近世代数复习
第一章
集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；
集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章
群的定义
a.设G是一个非空集合，“?”是其上一个二元运算，若满足
1.“?”满足结合律；
2.{G，?}中有单位元；
3.{G，?}每个元都与逆元
则称{G，?}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质
1.单位元唯一；
2.逆元唯一；
3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解
4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1
注：可以推广到无限：
1
1
1
2
1
1
m
1
m
1
m
2
1
m
a
...a
a
a
)
...a
a
(a
G
,
a
..,-
-
-
-
-
-=
?
∈
?,.
a,
a
2
1
5.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）
证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k = e n|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b
§5变换群
定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。
定理2：一个集合A的所有一一变换做成一个变换群G。
定理3：任何一个群都同一个变换群同构。（凯莱定理）
§6置换群
置换：一个有限集合的一个一一变换；
置换群：一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群；
n次对称群：一个包含n个元的集合的全体置换做成的群。
定理1 ：n次对称群S n的阶是n!
k-阶循环置换可用符号（i1i2…i k）表示。
定理2：每一个n元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的（不相连的）
循环置换的乘积。
定理3：每一个有限群都与一个置换群同构。
§7循环群
定义：若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群；也说，G 是由元a 所生成的，并且用符号G=(a)表示，a 叫做生成元。 定理：假定G 是一个由元a 所生成的循环群。那么G 的构完全可以由a 的阶来决定：1.a 的阶若是无限，那么G 与整数加群同构；2.a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与模n 的剩余类加群同构。
§8子群
定义:一个群G 的一个子集H 叫做G 的一个子群，假如H 对于G 的乘法来说做成一个群。
定理1:一个群G 的不空子集H 做成G 的一个子集?H ab H b a ∈?∈,； ?∈H a a -1H ∈ 推论：不空，且H G H ,?e h = e g , a h -1= a g -1
定理2：一个群G 的不空子集H 做成G 的一个子群?∈?H b a ,ab -1H ∈ 定理3：一个群G 的不空有限子集H 做成G 的一个子群的充要条件是： H ab H b a ∈?∈, 生成子群： p64
§9子群的陪集
定义：设G 为一个群，H 是G 的一个子群。而G a ∈?那么
① 形如Ha = {ha | h ∈H}的子集，叫做子群H 的一个右陪集，a 称为Ha 的代表元。
② 形如aH= {ah | h ∈H}的子集，叫做子群H 的一个左陪集，a 称为aH 的代表元。
指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 里的指数，记为[G:H].
定理1：一个子群H 的左右陪集个数相同，或都是无穷大、或都是一个有限相等整数。
定理2（Lagrange 定理）：假定H 是一个有限群G 的一个子群，那么H 的阶n 和它在G 里的指数j 都能整除G 的阶N,且N = nj;
注：子群H 的陪集Ha(aH)所含元素个数与H 的元素个数相同 推论：G 是有限群，m a G a =∈?)(o ,若，那么m 必是|G|的因子
定理3：一个有限群G 的任一个元a 的阶都整除G 的阶。
陪集的性质
定理1：设H 是G 的一个子群，G b a ∈?,，于是有ab Hb Ha Hb a ?=?∈-1H ∈
推论：设H 是G 的一个子群，,,G b a ∈? 于是有ab
Hb Ha Ha b Hb a ?=?∈?∈-1
ba H ?∈-1H ∈
定理1’设H 是G 的一个子群，于是有,,G b a ∈?:i.b bH aH bH a ?=?∈-
1H a ∈;ii.a bH aH aH b ?=?∈-1
H b ∈ 定理2：设H 是G 的一个子群，设G b a ∈,,那么
群的陪集分解
定理3：设H 是G 的子群，在G 中定义关系“~”：ab b a G b a ?∈?~,,-1H ∈，那么“~”必是等价关系
证：
1) aa G a ,∈?-1a a H e ~?∈=
2) 若ab b a ?~-1ba H ?∈-1ab (=-1)-1a b H ~?∈
3) 若ab c b a ?~b ~且-1bc 且H ∈-1ac H ?∈-1c a H ~?∈
由（1）、（2）、（3）知关系“~”是一个等价关系
由a ～b ?a -1b ∈H 定义的关系决定的G 中的分类，每个子类就
是左陪集.G 表示这些左陪集的并?aH 叫做G 的一个左陪集分解。 ab Hb Ha Hb a ?=?∈-1H ∈
b bH aH bH a ?=?∈-1H a ∈
注：若Ha = Hb ,那么代表两个集合相等，但并不代表h i a = h i b(i = 1, 2, 3…) §10不变子群、商群
不变子群：aN N G G N =∈??a ,a ,都有对
不变子群的中心：na N n G G N =∈∈??an ,,a ,有对，则称N 为G 的中心 商群：一个群G 的一个不变子群N 的陪集所作成的群，记为：G/N 。 |/||
|||N G N G =
定理：一个群G 的一个子群N 是一个不变子群的充要条件是: 1.aNa G a ,∈?-1N =
2.ana N n G a ?∈∈,-1N ∈
§11同态和不变子群
同态核：假定Φ是一个群G 到另一个群G ’的同态满射。G ’的单位元e ’在Φ之下的所有的逆象所作成G 的子集叫做同态满射Φ的核，记为)Φ(Ker 。 即：}e'Φ(a)|{Φ)(=∈=G a Ker
定理1：一个群G 同它的每一个商群|G/N|同态（自然同态）。 定理2：设的不变子群是是群同态映射，那么G K e r G )Φ('G :Φ→，并 且 ')Φ(/G Ker G ?
定理3：假定G 和G ’是两个群，并且G 与G ’同态。那么在这个同态满射之下的：1.G 的一个子群H 的象H ’是G ’的一个子群
2.G 的一个不变子群N 的象是G ’的一个不变子群
定理4：假定G 和G ’是两个群，并且G 与G ’同态。那么在这个同态满射之下的：1.G ’的一个其群H ’的逆象H 是G 的一个子群
2.G ’的一个不变子群N ’的象是G 的一个不变子群
第三章
§1加群、环的定义
加群：封闭、结合律
环：1.R 是一个加群，换一句话说，R 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群。
2.R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；
3.这个乘法适合结合律c ab bc a )()(=，不管c b a ,,是R 的那三个元
4.两个分配率都成立：ac ab c b a +=+)(，ca ba a c b +=+)(
§2交换律、单位元、零因子、整环
交换环：ba ab R b a R =∈?,,为一个环，
零因子：00,0=≠≠ab b a 但在一个环里，，则称a 为左零因子，b 为右零因子。
剩余类环：R={所有模n 的剩余类}，乘法适合结合律，并且两个分配律都成立，则R 做成一个环，叫做模n 的剩余类环。
整环：R 为一个整环，若：
1.乘法适合交换律，ba ab =；
2.R 有单位元1；
3.R 没有零因子，即：000==?=b a ab 或
定理：环中无零因子?环中左右消去律都成立
推论：在一个环里若有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立
§3除环、域
除环：R为除环，若：
1.R中至少包含一个不等于零的元；
2.R有一个单位元；
3.R的每一个不等于零的元有一个逆元；
域：交换除环。
交换环
整环
环有单位元环域
除环
无零因子环
§4无零因子环的特征
特征：一个无零因子环R非零元的相同的（对加法来说）阶叫做环R的特征
定理1：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。
定理2：如果无零因子环R的特征是有限整数，那么n是个素数
推论：整环、除环以及域的特征或是无限大、或是一个素数p
§5.子环、环的同态
子环：一个环R的子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说做成一个环。即：S
?
-
∈
?,
∈
,
S
ab
a∈
a
b
S
b
子除环：一个除环R的子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说做成一个除环。即：
.1S；
的元
包含一个不等于0
∈
,
,0
,.2∈
≠
∈-1S
-
a,
S
ab
b
b
a
S
b
定理1：若是存在一个R到R’的满射，使得R与R’对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R’也是一个环
定理2：假定R和R’是两个环，并且R与R’同态。那么，R的零元的象是R’的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，并且，假如R是交换环，那么R’也是交换环；假如R有单位元1，那么R’也有单位元1’，而且1’是1的象。定理3：假定R同R’是两个环，并且R?R’。那么，若R是整环，R’也是整环；R是除环，R’也是除环；R是域，R’也是域。
定理4：假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（这就是所有不属于S 的R的元做成的集合）与另一个环S’没有共同元，并且S?S’。那么存在一个与R同构的环R’，而且S’是R’的子环。即: Φ
-S
?
S
R
'
)
(=
§7理想
理想：环R的非空子集H叫做一个理想子环，简称理想，满足：
1.H
-
a∈
∈
,
?
b
a
H
b
2.H
?
∈
a∈
∈,
,
R
ar
ra
r
H
零理想：只包含零元
单位理想：该理想本身
主理想：由一个元素生成的理想
1.(x 1ay 1 + … +x m ay m ) + sa + at + na(x i , y i , s, t ∈R, N 是整数)
2.若R 是交换环：),(是整数n R r na ra ∈+
3.当R 有单位元时∑x i ay i (x i , y i R ∈)
4.当R 既是交换环又有单位元时：)(R r ra ∈
定理：除环只有零理想和单位理想.
§8 剩余类环、同态与理想
定理1：假定R 是一个环，H 是它的一个理想，R ’是所有模H 的剩余类做成的集合，那么R ’本身也是一个环，并且R 与R ’同态
定理2：假定R 同R ’是两个环，并且R 与R ’同态，那么这个同态满射的核H 是R 的一个理想，并且'/R H R ?
§9极大（最大）理想
极大理想：一个环R 的一个不等于R 的理想H 叫做一个极大理想，假如，除了R 同H 自己之外，没有包含H 的理想。
引理1：假定H ≠R 是环R 的理想。剩余类环R/H 除了零理想和单位理想之外不再有其他理想?H 是极大理想
引理2：有单位元)0(≠的交换环R 除了零理想同单位理想之外没有其他理想，那么R 一定是一个域。
定理：假定R 是一个有单位元的交换环，H 是R 的一个理想，R/H 是一个域，当而且仅当H 是一个极大理想的时候。
对于整数环R 来说，由一个素数p 所生成的主理想（p ）是一个极大理想 §10商域
商域：假如Q 包含R ，并且Q 刚好是由所有元)0,,(,≠∈b R b a b
a 所作成的，那么域Q 叫做环R 的一个商域
定理1：每一个没有零因子的交换环R 都是一个域Q 的子环
定理2：Q 刚好是由所有元)0,,(,≠∈b R b a b
a 所作成的，这里a
b b a =-1=b -1a 定理3：假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。
定理4：同构的环的商域也同构，这样，抽象的看来，一个环最多只有一个商域。 第四章
§1.素元、唯一分解
因子：整环I 的一个元a 可以被I 的元b 整除，假如在I 中找得出元c 来，使得a = bc.则称b 是a 的因子。
单位：整环里的一个元ε叫做I 的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。即：每个可逆元称为单位。
相伴元：元b 叫元a 的相伴元，假如b 是a 和一个单位ε的乘积a b ε=
平凡/真因子：单位及元的相伴元叫做该元的平凡因子，其余的因子叫做该元的真因子。
素元：整环I 的一个元p 叫做一个素元，假如p 既不是零元，也不是单位，并且p 只有平凡因子
唯一分解：一个整环I 的一个元a 在I 里有唯一分解，假如一下条件都能被满足： 1.p a =1p 2…p r (p i 是I 的素元)
2.若同时q a =1q 2…q s (q i 是I 的素元),那么r = s, 并且我们可以把q i 的次序调换一下，使得q i =εi p i (εi 是I 的单位)
定理1：两个单位的乘积仍是单位，单位的逆元也是单位。
定理2：单位同素元的乘积也是一个素元
定理3：整环中一个不等于零的元a 有真因子的充分而且必要条件是：bc a =，b,c 都不是单位。
推论：假定0≠a ，且a 有真因子b 。即： a = bc.那么c 也是a 的真因子。 §2.唯一分解环
唯一分解环：假如整环I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。 公因子：元c 叫做元a 1，a 2，…，a n 的公因子，假如c 同时能够整除a 1,a 2,…，a n.
最大公因子：元a 1，a 2，…，a n 的一个公因子d 叫做a 1，a 2，…，a n 的最大公因子，假如d 能够被a 1，a 2，…，a n 的每一个公因子c 整除
互素：一个唯一分解环I 的元a 1，a 2，…，a n 互素，假如它们的最大公因子是单位
定理1：一个唯一分解环有一下性质：3.若一个素元p 能够整除ab ，那么p 能够整除a 或b 。
定理2：假定一个整环I 有一下性质：
1.I 的每一个既不是零也不是单位的元a 都有一个分解：p a =1p 2…p r (p i 是I 的素元)
2.I 的一个素元p 若能整除ab ，那么p 能整除a 或b ，这则I 一定是一个唯一分解环
定理3：一个唯一分解环I 的两个元a 和b 在I 里一定有最大公因子。a 和b 的两个最大公因子d 和d ’只能差一个单位因子.即：d ’=ε d.（ε是单位） 推论：一个唯一分解环I 的n 个元a 1，a 2，…，a n 在I 里一定有最大公因子。a 1，a 2，…，a n 的两个最大公因子只能差一个单位因子
§3主理想环
主理想环：一个环的每一个理想都是主理想
引理1：假定I 是一个主理想环，若在序列)(,,,321I a a a a i ∈?里的每一个元是前面一个的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列
引理2：假定I 是一个主理想环，那么I 的每一个素元p 生成一个极（最）大理想。
定理：一个主理想环I 是一个唯一分解环。
§4欧式环
欧式环：一个整环I 叫做一个欧式环，假如
1.有一个从I 的非零元所作成的集合到>=0的整数集合的映射φ存在；
2.给定了I 的一个不等于零的元a,I 的任何元b 都可以写成：
),(I r q r qa b ∈+=的形式，这里或是r=0或是)()(a r φφ<
定理1：任何欧式环I 一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。 定理2：整数环是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。
近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
优秀的近世代数期末考试总复习题
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A 到B的（） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集 合A×B中含有（）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A；{}2,1=B，则有= B---------。 ?A 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。 4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??????=6417352812345678σ，??????=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并 把σ和τ写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -??=，定义m M 中运算“m +”为 a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。 2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
近世代数初步_习题解答(抽象代数)
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,
近世代数复习提纲
近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==； （4）ab ac b c =?=； （5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。 3、元素的阶 使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。 （1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。 （2）若m a e =，则 ①||a m ≤； ②||a m =?由n a e =可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。 （4）||||r n a n a d =?= ，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d 。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而 n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以n k d ，故n k d =。 注：1 ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（）。
2 ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A 的恒等变换。 （2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。 解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ????????? （1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。 （2）||!n S n =。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11221()()k k i i i i i i -=。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。 （1）循环群是交换群（）。 （2）素数阶群是循环群（）。 （3）循环群的子群是循环群（）。 （4）当||G =∞时，2102{,,,,,, }G Z G a a e a a a --??==； 当||G n =时，021{,,,,}n n G Z G e a a a a -??==。
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《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集，规定 f(x)= x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B ） A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf 是 A 到 C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素 （ 1 32）不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意 a,b G ，以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确 的是 ( A ) ．．． A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B 到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设（ ， +，·）是环 ，则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ，则 x a C. 对 a R ， a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ，则 b c 14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
近世代数复习提纲
近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==； （4）ab ac b c =?=； （5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。 3、元素的阶 使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。 （1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。 （2）若m a e =，则 ①||a m ≤； ②||a m =?由n a e =可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。 （4）||||r n a n a d =?= ，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d 。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而 n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以 n k d ，故n k d =。
注：1? ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A 的恒等变换。 （2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。 解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ????????? （1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。 （2）||!n S n =。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11221()()k k i i i i i i -= 。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。 （1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。
《近世代数》AB模拟练习题参考答案
《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案 一、判断题（每题4分，共60分） 1、设21:G G →σ是群单同态，则σKer 为单点集（√） 2、设21:G G →σ是群同态，σKer 为单点集，则σ必为单射（√） 3、设21:G G →σ是群同态，则σKer 为单点集当且仅当σ为单射（√） 4、5元置换（42351）是偶置换（√） 5、两子群的并一定是子群（×） 6、4元置换（4231）是偶置换（×） 7、已知K H ,是群G 的子群，则HK 也为G 的子群（×） 8、已知,*),(6+Z 是域（×） 9、两子群的并一定是子群（×） 10、任意置换均可表示为若干个不相交的轮换的乘积（√） 11、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构（√） 12、设G 是n 阶, e 是它的单位元,则e 的周期为1（√） 13、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群（×） 14、若环R 满足左消定律，那么R 必定没有右零因子（√） 15、唯一分解环必是主理想环(×) 二、证明题（每题20分，共300分） 1、设[]x F 为域F 上的一元多项式环,[]x F x f ∈)(,则))((x f 为极大理想当且仅当)(x f 为不可约多项式。 证明：（必要性）假设)(x f 不是不可约多项式，可知)(x f 不是零元也不是可逆元，从而存在非零非可逆元[]x F x h x g ∈)(),(，使得)()()(x h x g x f =，故))(())((x g x f ?，))(())((x g x f ≠，因为))((x f 是极大理想，所以[]x F x g =))((，故1)(±=x g 矛盾。综上，)(x f 为不可约多项式。
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
抽象代数复习资料
《抽象代数》 复习资料1 一、判断对错，正确的填√，错误的填?． 1、拉格朗日定理的逆命题是正确的. （ ） 2、有限整环一定是域. ( ) 3、任意环都可嵌入一个含有单位元的环。. ( ) 二、填空 １、设G 为有限集合，且有一个满足结合律的代数运算。则满足消去律为G 是群的 ______________（请填写：必要条件，充分条件，或充要条件）． 2、在群中设ord a n =，则对任意, k k Z ord a ?_______________． 三、叙述概念 1、代数运算 2、环的特征 3、含幺环上未定元的定义 四、计算和证明 1、叙述并证明群同态基本定理． 2、求10Z 到5Z 的所有环同态。 3、证明：对群中的任意两个元素,a b 均有()()o ab o ba =。 参考答案 一、判断对错，正确的填√，错误的填′ 1、′ 2、√ 3、√′ 二、填空 1、充要条件；2、 (,) n n k ； 三、叙述定义或定理 1、代数运算 ：给定非空集合A ，集合A A ′到A 的映射称为集合A 的一个代数运算 。（给定非空集合A ，给定A 的一个规则o ，如果对A 中任意的两个元素都有A 中唯一的元素与之对应,则称o 为A 的一个代数运。 2、环的特征：设R 是环，若存在最小的正整数n,使得对所有的a R ?，有0na =，则称环R 的特征是n,若不存在这样的n 则称R 的特征是无穷。 3、含幺环上未定元的定义：含幺Ｒ扩环中的元素x ，和Ｒ中所有的元素可交换，单位元保持其不变，方幂Ｒ线性无关。 四、1、设?是群G 到群G 的一个同态满射．则N Ker ?=是G 的正规子群，且G N G ?． 证明：由于G 的单位元是G 的一个正规子群，故其所有逆象的集合，即核N Ker ?=也是G
《近世代数》模拟试题2及答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
近世代数练习题部分答案(12级)(1)
练习题参考答案 一、 判断题 1. R 是A 的元间的等价关系. （错 ）见教材第27页习题2（2） 2. 则G 是交换群. （正确）见教材第37页习题6 3、则该群一定为有限群. （错 ）见教材第39页例4 4、则G 与整数加群同构. （正确）见教材49页定理1（1） 5、那么G 也是循环群. （错 ）三次对称群S 3的真子群为循环群，但S 3不为循环群. 6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -?∈?. （正确）见教材84页定理1 7、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为，对Hg gH G g =∈?,. （正确）见教材83页定义1 8、那么R 必定没有右零因子. （正确）见教材139页推论 9、则N G /也是循环群. （正确）见教材95页定理3 10、那么R 的单位元一定是非零元. （正确）由于|R|≥2，故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ，说明零元不是 单位元. 11、整数环与偶数环同态. （错误）设Z Z 2:→?为同态满射，且k 2)1(=?，则 24)1()1()11()1(k ==?=????，即 242k k =，所以02=k 或12=k ，后者 不可能，因此有02=k ，则0)1(=?，得0)(=n ?，与?为满射矛盾. 12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6- -----=Z ,47Z 均是整环. （错误）根据教材149页定理2，6Z 有零因子，不是整环，47Z 是整环. 13、素数阶群一定是交换群. （正确）根据教材69页推论1，该群中的元素除了单位元，其余元的 阶等于群的阶，再根据教材50页推论1知该群为循环群，从而为交换群.
近世代数考试复习
<近世代数复习题> 一、定义描述（8’） 1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a . （3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算做成一个群。 2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ， 则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。 3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用 乘号表示，如果： （1）R对加法作成一个加群； （2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）； （3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。 4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它 理想，则称N为环R的一个极大理想。 5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能 惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。 6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果 （1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在； （2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。------------- 7、素理想：设R是一个交换环，P ?R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则 称P是R的一个素理想。 显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。 8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且 是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > . 9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有
近世代数发展简史
近世代数发展简史 根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。 一、近世代数的定义 代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。 二、近世代数的发展 代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，N.H.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，J.W.R.）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，C.F.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在Math.Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。由于李（Lie，M.S.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，F.G.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，W.K.J.）、外尔（Weyl，（C.H.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。 域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，L.E.）与亨廷顿（Huntington，E.V.）于19世纪初才独立给出。而域的系统发展是从1910年，施泰尼茨（Steinitz，E.）的著名论文“域的代数理论”开始的。同期，布尔（Boole，G.）研究人的思维规律，于1854年出版《思维规律的研究》，建立了逻辑代数，即布尔代数。但格论是在1933～1938年，经伯克霍夫（Birkhoff，G.D.）、坎托罗维奇（Канторович.П.В.）、奥尔（Ore，O.）等人的工作才确立了在代数学中的地位。另一方面，1843年，哈
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-