高三数学第一轮总复习教案
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高三数学第一轮总复习讲义 讲义31 直线的的方程、两条直线的位置关系
一、基本知识体系：
1、 直线的倾斜角、斜率、方向向量：
① 求直线斜率的方法：（1）、定义法：k= tan α (α≠π2)；②斜率公式：k= y 2-y 1
x 2-x 1
(x 1≠x 2）；当x 1=x 2时，
斜率不存在。③直线的方向向量：直线L 的方向向量为→m =（a,b),则该直线的斜率为k= b
a
2
3、 4、 直线L 1到直线L 2的角的公式：tan θ = k 2-k 1
1+k 1k 2 (k 1k 2
≠-1) 直线L 1与直线L 2的夹角公式：tan θ = |
k 2-k 1
1+k 1k 2
| (k 1k 2≠-1) 5、点到直线的距离：点P （x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=
| Ax 0+By 0+C|
A 2+
B 2
6、两条平行的直线之间的距离：两条平行线Ax+By+C 1=0 和Ax+By+C 2=0之间的距离d= |C 1-C 2|
A 2+
B 2
7、直线系方程：①、过定点P （x 0,y 0)的直线系方程：y-y 0=k(x-x 0)；②、平行的直线系方程：y=kx+b ；③、过两直线A 1x+B 1y+C 1=0 和A 2x+B 2y+C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x+B 1y+C 1+λ（A 2x+B 2y+C 2）=0 8、对称问题：点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称： 二、典例剖析：
★【例题1】、设函数?（x ）=asinx-bcosx 图象的一条对称轴方程为x=π
4
,则直线ax-by+c=0的倾斜角为（B ）
A
π4 B 3π4 C π3 D 2π3
2
★【例题2】已知集合A={（x,y)|x=cos θ且y=sin θ,θ∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若A ∩B 有两个元素，则k 的取值范围是_____▲解：画图可知，直线与半圆有两个交点，则[-1
2
,0)
★【例题3】已知直线过点P （-1，2）,且与以点A （-2，-3）、B （3，0）为端点线段相交，则直线L 的斜率的取值范围是__ (k ≥5,或k ≤-12)
三、巩固练习：
★【题1】已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于
（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-
▲解：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a=－1，选D. ★【题2】已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则的值为 ( ) A 0 B 8- C 2 D 10 ▲解： (m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8, 选(B) ★【题3】 “2
1
=
m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（ B ）A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
▲【详解】当1
2
m =
时两直线斜率乘积为1-，从而可得两直线垂直；当2m =-时两直线一条斜率为0，一条 斜率不存在,但两直线仍然垂直；因此1
2
m =是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.
●注意：对于两条直线垂直的充要条件①12,k k 都存在时12.1k k =-；②12,k k 中有一个不存在另一个为零；
对于②这种情况多数考生容易忽略.
★【题4】 若三点 A （2，2），B （a ，0），C （0，b ）（0 ,b ）(ab ≠0)共线，则,
11
a b
+的值等于________1/2 ★【题5】已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____.
▲解：已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，2
33
a -
=-，则a =2. ★【题6】已知圆2
x －4x －4＋2
y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ． ▲ 解：由已知得圆心为：(2,0)P
，由点到直线距离公式得：d ★【题7】过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜
率k ＝ ． 2
2
★【题8】直线1x y +=与圆2
2
20(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是
A ．1)
B
．1)
C
．(1)
D ．1)
▲解：由圆2
2
20(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。 ★【题9】． 若圆010442
2
=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的 距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是：A ． ]412[
π
π， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]2
0[π
，
3
▲解：圆010442
2=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，
要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2， ∴
22
2a b +，∴ 2()4()1a a b b ++≤0，∴ 23()23a b --≤，()a
k b =-，∴
2323k ≤l 的倾斜角的取值范围是]12
512[
π
π，，选B.
★【题10】7．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
A ．36
B . 18 C. 26 D . 25
▲．解：圆0104422=---+y x y x 的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到到直线014=-+y x 的距离为
252
=2，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =62，选C. ★【题11】设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为( )
A ．±2
B ．±2 B ．±2 2 D ．±4
▲解；直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y x a =+，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴
22
=，∴ a 的值±2，选B ． ★【题12】如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上， 则△ABC 的边长是(D):（A ）32
（B ）
3
6
4 （C ）
4
17
3 （D ）
3
21
2 ★【题13】如图，三定点A(2，1)，B(0，－1)，C(－2，1); 三动点D ，E ，M 满足AD →=tAB →
， BE → = t BC →， DM →=t DE →
， t ∈[0，1]． (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程．
．▲解： 如图， (Ⅰ)设D(x 0，y 0)，E(x E ，y E )，M(x ，y)．由AD →=tAB →， BE → = t BC →
， 知
(x D －2，y D －1)=t(－2，－2)． ∴???x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ???x E =－2t
y E =2t －1
．
∴k DE =
y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)
－2t －(－2t+2)
= 1－2t ． ∴t ∈[0，1] ， ∴k DE ∈[－1，1]． (Ⅱ) ∵DM →=t DE →
∴(x+2t －2，y+2t －1)=t(－2t+2t －2，2t －1+2t －1)=t(－2，4t －2)=(－2t ，4t 2－
2t)． ∴?
??x=2(1－2t)y=(1－2t)2 ， ∴y=x 2
4 ， 即x 2=4y ． ∵t ∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]． 即所求轨迹方程为: x 2=4y ， x ∈[－2，2]
※★【题14】已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：
（A ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点； （C ） 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；（D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直
y
O
M
D A
C
－1 －1 －2 1
2
B
E