全等三角形+预习提纲
12.1 全等三角形的概念和性质
基础知识点：(仔细阅读课本,完成下列内容)
1．_____的两个图形叫做全等形.
2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____上．
3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．
4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．
对于练习：（尝试完成下列题目，总结知识点的应用）
1．下列命题中：
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．下列结论正确的是（）
A．形状相同的两个图形是全等图形 B．全等图形的面积相等
C．对应角相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等
3．如图，两个三角形为全等三角形，则∠α的度数是（）
A．72° B．60° C．58° D．50°
4．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
5．如图，已知△ABC≌△BAD，若∠DAC=20°，∠C=88°，则∠DBA= 度．
6.如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠D= 度，∠EAD= 度．
7．如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为．
8．如图，△ABD≌△DEF，CE=6，FC=2，则BC= ．
9．下列命题中，真命题的个数是（）
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定
图1-4 图1-5 图1-6
11．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）
A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC
12．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°
三角形全等的条件（SSS ）
基础知识点：(仔细阅读课本,完成下列内容) 1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等．
2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）
指的是___________________________________________________________________________．
3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了．
典型例题：(阅读课本例题，独立完成过程)
[例]如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架． 求证：△ABD ≌△ACD ．
对于练习：（尝试完成下列题目，总结知识点的应用）
1．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．
分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______，只要证______≌______ 证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝______
在△______和△______中，
??
?
??===),
______(____________,),(PM RQ RP 已知
∴______≌______（ ）． ∴ ∠PRM ＝______（______）． 即RM ．
图2－ 1 图2－ 2 图2－3
2．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF .求证：∠A ＝∠D ．
分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______． 证明：∵BE ＝CF （ ）， ∴BC ＝______．
在△ABC 和△DEF 中，
??
?
??===______,______,______,AC BC AB
∴______≌______（ ）． ∴ ∠A ＝∠D （______）．
3．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ，求证：△ABC ≌△BAD ．
证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，
∴______＋______＝______＋______， 即______＝______． 在△ABC 和△BAD 中， ＝______（已知），
??
?
??===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （ ）． 巩固提高:
1．如图，OA=OB ，AC=BC ．求证：△AOC ≌△BOC ．
2．如图，已知AB=CD ，AD=CB ，求证：△ABD ≌△CDB ．
3、如图：点C ，D 在AB 上，且AC=BD ，AE=FB ，DE=FC ．求证：△ADE ≌△BCF ．
三角形全等的条件（SAS ）
基础知识点：(仔细阅读课本,完成下列内容)
1． 全等三角形判定方法2——“边角边” （即______）
指的是_________________________________________________________________________________． 典型例题：(阅读课本例题，独立完成过程)
[例]如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连结AC 并延长到D ，使CD=CA ．连结BC 并延长到E ，使CE=CB 。?连结DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离。为什么？
对应练习：
1．已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．
求证：∠D ＝∠B ．
分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______ 证明：在△AOD 与△COB 中，
??
?
??=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO
∴ △AOD ≌△______ （ ）． ∴ ∠D ＝∠B （______）．
图3－ 1
图3－2
2．已知：如图3－2，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．
分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______， 又需证______≌______． 证明：∵ AB ∥CD （ ）， ∴ ∠______＝∠______ （ ）， 在△______和△______中，
2
1D
C B
E A
??
?
??===),
______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）． ∴ ∠______＝∠______ （ ）． ∴ ______∥______（ ）．
巩固提高：
1、如图，点E ，F 在AB 上，AD=BC ，∠A=∠B ，AE=BF ．求证：△ADF ≌△BCE ．
2．如图，AB=CB ，BE=BF ，∠1=∠2，证明：△ABE ≌△CBF ．
3．如图已知，AB ∥DC ，AB=DC ，AE=CF ．求证：△ABF ≌△CDE ．
三角形全等的条件（ASA
和AAS ）
基础知识点：(仔细阅读课本,完成下列内容)
1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）
指的是______________________________________________________________________________； （2）全等三角形判定方法4——“角角边” （即______）
指的是________________________________________________________________________________． 典型例题：(阅读课本例题，独立完成过程)
[例]如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．
对于练习：（尝试完成下列题目，总结知识点的应用）
图4－1
1．已知：如图4－1，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ．
分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______， 只要证______≌______．
证明：在△______与△______中，
??
?
??∠=∠=∠=∠),
______(______),______(______),
______(______
∴ △______≌△______ （ ）． ∴PA ＝______ （ ）． ∵PM ＝PN （ ），
∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．
图4－2
2．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ．
分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______． 证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______． 在△______与△______中，
??
?
??==∠∠=∠),
______(______),______(),
______(C AOC
∴______≌______ （ ）． ∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （ ）． 巩固提高：
1．如图，已知AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE=CF ，B 、E 、C 、F 在同一条直线上． 求证：△ABC ≌△DEF ．
2．如图，已知两条直线AB ，CD 相交于点O ，且CO=DO ，AC ∥BD ，求证：△AOC ≌△BOD ．
3、图，已知点B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF ，AB ∥DE ．求证：△ABC ≌△DEF ．
三角形全等的条件（HL）
基础知识点：(仔细阅读课本,完成下列内容)
1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____．
2．直角三角形全等的判定方法有_____ （用简写）．
3．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．
典型例题：(阅读课本例题，独立完成过程)
[例1]如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证：BC=AD．
对于练习：（尝试完成下列题目，总结知识点的应用）
1．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD，CE=DF，求证：AC∥BD．
2．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．
3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．
12.3角的平分线的性质
基础知识点：(仔细阅读课本,完成下列内容)
1．___ __叫做角的平分线．
2．角的平分线的性质是___________________________．
它的题设是_________，结论是_____．
3．到角的两边距离相等的点，在_____.所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是_____．4．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．
（1）如果一个点在角的平分线上，那么_____；
（2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么_____；
（3）综上所述，角的平分线是_____的集合．
5．（1）三角形的三条角平分线__ ___它到___________________________．
（2）三角形内，到三边距离相等的点是___ __．
典型例题：
1．已知：如图8－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：DE＝DF．
图8－5
2．已知：如图8－6，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．
求证：OB＝OC.
图8－6
对于练习：（尝试完成下列题目，总结知识点的应用）
1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
2．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）
A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（）
A．48 B．50 C．54 D．60
4．如图，OC是∠AOB的角平分线．D，E分别是OA，OB上的点，则下列条件中不能判定△OCD与△OCE全等的是（）
A．∠OCD=∠OCE B．CD⊥OA，CE⊥OB C．OD=OE D．CD=CE
5.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为8 ．
6．在△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，AB=8cm，BD=10cm，则点D到BC的距离为cm．
7．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= ．
8．已知：如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．
9．已知：如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．
10．如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∠BOC=30°，求∠AOB的度数．
11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：
PM=PN．