07-08上线性代数试卷A
河 南 财 经 学 院
二00七至二00八学年第一学期期末考试卷
《线性代数》试题A
（供 2006级 各系 各专业 各班使用）
总分合计人（签名） 总分复核人（签名） .
复查总分 复查人（签名） .
一、 填空题(每小题2分,共10分)
1．设A ，B 均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B -1A 2B|=_________.
2．矩阵A =????
?
?????-2110154214321的秩为_____________.
3．设A 是秩为2的4×5矩阵，则齐次线性方程组AX =O 的解集合中线性无
关的解向量个数为_____________.
4．已知三阶矩阵A 的三个特征值是-1，1，2，则|A|=_________. 5．二次型f(x 1,x 2,x 3)=21122323x x x x x -+的矩阵是________________
二、判断题（每题2分,共20分）
1．n 阶行列式次对角线上的元素乘积前必带负号。 ( )
2．奇数阶反对称矩阵的行列式值为零。 ( ) 3．若A,B 均为n 阶可逆矩阵，则A+B 也是可逆矩阵。 ( )
4．矩阵100101010??
????
????
是初等矩阵。 ( ) 5．m 维向量组12,,,n ααα 线性相关等价于：存在常数12,,,n k k k 且
222120n k k k +++≠ 使得11220n n k k k ααα+++= 。 ( ) 6．与AX O =的基础解系等价的线性无关的向量组也是AX O =的基础解系。
( )
7．设0λ是n 阶矩阵A 的特征值，且0()I A X O λ-=的基础解系为12,αα，则A 的属于0λ的全部特征向量为1122c c αα+(12,c c 全不为零)。 ( ) 8．若,A B 则()()r A r B =。 ( )
9．对称矩阵A~100020000??
?
? ???
,则A 是正定矩阵。 ( )
10．秩相同的二次型标准形一定相同。 ( )
三、选择题（每小题2分，共10分）
1．矩阵A =????
?
?--1111的伴随矩阵A *=（ ） A ．????
??--1111
B ．???? ??--1111
C ．???
?
??--1111 D ．???
?
??--111
1
2．设A 是4×5矩阵，秩（A ）=3，则（ ） A ．A 中的3阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的3阶子式 C ．A 中的4阶子式都不为0
D ．A 中存在不为0的4阶子式
3．设12,αα是非齐次线性方程组AX =B 的解，β是对应齐次方程组AX =O 的解，则AX =B 必有一个解是（ ） A ．21α+α
B ．21α-α
C ．12βαα++
D ．1212
33
βαα++
4．设A 与B 等价，则（ ）
A ．r(A)=r(B)
B ．A 与B 相似
C ．|A|=|B|
D ．A 与B 合同
5．若矩阵A=????
?
?????t 20220002正定，则t 的取值范围是（ ）
A ．02t <<
B ．02t <≤
C ．2t >
D ．2t ≥
四、计算题（每小题10分，共50分）
1．计算 n 阶行列式 1
23 (11)
10...00 0
22...00 0
...
1
1n n
D n n
--=---
2．．设A=?
??
?
?
??-321011330且AB=A+2B ，求B 。
3．讨论a 取何值时，下列线性方程组有解？并在有解时求其通解。
1234512345234512345 1
3230 22635433x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a
++++=??+++-=??+++=??+++-=?
4．设下列两个矩阵相似
100100001,0001001A B y x ???? ? ?== ? ? ? ?-????
（1）求出参数x 和y 的值；
（2）求出可逆矩阵P 使得1
P AP B -=
5．化二次型2221231231223(,,)244f x x x x x x x x x x =++--为标准形，并写出所用
的非退化线性变换.
五、 证明题(10分)
设向量组321,,ααα线性无关，证明：向量组11232
232,,βαααβαα=-+=-
31232βααα=-+也线性无关.