所得的余数是 A．-14 B．0 C．14 D．35 1．(1+x)7的展开式中x2的系数是 A．42 B．35 C．28 D．21 2．二项式 6 2 x x ?? - ? ?? 的展开式的第二项是 A．6x4B．﹣6x4 C．12x4D．﹣12x4 3．若实数a=2-,则a10-2a9+22a8- (210) A．32 B．-32 C．1024 D．512 4．已知x (x-)5的展开式中含x4项的系数为30,则a= A．B．-C．-6 D．6

二项式定理二项式定理的应用教案

排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案 教学目标 1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算;求余数或证明某些整除或余数的问题等. 2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题. 3.培养学生运算能力，分析能力和综合能力． 教学重点与难点 数学是一门工具,学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系,怎样联系),是这节课的难点，也是重点所在． 教学过程设计 师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题: (1)在（1-ｘ3)（１+x)１０的展开式中,ｘ5的系数是多少? （2）求（1＋x-x2）6展开式中含x5的项． （全体学生参加笔试练习) ６分钟后，用投影仪公布以上三题的解答: （1)原式=(1+ｘ)10-x3(1＋ｘ）10,可知x５的系数是（1＋x） （2)原式=[1+(x－ｘ２）]６=1＋6（ｘ-x2)+1５（ｘ-x2)2+20（x-x2)３+1５（x-ｘ2）4+６（x-x2）5＋(x-x２）６. 其中含x5的项为：２0·3x5＋15(-4）ｘ5+6ｘ5=6x5.

师：解（1）,（2)两题运用了变换和化归思想，第(2)题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件． 第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a,b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值.这种用概念解题的思想经常使用. 下面我们看二项式定理的一些应用． 师:请同学们想一想，例１怎样解？ 生甲:从结构上观察,则与练习的第(3)题有相似之处,只是组合数的系数成等 比数列,是否根据二项式定理令a=１，b＝3，即可得到证明. 师:请同学们根据生甲所讲，写出证明． （找一位同学板演) 证明：在（ａ+b)ｎ的展开式中令a=１,b=3得: 师：显然，适当选取ａ,b之值是解这一类题的关键,再看练习题. 练习 生乙:这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺