函数逼近与曲线拟合,用最小二乘法进行曲线拟合的C或C++编写的完整程序

数据拟合与函数逼近

第十三章 数据拟合与函数逼近 数据拟合与函数逼近涉及到许多内容与方法，从不同角度出发，也有多种叫法。这一章，我们主要通地线性拟合而引出最小乘法这一根本方法。 13.1 数据拟合概念与直线拟合 插值法是一种用简单函数近似代替较复杂函数的方法，它的近似标准是在插值点处的误差为零。但有时，我们不要求具体某些点的误差为零，而是要求考虑整体的误差限制。对了达到这一目的，就需要引入拟合的方法，所以数据拟合与插值相比： 数据拟合--不要求近似 函数过所有的数据点，而要求它反映原函数整体的变化趋势。 插值法--在节点处取函数值。 实际给出的数据，总有观测误差的，而所求的插值函数要通过所有的节点，这样就会保留全部观测误差的影响，如果不是要求近似函数过所有的数据点，而是要求它反映原函数整的变化趋势，那么就可以用数据拟合的方法得到更简单活用的近似函数。 13.1.1 直线拟合 由给定的一组测定的离散数据(,)i i x y （1,2,,i N = ），求自变量x 和因变量y 的近似表达式()y x ?=的方法。影响因变量y 只有一个自变量x 的数据拟合方法就是直线拟合。 直线拟合最常用的近似标准是最小二乘原理，它也是流行的数据处理方法之一。 直线拟合步骤如下： (1) 做出给定数据的散点图（近似一条直线）。 (2) 设拟合函数为： i bx a y +=* (13.1.1) 然后，这里得到的*i y 和i y 可能不相同，记它们的差为： i i i i i bx a y y y --=-=* δ (13.1.2) 称之为误差。在原始数据给定以后，误差只依赖于b a ,的选取，因此，可以把误差的大小作为衡量b a ,的选取是否优良的主要标志。

数值分析课件第3章函数逼近与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0)! k k f a k =在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最

大。

为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

数值分析函数逼与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0) ! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，1 1()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

1.2范数与逼近 一、线性空间及赋范线性空间 要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构 成线性空间.例如将所有实 n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线 性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线 性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间. 在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间. 定义1 设 X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数g ，即对于任意 ,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件 (1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =； (2) 齐次性：x x αα=； (3) 三角不等式：x y x y +≤+； 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点

EXCEL表画曲线图方法

引用用Excel函数画曲线的方法1．用Excel函数画曲线图的一般方法 因为Excel有强大的计算功能，而且有数据填充柄这个有力的工具，所以，绘制曲线还是十分方便的。用Excel画曲线的最大优点是不失真。大体步骤是这样的： ⑴用“开始”→“程序”→“Microsoft office”→”Excel”,以进入Excel窗口。再考虑画曲线，为此： ⑵在A1 和A2单元格输入自变量的两个最低取值，并用填充柄把其它取值自动填入； ⑶在B列输入与A列自变量对应的数据或计算结果。有三种方法输入： 第一种方法是手工逐项输入的方法，这种方法适合无确定数字规律的数据：例如日产量或月销售量等； 第二种方法是手工输入计算公式法：这种方法适合在Excel的函数中没有列入粘贴函数的情况，例如，计算Y=3X^2时，没有现成的函数可用，就必须自己键入公式后，再进行计算； 第三种方法是利用Excel 中的函数的方法，因为在Excel中提供了大量的内部预定义的公式，包括常用函数、数学和三角函数、统计函数、财务函数、文本函数等等。 怎样用手工输入计算公式和怎样利用Excel的函数直接得出计算结果，下面将分别以例题的形式予以说明； ⑷开始画曲线：同时选择A列和B列的数据→“插入”→“图表”→这时出现如下图所示的图表向导:

选“XY散点图”→在“子图表类型”中选择如图所选择的曲线形式→再点击下面的‘按下不放可查看示例’钮，以查看曲线的形状→“下一步”→选“系列产生在 列”→“下一步”→“标题”（输入本图表的名称）→“坐标”（是否默认或取消图中的X轴和Y轴数据）→“网络线”（决定是否要网格线）→“下一步”后，图形就完成了； ⑸自定义绘图区格式：因为在Excel工作表上的曲线底色是灰色的，线条的类型（如连线、点线等）也不一定满足需要，为此，可右击这个图，选“绘图区格式”→“自定义”→“样式”（选择线条样式）→“颜色”（如果是准备将这个曲线用在Word上，应该选择白色）→“粗细”（选择线条的粗细）。 ⑹把这个图形复制到Word中进行必要的裁剪； ⑺把经过裁剪过的图形复制到Word画图程序的画板上，进行补画直线或坐标，或修补或写字，“保存”后，曲线图就完成了。 2.举例 下面针对三种不同的情况举三个例子说明如下： 例1. 下图是今年高考试题的一个曲线图，已知抛物线公式是Y=2X^2 ，请画出其曲线图。 因为不能直接利用Excel给出的函数，所以，其曲线数据应该用自己输入公式的方法计算出来，画图步骤如下：

数值计算方法教案_曲线拟合与函数逼近

第三章 曲线拟合与函数逼近 一．曲线拟合 1.问题提出： 已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N = ，由此预测函数()y f x =的表达式。 数据特点：（1）点数较多。（2）所给数据存在误差。 解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。 2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。 则残差为：?i i i e y y =-,1,2,,i N = ，其中?i i y a bx =+。 残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。 可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。 x=1:6; y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o'); y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r'); end 可以绘制出如下图形：

三个准则： （1）max i e 最小 （2）1n i i e =∑最小 （3）21 N i i e =∑最小 3.最小二乘法的直线拟合 问题：对于给定的数据点(),,1,2,,i i x y i N = ，求一次多项式y=a+bx ，使得总误差Q 最小。其中()2 21 1 N N i i i i i Q e y a bx ====-+????∑∑。根据 0,0.Q Q a b ??==?? 2222 1 222N i i i i i i i Q y a b x y a y x b x ab =??=++--+??∑

函数逼近与曲线拟合

实验二 函数逼近与曲线拟合报告 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。 t(分) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 4(10)y -? 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为23123()t a t a t a t ?=++； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j y t 的误差，1,2,,12j = ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、实验学时：2学时 五、实验步骤： 1．进入C 或matlab 开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序； 5．撰写报告,讨论分析实验结果．

解： 实验步骤 （一）算法流程 构造a1、a2、a3的线性方程组------构造误差平方和------对a1、a2、a3求偏导数------令偏导为零求得a1、a2、a3的值。 （二）编程步骤与分析 1. 绘制数据点(t,yi)的散点图 输入程序为： t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64].*1e-4 plot(t,y,'r*'), legend('实验数据(t,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'), title('数据点(t,yi)的散点图')，显示结果为： 2.求参数a1、a2、a3的解析表达式 计算)(x f 在),(i i y x 处的函数值，即输入程序 syms a1 a2 a3 t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; fi=a1.*t+ a2.*t.^2+ a3.*t.^3 运行后屏幕显示关于a1,a2, a3的线性方程组： fi = [ 0, 5*a1 + 25*a2 + 125*a3, 10*a1 + 100*a2 + 1000*a3, 15*a1 + 225*a2 + 3375*a3, 20*a1 + 400*a2 + 8000*a3, 25*a1 + 625*a2 + 15625*a3, 30*a1 + 900*a2 + 27000*a3, 35*a1 + 1225*a2 + 42875*a3, 40*a1 + 1600*a2 + 64000*a3, 45*a1 + 2025*a2 + 91125*a3, 50*a1 + 2500*a2 + 125000*a3, 55*a1 + 3025*a2 + 166375*a3] 构造误差平方和： y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64].*1e-4;

实验一：绘制信源熵函数曲线

成绩 信息与通信工程学院实验报告 （软件仿真性实验） 课程名称：信息论基础 实验题目：绘制信源熵函数曲线指导教师：毛煜茹班级：学号：19 学生姓名：王宇 一、实验目的和任务 掌握离散信源熵的原理和计算方法。 熟悉matlab软件的基本操作，练习应用matlab软件进行信源熵函数曲线的绘制。 理解信源熵的物理意义，并能从信源熵函数曲线图上进行解释其物理意义。二、实验内容及原理 实验内容： 用matlab软件绘制二源信源熵函数曲线。根据曲线说明信源熵的物理意义。 实验原理： （1）离散信源相关的基本概念、原理和计算公式 产生离散信息的信源称为离散信源。离散信源只能产生有限种符号。

假定X是一个离散随机变量，即它的取值范围R={x1，x2，x3，…}是有限或可数的。设第i个变量x i发生的概率为p i=P{X=x i}。则： 定义一个随机事件的自信息量I(x i)为其对应的随机变量x i出现概率对数的负值。即： I(x i)= -log2p(x i) 定义随机事件X的平均不确定度H(X)为离散随机变量x i出现概率的数学期望，即： ∑∑ - = = i i i i i i x p x p x I x p X H) ( log ) ( ) ( ) ( ) ( 单位为比特/符号或比特/符号序列。 平均不确定度H（X）的定义公式与热力学中熵的表示形式相同，所以又把平均不确定度H（X）称为信源X的信源熵。 必须注意以下几点： 某一信源，不管它是否输出符号，只有这些符号具有某些概率特性，必有信源的熵值； 这熵值是在总体平均上才有意义，因而是个确定值，一般写成H（X），X是指随机变 量的整体（包括概率分布）。 信息量则只有当信源输出符号而被接收者收到后，才有意义，这就是给与信息者的信 息度量，这值本身也可以是随机量，也可以与接收者的情况有关。 熵是在平均意义上来表征信源的总体特征的，信源熵是表征信源的平均不确定度，平 均自信息量是消除信源不确定度时所需要的信息的量度，即收到一个信源符号，全 部解除了这个符号的不确定度。或者说获得这么大的信息量后，信源不确定度就被 消除了。信源熵和平均自信息量两者在数值上相等，但含义不同。 当某一符号x i的概率p(x i)为零时，p(x i)log p(x i) 在熵公式中无意义，为此规定这时的 p(x i)log p(x i) 也为零。当信源X中只含有一个符号x时，必有p(x)=1，此时信源熵H （X）为零。

函数逼近与曲线拟合

函数逼近与曲线拟合 3.１函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近与函数空间 在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的 简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函 数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识． 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构 成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间． 定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得

， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关． 若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有 则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间． 下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为 ， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差 （为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使

Excel画函数曲线

引用用Excel函数画曲线的方法 2010-11-04 23:18:06| 分类：电脑天地| 标签：|字号大中小订阅 本文引用自老头儿《用Excel函数画曲线的方法》 引用 老头儿的用Excel函数画曲线的方法 1．用Excel函数画曲线图的一般方法 因为Excel有强大的计算功能，而且有数据填充柄这个有力的工具，所以，绘制曲线还是十分方便的。用Excel画曲线的最大优点是不失真。大体步骤是 这样的： ⑴用“开始”→“程序”→“Microsoft office”→”Excel”,以进入Excel窗 口。再考虑画曲线，为此： ⑵在A1 和A2单元格输入自变量的两个最低取值，并用填充柄把其它取值 自动填入； ⑶在B列输入与A列自变量对应的数据或计算结果。有三种方法输入： 第一种方法是手工逐项输入的方法，这种方法适合无确定数字规律的数 据：例如日产量或月销售量等； 第二种方法是手工输入计算公式法：这种方法适合在Excel的函数中没有列入粘贴函数的情况，例如，计算Y=3X^2时，没有现成的函数可用，就必须自 己键入公式后，再进行计算； 第三种方法是利用Excel 中的函数的方法，因为在Excel中提供了大量的内部预定义的公式，包括常用函数、数学和三角函数、统计函数、财务函数、 文本函数等等。 怎样用手工输入计算公式和怎样利用Excel的函数直接得出计算结果，下 面将分别以例题的形式予以说明； ⑷开始画曲线：同时选择A列和B列的数据→“插入”→“图表”→这时出现 如下图所示的图表向导:

选“XY散点图”→在“子图表类型”中选择如图所选择的曲线形式→再点击下面的…按下不放可查看示例?钮，以查看曲线的形状→“下一步”→选“系列产生在列”→“下一步”→“标题”（输入本图表的名称）→“坐标”（是否默认或取消图中的X轴和Y轴数据）→“网络线”（决定是否要网格线）→“下一步”后，图形就 完成了； ⑸自定义绘图区格式：因为在Excel工作表上的曲线底色是灰色的，线条的类型（如连线、点线等）也不一定满足需要，为此，可右击这个图，选“绘图区格式”→“自定义”→“样式”（选择线条样式）→“颜色”（如果是准备将这个曲线用在Word上，应该选择白色）→“粗细”（选择线条的粗细）。 ⑹把这个图形复制到Word中进行必要的裁剪； ⑺把经过裁剪过的图形复制到Word画图程序的画板上，进行补画直线或 坐标，或修补或写字，“保存”后，曲线图就完成了。 2.举例 下面针对三种不同的情况举三个例子说明如下： 例1. 下图是今年高考试题的一个曲线图，已知抛物线公式是Y=2X^2 ，请 画出其曲线图。 因为不能直接利用Excel给出的函数，所以，其曲线数据应该用自己输入 公式的方法计算出来，画图步骤如下：

曲线拟合实验报告

数值分析 课程设计报告 学生姓名 学生学号 所在班级 指导教师

一、课程设计名称 函数逼近与曲线拟合 二、课程设计目的及要求 实验目的： ⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。 ⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。 实验要求： ⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（x i ,y i ）和拟合函数的图形； ⑵用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）结果进行比较。 三、课程设计中的算法描述 用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。 思路分析：从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点） （i i y x ,误差i i i y x p r -=)(的大小，常用的方法有三种：一是误差i i i y x p r -=)(绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量的1 范数；三是误差平方和∑=m i i r 0 2的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。前两 种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。 算法的具体推导过程： 1.设拟合多项式为： y =a 0+a 1x +a 2x 1+?+a k x k 2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：

R 2= y i ? a 0+a 1x +?+a k x i k 2 n i =1 3.为了求得到符合条件的a 的值，对等式右边求a i 偏导数，因而我们得到了： ?2 y ? a 0+a 1x +?+a k x i k n i =1x =0 ?2 y ? a 0+a 1x +?+a k x i k n i =1 =0 ?? ?2 y ? a 0+a 1x +?+a k x i k x k n i =1 =0 4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式 a 0n +a 1 x i +?+a k x i k n i =1n i =1 a 0 x i +a 1 x i 2+?+ x i k +1n i =1 n i =1n i =1 a 0 x i k +a 1 x i k +1+?+a k x i 2k n i =1 n i =1 n i =1 5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： ????????? ???????????=???? ????????????????????????????∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====n i i n i n i i k n i k i n i k i n i k i n i k i n i i n i i n i k i n i i y y y a a x x x x x x x x 11i 1 10121 11 1112111 a n 6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到 ?? ???? ??????=?????????????????? ??? ??? ? ?n k k n n k k y y y a a a x x x x x x 21102211111 7.因为Y A X =*,那么X Y A /=,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。

Matlab绘制函数图像函数示例汇总

matlab中最基本的函数plot（）的用法 标签：matlab plot 指令 5.1 二维平面图形 5.1.1 基本图形函数 plot 是绘制二维图形的最基本函数，它是针对向量或矩阵的列来绘制曲线的。也就是 说，使用plot 函数之前，必须首先定义好曲线上每一点的x 及y 坐标，常用格式为：（1）plot(x) 当x 为一向量时，以x 元素的值为纵坐标，x 的序号为横坐标值绘制 曲线。当x 为一实矩阵时，则以其序号为横坐标，按列绘制每列元素值相对于其序号的曲线，当x 为m× n 矩阵时，就由n 条曲线。 （2）plot(x,y) 以x 元素为横坐标值，y 元素为纵坐标值绘制曲线。 （3）plot(x,y1,x,y2,…) 以公共的x 元素为横坐标值，以y1,y2,…　元素为纵坐标值绘 制多条曲线。 例5.1.1 画出一条正弦曲线和一条余弦曲线。 >> x=0:pi/10:2*pi; >> y1=sin(x); >> y2=cos(x); >> plot(x,y1,x,y2) 图5.1.1 函数plot 绘制的正弦曲线 在绘制曲线图形时，常常采用多种颜色或线型来区分不同的数据组，MATLAB 软件专门提供了这方面的参数选项（见表 5.1.1），我们只要在每个坐标后加上相关字符串，就可实现它们的功能。 - 2 - 表5.1.1 绘图参数表 色彩字符颜色线型字符线型格式标记符号数据点形式标记符号数据点形式 y 黄- 实线. 点< 小于号 m 紫：点线o 圆s 正方形 c 青-. 点划线x 叉号 d 菱形 r 红- - 虚线+ 加号h 六角星 g 绿* 星号p 五角星 b 蓝v 向下三角形 w 白^ 向上三角形 k 黑> 大于号 例如，在上例中输入 >> plot(x,y1,'r+-',x,y2,'k*:') 则得图 5.1.2 图5.1.2 使用不同标记的plot 函数绘制的正弦曲线 5.1.2 图形修饰 MATLAB 软件为用户提供了一些特殊的图形函数，用于修饰已经绘制好的图形。 函数含义 grid on (/off) 给当前图形标记添加（取消）网络 标记横坐标 xlable(‘string’) ylabel(‘string’) 标记纵坐标 给图形添加标题 title(‘string’)

在PPT课件中动态绘制各类函数曲线

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/a38537344.html, 在PPT课件中动态绘制各类函数曲线 作者：马致明 来源：《电脑知识与技术》2011年第25期 摘要：在探究PowerPoint VBA绘图方法的基础上，剖析如何利用VBA编程在PPT课件 中直接绘制各类可控参数的静态和动态平面函数曲线，并给出了具体的制作实例。 关键词：VBA编程；静态曲线；动态曲线；绘制；PPT课件 中图分类号：TP311文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)25-6232-03 Dynamically Mapping Various Function Curve in PPT Courseware MA Zhi-ming (College of Computer Science and Technology, Xinjiang Normal University, Urumqi 830054, China) Abstract: After studding PowerPoint VBA mapping method, it has been analyzed that how to mapping Various static and dynamic function curve by using VBA programming in PPT courseware. An example has been given also. Key words: VBA programming; static function curve; dynamic function curve; mapping; PPT courseware PowerPoint由于简单易用等优点成为众多教师制作课件的首选工具，它所附带的编程工具VBA则给使用者提供了对演示文稿进行二次开发的环境，从而使演示文稿的功能更加强大。函数曲线的绘制在数学、物理、电子等学科的课件中经常出现，特别是可控参数的交互式静态函数曲线和动态函数曲线的绘制更是体现课件制作水平高低的要素之一。笔者经过反复探究找到了在PowerPoint中利用VBA编程制作这类课件的有效途径，现将其关键技术介绍如下，希望能对各位同仁有所启发。 1 VBA概述 在Office家族中集成了一种加强其功能的语言，即Visual Basic for Application，简称为VBA。VBA是Visual Basic程序设计语言（简称为VB）的一个子集，继承了VB的绝大多数功能，并包含了对Office中有关对象的支持与操作功能，因此，易于掌握并用于宏编程。在PowerPoint中利用VBA可以在幻灯片中添加控件等用户接口元素，通过这些控件应用程序可以得到用户的请求，并对其做出响应。在PPT中适当地使用VBA，可以大大增强其交互功能，为加强教学课件的演示效果开辟了广阔的空间。

函数逼近与曲线拟合

西安科技大学 《数值分析》 实验报告 题目：函数逼近与曲线拟合 院系（部）：计算机科学与技术学院 专业及班级： 姓名： 学号 日期：2019/11/11

一、实验名称 函数逼近与曲线拟合 二、实验目的及要求 实验目的： ⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。 实验要求： ⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（）和拟合函数的图形； ⑵用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与（1）结果进行比较。 三、实验中的算法描述 1.设拟合多项式为： 2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和： 3.为了求得到符合条件的a的值，对等式右边求偏导数，因而我们得到了： 4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式

5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： ????????? ???????????=???? ????????????????????????????∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====n i i n i n i i k n i k i n i k i n i k i n i k i n i i n i i n i k i n i i y y y a a x x x x x x x x 11i 1 10121 11 1112111 a n 6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到 ?? ??? ? ??????=???????????????????????? ??n k k n n k k y y y a a a x x x x x x 21102 211111 7.因为Y A X =*,那么X Y A /=,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。 四、课程设计内容 ⑴实验环境：MATLAB2010b ⑵实验内容：给定的数据点（ ） 1) 用最小二乘法求拟合数据的多项式； 2) 用MATLAB 内部函数polyfit 函数进行拟合。 3) 实验步骤 1)首先根据表格中给定的数据，用MATLAB 软件画出数据的散点图（图1）。 2)观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合，取一组基函数 ,并令 ，其中 是待定系数 。 3)用MATLAB 程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。

AutoCAD中绘制函数曲线的若干方法

AutoCAD中绘制函数曲线的若干方法 AutoCAD本身没有提供函数曲线的绘制功能，但我们可以通过多种方法来实现函数曲线的绘制： 1. 借助另外的能绘制函数曲线的CAD软件，如CAXA。CAXA提供了丰富的函数曲线，并可自定义。在CAXA中绘制好曲线后，保存为dwg文件，再在AutoCAD 中打开，复制到你的图形文件中。 2. 借助Excel，在Excel中把函数的若干点坐标计算出来，再合并成点对后在AutoCAD中用样条曲线来绘制这些点对。 以楼主说的正弦曲线为例说明如下： （1）在Excel的A列中输入函数自变量的若干值（可以用自动填充功能），并在B例用公式计算出函数值。如A1中输入“-180“，A2中输入“＝A1＋1”。在B1中输入“＝40*SIN(PI()*A1/180)“，其中40是振幅，把正弦曲线的Y 方向变化幅度增强（可根据对曲线的变化幅度的要求给其他值），PI（）*A1/180是将A1单元格的数据转换为弧度。再拖运复制B1单元格的数据到B2。（2）在C1单元格中输入：＝A1&","&B1，把A1和B1中的数据组成一对坐标点对，相当于A1是X轴坐标，B1是Y轴坐标。并把公式复制到C2。（3）选择A2：C2两个单元格，向下拖运复制到A361：C261（角度从-180°到＋180°）。在C1：C361中得到一个函数周期的坐标点对数据。 （4）选择C1：C361，并复制。 （5）在AutoCAD中输入命令：SPLINE（或绘图——样条曲线），这时命令提示：指定第一个点或 [对象(O)]:

此时，把鼠标定位到提示行的最后，即那个冒号（：）后面，按Ctrl+V。会看到Excel的坐标点对在命令行出现。过一会一条优美的正弦曲线就画好了。再加上坐标轴线就行了。 3. 二次开发软件，二楼已有介绍。 4. 在其他软件中得到曲线后把图片插入到AutoCAD中，可绘制函数曲线的软件就很多了，如刚说到的Excel，还有MathCAD等很多软件。 电脑里安装有CAXA软件的推荐方法1，没有安装的推荐方法2，有二次开发能力的推荐方法3（不过那也是有相当的水平的了，用不着老朽在此哆嗦，呵呵），需在其他软件中作分析处理并得出了曲线的可用方法4。 下面把用方法2，即借助Excel的方法绘制的一条正弦曲线图片贴上来

3.7-数值计算方法教案-曲线拟合与函数逼近

第三章 插值法与最小二乘法 3.7 最小二乘法 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习，使学生掌握数值逼近的拟合方法。 二、教学内容及学时分配 本章主要介绍数值分析的最小二乘法。具体内容如下：曲线拟合原理，最小二乘法。 三、教学重点难点 1．教学重点：曲线拟合。 2. 教学难点：最小二乘法。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 一．曲线拟合 1.问题提出： 已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N =L ，由此预测函数()y f x =的表达式。 数据特点：（1）点数较多。（2）所给数据存在误差。 解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。 2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。 则残差为：?i i i e y y =-,1,2,,i N =L ，其中?i i y a bx =+。 残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。 可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。 x=1:6; y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o');

y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r'); end 可以绘制出如下图形： 三个准则： （1）max i e 最小 （2）1n i i e =∑最小 （3）21 N i i e =∑最小 3.最小二乘法的直线拟合

在ANSYS中如何根据函数方程画曲线

Finish /clear,all *dim,a,,10 *dim,b,,10 *do,i,1,10 a(i)=i b(i)=sin(i/5) *enddo /prep7 *do,i,1,10 k,i,a(i),b(i),0 *enddo *do,i,1,9 l,i,i+1 *enddo ―――――――――――――――――――――――――――――――――1、正弦线 *AFUN,RAD /PREP7 *do,i,0,100,1 *SET,x,0.1* i *SET,y,sin(0.1*i) k,i+1,x,y *enddo *do,j,1,100,1 l,j,j+1 *enddo

/prep7 *do,i,1,91,1 *set,x,i*0.25 *set,y,cos(i*360*8*0.05)*i*0.05 k,i,x,y *enddo *do,j,1,90,5 spline,j,j+1,j+2,j+3,j+4,j+5 *enddo 3、“波形环线” /prep7 *do,i,0,100,1 *set,x,50*sin(5*360*i)*i/5 *set,y,50*cos(5*360*i)*i/5 *set,z,10*sin(25*360*i)*i/5 k,i+1,x,y,z *enddo *do,j,1,45,5 spline,2*j,2*(j+1),2*(j+2),2*(j+3),2*(j+4),2*(j+5) *enddo *do,k,0,45,5 spline,2*k+1,2*k+3,2*k+5,2*k+7,2*k+9,2*k+11

splin,92,94,96,98,100 line,1,2

关于几种曲线拟合基本方法的比较

关于几种曲线拟合基本方法的比较 学院：材料科学与工程学院专业：材料学（博）姓名：郑文静学号：1014208040 在实际工作中，变量之间的关系未必都是线性关系，更多时候，它们之间呈现出了曲线关系，在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到一些x和y数据，为了对位置点进行研究，很多时候，我们通过曲线拟合的方式，将这些离散点近似为一条连续的曲线，从而来预测或者得到所需结果。曲线拟合的方法很多，本文中，主要讨论了曲线拟合的三种基础方法--插值法、磨光法、最小二乘法的特点，并对其在科学实验和生产实践中的应用性进行了比较。 插值法是函数逼近的一种基本方法，插值法就是通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。插值法中，选取不同的插值公式，来满足实际或运算需求，得到拟合的函数。其中，最基础的插值方法是三弯矩法，该方法是利用拉格朗日插值为基础，已知平面中的n+1个不同点，寻找一条n次多项式曲线通过这些点。该曲线具有唯一性。另外，还有三转角法，该方法是利用Henmiter插值为基础，其思路与三弯矩法相同，已知条件有所差别，在Henmiter插值中，不仅已知函数在一些点的函数值，而且，还知道它在这些点的导数值，甚至知道其高阶导数值，要求所求函数不仅满足过这些点，同时也要求其导函数，甚至高阶导函数满足条件。采用Henmiter插值法求得的多项式比拉格朗日法求得的多项式有较高的光滑逼近要求。此外，还有以分段和B-样条函数为基础的δ-基函数法，其中，样条函数是：对于[a,b]上的划分，称函数S(x)为[a,b]上关于划分△的k次样条函数，记做S k，△[a,b]。该方法避免了高次插值可能引起的大幅度波动现象，在实际中通常采用分段低次插值来提高近似程度。插值法常用于填充图像变换时像素之间的空隙。 磨光法是适应保凸性要求的数据拟合方法。积分可以改变函数的光滑度，而微商是积分的逆运算，对函数进行积分，然后在微商，可以将函数还原。而差商近似为微商，对函数积分后差商，可以将函数近似还原，同时可以更光滑，这种变换就是磨光。可以采用其他方法拟合得到函数，对于不光滑的点采用一次或多次磨光，得到更加光滑连续的函数。这种方法常用于外形设计。 最小二乘法也是函数逼近的一种基本方法。该方法不要求拟合曲线通过已知点，而是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。其解题步骤是：首先通过数据点，确定其可能所属的函数类型；然后，设出函数，并求出误差平方和的表达式；之后，由表达式对函