刚体的定轴转动

第二章刚体的定轴转动

教学要求：

一、理解刚体定轴转动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。

二、理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。

三、了解力矩的功和转动动能的概念。

四、了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。

五、理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。

教学重点：刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律。教学难点：难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。

物理学研究方法、思维方法：理想化模型-----刚体、研究刚体转动的物理量——角量的确定。

类比方法是本章学习和研究的主要方法。

教学方法：启发、类比、讨论

教学内容：

准备知识：

一、刚体：假定无论在多大的外力作用下，物体的形状和大小都保持不变，也就是物体内任何两质点之间的距离保持不变。这样的理想物体称为刚体。

刚体也是常用的力学理想模型。

二、平动与转动：当刚体运动时,如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动称为平动；

刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为转动。

如果刚体围绕的转轴的位置是固定不动的，这种转动称为刚体的定轴转动

§2-1 角速度和角加速度

一、角位移、角速度和角加速度

1、角坐标：如图2-1所示，O 为转轴与转动平面的交点，A 为刚体上的一个质点， A 在这一转动平面内绕O 点做

圆周运动， A 与转轴的距离为r 。t 时刻质点A 与转轴O 距离的连线与基准方向ox 的夹角为θ，称θ为角坐标或角位置。

2、定轴转动的运动学方程：刚体转动时，θ随时间变化，它是时间t 的函数： )(t θθ= （2-1） 上式称为刚体定轴转动的运动学方程.

3、角位移：设t 时刻刚体上所取质点的角坐标是θ，经过一段时间 t ?，即 t t ?+时刻，

该质点的角位置为 θθ?+。我们把 θ?称为A 在 t ?时间内的角位移，θ?也是刚体上每个质点的角位移。

在SI 中, 角位移的单位是弧度，符号为rad .

4、角速度：将角坐标θ对时间t 求导数，以描述刚体转动的快慢，称刚体转动的角速度，用符号ω表示： ω =

dt

d θ

（2-2）

在SI 中，角速度的单位是弧度每秒,符号为1-?s rad .

5、角加速度： 将角速度ω对时间t 求导，以描述角速度变化的快慢程度，称为刚体定轴转动的角加速度，用符号α表示：

α=22dt

d dt d θ

ω= （2-3）

在SI 中，角加速度的单位是弧度每平方秒,符号为2-?s rad .

除了用角速度ω描述物体转动快慢的程度外，还可使用另一个量---旋转频率，

通常用符号n 表示旋转频率，表示单位时间物体绕行的转数。旋转频率的单位是转每分，符号1min -?r ，1min -?r 是国家选用的非SI 单位之一.它是工程上常用的单位,与弧度每秒之间的换算关系为11min -?r =30

π

1-?s rad )

二、 角量与线量的关系

图2—1角坐标和角速度

设距转轴为R 处一质点的线速度为v ，切向加速度为t a ，法向加速度为n a （以上各量称为“线量”）。角速度ω,角加速度为α（以上各量称为“角量”）。下面我们来讨论线量与角量大小的关系。

用s 表示与质点的角位移θ相对应的圆轨道上的弧长，那么

R s =θ

将上式两边对时间求导数，由于线速度v =dt

ds

，角速度ω=dt d θ

则可得 ：

ωR v = （2-4）

将式（2-4）两边再对时间求导，由于上式中

t a =

dt dv ， α =dt

d ω

，则可得 ： t a =R α （2-5）

利用n a = R

v 2

得法向加速度 ：

n a = R 2ω （2-6）

例2-1已知刚体转动的运动学方程为 θ=A+B 3t ，式中A 为无量纲的常数,B 为有量纲的常数. 求: (1) 角速度；（2）角加速度；（3） 刚体上距轴为r 的一质点的加速度.

解: (1) 由角速度的定义式,得: ω=

dt

d θ

= 3B 2t (2) 将ω对时间t 求导数,得角加速度 α=

dt

d ω

= 6Bt (3) 利用式(2—5)得距轴为r 的一点的切向加度为: t a = αr =6Brt

根据式(2—6)得该质点的法向加速度为: n a = r 2ω =92B r 4t

所以，加速度的大小是：a =

22t n a a +=2242)6()9(Brt rt B +

设加速度a 与速度v 的夹角为Ф，则Ф满足下式tgn ?=

t n a a =3

2

3Bt

§2-2 力矩 转动定律 转动惯量

一、力矩

1、定义： 位矢r ρ

与力F ρ的矢积为力F ρ对转轴的力矩，用M ρ表示。 数学表达式为 F r M ρ

ρρ?= （2—7a ）

其大小为 θsin rF M = (2—7b)

M ρ的方向为F r ρ

ρ?的方向，

按照右手螺旋定则判断。 一般是按照力矩的作用来判断力矩的正负：如力矩的作用是使刚体逆时针转动，则力矩为正；如力矩的作用是使刚体顺时针转动，则力矩为负。

在SI 中,力矩的单位是牛顿米,符号为m N ?. 2、意义： 力矩是改变物体转动状态的原因。

二、转动定律和转动惯量

1、转动定律

（1）推导：如图所示，为定轴转动的一个刚体的转动平面，m i 为刚体中任意一个质元的质量。i r 是m i 对轴的位矢，F i 是m i 受的外力，f i 是m i 受的内力，将F i 与f i 按切向与法向分解，用牛顿第

二定律的分量式F n =m n a 和F i =m t a ， 分别得:

在法向：2cos cos ω?θi i ni i i i i i r m a m F f ==- （a ）

图2—2 力矩

图2—3 刚体的转动定律

切向：α?θi i ti i i i i i r m a m F f ==+sin sin (b ）

图2-3中法向力对转轴无力矩作用，不必考虑，切向力对转轴有力矩作用,将(b)式两边分别用i r 相乘得

α?θ2)sin sin (i i i i i i i r m F f r =+ (C)

将(C)式对整个刚体相加可得：

α?θ)()sin sin (2i i i i i i i r m F f r ∑∑=+ 或

α)((2i i i

r m M

∑∑= （2—8a ）

将上式中的2i n

i

n i r m ∑=定义为刚体的转动惯量，用I 表示。即

I = 2

i

n

i

n i r

m ∑= （2—9a ）

则式（2—8a ）可写成：

αI M = (2—8b)

（2）结论：作用于刚体上的合外力矩M 等于刚体的转动惯量I 与刚体的角加速度α的乘积。这一规律称为刚体定轴转动的转动定律.

2、转动惯量

（1）定义：转动惯量I =

2

i

n

i

n i r

m ∑=是一个引入的物理量，它量度了刚体在转

动中转动惯性的大小，在SI 中，转动惯量I 的单位是千克·米2，符号为2m Kg ?。

（2）转动惯量的计算：由式（2—9a ）可以看出影响转动惯量大小的因素不仅仅是刚体的质量，还包括各质元与转轴的相对位置，同样质量的质元，离转轴越远，对转动惯量的贡献越大。若刚体中质元是连续分布的，所以转动惯量的计算由积分完成，即

I=dm r ?2=?dV r ρ2 （2-9b ） 计算物体的转动惯量是比较困难的，甚至于无法计算，在工程技术和科学研究中，

常常用实验的方法测量物体的转动惯量。

（3）关于转动惯量的两条规律：

a ．平行轴定理：根据实际需要，转动物体的固定轴可有多种选择.设想有两个彼此平行的转轴,一个通过刚体的质心,另一个不通过质心.两平行轴之间的距离为d,刚体的质量为m.如果此刚体对过质心转轴的转动惯量为I c ,对另一转轴的转动惯量为I,那么，可以证明I 和I c 之间的关系为

I = I c + md 2 (2-10) 上述关系式称为转动惯量的平行轴定理.

由上式可见,刚体对过质心转轴的转动惯量Ic,小于刚体对任何与该质心转轴相平行的转轴的转动惯量I 。

b 、对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转动惯量。把这一规律称为转动惯量的可加性。 三 、转动定律的应用

一个物体系统中如果有若干个物体,其中有的物体在平动,有的在转动.这时可以采用“隔离体法”把它们分别“取”出.平动物体可看作质点,应用牛顿第二定律写出它们的力学方程.定轴转动物体,可以用转动定律写出它们的转动方程,再找出各隔离体的联系,写出必要的关系式,然后,把所有公式联立求解.

此外,还可以用动能定理.功能原理和机械能守恒定律计算这类问题. 例2-2 如图(2-4a)所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为21m m 、的两个物体A 和B ，已知1m 小于2m ，滑轮可看作质量均匀分布的等

厚圆盘，其质量为m ，半径为r ，（因而滑轮的转动惯量为 I =22

1

mr ）.设绳与滑

轮间无相对滑动.求物体的加速度滑轮的角加速度及绳的张力

解：分别把滑轮，物体A 和物体B “隔离”出来,画出它们的受力图,如图(2-4b)所示.由于不计绳的质量, 且1/1T T = 、 2/2T T =. 因为2m 大于1m ,物体A 的加速度1a 向上,B 的加速度2a 向下,它们的大小相等,设都用a 则 a a a ==21

分别写出A 、B 的力学方程:

a m T g m a

m g m T 222111=-=-

再写出滑轮的转动方程: αI r T T =-)(/

1/2 由线量与角量的关系得: αr a = 有牛顿第三定律的: /11T T = /22T T = 联立求解得:

g

m m m m m a )

22()

(22112++-=

r g

m m m m m )22()(22112++-=α g m m m m m m T T )22()4(2121/11+++=

= g m m m m m m T T )

22()

4(2112/11+++=

= 上述结果表明，两侧绳中张力的大小不等。

§2-3 力矩的功 刚体转动的动能定理

一、力矩的功

如图2-5所示，一个绕固定轴O O '转动的圆盘状刚体,在圆盘平面上有外力F 作用于A 点.把力沿法向和切向分解为法向力n F 和切向力t F 。圆盘转动时,法向分力n F 垂直于A 点的速度,它不做功.因而外力F 的功等于它的切向分力t F 所做的功,所以:

图2—5力矩的功

ds F r d F dA t =?=ρ

ρ (2-11)

图2—4a

图2—4b

在上式中,r d ρ

是A 点在圆周上的位移元,ds 是对应的弧长, 用θd 表示与 ds 对应的角位移,有 θrd ds = 把上式代入式(2-11),得 θrd F dA t =

上式中的 r F t 是外力F 对转轴的力矩,于是可以用力矩M 表示元功:

θMd dA = （2—12）

当刚体从角坐标1θ转到角坐标2θ时,外力矩共作功:

?=2

1

θθθMd A (2-13)

如果有若干个外力作用于刚体上,先分别计算出每个外力的力矩,求这些外力矩的代数和,得合外力矩.上式中M 若是合外力矩,则A 就是合外力矩的功. 若M 是恒力矩,M 与θd 同方向,力矩做的功为

θ?=M A

例2-3 如图2-6（a ）所示，一个转轮A 绕中心轴的转动惯量为I ，转动的摩擦力矩为f M ,转轮半径为 R,转轮边沿绕有轻的细绳，用恒力F 拉绳，A 轮被拉动转过n 圈，（B 轮的质量不计，转轴光滑）求: （1）拉力和摩擦力矩对轮做的功.

（2）若将恒力F 换成重物G 来拉滑轮转动，如图2-6（b ）其他条件不变，求

绳中张力对轮所做的功.(G=mg)

图2—6 例2—3图

解:(1)作用在轮上的拉力为恒力F 时,作用在轮上有两个力矩FR M F =及f M ，轮转过n 圈时,角位移 πθ2=?n

?=F F M A θd =π2n F M =nRF π2

f A =θ??f M =π2n f M

(2)分离转轮与重物,画出受力图,分别用转动定律和牛顿第二定律.

对轮有 αI M TR f =- 对重物G ma T G =- 又因 αR a = 联立解得 I

mR M mgR f +-=

2α

I

mR R M Ig T f +-=

2

所以 πθθ2=?=?=TR M A T nRT =π2I

mR R M Ig nR

f +-2

二、 刚体的转动动能

刚体可以看作是有许多质元所组成的。设各质元的质量分别为m 1、m 2….,.各质元与转轴的距离分别为r 1、r 2、…..,当刚体绕定轴转动时,各质元的角速度ω相等,但线速度各不相同。设其中第i 个质元的线速度为i v ，其大小为：

i v = r i ω,

则相应的动能为： i k E ?=221i i v m = 2)(21ωi i r m =222

1

ωi i r m

整个刚体的动能是所有各质元的动能之和， 即

k E =∑=n

n i i r m 1

22)(21ω （2—14 a ）

将式（2—9a ）代入上式中可得： 所以刚体转动动能的表达式为

k E =22

1

ωI (2—14b)

三、刚体转动的动能定理

力矩对刚体做功是力矩的空间积累过程,将转动定律对角位移 θd 积分得：

???=?2

1

21

θθθθθ

αθd I d M

上式左边为力矩做的功,右边为

ωωωθθωωωθθ

d I d dt d I d dt d I

???=?=?212

1

=2

1222

121ωωI I -

即: 122

1

k k k E E E Md A -=?==?θθθ (2-15)

上式表明:刚体绕定轴转动合外力矩对刚体所做的功时,等于刚体转动动能的增量.这一规律称为刚体转动的动能定理。

例2－4 如图2-7所示,半径为R,质量为m 1的均匀的薄圆盘,盘边绕有足够长的轻的细绳,下端挂着一个质量为m 2的重物.开始系统静止,释放后重物向下移动h 距离,设圆盘轴上摩擦力矩为 M f ,求物快下滑到h 距离时的速度v . 解: 合外力矩对m 1做的功为A 1,

外力对m 2做的功为A 2, m 2下移h 时,轮转过位移为R

h

=?θ, 设绳中张力为T,作m 1和m 2的受力图， 运动方程 αI M TR f =- (a)

a m T g m 22=- (b)

又因为 θ?-=)(1f M TR A h T g m A )(22-= 用动能定理 h T g m R

h

M TR A A A f )()(221-+-=== 22221

21ωI v m E k +=

? 22222

1

21)()(ωI v m h T g m R h M TR f +=-+- （c ）

(其中2

12

1R m I = R v 2=ω) (d)、

解(a)(b)得 2212)2

1

(R m m M gR m f

+-=

α

图2—7 例2—4图

R

m m M gR m m T f )2()2(2112++= (e)

将(d)(e)代入(c)得

21222

1

)

(2m m R h M gh m v f

+-=

2122

1

)(2m m R h M gh m v f

+-=

若01=m ,0=f M ,则 gh v 2=

§2-4 角动量定理 角动量守恒定律

一 、角动量

定义：转动惯量I 和角速度ω的乘积称为刚体对定轴的角动量,又称动量矩。用符号L 表示:

ωI L = ( 2-16 )

角动量是描述物体转动状态的物理量.

在SI 中,角动量的单位是千克平方米每秒,符号为12-??s m kg . 二、 角动量定理

把转动定律αI M =改写为 :

dt

d I

M ω

= 刚体对固定轴的转动惯量I 是常量,则上式又可以写成: dt

dL

M =

( 2-17 ) 上式表明,刚体绕定轴转动时,作用于刚体上的合外力矩等于刚体对该定轴的角动量对时间的变化率.这是转动定律的角动量表示式.

将式(2-17)变换成 dL Mdt =

如果在t 1到t 2时间内,力矩M 持续的作用在转动刚体上,使刚体的角动量从L 1变为L 2,则得 :

?

-=2

1

12t t L L Mdt ( 2-18a)

或:

122

1

ωωI I Mdt t t -=?

( 2-18b )

在上式中,

?

2

1

t t Mdt 称为力矩 M 在t 1到t 2内的冲量矩。式(2-18)表明,刚体绕定轴

转动时,在给定的时间内,作用于刚体的合外力矩的冲量矩,等于刚体对该定轴的角动量的增量.这一规律称为刚体定轴转动的角动量定理.

三、 角动量守恒定律

公式(2-18)中,如果物体所受合外力矩0=M ，则

L 1 = L 2 (2-19a)

即： 2211ωωI I = （2-19b ）

上式表明,当作用于物体的合外力矩等于零时,物体的角动量保持不变.这一规律称为角动量守恒定律.

由2-19式表明:当定轴转动刚体的转动惯量是常数，即 I 不变时，若M =0，则ω保持不变 ω1 = ω2；当定轴转动刚体的转动惯量不是常数，即I 变化时, 若

M =O ，则ω发生变化 ω1≠ω2。因此可以用减小(或增加)物体转动惯量的手段来加快(或减慢)物体的转动速度.此类方法广泛应用于各种跳、翻、转的体育动作和舞蹈表演中.例如跳水运动员在空中翻筋斗时,跳水员先将两臂伸直,并一某一角速度离开跳板,跳在空中时,将臂和腿尽量卷缩起来,以减小转动惯量因而角速度增大,在空中快速翻转,当快接近水面时,再伸直臂和腿以增大转动惯量,减小角速度以便竖站的进入水中,减少激起的水花.

角动量守恒定律是自然界的基本定律之一.

例2-5 质量为M ,半径为R 的均匀实心圆柱体，以角速度0ω 绕其几何轴线转

动。质量为m ，初速度为0v 的小质点与该圆柱体相碰并粘在圆柱体的边缘上，如图2—8所示，求碰撞后该系统的角速度。 解：将圆柱体与小质点去做研究系统，外力只有重力及支持力，但重力及支持力对转轴均无力矩，所以该系统的合外力矩等于零，因此，角动量守恒。设逆时针转动为正方向，则碰撞前该系统绕O 轴转动的角动量为

R mv MR L 002021

-=ω

碰撞后系统的总角动量为

ω)2

1

(22mR MR L +=

根据角动量守恒定律，0L L =，由此可解得碰撞后该系统的角速度为

220022

1

21

mR MR R

mv MR +-=ωω

例2-6质量为M 、半径为R 的转台,可绕过中心的竖直轴转动,如图2-9 所示.质量为m 的人站在台的边缘.最初人和台都静止;后来人在台的边缘开始跑动.设人的角速度(相对地面)为ω;求转台的转动角速度(忽略转轴处的摩擦力矩和空气阻力).

解 人和转台系统不受外力矩作用，其角动 量守恒，在转动前后 L 1= L 2 开始时刻，人与台组成的系统角动量为：

L 1 = 0 （1）

后来人的角动量为ω2mR ，设转台此刻的转动惯量为/L ，这时人台系统的角动量为

/22L mR L +=ω= 0 （2）

图2—8例2—5图

图2—9例2—6图

有式(1)和(2)联立解得 : ω2/mR L -= （3）

又转盘的转动惯量为221MR ，设转盘角速度为ω'，则ω'=2/21

MR L 将此式与（3）

式比较，可得：

ωωM m

2

/-= 上式表明,转台相对地面以2(M

m

)ω的角速度沿与人相反的方向转动.

表3—1刚体转动与质点运动的类比

置

角位置

移

角位移

度

角速度

加速度角加速度

匀加速直线运动匀角加速转动

匀速直线运动匀角速转动

【大题】工科物理大作业04_刚体定轴转动

04 04 刚体定轴转动 班号 学号 姓名 成绩 一、选择题 （在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内） 1．某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元来说，在下列关于其法向加速度n a 和切向加速度τa 的表述中，正确的是： A ．n a 、τa 的大小均随时间变化； B ．n a 、τa 的大小均保持不变； C ．n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定； D ．n a 的大小保持恒定，τa 大小变化。 （C ） [知识点］刚体匀变速定轴转动特征，角量与线量的关系。 [分析与题解] 刚体中任一质元的法向、切向加速度分别为 r a n 2 ω=，r a τβ= 当 恒量时，t βωω+=0 ，显然r t r a n 2 02)(βωω+==，其大小随时间而变， r a τβ=的大小恒定不变。 2. 两个均质圆盘A 和B ，密度分别为 A 和 B ，且B ρρ>A ，但两圆盘的质量和厚度相同。若 两盘对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量分别为A I 和B I ，则 A ． B I I >A ； B. B I I ，所以2 2B A R R < 且转动惯量22 1 mR I = ，则B A I I <

刚体的定轴转动

《物理学》多媒体学习辅导系统 第三章 刚体的定轴转动 教学要求 一．理解定轴转动刚体运动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线量的关系。 二．理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。 三．了解力矩的功和转动动能的概念。 四．了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。 五．理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计算刚体对定轴的转动惯量。 基本内容 本章的重点是刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概念和转动定律，难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。 一．角量与线量的关系 2 ωαω θ r a r a r v r s ====n t 二．描述刚体定轴转动的物理量和运动规律与描述质点直线运动的物理量和运动规律有类比关系，有关的数学方程完全相同, 为便于比较和记忆，列表如下。只要将我们熟习的质点直线运动的公式中的x 、v 、a 和m 、F 换成θ、ω、α和I 、M , 就成为刚体定轴转动的公式。 表3—1 质点的直线运动 刚体定轴转动 位置 x 角位置 θ 位移 x ? 角位移 θ? 速度 t x v d d = 角速度 t d d θω=

加速度 2 2d d d d t x t v a == 角加速度 2t t d d d d 2θωα== 匀速直线运动 vt x x +=0 匀角速转动 t 0ωθθ+= 20021at t v x x + += 2002 1 t t++ =αωθθ ()02022x x a v v -=- ()02 02 2 θθαωω-=- 质量 m 转动惯量 i i m r I ?=∑2 力 F 力矩 r F M θ= 牛顿第二定律 ma F = 定轴转动定律 αI M = 力的功 ? = x x x F A 0 d 力矩的功 ?=θ θθ0 d M A 动能 221mv E =k 动能 k 22 1 ωI E = 动能定理 2 02210 mv mv x F x x 2 1d -=? 动能定理 2 022 121d ωωθθ θ I I M -= ?20 冲量 ? t t t F 0 d 冲量矩 ? t t t M 0 d 动量 mv 角动量( 动量矩 ) ωI 动量定理 00 mv mv t F t t -=? d 角动量定理 ? -=t t I I t M 0 0d ωω 系统的机械能守恒定律 系统的机械能守恒定律 若0=+非保内外A A ,则 若0=+非保内外A A ,则 =+p k E E 常量 =+p k E E 常量 系统的动量守恒定律 系统的角动量守恒定律 若 0=∑外 F ,则 若0=∑外M ,则 =∑i i v m 常量 =∑i L 常量

大学物理-刚体的定轴转动-习题及答案

第4章 刚体的定轴转动 习题及答案 1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化？ 答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ω=，所以一定有切向加速度t a l β=，其大小不变。又因该点速度的方向变化， 所以一定有法向加速度2 n a l ω=，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。 2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？ 答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形式为z z dL M dt = ，z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩，z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑，代表刚体对定轴的转动惯量，所以 ()z z dL d d M I I I dt dt dt ω ωβ= ===。既 z M I β=。 所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式， 及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。 3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快？（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大？ 答：(1)由于L I ω=，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快； （2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。 4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动？如小汽车突然刹车，此过程角动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒？ 答：玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动时，平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒，而能量和动量均不守恒。 5．一转速为1200r min 的飞轮，因制动而均匀地减速，经10秒后停止转动，求： （1） 飞轮的角加速度和从开始制动到停止转动，飞轮所转过的圈数； （2） 开始制动后5秒时飞轮的角速度。 解：（1）由题意飞轮的初角速度为 0240()n rad s ωππ== 飞轮作均减速转动，其角加速度为 20 0404/10 rad s t ωωπ βπ--= = =-? 故从开始制动到停止转动，飞轮转过的角位移为 201 2002 t t rad θωβπ?=?+?= 因此，飞轮转过圈数为

第5章 刚体的定轴转动

第5章刚体的定轴转动 ◆本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆本章教学内容 1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。 4.1 刚体的运动

一、刚体的概念 物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点了，其运动规律的讨论就必须考虑形状的因素。有形物体的一般性讨论也是一个非常复杂的问题，全面的分析和研究是力学专业课程学习的内容。在大学物理中，我们讨论有形物体的一种特殊的情况，那就是物体在运动时没有形变或形变可以忽略的情况。如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物体模型，这模型叫做刚体。刚体的更准确更定量的定义是：如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。被认为是刚体的物体在任何外力作用下都不会发生形变。实际物体在外力作用下总是有形变的，因此刚体是一个理想模型。它是对有形物体运动的一个重要简化。实际物体能否看成是刚体不是依据其材质是否坚硬，而是考察它在运动过程中是否有形变或其形变是否可以忽略。正如质点中所讨论的那样，刚体也就是一个质点系，而且是一个较为特殊的刚性的质点系，它的运动规律较之于一个质点相对位置分布可以随时改变的一般质点系而言，要简单得多。 二、刚体的运动 刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看成是平动和转动的迭加。 1、刚体的平动 1）平动的定义 如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。

刚体定轴转动习题

刚体定轴转动 一、选择题（每题3分） 1、个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的( ) （A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒. 2、一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为( ) (A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变 (C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定 3、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零 （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零 （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零 （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零 在上述说法中，正确的是（） （A）只有（1）是正确的（B）只有（1）、（2）正确 （C）只有（4）是错误的（D）全正确 4、以下说法中正确的是（） (A)作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度越大。 (B)作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大。 (C)作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角加速度越大。 (D)作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零。 5、一质量为m的均质杆长为l,绕铅直轴o o' 成θ角转动，其转动惯量为（） 6、一物体正在绕固定光滑轴自由转动（） (A) 它受热膨胀或遇冷收缩时,角速度不变. (B) 它受热时角速度变小,它遇冷时角速度 变大. (C)它受热或遇冷时,角速度均变大. (D) 它受热时角速度变大,它遇冷时角速度变小. O

大学物理上练习册 第2章《刚体定轴转动》答案-2013

第2章 刚体定轴转动 一、选择题 1(B)，2(B)，3(C)，4(C)，5(C) 二、填空题 (1). 62.5 1.67ｓ (2). 4.0 rad/ (3). 0.25 kg ·m 2 (4). mgl μ21参考解：M ＝?M d ＝()mgl r r l gm l μμ2 1 d /0=? (5). 2E 0 三、计算题 1. 如图所示，半径为r 1＝0.3 m 的A 轮通过皮带被半径为r 2＝0.75 m 的B 轮带动，B 轮以匀角加速度π rad /s 2由静止起动，轮与皮带间无滑动发生．试求A 轮达到转速3000 rev/min 所需要的时间． 解：设A 、B 轮的角加速度分别为βA 和βB ，由于两轮边缘的切向加速度相同， a t = βA r 1 = βB r 2 则 βA = βB r 2 / r 1 A 轮角速度达到ω所需时间为 ()75 .03.060/2300021?π?π?=== r r t B A βωβωs ＝40 s 2.一砂轮直径为1 m 质量为50 kg ，以 900 rev / min 的转速转动．撤去动力后，一工件以 200 N 的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s 内停止．求砂轮和工件间的摩擦系数．(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为 2 1 mR 2，其中m 和R 分别为砂轮的质量和半径). 解：R = 0.5 m ，ω0 = 900 rev/min = 30π rad/s ， 根据转动定律 M = -J β ① 这里 M = -μNR ② μ为摩擦系数，N 为正压力，22 1 mR J = ． ③ 设在时刻t 砂轮开始停转，则有： 00=+=t t βωω 从而得 β＝-ω0 / t ④ 将②、③、④式代入①式，得 )/(2 1 02t mR NR ωμ-= - ∴ m =μR ω0 / (2Nt )≈0.5 r

刚体定轴转动

1、语句进一步变为你讲的简单句， 2、要标好各标题， 3、公式整齐、字体大小一样，重要公式要标号。 4、摘要重写，内容：本文中你作了什么，得出什么 结论， 5、总结是摘要的扩充，详细论述你作了什么，得出 什么结论。 6、参考文献少，并标页（如4到8页），力学、理论 力学书上都有刚体内容 7、好多公式中角速度符号不对， 8、论述顺序： 1）刚体定轴转动的角位移、角速度、角加速度如何 表示，文字和公式都写 2）刚体定轴转动的角动量、动能如何表示，文字和公式都写 3）固定轴的动量矩定理如何表示，文字和公式都写 4）线量与角量的关系如何表示，文字和公式都写 9 刚体定轴转动与质点匀加速直线运动的对比： 这段中列表给出两种运动的相应量，并论述 刚体定轴转动的教学研究

陈爽（学号：20081116127） （物理与电子信息学院物理学专业2008级汉班，内蒙古呼和浩特 010022） 指导老师：赵凤岐 1摘要刚体力学是理论力学中一节比较重点的章节。它是继学习了质点力 学与质点组力学之后又一重点、难点课程，它是质点后又一个重要的物理模型。刚体这种模型比质点更接近实际，这个章节理解的情况直接关系到以后其他物理模型的建立。 关键词：刚体定轴转动直线运动 1 刚体定轴转动的内容 2·1刚体 在任何力的作用下，体积和形状都不发生改变的物体叫做刚体。在物理学内，理想的刚体是一个固体的，尺寸值有限的，形变情况可以被忽略的物体。不论有否受力，在刚体内任意两点的距离都不会改变。在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。 刚体是力学中的一个科学抽象概念，即理想模型。事实上任何物体受到外力，不可能不改变形状。实际物体都不是真正的刚体。若物体本身的变化不影响整个运动过程，为使被研究的问题简化，可将该物体当作刚体来处理而忽略物体的体积和形状，这样所得结果仍与实际情况相当符合。 2.2刚体定轴转动的定义及特点 刚体上每点绕同一轴线做圆周运动,且转轴空间位置及转动方向保持不变. 如果刚体在运动过程中，至少有两个质点保持不动，那么将这两个质点的连线取为一个坐标系的一个公共坐标轴(z)轴，则刚体上各点都饶此轴作圆周运动，这种运动称为定轴转动。 刚体作定轴转动时，整个刚体绕一固定的轴转动．其上各点的位移、速度和加速度是不相同的．但各点转过的角度却相同．所以在定轴转动中，应当用角度来描述刚体的运动．作定轴转动的刚体只有一个自由度 2·3定轴转动各个基本量的描述 P，都在垂刚体绕固定轴转动时，如取固定轴为z轴，则刚体中任何一点 i 直于z轴的平面内，亦即在平行于xy平面内作圆周运动，而以z轴与此平面的交点O'为圆点，如图1所示。

《刚体定轴转动》答案讲课教案

《刚体定轴转动》答 案

第2章 刚体定轴转动 一、选择题 1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题 (1). v ≈15.2 m /s ，n 2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l ) (4). 5.0 N ·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg ·m 2 (7). Ma 2 1 (8). mgl μ21参考解：M ＝?M d ＝()mgl r r l gm l μμ2 1d /0=? (9). ()21 2 mR J mr J ++ω (10). l g /sin 3θω= 三、计算题 1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量22 1mR J =，其中m 为圆形平板的质量） 解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为 r r r R mg M d 2d 2 ?π?π=μ 总摩擦力矩 mgR M M R μ3 2d 0==? 故平板角加速度 β =M /J 设停止前转数为n ，则转角 θ = 2πn 由 J /Mn π==4220 θβω 可得 g R M J n μωωπ16/342020=π=

2. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳 子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、 半径为R ，其转动惯量为221MR ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系． 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程 对物体： mg －T ＝ma ① 对滑轮： TR = J β ② 运动学关系： a ＝R β ③ 将①、②、③式联立得 a ＝mg / (m ＋21M ) ∵ v 0＝0， ∴ v ＝at ＝mgt / (m ＋2 1M ) 3. 为求一半径R ＝50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m 1＝8 kg 的重锤．让重锤从高2 m 处由静止落下，测得下落时间t 1＝16 s ．再用另一质量m 2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间t 2＝25 s ．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量． 解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR －M f ＝Ja / R ① mg －T ＝ma ② h ＝221at ③ 则将m 1、t 1代入上述方程组，得 a 1＝2h /21t ＝0.0156 m / s 2 T 1＝m 1 (g －a 1)＝78.3 N J ＝(T 1R －M f )R / a 1 ④ 将m 2、t 2代入①、②、③方程组，得 a 2＝2h /22t ＝6.4×10-3 m / s 2 T 2＝m 2(g －a 2)＝39.2 N J = (T 2R －M f )R / a 2 ⑤ 由④、⑤两式，得 J ＝R 2(T 1－T 2) / (a 1－a 2)＝1.06×103 kg ·m 2 a

大学物理_刚体的定轴转动_习题及答案

第4章 刚体的定轴转动 习题及答案 1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度是否有法向加速度切向和法向加速度的大小是否随时间变化 答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ω=，所以一定有切向加速度t a l β=，其大小不变。又因该点速度的方向变化， 所以一定有法向加速度2 n a l ω=，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。 2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系 答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形式为z z dL M dt = ，z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩，z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑，代表刚体对定轴的转动惯量，所以 ()z z dL d d M I I I dt dt dt ω ωβ= ===。既 z M I β=。 所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式， 及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。 3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大 答：(1)由于L I ω=，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快； （2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。 4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动如小汽车突然刹车，此过程角动量是否守恒动量是否守恒能量是否守恒 答：玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动时，平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒，而能量和动量均不守恒。 5．一转速为1200r min 的飞轮，因制动而均匀地减速，经10秒后停止转动，求： （1） 飞轮的角加速度和从开始制动到停止转动，飞轮所转过的圈数； （2） 开始制动后5秒时飞轮的角速度。 解：（1）由题意飞轮的初角速度为 0240()n rad s ωππ== 飞轮作均减速转动，其角加速度为 20 0404/10 rad s t ωωπ βπ--= = =-? 故从开始制动到停止转动，飞轮转过的角位移为 201 2002 t t rad θωβπ?=?+?= 因此，飞轮转过圈数为

05刚体的定轴转动习题解答

第五章 刚体的定轴转动 一 选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（ ） A. α > 0 B. ω > 0，α > 0 C. ω < 0，α > 0 D. ω > 0，α < 0 解：答案是B 。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。 （ ） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小 解：答案是C 。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。 3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：?? ???===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。 得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。 4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ） A. 4 F 2/ m B. 2 F 2 / m C. F 2 / m D. F 2 / 2 m 解：答案是A 。

第五章 刚体定轴转动

第五章刚体定轴转动 刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。 刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。 §1 刚体的运动 一. 刚体的运动形式 1.平动 在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体的基本运动形式之一，刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。以前所讲过的关于质点的运动学规律都适用于刚体的平动。 2.转动 转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为： 定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。（本章着重讨论定轴转动）定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动（如陀螺的运动）。 在动力学的处理中，通常选取质心为基点比较方便。 二. 刚体转动的描述（运动学问题）

1.定点转动 （1）角量的描述 刚体绕基点O 的转动，其转轴是可以改变的。为反映瞬时 轴的方向及刚体转动的快慢和转 向，引入角速度矢量ω 。 t d d θωω== 式中θd 是刚体绕瞬时轴转动的无限小角位移。 规定角速度的方向沿瞬时轴，且与刚体转向成右手螺旋关系。 为反映刚体角速度的变化情况，引入角加速度矢量 t d d ω α = 一般情况下，α 并不一定沿着瞬时轴。 在定轴转动的情况下，ω 和α 都只有沿固定转轴的分量，此时可用代数量ω和α来表示角速度和角加速度。设定转轴的取向，规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的ω和α为正量，反之为负量。 （2）线量和角量的关系 刚体上任意点P P 点线速度： r r ?=?=⊥ωωv

《刚体定轴转动》答案

第2章刚体定轴转动 一、选择题 1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题 (1).v ≈15.2 m/s ，n 2＝500rev/min (2).62.51.67ｓ (3).g /lg /(2l ) (4).5.0N ·m (5).4.0rad/s (6).0.25 kg ·m 2 (7).Ma 2 1 (8).mgl μ21参考解：M ＝?M d ＝()mgl r r l gm l μμ2 1d /0=? (9).()21 2 mR J mr J ++ω (10).l g /sin 3θω= 三、计算题 1.有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量22 1mR J =，其中m 为圆形平板的质量） 解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为 总摩擦力矩mgR M M R μ3 2d 0==? 故平板角加速度?=M/J 设停止前转数为n ，则转角?=2?n 由J /Mn π==422 0θβω 可得g R M J n μωωπ16/342020=π= 2.如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为 22 1MR ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系． 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程 对物体：mg －T ＝ma ① 对滑轮：TR =J ?② 运动学关系：a ＝R ?③ 将①、②、③式联立得

第2章刚体定轴转动

第2章 刚体定轴转动 2.28 质量为M 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R 1和R 2，求对通过其中心轴的转动惯量． 解：设圆柱体的高为H ，其体积为V = π(R 22 – R 12)h ，体密度为ρ = M/V ．在圆柱体中取一面积为S = 2πRH ，厚度为d r 的薄圆壳，体积元为d V = S d r = 2πrH d r ，其质量为d m = ρd V ， 绕中心轴的转动惯量为d I = r 2d m = 2πρHr 3d r ， 总转动惯量为2 1 3 4 42112d ()2 R R I H r r H R R πρπρ==-? 22211()2m R R =+． 2.29 一矩形均匀薄板，边长为a 和b ，质量为M ，中心O 取为原点，坐标系OXYZ 如图所示．试证明： （1）薄板对OX 轴的转动惯量为21 12OX I Mb =； （2）薄板对OZ 轴的转动惯量为221 ()12 OZ I M a b =+． 证： 薄板的面积为S = ab ，质量面密度为σ = M/S ． （1）在板上取一长为a ，宽为d y 的矩形元，其面积为d S = a d y ， 其质量为d m =σd S ， 绕X 轴的转动惯量为d I OX = y 2d m = σay 2d y ， 积分得薄板对OX 轴的转动惯量为/2/2 2 3 /2 /2 1 d 3b b OX b b I a y y a y σσ--==?3211 1212 ab Mb σ= =． 同理可得薄板对OY 轴的转动惯量为21 12 OY I Ma = ． （2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b ，宽为d x 的矩形元，其面积为d S = b d x ，质量为d m = σd S ， 绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX 轴的转动惯量 d I O`Z` = b 2d m /12． 根据平行轴定理，矩形元对OZ 轴的转动惯量为 d I OZ = x 2d m + d I O`Z ` = σbx 2d x + b 2d m /12， 积分得薄板对OZ 轴的转动惯量为 /22 2/2 1 d d 12a M OZ a I b x x b m σ-=+??/2 3 2/2 11312 a a b x b M σ-=+ 221 ()12M a b =+． 方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元d m ，绕OZ 轴的转动惯量为d I OZ = r 2d m ． 由于r 2 = x 2 + y 2，所以d I OZ = (x 2 + y 2)d m = d I OY + d I OX ， 因此板绕OZ 轴的转动惯量为221 ()12 OZ OY OX I I I M a b =+= +． 2.30 一半圆形细杆，半径为R ，质量为M ，求对过细杆二端AA `轴的转动惯量． 解：半圆的长度为C = πR ，质量的线密度为λ = M/C ．在半圆上取 图 2.28

大学物理上册《刚体定轴转动》PPT课件

定义：作用于质点的力 对惯性系中某参考点的 力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即F r M ?=M 的方向垂直于r 和F 所决定的平面，指向用右手法则确定。y z x zF yF M -=z x y xF zF M -=x y z yF xF M -=在直角坐标系中，表示式为1 力矩 一质点的角动量 2-5 角动量角动量守恒定律 ⊥=rF M ? sin rF =

注意：1. 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对应的位矢不同。物体所受的力矩不同。r r 3.如果力的方向始终指向一个固定点，则该力就称为有心力，该固定点称为这个力的力心。 F 受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。2.何时为零？ M a.0 F c.受到有心力作用b.力的作用线与轴相交

2 质点的角动量定理 F r M ?=dt P d F = P dt r d P r dt d dt P d r M ?-?=?=)(v m P =v =dt r d 0v m v =?=? P dt r d )(P r dt d M ?=定义：P r L ?=——角动量 dt L d M =——角动量定理

作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。 00 d t t M t L L =-? 0d t t M t ? 叫冲量矩 的方向符合右手法则.L v m r L ?z 角动量P r L ?=1.?sin mvr L =

m r p r L ?=?=2.质点在垂直于z 轴平面 上以角速度作半径为的圆运动，相对圆心ωr θ sin v rm L =大小ω r z v m o ?90?= A ω2mr rm L ==v （圆运动）

《刚体定轴转动》答案

第2章刚体定轴转动 一、选择题 1(B) , 2(B) , 3(A) , 4(D) , 5(C) , 6(C), 7(C), 8(C), 9(D) , 10(C) 、填空题 (1). v 疋 15.2 m /s , n 2= 500 rev /min (2). 62.5 1.67 s ⑶.g / l g / (2l) (4) . 5.0 N m (5) . 4.0 rad/s (6) . 0.25 kg ? m 2 1 (7) . Ma 2 J mr ■?' 1 2 J mR (10). - = 3 g sin v / l 二、计算题 1. 有一半径为 R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为 卩，若平板 绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 3 0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知 1 2 J mR ，其中m 为圆形平板的质量） 2 dr 的环带面积上摩擦力矩为 2 =3R .0 /16 n -9 2. 如图所示，一个质量为 m 的物体 与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可 以忽略，它与定滑轮之间无滑动?假设定滑轮质量为 M 、半径为 R ,其转动 1 2 惯量为一MR ，滑轮轴光滑?试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速 2 度与时间的关系. 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程 (8). 1 mgl 参考解: 2 l d M = 」gm /1 r d r 1 二—J mgl 2 (9). 圆形平板的转动惯量 解：在r 处的宽度为 总摩擦力矩 故平板角加速度 设停止前转数为 ..mg dM 2 2.：r rdr nR R 2 M dM mgR 10 3 =M /J 可得 n ,则转角 v= 2二n .,2 = 2 一 V - 4 二 Mn / J m

第三章 刚体定轴转动

第三章 刚体定轴转动 前面几章主要介绍了质点力学的基本概念和原理，以牛顿定律为基础，建立了质点和质点系的动量定理、动能定理和相应的守恒定律。对于机械运动的研究，只限于质点和质点系的情况是非常不够的。质点的运动规律事实上仅代表物体的平动。当我们考虑了物体的形状、大小后，物体可以作平动、转动，甚至更复杂的运动，而且在运动过程中物体的形状也可能发生改变。一般固体在外力的作用下，形状、大小都要发生变化，但变化并不显著。所以，研究物体运动的初步方法是把物体看成在外力的作用下保持其大小和形状都不变，这样的物体叫刚体。刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，仍是一个理想模型。 本章主要在质点力学的基础上讨论刚体的定轴的转动及其运动规律，为进一步研究更复杂的机械运动奠定基础。 3.1 刚体的定轴转动的描述 3.1.1 刚体的基本运动形式 刚体是一种特殊的质点系统，它可以看成是由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点就在于无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质元之间的相对位置始终保持不变。既然是一个质点系，所以以前讲过的关于质点系的基本定理就都可以应用。刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。因此，对于一般质点系的力学问题，求解往往很困难，而对于刚体的力学问题却有不少是能够求解的。 刚体的运动可分为两种基本形式：平动和转动。刚体的运动一般来说是比较复杂的，一般可分解为平动和绕瞬时轴的转动，比如行进中的自行车轮子，可以分解为车轮随着转 轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。因此，研究刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础。 下面分别介绍刚体的平动和刚体的定轴转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定 的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动就 (b) (a) 图3-1 刚体的平动和定轴转动 A B

大学物理03章试题库刚体的定轴转动

《大学物理》试题库管理系统内容 第三章 刚体的定轴转动 1 题号：03001 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元的法向加速度n a 和切向加速度τa 来说正确的是（ ）． A.n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定 B.n a 的大小保持恒定，τa 的大小变化 C.n a 、τa 的大小均随时间变化 D.n a 、τa 的大小均保持不变 答案: A 2 题号：03002 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 有A 、B 两个半径相同、质量也相同的细环，其中A 环的质量分布均匀，而B 环的质量分布不均匀．若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别为B A J J 和，则（ ）． A. B A J J = B. B A J J > C. B A J J < D. 无法确定B A J J 和的相对大小 答案: A 3 题号：03003 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 一轻绳绕在具有水平转轴的定滑轮上，绳下端挂一物体，物体的质量为m ，此时滑轮的角加速度为β，若将物体取下，而用大小等于mg 、方向向下的力拉绳子，则滑轮的角加速度将（ ）． A.变大 B.不变 C.变小 D.无法确定 答案: A 4 题号：03004 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的（ ）． A.系统的角动量保持不变 B.角动量加大 C.转速和转动动能变化不清楚 D.转速加大，转动动能不变 答案: A 5 题号：03005 第03章 题型：选择题 难易程度：较难

刚体定轴转动习题知识分享

刚体定轴转动习题

刚体定轴转动 一、选择题（每题3分） 1、个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的( ) （A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒. 2、一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为() (A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变 (C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定 3、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零 （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零 （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零 （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零 在上述说法中，正确的是（） （A）只有（1）是正确的（B）只有（1）、（2）正确 （C）只有（4）是错误的（D）全正确 4、以下说法中正确的是（） (A)作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度越大。 (B)作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角速度越大。 (C)作用在定轴转动刚体上的合力矩越大，刚体转动的角加速度越大。 (D)作用在定轴转动刚体上的合力矩为零，刚体转动的角速度为零。 5、一质量为m的均质杆长为l,绕铅直轴 o o'成θ角转动，其转动惯量为（）

大学物理第3章 刚体定轴转动与角动量守恒

第3章 刚体定轴转动和角动量守恒定律 在前几章质点运动中，我们忽略了物体自身大小和形状，将物体视为质点，用质点的运动代替了整个物体的运动。但是在实际物体运动中，不仅物体在大小和形状千差，而且运动又有平动和转动之别。这时我们需要另一个突出主要特征，忽视其次要因素，既具有大小又具有形状的理想模型——刚体。在受力的作用时，其形状和体积都不发生任何变化的物体，称做刚体。本章将介绍刚体所遵从的力学规律，重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。由于刚体转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相似，因此我们将刚体转动与质点运动对比学习一会事半功倍。 §3-1 刚体定轴转动 1. 刚体运动的形式 刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。 平动的定义为，在刚体在运动过程中，刚体中任意两点的连线始终平行。如 图5-1所示。由于平动时刚体内各点的运动情况都是一样的，因此描述刚体平动 只需要描写刚体内一点的运动，也就是说刚体的平动只要用其中一个点的运动就 可以代表它整体的运动。 转动的定义为，刚体运动时，刚体中所有质点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线称为转轴。转轴可以是固定的，也可以是变化的。若转轴固定，称为刚体定轴转动。若转轴不固定，运动比较复杂。刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。平动在前几章已经研究过，本章我们主要研究定轴转动。 2. 刚体的定轴转动 研究刚体绕定轴转动时，选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动 平面。由于描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是 一样的，因此描述刚体运动时用角量较为方便。因为刚体上各质元的半 径不同，所以各质元的速度和加速度不相等。 角速度和角加速度一般情况下是矢量，由于刚体定轴转动时角速度 和角加速度的方向沿转轴方向，因此可用带有“+、-”的标量表示角速 度和角加速度。这种方法我们并不陌生，质点作直线运动时我们也是用 带有“+、-”的标量表示速度和加速度。 角速度的大小为 dt d θω= （3-1） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。 角加速度为 22dt d dt d θωβ== （3-2） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。 离转轴的距离为r 的质元的线速度和刚体的角速度的关系为：ωr v = （3-3） 其加速度和刚体的角加速度的关系为： βr a t = （3-4） ωr a n = （3-5） 图3-1刚体的平动 图3-2 刚体定轴转动

刚体的定轴转动

授课题目刚体转动定律授课类型新授首次授课时间年月日学时 2 教学目标1.掌握转动惯量的求解方法。 2.理解刚体的转动定律。 重点与难点理解刚体的转动定律 教学手段与方法目标教学法多媒体教学 教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）复习导入：在第一节课中我们学习了刚体的概念以及描述刚体转动的几 个物理量，下面我们来学习一下几个物理量之间的量值关系——刚体的转动定律： 新课部分：§2.2转动定律 2.2.1、对定轴的力矩 在力矩知识点中我们讨论了对定点的力矩，也简单介绍了对轴的力矩。在此处我们进一步详细讨论对定轴的力矩。如下图所示，一刚体绕定轴z转动（只画出了刚体一部分），力F作用在刚体上p点，且力的方向在p点的转动平面M内。如果力不在转动平面内，可以把F分解为沿轴z方向的分力和在转动平面内的分力。轴向分力是要改变轴的方向，在定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。设p点的转心为O，径矢为r。通常把力F对定轴z的力矩定义为一个矢量 （1） 它的大小为 （2） 或 （3）复习提问重点强调

其中称为力F对轴的力臂，为力F的切向分量。由 （5-3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r和力F矢积的方向。图中的力 矩矢量的方向向上。在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z 轴和逆着z轴两个方向。我们把沿z轴的力矩叫做正力矩，逆着z轴的力 矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。 举例说明 对定轴的力矩 可以证明，力对定轴z的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z 轴方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。若作用在p点 的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩 之和。简要证明如下：按（1）式，合力的力矩 (4) 其中为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。 由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同 的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反， 其和为零。 (5)