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2015年考研数一真题及答案解析(完整版)

2015年考研数学（一）试题解析

一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线

()=y f x 的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

【答案】（C ）

【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.

(2)设211

()23

+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )

(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.

【解析】由题意可知，212x e 、13

x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，

所以2,1为特征方程2

0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方

程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x

y xe =代入得1c =-.故选（A ）

(3) 若级数

∞

=∑n

n a

条件收敛，则 3=

x 与3=x 依次为幂级数1

(1)∞

=-∑n n n na x 的 ( )

(A) 收敛点，收敛点

(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为

n a

∞

=∑条件收敛，即2x =为幂级数

(1)

n n a x ∞

=-∑的条件收敛点，所以

(1)

n n a x ∞

=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故

(1)

n na x ∞

=-∑的收敛区间还是(0,2).

因而x =

3x =依次为幂级数1

(1)n n n na x ∞

=-∑的

收敛点，发散点.故选（B ）.

(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =

，y =围成的平面

区域，函数(),f x y 在D 上连续，则

(),D

f x y dxdy =?? ( )

(A)

()13sin 214

2sin 2cos ,sin d f r r rdr π

θπθ

θθθ??

(B)

(

)34

cos ,sin d f r r rdr π

πθθθ? (C)

()13sin 214

2sin 2cos ,sin d f r r dr π

θπθ

θθθ??

(D)

(

)34

cos ,sin d f r r dr π

πθθθ?

【答案】（B ）

【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，

所以

(,)D

f x y dxdy =

??3

(cos ,sin )d f r r rdr π

πθθθ?

故选（B ）

(5) 设矩阵21111214A a a ??

= ? ???，21b d d ?? ?= ? ???

，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有

无穷多解的充分必要条件为 ( )

(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)

【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a

d a d a d a a d d ????

? ?=→-- ? ? ? ?----?

???，

由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）

(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222

1232+-y y y ，其中

()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为

( )

(A) 2221232-+y y y (B) 222

1232+-y y y (C) 222

1232--y y y (D) 222

1232++y y y

【答案】(A)

【解析】由x Py =，故222

123

()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001T

P AP ??

?= ? ?-??

由已知可得:100001010Q P PC ??

== ? ?-??

故有200()010001T T T

Q AQ C P AP C ??

?==- ? ???

所以222

123

()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ）

(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()

≥P A P B P AB

【答案】(C)

【解析】由于,AB A AB B ??，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且

()()P AB P B ≤

，从而()()

()2

P A P B P AB +≤≤

，选(C) .

(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=????E X X Y ( )

(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)

【解析】2

[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2

()()()()2()D X E X E X E Y E X =++?- 23221225=++?-?=，选(D) .

二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9) 2

0ln cos lim _________.x x

x →=

【答案】1

【分析】此题考查0

型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.

【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222

x x x x

x x x x x x →→→--===- 方法二：2

222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2

x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)

2sin ()d ________.1cos x x x x π

π-+=+?

【答案】2

π4

【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.

【解析】222

02sin 2.1cos 4x x dx xdx x

ππ-??+== ?+????

(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x

e xyz x x 确定，则(0,1)

d ________.z =

【答案】dx -

【分析】此题考查隐函数求导.

【解析】令(,,)cos 2z

F x y z e xyz x x =+++-，则

(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+

又当0,1x y ==时1z e =，即0z =. 所以

(0,1)

(0,1,0)

(0,1,0)1,

0(0,1,0)(0,1,0)

y x z z F F z

F y

F ''??=-

=-=-

=''??，因而(0,1)

.dz

dx =-

(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则

(23)__________.x y z dxdydz Ω

++=???

【答案】

【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得

(23)66z

D x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy Ω

++==???????

??，

其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为

(1)2

z -.所以 11232

0011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ

++==?-=-+=???????? (13) n 阶行列式20021202

___________.00220

012

-=-L

M M O

M M L L

【答案】1

2n +-

【解析】按第一行展开得

111120021202

2(1)2(1)22

00220

012

n n n n n D D D +----=

=+--=+-L L L L L

221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++L 122n +=-

(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则

{0}________.P XY Y -<=

【答案】

【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而

{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>

11111{1}{0}{1}{0}22222

P X P Y P X P Y =><+<>=

?+?=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3

()=g x kx ，若()f

x 与

()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.

【答案】,,.a b k =-=-=-1

1123

【解析】法一：原式()3

0ln 1sin lim

1x x a x bx x

kx →+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx

→????+-+++-+ ? ?????==

()()2343

1236

lim

1x a a b a x b x x x o x kx

→??++-

+-+ ??

?== 即10,0,123a a

a b k +=-

== 11

1,,23

a b k ∴=-=-=-

法二：()3

ln 1sin lim

1x x a x bx x

kx →+++=

01sin cos 1lim 13x a

b x bx x x kx →+

+++== 因为分子的极限为0，则1a =-

()

2cos sin 1lim

16x b x bx x x kx

→--+-+==，分子的极限为0，1

b =-

()02

2sin sin cos 13lim 16x b x b x bx x

x k →-

---+==，1

k =- 111,,23

a b k ∴=-=-=-

(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点

()()0

,x f x 处的切线与直线0

x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且

()02f =，求()f x 的表达式.

【答案】f x x

-8

()4. 【解析】设()f x 在点()()

00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()

()

000f x x x f x =-

+'，

故由题意，()()00142f x x x ?-=，即()()()

0001

42f x f x f x ?='，可以转化为一阶微分方

程，

即28

y y '=，可分离变量得到通解为：11

8x C y =-+，

已知()02y =，得到1

C =，因此11182x y =-+；

即()8

f x x =

-+.

(17)(本题满分10分)

已知函数(),=++f

x y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求()

,f x y 在曲线C 上的最大方向导数.

【答案】3

【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.

()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，

故(){},1,1gradf x y y x =++

此题目转化为对函数(

),g x y =在约束条件2

:3C x y xy ++=下

的最大值.即为条件极值问题.

为了计算简单，可以转化为对()()2

(,)11d x y y x =+++在约束条件

22:3C x y xy ++=下的最大值.

构造函数：()()()()

,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-

()()()()22

2120212030

x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'?=+++=?

'=+++=??'=++-=?，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M

====

3=. (18)(本题满分 10 分)

（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()(

)]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导，n f x u x u x u x =L 12()()

()()，写出()f x 的求导公式.

【解析】（I ）0()()()()

[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h

→++-'=

0()()()()()()()()

lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h

→++-+++-=

00()()()()

lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h

→→+-+-=++

()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得

12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L

121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L (19)(本题满分 10 分)

已知曲线L

的方程为,

z z x ?=??=??

起点为()A

，终点为()

0,B ，

计算曲线积分()()2222d d ()d L

I y z x z x y y x y z =

++-+++?.

【答案】

π2

【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ

=??=??=?

，ππ

:22θ→-

π22

π2

[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ-

-++++?

π222

π2

sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++?

π220

sin d πθθ==

(20) (本题满11分)

设向量组1,23,ααα内3

R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.

（I ）证明向量组1β2β3β为3

R 的一个基;

（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.

【答案】【解析】(I)证明：

()()()

()12313213123,,2+2,2,+1201,,0

20201k k k k βββαααααααα=+??

= ? ?+?

0121

4021

201

k k k k ==≠++ 故123,,βββ为3

R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξ

βββαααξ=++=++≠

即()()()1112223330,

0,1,2,3

i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=

()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解

即13213+2,,+0k k ααααα=

即101

010020k k

=，得k=0 11223121300,0

k k k k k k ααα++=∴=+=

11131,0k k k ξαα=-≠

(21) (本题满分11 分)

设矩阵02313312a -?? ?

=-- ? ?

-??

A 相似于矩阵12000031b -??

? ? ???B =.

(I) 求,a b 的值；

（II ）求可逆矩阵P ，使1

-P AP 为对角矩阵..

【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ?=?+=++

231201

30012031

--=?--=-A B b a 14

235-=-=??∴???

-==??

a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---?????? ? ? ?

=--=+--=+ ? ? ? ? ? ?--??????

()123112*********---???? ? ?

=--=-- ? ? ? ?-????

C 的特征值1230,4λλλ===

0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T

A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C

令123231(,,)101011ξξξ--??

==- ? ???P ，

1115-?? ?

∴= ? ???

P AP

(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,

0.x

x f x x -?>?

=?≤??

对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY

【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则3

13228

()ln x p P X dx +∞

-=>=

，

从而12

2211

71188

n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()

()()()，23,,n =L 为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:

将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.

则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,):(注：Ge 表示几何分布)

所以

1122

E Y E M N E M E N p p p =+=+=

+===()()()(). 法二:直接计算

2221222

17777

11288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞

∞---====?==?-=?--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]

记2

111()()n n S x n n x

x ∞

-==

?--<<∑，则

11n n n n n n S x n n x

n x

x x ∞

∞

--==='''=?-=?==

-∑∑∑()()()()()

， 1

2213

2111()()()()()n n n n x

S x n n x

x n n x xS x x ∞

∞

--===?-=?-==

-∑∑，

313

2111()()()()()

n n n x S x n n x x

n n x

x S x x ∞

∞

-===?-=?-==-∑∑，所以21233

2422

211()()()()()x x S x S x S x S x x x

-+=-+==--，从而7

168

E Y S ==()().

(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：

x f x θθθ

?≤≤?

=-???

,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)

1112

()(;)E X xf x dx x dx θ

θθ+∞

-∞

+==?

?，令()E X X =，即12

X θ+=，解得$1

121n

i i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；

(II) 似然函数1

1110,()(;),

n n

i i i x L f x θθθθ=???≤≤? ?=

=-????

?∏

其他，当1i x θ≤≤时，1

1111()()n

i L θθθ==

=--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而

dln d 1L n

θθθ

=-()，关于θ单调增加，

所以$

min

X X X

θ={,,,}

L为θ的最大似然估计量.

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