二项分布期望和方差的推导过程

二项分布期望和方差推导

若随机变量),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=

二项分布数学期望的证明：

注意到11--=k n k n nC kC （证明：11)]!

1()1[()!1()!1()!()!1()!1()!(!!--=---?--?=-?--?=-??=k n k n nC k n k n n k n k n n k n k n k kC ） 所以n n p p C X E )1(0)(00-?=111)1(1--?+n n p p C Λ+-?+-222)

1(2n n p p C Λ+-?+-k n k k n p p C k )1( 111)1()1(p p C n n n n -?-+--0)1(p p C n n n n -?+

1101)1(---?=n n p p C n Λ+-?+--2211)1(n n p p C n Λ+-+---k n k k n p p nC )

1(11 1121)1(p p C n n n n -?+---011)1(p p C n n n n -?+--

101)1([---=n n p C np Λ+-+--2111)1(n n p p C Λ+-+----k n k k n p p C )1(1111221)1(p p C n n n -+---])1(0111p p C n n n -+--- np p p np n =+-=-1])1[(，故np p p C i X E n

i i n i i n ∑=-=-?=0)1()(；

二项分布方差的证明：)1()(p np X D -=

证明：i n i i p X E x X D ?-=

∑-12)]([)(i n i i i p X E X E x x ∑-?+-=122)]()(2[∑-??+?-?=n

i i i i i i p X E p X E x p x 122])()(2[ ∑∑∑-=-?+?-?=n i n i i n i i i i i

p X E p X E x p x 11

212

)()(2)()(22X E X E -= 故任何离散随机变量的方差均满足式子：)()()(22X E X E X D -=

当随机变量),(~p n B X 时，=)(X D 20

2)()1(np p p C i

i n i n i i n --?-=∑ i n i

n i i

n p p C i i -=-?-=∑)1()1(0

220)1(p n p p C i i n i n i i n --?+-=∑（注意np p p C i X E n i i n i i n ∑=-=-?=0)1()(） i n i

n i i

n p p iC i -=-?-=∑)1()1(222p n np -+i n i n

i i n p p nC i -=---?-=∑)1()1(21122p n np -+ i n i n i i n p p C

i n -=---?-?=∑)1()1(21122p n np -+i n i n i i n p p C n n --=---?-?=∑)1()1(22

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n n -=---?-=∑)1()1(22222p n np -+i n i n i i n p p C p n n --=---?-=∑)1()1(22

22222p n np -+

（指数之后凑组合数下标2-n ，利用展开式i i n n i i n n b a C b a ---=--∑=+22022)

(） i n i n i i n p p C p n n ---=--?-=∑22

022

)1()1(22p n np -+ 22)]1([)1(--+?-=n p p p n n 22p n np -+2)1(p n n -=22p n np -+)1(p np -= 推导过程用到二项式定理的展开式i i n n i i

n

n b a C b a -=∑=+0)(以及11--=k n k n nC kC

(完整word版)常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差 x n (0,1) N()

概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　 　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

几何分布的定义以及期望与方差的证明

几何分布的定义以及期望与方差 几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k 次成功的概率。 公式： 它分两种情况： 1. 得到1次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』; 2. m = n-1次失败，第n 次成功，m 的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』. 由两种不同情况而得出的期望和方差如下： , ; , 。 概率为p 的事件A ，以X 记A 首次发生所进行的试验次数，则X 的分布列： ， 具有这种分布列的随机变量X ，称为服从参数p 的几何分布，记为X ~Geo (p )。 几何分布的期望 ，方差 。 高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p ξ= 1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。

（1）由P k q p k ()ξ==-1，知 E p pq q p kq p q q kq p k k ξ=++++=+++++--231232121 () 下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记 S q q kq k k =++++-12321 记S q q kq k =+++++-12321 qS q q k q k =+++-+-2121 () 相减， ()111121-=+++++=--q S q q q q k

则S q p =-=11122 () 还可用导数公式()'x nx n n =-1，推导如下： 12321+++++-x x kx k =+++++ x x x x k '()'()'()'23 6 12322221+++++-q q k q k =+++++()'q q q kq k 2323

正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布：

即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服

从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关）

期望 方差公式的证明全集

期望与方差的相关公式的证明 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑ ∞ =1 <∞时， 则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑ ∞ =1 =∞，则数学期望不存在。 [] 1 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的

正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差

13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差 一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ． 解：(1) )4.22 1 3.1()8.416.2()8.56.1(<-≤ -=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950 .09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12 1 78.2(1)56.4(1)56.4(<-< --=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=-- 二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ） 之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ． 而)26 .0100 2()6.02.16.01006.02.1( )2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-?= 故0456.09544.01=-=p ． 三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度 3200 )20(22401)(-- = x e x f π 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为 }30{}30{}30{>?>?>=ξξξD 第三次第二次第一次 因为)40,20(~2 N ξ，所以由事件的相互独立性，有 31,01,033)]25 .0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(3 3 ≈=--= 于是有 86975.013025.01)(1}30{=-=-=

二项分布概念及图表和查表方法

二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。

北师大版高数选修23第6讲：数学期望与方差及正态分布(1)

数学期望与方差及正态分布 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解离散型变量的数学期望与方差的概念. 2.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式. 3.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质. 4.能利用数学期望与方差解决简单的实际问题. 5.理解概率密度曲线和正态分布的概念. 1.离散型随机变量X 的数学期望 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称______________________为离散型随机变量X 的数学期望，记为______，其中0i p ≥，i =1，2，…，n ，12p p + 1.n p ++=L 2.离散型随机变量X 的方差 则称____________________________________为离散型随机变量X 的方差，记为_________，即2 ; σi p ≥0，i =1，2，…，n ，121,n p p p +++=L ()E X μ= 3.离散型随机变量X 的标准差 随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ=_____________ 4.必备公式 (1)离散型随机变量：X 的数学期望（均值）公式、方差公式、标准差公式 E(X)=____________________________； V (X )=_____________________________________________；

二项分布概念及图表和查表方法

目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望：

61随机变量的概率分布、期望与方差1

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列

二项分布期望和方差的推导过程

二项分布期望和方差推导 若随机变量),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -= 二项分布数学期望的证明： 注意到11--=k n k n nC kC （证明：11)]! 1()1[()!1()!1()!()!1()!1()!(!!--=---?--?=-?--?=-??=k n k n nC k n k n n k n k n n k n k n k kC ） 所以n n p p C X E )1(0)(00-?=111)1(1--?+n n p p C Λ+-?+-222) 1(2n n p p C Λ+-?+-k n k k n p p C k )1( 111)1()1(p p C n n n n -?-+--0)1(p p C n n n n -?+ 1101)1(---?=n n p p C n Λ+-?+--2211)1(n n p p C n Λ+-+---k n k k n p p nC ) 1(11 1121)1(p p C n n n n -?+---011 )1(p p C n n n n -?+-- 101)1([---=n n p C np Λ+-+--2111)1(n n p p C Λ+-+----k n k k n p p C )1(1111221)1(p p C n n n -+---])1(0111p p C n n n -+--- np p p np n =+-=-1])1[(，故np p p C i X E n i i n i i n ∑=-=-?=0)1()(； 二项分布方差的证明：)1()(p np X D -= 证明：i n i i p X E x X D ?-= ∑-12)]([)(i n i i i p X E X E x x ∑-?+-=122)]()(2[∑-??+?-?=n i i i i i i p X E p X E x p x 122])()(2[ ∑∑∑-=-?+?-?=n i n i i n i i i i i p X E p X E x p x 11 212 )()(2)()(22X E X E -= 故任何离散随机变量的方差均满足式子：)()()(22X E X E X D -= 当随机变量),(~p n B X 时，=)(X D 20 2)()1(np p p C i i n i n i i n --?-=∑ i n i n i i n p p C i i -=-?-=∑)1()1(0 220)1(p n p p C i i n i n i i n --?+-=∑（注意np p p C i X E n i i n i i n ∑=-=-?=0)1()(） i n i n i i n p p iC i -=-?-=∑)1()1(222p n np -+i n i n i i n p p nC i -=---?-=∑)1()1(21122p n np -+ i n i n i i n p p C i n -=---?-?=∑)1()1(21122p n np -+i n i n i i n p p C n n --=---?-?=∑)1()1(22 2222p n np -+ i n i n i i n p p C n n -=---?-=∑)1()1(22222p n np -+i n i n i i n p p C p n n --=---?-=∑)1()1(22 22222p n np -+ （指数之后凑组合数下标2-n ，利用展开式i i n n i i n n b a C b a ---=--∑=+22022) (） i n i n i i n p p C p n n ---=--?-=∑22 022 )1()1(22p n np -+

常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ σ-=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　 　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞ +∞-∞==? ? 边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞ -∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=???? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

二项分布中方差的计算

二项分布中方差的计算 假设ξ~B (n ,p ), 即k n k k n q p C k P -==}{ξ 考虑E [ξ(ξ-1)]=Eξ2-Eξ 而 ∑∑ ∑∑=----=-=-=--=-----?-?=--=-=-n k k n k k n n k k n k n k k n k n k k n k k n q p C p n n q p k n k n n n q p k n k n k k q p C k k E 2 222222 )1()]!2(2[)!2()!2()1()! (!! ) 1()1()]1([ξξ 令2-=k i 上式=222220 22 2 )1()1(np p n p n n q p C p n n n i i n i i n -=-=-∑-=--- 即2222np p n E E -=-ξξ, 再将E ξ=np 代入上式,得)1(222222p np p n np np p n E -+=+-=ξ 最后得npq np p np p n E E D =--+=-=22222)()1()(ξξξ 例1的分布图 例2的分布图 4.2 超几何分布 例1的图形：

例2的图形： 定义4.2 设N 个元素分为两类, 有N 1个属于第一类, N 2个属于第二类(N 1+N 2=N ). 从中不重复抽样取n 个, 令ξ表示这n 个中第一类元素的个数, 则ξ的分布称为超几何分布, ),....,1,0()(2 1n m C C C m P n N m n N m N == =-ξ 规定: 如n

概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析

白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布

二项分布的数学期望和方差

4EX np ∴== 100.40.6 2.4DX npq ==??= 222() 2.4418.4EX DX EX =+=+= 12. 解：8n =，0.2p = 根据二项分布的数学期望和方差的公式 1.6EX np == (1) 1.28DX npq np p ==-= 求解得 8n =，0.2p = 13. 解： ~(1,)B p ξ 2(1)9D p p ξ∴=-= 解方程2209 p p -+=，得23p =或13p = ξ∴的概率函数为 {}1(1)(0,1)k k p k p p k ξ-==-= 将13p =或23 p =代入，得ξ的概率函数为 {}121()()33 k k p k ξ-== 或 {}112()()(0,1)33k k p k k ξ-=== 14. 解：设ξ的概率密度为 1,()0, a x b f x b a ?≤≤?=-???其他 =3E ξ，1=3D ξ ∴得方程组2+=32()1 =12 3a b b a ????-???，解得24a b =??=?

1,24()=20x f x ?≤≤?∴???其他 ξ为连续型随机变量 {}=2=0p ξ∴ {}3312111<<3=()==22 p f x dx dx ξ?? 15. 解：设ξ表示直到取到废品为止所要取的产品个数，则ξ的概率函数 {}-1 ==0.050.95(=1,2,)k p k k ξ???? 当{}-1 ==(1)(=1,2,)k p k p p k ξ-???时，由幂级数 -12=1 1= (1)n n nx x ∞-∑ 2-13 =11=(1)n n x n x x ∞+-∑ 可计算 -1=11=(1)=k k E kp p p ξ∞-∑ 2-122=1 1=(1)()= k k p D k p p E p ξξ∞---∑ 本题中=0.05p 1==200.05 E ξ∴， 210.05==19.490.05 D ξ- 16. 解：8 22[()]DX EX E x =- 222[()]428EX DX E x ∴=+=+= 17. 解：由题意X 的分布律为 {}=(0)!k p X k e k λλλ-=>

均值方差正态分布学生用

§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X (1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑n i ＝ 1 (x i －E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D ?X ?为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －?x －μ?22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我 们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1 σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为__1__； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． (3)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a ，b (a

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导 高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。 预备公式一 11--=k n k n nC kC （1≥n ） ，利用组合数计算公式即可证明。 预备公式二 []2 2)()()(ξξξE E D -=，证明过程可见教材。 预备公式三 2 2)1()1(---=-k n k n C n n C k k （2,2≥≥k n ） ，利用组合数计算公式即可证明。 预备公式四 ),,,,(022110n k m k N k n m C C C C C C C C C k n m m k n k m n k m n k m n ≤≤∈=++++++--Λ，利用恒等 式m n n m x x x )1()1() 1(++=++的二项展开式中k x 的系数相等可证。 一、二项分布 在n 次独立重复试验中，每次试验中事件A 发生的概率为p （10<

方差概念及计算公式

方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中

分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布

2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到

求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解 函数的幂级数展开式

二项分布、数学期望与方差专题复习 word 有详解 重点中学用

第十讲 二项分布及应用 随机变量的均值与方差 知识要点 1.事件的相互独立性(概率的乘法公式) 设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3.对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 4.条件概率的加法公式：若B 、C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) 5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． 注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点 (1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生． 6.二项分布：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝Ck n p k ·(1－p ) n －k (k ＝0,1,2，…， n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点 (1)是否为n 次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数． 7.离散型随机变量的均值与方差及其性质 定义：若离散型随机变量X 的分布列为P (ξ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n . (1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D X 为随机变量X 的标 准差． (3)均值与方差的性质：(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2 D (X )．(a ，b 为常数) 8.两点分布与二项分布的均值、方差 变量X 服从两点分布： E (X )＝p ， D (X )＝p (1－p )； X ～B (n ，p )： E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ) 典例精析 例1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.