大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷
小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
3. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则
（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；
（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）2
2x （B ）2
2
2x
+（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5.
=
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =
??x x x x f d cos )(则 .
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
2
21
n n n
n
n
n π
π
ππ .
8.
=
-+?
2
12
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ?+-求
11. ．
求，， 设?--???
??≤<-≤=1 32
)(1020)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续，
=?1
0()()g x f xt dt
，且
→=0
()
lim
x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨
论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线
斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且
)(0
=?
π
x d x f ，
cos )(0
=?
π
dx x x f .证明：在
()π,0内至少存在两个不同的点
21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设
?=
x
dx
x f x F 0
)()(）
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6e .
6.c
x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.
3π.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y
e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++??原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11. 解：1
03
3
()x f x dx xe dx ---=+???
3
()x xd e --=-+??
00
2
32
cos (1sin )x x
xe e d x πθθθ----??=--+-=???
令
321
4e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===
??1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠?
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===?
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
?，'()g x 在=0x 处连续。
13. 解：2
ln dy y x
dx x +=
2
2
(ln )
dx dx
x x y e e xdx C -??=+?
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+?，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r
解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为 x
x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：
x e y 1= 则平面图形面积
?-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2131e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
?-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：10
()()q f x d x q f x dx -??1
()(()())
q q q
f x d x q f x d x f x dx =-+???
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--??
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证：构造辅助函数：
π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0。其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。
)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
????+===π
ππ
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有?=π
sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在 ),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f . 高等数学I
解答
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+ (C)
[])()(1ln x x βα?+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1
（B ） e
（C ） a
e
cot （D ） a
e
tan
3.
???
??=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1
（B ） 0
（C ） e （D ） 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '
(C) )(a f '
（D ） )
(31
a f '
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1.
6. 由x x y e y
x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy
ln 2sin 2+++
- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程为 13
1211--=--=-z y x .
8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解：1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x
x
x x x x e e x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 已知：||3a =，||26b =，30a b ?=，求||a b ?。
解：
1312
cos 1sin ,13
5cos 2=
-==?=θθθb a b a
，
72
=?b a
11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=?，试求出)(x F ''。
解：
??-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
??=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(
)()(x f x F =''
12. 求
3cos .sin x x dx x ? 解：23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-?? 2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+?
四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
13. 求
?
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x t =
?
--=21
2
322)1
(11
11dt t t t
原式
=-?dt
t 121
2
32
=arcsin t
12
32=
π
6
14. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解：函数的定义域（－∞，+∞）
22)1()1)(1(2x x x y ++-=' 322)1()3(4x x x y +--=
''
令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点
极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23
）
15. 求由曲线
43x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积. 解 :,,
x x x x x x 3232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---??()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 16. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ?的
面积最大.
解：
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离 的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
235
132()
?
S x x x x x ()()=
??-++=-++12452352232
2
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()401 此时 所求点为，y =313()
另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使 解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)
002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题（本大题4分）
17. 设0x >，试证x x e x +<-1)1(2. 证明：设
0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，
0)(,
0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。
在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减， 在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x
亦即当 x >0时，x x e x
+<-1)1(2 。
高等数学I A
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数
???
??????<+<≤>-+=0,sin 1
0,2tan 1,1)
1ln()(x x x x x x x x x f π
的全体连续点的集合是 （ ）
(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)
(C) (-∞,0) (0, +∞)
(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)
19. 设0)11
(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）
（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1）
20. 设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ） （A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<' (B) )1()0()1()0(f f f f '<-<' (C) )0()1()0()1(f f f f -<'<'
（D ）)0()1()0()1(f f f f '<'<-
21.
,1cos sin 2
2
2
4dx x
x
x M ?-
+=
π
π
?-
+=2
24
3
)cos (sin π
πdx x x N ?--=
2
2
432)cos sin (π
π
dx x x x P 则（ ）
（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P
二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1. 设=->)1arctan (12
x x d x （ ） 2. 设?
+=,sin )(c x dx x f 则?=
dx x f n )()(（ ）
3. 直线方程p z n y m x +-=
=--65
24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，
那么m n p ,,的值各为（ ）
4. =
??
? ??=+∞→∑2
12lim
n i n
i x e n i （ ）
三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
1. 计算 ??? ??-→220
1sin 1
lim x x x
2. 设
?????≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图所示，给出
)(x f
)(x f y =的拐点。
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
1. 求不定积分 ?-+x dx x x 2)12(
2. 计算定积分
?e
e
dx
x 1ln 3. 已知直线43
5221:
312
1:21-=-=--=
=z y x l z y x l ,求过直线l 1且平行于直线l 2的平
面方程。
4. 过原点的抛物线2
ax y =及y =0,x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为π
581
，确定抛物
线方程中的a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。
五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
1. 设
)()1()(2
x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f ，试证明存在ξ（21<<ξ）使得0)(=''ξF 。
2.
?≥-=x
n x tdt t t x f 0
22)
0(sin )()( （1） 求)(x f 的最大值点；
（2） 证明：
)32)(22(1
)(++≤
n n x f
一、单项选择题 B D B C.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. dy =dx x x x )1arctan 411(2-+-.
6. ?=dx x f
n )()
(?++=+
c n x dx n x )2sin()2cos(ππ.
7.
0,6,2≠-==n p m .
8. )1(21
-e .
三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）
9. (8分)计算极限 22011lim()
sin x x x →-.
解：222222
0011sin lim()lim sin sin →→--=x x x x x x x x
30sin sin lim →-+=x x x x x x x
201cos 12lim 33x x x →-==
10. (8分)设
?????≤>=00,1cos )(2
x x x x
x x f ，试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f '. 解：
当
x x x x f x 1sin
1cos 2)(,0+='>；当1)(,0=' 00'(0)lim 0'(0)lim 1 x x x x x x f f x x +-?→+?→-?-?-?=====?? 故f (x )在x =0处不可导。 ()????? <>+='0101sin 1cos 2x x x x x x f 11. (8分)设函数()y f x =在(,)-∞+∞连续，在0x ≠时二阶可导，且其导函数()f x '的图形如 ()f x ()y f x =的拐点. 解：极大值点：x a =x d = 极小值点：x b = 拐点(0,(0)),(,())f c f c 四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分） 12. (9分)求不定积分 2 2(2)(1)x dx x x --?. 解：原式=2413 ()(1)1dx x x x -++--? = 1 4ln 3ln 11x x c x - --+- 13. (9分)计算定积分 1 ln e e x dx ? . 解：原式=()111 ln ln e e x dx xdx -+?? ()[]1 11 ln ln e e x x x x x x =--+-???? 2 2e =- 14. (9分)已知直线 11: 123x y z l -==，2123:254x y z l ---==,求过直线l 1且平行于直线l 2的平 面方程. 解：12(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)n s s =?=?=- 取直线l 1上一点M 1(0,0,1) 于是所求平面方程为 72(1)0x y z -++-= 15. (9分)过原点的抛物线2 ax y = (0)a > 及y =0, x =1所围成的平面图形绕x 轴一周的体 积为π 581. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积. 解： 1 1 5 22200()5x V a x dx a ππ==?2 5a π= 由已知得 58152π π=a 故 a = 9 抛物线为：29x y = 绕y 轴一周所成的旋转体体积： 1 2 029V x x dx π=??1 4091842x ππ == 五 综合题（每小题4分，共8分） 16. (4分)设)()1()(2 x f x x F -=，其中)(x f 在区间[1,2]上二阶可导且有0)2(=f . 证明：存 在ξ（12ξ<<）使得()0F ξ''=。 证明：由)(x f 在[1，2]上二阶可导，故F (x )在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故 F (1)=F (2) = 0 在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点)21(,00< 在[1，x 0]上对)(x F '用罗尔定理，至少有点)21(0<< 解：（1）1x =为()f x 的最大值点。 22()()sin n f x x x x '=-，当01 x <<， 22()()sin 0 n f x x x x '=->；当 1 x >， 22()()sin 0n f x x x x '=-≤。(1)f 为极大值，也为最大值。 （2） 220 ()()sin (1) x n f x t t tdt f =-≤? 1 1 2 2220 1 (1)()sin ()(22)(23)n n f t t tdt t t t dt n n =-≤-= ++?? 高等数学上B （07）解答 一、 填空题：（共24分，每小题4分） 1．2sin[sin()]y x =，则dy dx =22 2cos[sin()]cos x x x 。 2． 已知2 1a dx x π+∞-∞=+?，a =__1______。 3． 1ln e e x dx =? 2 2e -。 4． x y e =过原点的切线方程为y ex =。 5．已知()x f x e =，则'(ln ) f x dx x ?=x c +。 6．a =32- ，b =92 时，点(1,3)是曲线32 y ax bx =+的拐点。 二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求cos (sin )x y x =的导数。 解： cos lnsin cos lnsin ()(sin ln sin cot cos )x x x x y e e x x x x ''==-+ 2．求sin ln xdx ?。 解：sin ln sin ln cosln xdx x x xdx =-? ? sin ln cosln sin ln x x x x xdx =--? 1 (sin ln cosln )2x x x x C =-+ 3 ．求dx ?。 解： 212=+ 5ln |x C =+ 4．设 , 0()1,0x k e x f x x x ?≥?=?+ 00(0)lim lim k k x x x f x x --→-→- '== 01 (0)lim 1 x x e f x +→+-'== 1k = 5 ．求极限 2n n →∞ ++。 解： 2 lim n n n k n →∞ →∞ =+++= lim n n k →∞ == 10 =?= 1 0ln(|ln(1x == 6．求过点(2,2,0)且与两直线21010x y z x y z +-+=??-+-=?和200x y z x y z -+=??-+=?平行的平面方程。 解：两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s =-?-=--2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)s =-?-=--，平面的法向量(1,2,3)(0,1,1)(1,1,1)n =--?--=--。 平面方程为0x y z -+=。 三、解答下列各题：（共28分，每小题7分） 1．设cos sin x R t y R t =??=?，求22 d y dx 。 解：cot dy t dx =- 22 311 (cot )sin sin t d y t dx R t R t '=-=-- 2．求0()(1)x F x t t dt =-?在[1,2]-上的最大值和最小值。 解：()(1)0,0,1F x x x x x '=-=== 1012001 (0)0,(1)(1), 652 (1)(1),(2)(1)63F F t t dt F t t dt F t t dt -==-=--=-=-=-= ??? 最大值为23，最小值为5 6- 。 3．设()y y x =由方程22 (1)ln(2)0x y x y +-+=确定，求'(0)y 。 解：方程 22 (1)ln(2)0x y x y +-+=两边同时对x 求导 2222(1)20 2x y y xyy x y ' +'++- =+ 将 1 0,2x y == 代入上式 5'(0)8y = 4．求由2y x =与2 y x =围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。 解： 1 40 ()V y y dy π=-? 310π= 四、证明题：(共12分，每小题6分) 1．证明过双曲线1xy =任何一点之切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。 证明：双曲线1xy =上任何一点(,)x y 的切线方程为 21 ()Y y X x x -=- - 切线与x 轴、y 轴的交点为1 (0,),(2,0) y x x + 故切线与,OX OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 1 ()2 s x y x =+= 2．设函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明：至少存在一点ξ使得 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ ξξξ=?? 证明：令()()()b x x a F x g x dx f x dx =?? ()()0F a F b ==，由Rolle 定理，存在一点[,]a b ξ∈，使()0F ξ'=，即 ()()()()b a f g x dx g f x dx ξ ξ ξξ=?? 高等数学上解答（07） 一、 单项选择题（每小题4分，共16分） 1． |sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞是 A 。 （A ）奇函数； （B ）周期函数；（C ）有界函数； （D ）单调函数 2．当0x →时， 2 ()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。 （A ）3x ； （B ）4x ； （C ）5x ； （D ）2 x 3．直线2020x y z x y z -+=?? +-=?与平面1x y z ++=的位置关系是 C 。 （A ）直线在平面内；（B ）平行； （C ）垂直； （D ）相交但不垂直。 4．设有三非零向量,,a b c 。若0, 0a b a c ?=?=，则b c ?= A 。 （A ）0； （B ）-1； （C ）1； （D ）3 二、 填空题（每小题4分，共16分） 1．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为(,1)e 。 2． 20 tan lim (1)x x x x x e →-= -1 3。 3．方程 2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。 4．曲线2 y x =、1x =与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为5π 。 三、 解下列各题（每小题6分，共30分） 1．已知2sin ()lim () t t t x f x t →+∞-=，求()f x '。 解：22sin sin ()lim ()t x t t x f x e t -→+∞-== 2 sin ()sin 2x f x e x -'=- 2．求不定积分1 [ln(ln )]ln x dx x +?。 解: 11 [ln(ln )]ln(ln )ln ln x dx x dx dx x x +=+??? 11 ln(ln )ln ln x x dx dx x x =-+?? ln(ln )x x C =+ 3 ．计算定积分1 241sin (1x x dx x -++?。 解：111 2244111sin sin ((11x x x dx x dx x dx x x ---=+++??? 1 1 (0 x dx -=+? sin 2220 2sin cos x t t tdt π ==? 8π = 4．求不定积分1sin 1cos x dx x ++?。 解：1sin 1sin 1cos 1cos 1cos x x dx dx dx x x x +=++++??? 21cos sec 221cos x d x dx x =-+?? tan ln |1cos |2x x C =-++ 5．已知(ln )f x x '=，且(1)1f e =+，求()f x 。 解：令ln x t =，()t f t e '= ()x f x e C =+ (1)1f e =+， ()1x f x e =+ 四、 （8分）设()f x 对任意x 有(1)2()f x f x +=，且 1 (0)2f '=- 。求(1)f '。 解：由(1)2()f x f x +=，(1)2(0)f f = 1()(1)(1)lim 1x f x f f x →-'=- 10(1)(1)lim x t t f t f t =+→+-= 02()2(0)lim t f t f t →-= 2(0)1f '==- 五、（8分）证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。 证明：只需证明(1)ln 1x x x +>-。 令()(1)ln 1f x x x x =+-+ 1 ()ln 0 f x x x '=+>，()f x 在[1,)+∞单调递增。 (1)0f =，当1x >时，()0f x >。即22 (1)ln (1)x x x ->-。 六、 （8分） 已知 220 ()()()x F x x t f t dt ''=-?，()f x ''连续，且当0x →时，()F x '与2 x 为等价无穷小量。求(0)f ''。 解： 20()lim 1x F x x →'= 22220 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt t f t dt ''''''=-=-??? 220 ()2()()()2()x x F x x f t dt x f x x f x x f t dt '''''''''=+-=?? 22002()()lim lim 2(0)x x x x f t dt F x f x x →→'''''==? 1 (0)2f ''= 七、 （8分） 设有曲线 2 4 (01)y x x =≤≤和直线 (04)y c c =<<。记它们与y 轴所围图形的面积为1A ，它们与直线1x =所围图形的面积为2A 。问c 为何值时，可使12A A A =+最 小？并求出A 的最小值。 解： 4120 (1c A A A dy =+=+-? ? ()1A c '= 令()10A c '==，得1c =。 1(1)02A ''= >，1c =为最小值点。 401min (11 A dy =+-=?? 八、设()f x 在(,)a b 内的点0x 处取得最大值，且|()| ()f x K a x b ''≤≤≤。 证明：|()||()|()f a f b K b a ''+≤- 证明：0()0f x '= 在0[,]a x 对()f x '应用拉格朗日定理 01010()()()() ()f x f a f x a a x ξξ''''-=-<< 100()()(), |()|() f a f a x f a K x a ξ''''=-≤- 在0[,]x b 对()f x '应用拉格朗日定理 02002()()()() ()f b f x f b x x b ξξ''''-=-<< 200()()(), |()|() f b f b x f b K b x ξ''''=-≤- 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分) 1、 .)1ln(2)(;)1ln(2)(; )1ln()()1ln()(,d 1 1 c e x D c x e C c e B c e A I x e e I x x x x x x ++-+-++++-= +-=? 则设 答( ) 2、 lim ()()()()n n n n n e e e e A B e C e D e →∞ -??= 1212 1 答（ ） 3、 )()1()1()()1(1)()1)(1()1()()1)(1(1)() 10)(()(11 )(1 2 1 21 1 11 答 式中 格朗日型余项阶麦克劳林展开式的拉的++++++++θ--θ-θ-+-θ-+<θ<=-=n n n n n n n n n n n x x D x x C x x n B x x n A x R n x x f 4、 )()()()()()()()()(0 , 2cos 1) (lim ,0)0(,0)(0 答 的驻点但不是极值点 是的驻点 不是的极小值点 是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x x f f x x f x ==-==→ 5、 1213)(49)(94)(421)()1(2)4,0(422002 图形的面积所围成的平面 与曲线处的切线上点曲线D C B A A x y T M M x x y = -=+-= 答( ) 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、设 ，则＿＿＿＿ y x x y =++'=ln tan()11 2 、 并相应求得下选内的近似根时，在用切线法求方程023,)01(0152x x x x -=--- __________________ 101 分别为，则一个近似值x x x 3、设空间两直线 λ1 2111-=+=-z y x 与x y z +=-=11相交于一点，则λ=????? 。 4、. ___________0 , 001 sin )(2==??? ??=≠-+=a x x a x x e x x f ax 处连续，则在 ，当，当 5、是实数． ，其中b dx x b _________________ 0 =? 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 设平面π与两个向量 a i j =+3和 b i j k =+-4平行，证明：向量 c i j k =--26与平面π垂直。 四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 的敛散性． 讨论积分?10p x dx 五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 ) 为自然数。 其中的递推公式导出计算积分n x x x I n n ,1d 2 ?+= 六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线?? ?=-=--+010052:1z z y x l 垂直的直线方程。 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) x x x x x x tan 2cos sin 1lim 0-+→计算极限 八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 ) ． ，并计算积分为自然数的递推公式试求??=e e n n dx x n dx x I 131)(ln )()(ln 九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 设在内可微但无界，试证明在内无界。f x a b f x a b ()(,),()(,)' 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) [])()(lim , )()(lim )(lim 0000 00u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明：，设。 十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 体的高求体积最大的内接圆柱的球内在半径为,R 十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 ) 重量为p 的重物用绳索挂在A B ,两个钉子上，如图。设 cos ,cos αβ== 12134 5，求A B ,所受的拉力f f 12,。 B 十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 一质点沿抛物线运动其横坐标随着 时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点，处的变化速率．,(),(,),()y x x t x t t t x M =-=1086 十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 ) ;)1.(,02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=-==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x 、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分) 1、C 2、答：B 3、C 10分 4、（Ｂ） 5、C 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、()sec () (tan()) 111211 22-+++x x x x x 10分 2、x 00= 5分 x 115=- 10分 3、54 4、-1 5、-<=>????? ????b b b b b 2 2 200020， ，， 10分 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) 平面法向量 n a b i j k =?=-=-31 0114 4122{,,} 4分 n c =-2 n 与 c 平行 8分 从而平面与 c 垂直。 10分 四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 当时， p dx x dx x p x p p p p p ≠==-?=--??→+→+-→+-11111111 0101011 01lim lim()lim () εεεε εε =-<+∞>??? ??1 111 p p p ，， 5分 当时，p dx x dx x x p ====+∞??→+1010 101lim ln εε 7分 .1110时发散时收敛，当当≥ p 10分 五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 ) ?+=+1 1 :21x d x I n n 法一 解 = ++++++?x x n x x dx n n 2122 111 () 3分 =+++++=+++++++= +++++++++-+???x x n x x x dx x x n x x dx n dx x x x x n I n I n n n n n n n n 212 2221 22221 21111 1111111 11()()()()() 故I x n x n n I n n n ++=-++-+2 21 111() 7分 法二令 I x x x c I x n x n n I n I x x c x t dx tdt n n n 1221 202211 112121=+-+∴=-+-+--≥=+++==--ln ()()ln tan sec 10分 ∴==??I tdt t t t t dt n n n sec tan sec sec tan 2 3分 ???? ++++=++==+++++dt t t n dt t t n t t dt t t n t t t t d n n n n n n tan sec )1(tan sec )1(tan sec tan sec )1(tan sec tan sec 2312 311 5分 =++++∴=-+- ++∴=-+-+--≥++++--x x n I I I n n I x n x I x n x n n I n n n n n n n n n n 21 22 21 21 21 111111212()()()()() 7分 I x x x c 1211 =+-+ln I x x c 021=+++ln . 10分 六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 ) π的法向量为={,,}111 l 1的方向向量为 S 12101 210=-=-{,,} 3分 所求直线方向向量为 S =?=-112 3{,,} 7分 从而所求直线方程为 x y z -=-=+-41223 3 10分 七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 原式=+-++→lim sin cos tan (sin cos ) x x x x x x x x x 021212 3分 =+→12202lim(sin tan sin tan ) x x x x x x x x 7分 =+=121452() 10分 八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 ) I x dx x x n x dx n n e n e n e ==-??-(ln )ln (ln )1 1 11 =--e nI n 1 4分 于是 I e ne n n e n dx n n e =-+--+-?()()!111 )1(!)1(2)1() 1()1(1 --+--+--+-=-e n e n n e n n ne e n n 7分 所以 (ln )()x dx e e e e e e 31 366162=-+--=-? 10分 九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 同济大学２00９-２0１0学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=） １. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e =+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足： [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><； ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线 1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线； ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线； ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7． 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ］ (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; 高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-. ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 ()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的 解. 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01， 且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所 得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]∈01q ，1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且 )(0 =?π x d x f ， cos )(0 =? π dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个 不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设 ?= x dx x f x F 0 )()(） 北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分） 往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分） 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 高等数学（上）期中测试题 一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设 1 (1) ,0 (),0 x x x f x x a x ?? -<=??+≥?在 (,)-∞+∞上处处连续，则a =---。 解 ()()1 11 10 lim 1lim 1x x x x x x e - - ---→→????-=+-=?????? ()0 lim x x a a + →+=,有连续性有a =-1 e 2. 已 知 (3)2f '=,则 0 (3)(3)lim 2h f h f h →--=1-。 解 已知 ()0(3)(3) 3lim 2h f f h f h →--'== 则 00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h →→----=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0, ] 2 π 上的最大值为6 π+解 令 ()12sin 0f x x '=-=得6 x π = 则最大值为 6 π + 4. 设 5(sin )5(1cos ) x t t y t =+?? =-? ， 则 t dy dx =0,2 2t d y dx ==120 解 () 5sin 0 51cos t t t dy dy t dt dx dx t dt ===== =+ 5. 设 1(0)x y x x +=>，则y '= ()1ln x x x x x ++ 解 两边取对数有 ()ln 1ln y x x =+ 两边关于 x 求导得1ln y x x y x ' +=+,整理后即得结果 6. 设函数 ()y y x =由方程 cos()0 x y xy ++=确定，则 dy =sin 1 1sin y xy dx x xy --。 解 对方程两边关于x 求导 得: sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy = sin 11sin y xy dx x xy -- 7. 曲线 2x y e -=在点(0,1)M 处的曲率K =25 解 200 22x x x y e -=='=-=- 200 44x x x y e -==''== 则 () ( )3 3 222 2 4 25 112y k y '' = = =??'++-?? 8.函数()x f x xe =在0 1x =处的二阶泰勒公式为()f x = 解 由 () ()()n x f x n x e =+,代入泰勒公式即得 二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当 0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ） 。 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。). 第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：同济大学2009-高数B期末考试题
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