人教版七下数学之相交线,垂线(提高)知识讲解

相交线，垂线（提高）知识讲解

【学习目标】

1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；

2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；

3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；

4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.

【要点梳理】

知识点一、邻补角与对顶角

1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．

要点诠释：

(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．

(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．

(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．

(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.

2.对顶角及性质：

（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．

（2）性质：对顶角相等．

要点诠释：

(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．

(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

【高清课堂：相交线两条直线垂直】

知识点二、垂线

1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

要点诠释：

⊥；

(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b

直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.

(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

∠=°判定

90

AOC

CD⊥AB．

性质

2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

要点诠释：

(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．

(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．

3．垂线的性质：

（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：

（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．

（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．

4．点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

要点诠释：

（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．

【典型例题】

类型一、邻补角与对顶角

1．如图所示，AB 和CD 相交于点O ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，试说明OM 和ON 成一条直线。

【答案与解析】

解：∵ OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD （已知），

∴ ∠AOC=2∠AOM ，∠BOD=2∠BON （角平分线定义）。 ∵∠AOC=∠BOD （对顶角相等），∴∠AOM=∠BON （等量代换）。 ∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换）， ∴ OM 和ON 共线。

【总结升华】要得出OM 和ON 成一条直线，就要说明∠MON 是平角，从图中可以看出∠AON 是∠MON 和平角∠AOB 的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM 和∠BON 相等，本题得证。

2.如图所示，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2:∠1＝4:l ，求AOF ∠．

【答案与解析】

解：设∠1＝x ，则∠2＝4x ．

∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠BOD ＝2∠1＝2x ．

∵ ∠2+∠BOD ＝180°，即4x+2x ＝180°，∴ x ＝30°． ∵ ∠DOE+∠COE ＝180°，∴ ∠COE ＝150°．

又∵ OF 平分∠COE ，∴ ∠COF ＝

1

2

∠COE ＝75°． ∵ ∠AOC ＝∠BOD ＝60°，∴ ∠AOF ＝∠AOC+∠COF ＝60°+75°＝135°．

【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b ＝m:n ，在解题时设a mx =，b nx =，这是常用的用方程思想解题的方法． 举一反三：

【变式】已知α的补角是一个锐角，有3人在计算25

α时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求α的度数． 【答案】

解法1：∵ α的补角是一个锐角，

∴ α是一个钝角，即90°＜α＜180°，

∴ 2

36725

α<

<°°． 由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，

可知2585

α=°．

∴ 145α=°．

解法2：由题意可知α是一个钝角，即90180α<<°°．

如果2325α=°，那么80α=°，不满足90180α<<°°；

如果2

875α=°，那么217.5α=°，不满足90180α<<°°；

如果2

585

α=°，那么145α=°，满足90180α<<°°，

所以此人计算的答案正确．所以145α=°．

【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的α的度数，再验证是否正确．

3.（1）如图（1），已知直线a 、b 相交于点 O ，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？

（2）如图（2），已知直线a 、b 、c 、d 是经过点O 的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？

【答案与解析】

解：（1）2对对顶角，4对邻补角。 （2）将图（2）拆分为下图：

通过观察图形．不难发现a 、b 、c 、d 四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，

对顶角的对数：2612?=（对）；邻补角的对数:4624?=(对) 答：图中共有12对对顶角，24对邻补角 【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n 条直线两两相交，最多有

(1)

2

n n -个交点．每个交点处有两组对顶角，故n 条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。

举一反三：

【变式】（2015?青岛模拟）如图，直线AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角

是，∠1的对顶角是．

【答案】∠ 2和∠ 4；∠ 3.

由图形可知，∠1的对顶角是∠3，∠1的邻补角是∠2和∠4．

类型二、垂线

4．下列语句：

①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。

②一条直线的垂线有无数条。

③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。

其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

【答案】①②

【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。

①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：

【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：

①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；

②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。

举一反三：

【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )

A．经过两点有且只有一条直线

B．两点之问的所有连线中，线段最短

C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直．

D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质

5.（2016春?达州校级期中）如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=20°，求∠DOE的度数．

【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE的

度数．

【答案与解析】

解：∵OC⊥OE，

∴∠COE=90°，

∵∠BOE=20°，

∴∠COB=90°+20°=110°，

∵OD为∠BOC的平分线，

∴∠BOD=55°，

∴∠DOE=55°﹣20°=35°．

【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．

【高清课堂：相交线403101 例4变式（1）】

举一反三：

【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.

【答案】

解：如图，

∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2

又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2

由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2

∴∠3=∠4

∴ ON平分∠BOC

6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．

(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．

(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)

【答案与解析】

解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．

(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．

【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．

举一反三：

【变式1】如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．

【答案】

解：如图所示

【变式2】点P为直线l外一点：点A、B、C为直线l上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线l的距离是 ( )

A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 【答案】D.