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等差、等比数列的综合问题

专题2 数列

知识网络图解

一、数列的概念、性质

例①若数到{αn }满足α

n+1=

若α1=67

则α2009的值为（）

A.67

B.57

C.37

D.1

②αn {αn }最大项为（）

A. α1

B. α45

C. α44

D. α2007

③通项为αn =n 2

－α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值围为_________

二、等差数列、等比数列

2αn ，

0≤αn ＜1

2≤αn ＜1 2αn －1，

要点热点探究

例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且

n n A B =7453

n n ++，则使得

a b 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5

（2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6OA ＋αOC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（）

A.100

B.101

C.200

D.201 （3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________

（4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为（） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39

()121

2112121*(21)

7(21)45122172131

(21)21,2,3,5,11

n n n n n n n n

a a n a A n

b b b B n n n a

z n N n b ----+?--+ ====+

+-++?- ∈ ∈ ∴=解 ()619512006195200

200200200100

222

A C a a a a a a s

,B,∴+=++=?=?=?=三点共线

()65466511113180

366()180362163618324182

n n n n n

n n n

n s s a a a s a a a a a a a a a s n n n --- -=++?+= =++?+= ∴+=+= +=+∴ =

?== ∴= ()1

2111121121

21113191

4102902

213192902922

S a a n n a S n a a a a S a ++

= ∴= ∴=++=

?=+ ∴==奇偶

中间项为又

例2等差数列{αn }的前n 项和为S n ，α1=1

S 3

=9+（1）求数列{αn }的通项αn ，与前n 项和S n ；

（2）设b n =

s n

(*)n N ∈，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解析】（1）由已知得

故αn =2n －1，S n =n （n ）

（2）证明：由（1）得b n =

s n

= n 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ,q ,r 互不相等)成等比数列，则2

q b =b p b r , 即 (q )2

=（p ）（），∴（q 2

－pr ）＋（2 q －p －r =0

∵p ，q ，r ∈N ·

,∴ ∴2()2

p r += pr ，即（p －r ）2=0，∴p =r ，这与p ≠r 矛盾 ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列变式已知数列{αn }中，α1=

，点（n ，2αn+1－αn ）在直线y=x 上，其中n =1，2，3… （1）令b n =αn+1－αn －1，求证：数列{b n }是等比数列；（2）求数列{αn }的通项；

（3）设S n ，T n 分别为数列{αn }，{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{n n

S T n

λ+}为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。解（1）αn+2－αn+1－1=1

(αn+1－αn －1) （2）α1=

12，2α2－α1=1 α2=12（1＋α1）=3

α2－α1－1=3131424--=- b n =αn+1－αn -1=34-·（12

）n+1

αn ＋1-αn =1－

3(12

)n+1 T n =133

n +-+ S n =

233322n n n -+- α1＋1

3α1+3d =9+∴d =2 q 2

－pr =0 2 q －p －r =0

21333332222

n n n s Tn n n n λλ

λ++-=+--+ ∴存在2λ=使

32n s Tn n n λ+-=

n -}等差例3 已知数列{αn }为等差数列，公差d ≠0，由{αn }中的部分项组成的数列1

2b b a a ，

，…，

n b a ，…为等比数列，其中b 1=1，b 2=5，b 3=17

（1）求数列{b n }的通项公式；

（2）记T n =123123n

n n n n n C b C b C b b +++…+C ，求T n

解（1）∵25117a

a a =? ∴2111(4)(16)a d a a d +=+

∴12a d = ∴251111

43b b a a a d

q a a a +=

=== 又1

113(1)n bn n a a a b d ===+-

∴1

113

(1)

n n a a a b -=+- ∴b n =2.3n-1

－1

（2）11212(33+n n n T C C =+…+1

3)n n n C -－（1)n n n C +…+C

=1+

（12233n n C C +-+…03)(n n n n C C +-+…)n n C =022

12(333

n n C C +++…+3)2n n n n C - =12(13)233

n n

++- =2112233n n ++

- 变式（理）设数列{αn }的首项α1=α≠1

4，且αn+1= 记b n =α2n －1-

n =1，2，3，…

（1）求α2，α3;

（2）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（3）求lim n →∞

（b 1＋b 2＋…+ b n ）

(文)数列{αn }的前n 项和为S n ，且α1=1, αn+1=

n s ，n =1，2，3，…求：（1）α2，α3，α4的值及数列{αn }的通项公式；（2）α2+α4+α6＋…+α2n 的值

2αn ， n 为偶数 αn ＋14，n 为奇数

三、简单递推数列与数列求和

探究点一基本求和问题

例1（1）已知数列{αn }为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和:1

11n

a a i i i ∑

+= （2）已知α＞0且α≠1数列{αn }是首项为α，公比边也为α的等比数列，令b n =αn ·1ga n

（n ∈N ），求数列{αn }的前n 项和S n （3）已知f 、

（x ）=

193

x +求'f （0）'1()f n ++…+'()n f n

（4）数列{αn }满足αn = 解：（1）

11n n a a + （2）2

lg [1(1)](1)

a a n na a a -+-- （3）∵当121x x +=时，f 、

（x 1）+ f 、

（x 2）=1212

129961

393(99)9x x x x x x +++=+++ 令n s = f 、

（0）'1()f n ++…+'

()n

f n

n s ='()n

f n

'1()n f n -+…'f （0）

∴2n s =['f （0）+'()n f n

](n+1)=13(n+1) ∴s n =16n + （4）当

n=2k 时 s n = s 2k =(α1+α3+…+α2k-1)+( α2+α4+…

+α2k )=22222

2424

343

k n n k ++--+=+ 当n=2k+1时s n = s 2k+1= s 2k +α2k+1=222

243k k +-++2k+1=12124

()23n n +--+

∴s n =

例2 数列{αn }中,α1=8，α4=2且满足αn+2=2αn+1-αn ，n ∈N （1）求数列{αn }的通项公式；（2）设S n =12a a ++…n a ，求S n ；（3）设1

(*)(12)

n bn n N n a =

∈-，12n T b b =++…+ b n (*)n N ∈，是否存在最大的整数m ，

使得对任意(*)n N ∈，均有T n ＞

成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由解析（1）αn =8－2（n －1）=10－2n （2）由αn =10－2n ≥0 得n ≤5

n , 2n , n 为奇数 n 为偶数

1124

3n n +--+

，n 为奇数

224

n n +-+，n 为偶数

n ≤5时 S n =α1+α2+…+αn =8 n +

(1)2

n n -（－2）=9n －n 2

n ＞5时 S n =α1+α2+…+α5－α6－α7－…－αm =（α1+α2+…αn ）－2（α1+…＋α5）

=9 n 2－n 2

－40

∴ （3）b n =

2(1)

n n + m ＜32·12（1－111123+-+…111n n -+）

m ＜16（1

n -

+） m ＜16（112-）=8 ∴m 的最大值为7

探究点二用叠加法、累乘法、迭代法求通项公式

例3（1）已知数列{αn }满足α1=1，αn =αn －1+ n （n ≥2）则αn =______

（2）已知数列{αn }满足α1=2，αn =αn －1·2 n －1

（n ≥2），则αn =_____ （3）在数列{αn }中α1=3，αn ＋1=2

n a (*)n N ∈，则αn =_____

解（1）

()()21

1()22332

n n n n n --++

探究点三构造新数列，转化为等差、等比数列问题例4（1）在数列{αn }中，若α1=1，αn ＋1=2αn +3（n ≥1），则该数列的通项αn =____

(2) 在数列{αn }中，若α1=1，αn ＋1=2αn +3n+1

（n ≥1），则该数列的通项αn =_____ (3) 在数列{αn }中，若α1=3, αn ＋1=

323

n a a +(*)n N ∈则该数列的通项αn =_____

(4)已知数列{αn }满足x 1=3, x 2=32, x n =12（x n -1+ x n -2），n =3,4…，则数列{x n }的通项公式为____

112112()

1112211122

1()2n n n n n n n n x Ax B x Ax A A B A B B AB x x x x ------ -=-?

=+=???=-???????

=-???==-???? -=--解（4）令则或若A= B=-则

∴1121

1122

n n n n x x x x --- +=+=若A=- B=1 则

S n = 9 n －n 2

n =5 9 n 2

＋n 2-40 n ＞5

=…=()21

2111322n n x x =-????--=- ? ?????

21132x x =+=

2()2

n n x -∴=+-

探究点四归纳——猜想——证明

例5数列{αn }满足αn ＋1=2，αn ＞0，且（n +1）2n a +1n n a a +－2

1n na +=0，又数列{b n }满b n =121n -+

（1）求数列的通项αn 和前n 项和S n （2）求数列{b n }的前n 项和T n （3）比较S n 与T n 的大小

【解答】（1）∵αn ＞0(*)n N ∈，且（n +1）2

n a +1n n a a +-2

1n na +=0，∴（n +1）2()(

)01

a a n

n a a n n +-=++

∴11

a n a n =-+或1n n +， ∵αn ＞0(*)n N ∈ ∴11n n a n a n +=+ ∴121223n n n n n n n a a a a a a a a -----=??? (32)

21a a a a ?=12123

n n n n n n --???---…2231n ?= 又α1=2，所以，αn =2n ∴S n =α1+α2+…+αn

=2(1+2+…+n )= n 2

+ n

（2）∵b n =2n-1+1 T n = b 1+ b 2+…+ b n =（2°+21+…2n -1）+ n =2n

+ n －1

(3)T n -S n =2n －n 2

－1

当n=1时，T 1－S 1=21-12-1=0 ∴T 1= S 1；当n=2时，T 2－S 2=22-22

-1=-1 ∴T 2＜S 2

当n=3时，T 3－S 3=23-32-1=-2 ∴T 3＜S 3；当n=4时，T 4－S 4=24-42

-1=-1， ∴T 4＜S 4；

当n=5时，T 5－S 5=25-52-1=6 ∴T 5＜S 5；当n=6时，T 6－S 6=26-62

-1=27， ∴T 6＜S 6.

猜想：当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2

+1.下用数学归纳法证明； ①当n=5时，前面已验证成立；

②假设n=k （k ≥5）时命题成立，即2k ＞k 2

＋1成立，那么当n=k ＋1（k ≥5）时， 2k+1=2·2k ＞2·(k 2+1)= k 2+ k 2+2≥k 2+5 k +2＞k 2+2 k +2=( k +1)2

+1. 即n=k ＋1（k ≥5）时命题也成立

由①②可知，当k ≥5时，有T n = S n ; 综上可知：当n =1时，T 1= S 1;当2≤n ＜5时，T n ＜S n 当n ≥5时，有T n ＞S n 。

变式已知数列{αn }的数例，b 1=1，b 1＋b 2+…+ b 10=145 （1）求{αn }的通项b n

（1）设数例{αn }的通项αn =log α（1+

b ）（其中α＞0且α≠1）S n 为{αn }的前n 项和，试比较S n 与

log αb n+1的大小。规律技巧提炼

1、若数列{αn }满足α1=α，αn +1=p αn +q （p 、q 数，且p ≠），则数列{αn －1q p -}是等比数例

2、或数列{αn }满足α1=α, α2=b ，αn+2= p αn+1+则原式可化为αn+2－A αn+1=B （αn+1－A αn ），用待定法求出A 、B ，从而转化为等比数列求解。

3、已知数列{αn }，若满足αn -αn-1=f （n ），则用累乘法，若αn = f （n ），则求αn 一般用叠加法；若满足1

a n a n -= f （n ），可以考虑用迭代法。

4、归纳—猜想—证明体现了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，对培养学生的逻辑思维能力、计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重要作用。

5、数列求和的四种常方法：

倒序相加、错位相减、裂项相消、分解求和。四、数列与函数、不等于式综合问题探究点一用函数思想研究数列问题例1数列{αn }的通项公式为αn =7（34

）

2n-2

－3（34

）n-1

(*)n N ∈，则数列

A..最大项为α5，最小项为α5

B.最大项为α6，最小项为α7

C.最大项为α1，最小项为α6

D.最大项为α7，最小项为α6

（2）在等差数列{αn }中，S n 是前n 项和，它满足α1＞0,d ＜0，S 7=S 13，则数列{n }中最大项是_____

探究点二以函数为载体，考查数列的有关基本知识例2 设函数f （x ）=

x +，点A 0表示从标原点，点A n 坐标为（n ，f （n ））（n (*)n N ∈若向量αn =A 0A 1+A 1A 2+…+A n-1A n ，θn 是αn 与i 的夹角（其中i =（1，0），设S n =tan θ1+tan θ2+…+tan θn ，求S n ；

（2）已知函数y=g （x ）的图象经过坐标原点，其导函数为g （x ）=6x －2.数列{αn }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）(*)n N ∈均在函数y=g （x ）的图象上。 ①求数列{αn }的通项公式； ②设1

n n n b a a +=

，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得

T n ＜

m 对所有*n N ∈都成立的最小正整数m

【解答】（1）A n －1A n =(n ，f （n ）)－（（n －1），f （n ）)=(11

11n n

-+，

（n ≥2） αn =（11111

10)(1)2

1n n

-+-+-+，，）…+（1，

=1()1n n +，，当

n =1时，α1=（1，12

）也适用.

∴tan θn =

(1)n n + ∴S n =1n

（2）①依题可设f （x ）=αx 2

+b x （α≠0），则f 、

（x ）=2αx +b ，由f 、

（x ）=6x －2得α=3，b=－2，所以f （x ）=3x 2

－2x 又由点（n ，S n ）(*)n N ∈均在函数y=f （x ）的图象上，得S n =3n 2

-2n 当n ≥2时，αn =S n －S n-1=（3n 2

－2n ）－[3（n －1）2

-2（n -1）] =6n －5 所以αn =6n －5(*)n N ∈

②由①得33

(65)[6(1)6]

1b n a a n n n n =

-+-+=111(

)26561

n n --+ 故T n 1

b i i ∑===1111[(1))2

713

-+-+…+11

(

)]6561

n n --+ 因此，使得11(1)261n -+＜20m (*)

n N ∈成立的m 必须且仅需满足12≤20

，即m ≥10，故满足要求的最小整数m 为10

变式已知函数f （x ）

（x ＜－2）（1）求f （x ）的反函数f -－1

（x ）

（2）α1=1，

(),n n f a a -+=-(*)n N ∈求αn (3)设S n =22

12a a +…αn 2

，b n =S n+1－S n 是否存在最小的正整数m 使对任意(*)n N ∈，有b n

＜

成立？探究点三数列与函数、不等式的综合问题

例3 已知函数f （t ）对任意实数x ，y 都有f （x ＋y ）=f （x ）＋f （y ）＋3xy （x ＋y+2）+3，f （1）=1

（1）若*t N ∈，试求f （t ）的表达式；

（2）满足条件f （t ）的所有整数能否构成等数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由；

（3）若*t N ∈且t ≥4时，f （t ）≥mt 2

+（4m+1）t+3m 恒成立，求出m 的最大值

解（1）令x =t y =1 f （t ）－f （t －1）=3t 2

+3t －2

∴f （t ）－f （1）=3（22+33+t 2

）+3（2+3+…+t ）－2（t －1） f （t ）= t （t ＋1）（t +2）－2t －3 （2）f （t ）= t （t ＋1）（t －1）（t +2）=0 t=－3，－1，1

∴ 等差数列－3，－1，1或1，－1，－3 （3）（t ＋1）（t ＋3）（t －1）≥m(t ＋1）（t ＋3） ∴m ≤t －1 m ≤4－1=3 ∴m 的最大值为3 变式已知函数f （x ）=

21 2.3

x x +- （I ）设{αn }是由正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中α1=3，若点

（2

11,2n n n a a a ++-）(*)n N ∈在函数y= f ‘

（x ）的图象上，求证：点（n ，S n ）也在函

数y= f ‘

（x ）的图象上；

（II ）求函数f （x ）在区间（α－1，α）的极值解析（1）因为f （x ）=

22123

x x +-，所以f ‘（x ）= x 2

+2x ，由点（211,2n n n a a a ++-）(*)n N ∈在函数y=f ‘

（x ）的图象上，得22

1122n n n n a a a a ++-=+即11()(2)0n n n n a a a a +++--=

又αn ＞0(*)n N ∈，所以12n n a a +-=，又因为α1=3，所以数列{αn }是以3为首项，2为公差的等差数列所以S n =3n +

(1)2

n n -×2=n 2

+2n ，所以S n = f ‘（n ），故点（n ，S n ）也在函数y= f ‘

（x ）的图象上

（II ）f ‘（x ）= x 2+2x =x （x +2），由f ‘

（x ）=0，得x =0或x =－2

‘

①当α－1＜－2＜α，即－2＜α＜－1时f （x ）的极大值为f （－2）=

，此时f （x ）无极小值；

②当α－1＜0＜α，即0＜α＜1时，f （x ）的极小值为f （0）=－2，此时f （x ）无极大值；

③当α≤－2或－1≤α≤0或α≥1时，f （x ）既无极大值又无极小值五、数列与解析几何的综合问题要点热点探究

探究点一以向量为切入点的数列与解析与综合问题

例1：已知i ，j 分别是x 轴，y 轴方向上的单位向量，OA 1=j, OA 2=10j ，且A n-1A n =3 A n A (n =2，3，4，…)，

在射线y=x （x ≥0）从下到上依次有点B i (i=1,2,3,…)，OB 1=3i+3j =n=2，3，4，…）（1）求A 4A 5；（2）求OA n ，OB n ;

（3）求四边形A n A n+1B n+1B n 面积的最大值

解（1A n-1A n A 4A 5= A 1A 211

()3n -=9j ·313=13j （2）A n A n+1=9j 11()3n -=31

n j -

∴OA n =OA 1+ A 1A 2+…+A n-1A n =j+9j+3j+…+

13n j -

129()32

n j -- 依题意B n-1B n =2(i+j)

OB n = OB 1+ B 1B 2+…+ B n-1B n =(2n+1)(i+j) (3)S n =11n n n n OA B OA B S S ++??-=

32923

n n

-+ 23

3n S S n n n -+-=

-- ∴n ≥2时 S n －S n-1＜0 x

∴S 1＞S 2＞…S n ＞… ∴max 229147

()22

2n S -=

探究点二以函数图象为切入点的数列与解析几何综合问题

例2 在直角坐标平面上有一点列P 1（x 1, y 1），P 2（x 2, y 2），…P n （x n , y n ）对一切正整数n ，点P n 位于函数y=1334x +

的图象上，且p 的横坐标构成以－5

为首项，－1为公差的等差数列{x n }

（1）求点P 的坐标；

（2）设抛物线列C 1，C 2，C 3…，C n 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线C n

的顶点为P n ，且过点D n （0，n 2

＋1），记与抛物线C n 相切于D n 的直线的斜率为K ，求：

122311k k k k ++…+11

n n

k k - （1）P n （32-－n ，534

n --）（2）设抛物线2

35()2(3)24

x n p y n ++=++

∵过P n （0，n 2

＋1）

∴（

32n +）2=2P(25

134

n n +++) 2P=1 ∴y=2

35()324

x n n ++-- y ’ x=0=2n+3 ∴k n =2n+3

111111

()(21)(22)22123

n n

k k n n n n -=

=-++++

∴

1223

11k k k k ++…+11n n k k -

111(25779++??…+11

2123n n -

++) =11015

n n -+ 探究点三以导数为工具的数列与解析几何问题

例3 已知数列{αn }的首项α1=5，前n 项和为n s ，且12n n s s +=+n+5(*)n N ∈ （1）证明：数列{αn +1}是等比数列；

（2）令f （x ）=212a x a x ++…n n a x +，求函数f （x ）在点x =1处的导数f

’（1），

并比较2f ’（1）与23n 2

－13n 的大小

（1）

（2）αn +1=（α1+1）2n-1=3.2n αn =3.2n

-1 f ’（x ）=α1+2α2+3

α3+…+n αn

=3(21+2·22+3·23+…+n ·2n )-（1+2+…+n ）

S n+1=2s n +n+5 S n =2s n-1+n+4 ∴αn+1=2αn +1 ∴αn+1+1=2(αn +1) ∴{αn +1}等比 x

=3（n－1）·2n+1+6－

(1)

n n

2f’（1）=6（n－1）2n+1+12- n2－2

n≥3时 2f’（1）－23n2－13n=12（n－1）[2n－（2n+1）]＞0 n=1时 2f’（1）=23n2－13n

n=2时 2f’（1）＜23n2－13n

14等差与等比数列综合

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合填空题 1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列, 则{}n a 的通项公式是______. 【答案】2 2n a n n =-+ 2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()* 11226n n a n N a +-=∈+,则11n i i a =∑=______. 【答案】232 4 n n ?-- 3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】14 5 ．已知数列 }{n a 满足1 22n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，则1a = ．【答案】2-或 126 6 ．观察下列等式: 31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1 4×2 3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N * , 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1 2 n =______. 【答案】()n n 211 1?+- 7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在 n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】1951 8 ．若数列 {}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =?? ?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上

等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比）（2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S k q k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+（等差） 2 12n n n a a a ++=?（等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+．求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列

等差等比数列综合习题

等差、等比数列综合习题一、选择题 1、数列16 14,813,412 ,211…前n 项的和为（） A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、12 12)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列，b c a ,,又成等比数列，则=b a （） A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中，已知30201561=+++a a a a ，则数列的前20项和S 20=（） A 、100 B 、120 C 、140 D 、150 4、已知数列}{n a 的601-=a ，31-=-n n a a ，那么++||||21a a …||30a +=（） A 、-495 B 、765 C 、1080 D 、3105 5、某企业的生产总值月平均增长率为p%，则年平均增长率为（） A 、12p% B 、12%)1(p + C 、1%)1(11 -+p D 、1%)1(12-+p 6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44 1S 的等差中项为1，求通项n a 。 7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1，公比为 31的等比数列。（1）求n a （2）求++21a a …n a + 8、在等比数列}{n a 中，已知27 21154321= ++++a a a a a ，482111111154321=++++a a a a a ，求3a 。

等差数列与等比数列综合问题(3)

等差数列与等比数列综合问题（3）教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题． 2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．3.用类比思想加深对等差数列与等比数列概念和性质的理解.教学重点与难点 1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式． 2.等差数列与等比数列的综合应用.例1已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项.例2 已知数列{an}的前n 项和，求数列{|an|}的前n项和tn.例3已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．例4已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．例5、已知函数f(x)=2x-2-x ,数列{an}满足f( )= -2n (1)求{an}的通项公式。(2)证明{an}是递减数列。例6、在数列{an}中,an>0，= an+1 (n n)求sn和an的表达式。例7.已1 ————来源网络整理，仅供供参考

知数列{an}的通项公式为an= .求证：对于任意的正整数n，均有a2n ─1,a2n,a2n+1成等比数列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差数列。例8．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项及项数。作业1 公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（）．（a）1 （b）2 （c）3 （d）4 2 若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（）．（a）－5 （b）7 （c）9 （d）14 3 已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是． 4 在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数．5 设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又cn ＝an－bn（n∈n+），已知试求数列｛cn｝的通项公式与前n项和公式． ————来源网络整理，仅供供参考 2

等差数列与等比数列的综合问题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】等差数列与等比数列的综合问题【知识要点】（一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质（1）a m =a k +（m －k ）d ，d =k m a a k m --. （2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d . （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列. （6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S = n n a a 1+， S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）；若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，奇偶S S =n n 1-，S 2n － 1 =（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质（1）a m =a k ·q m －k . （2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2. （3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m . （4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列. （二）对于等差、等比数列注意以下设法：

证明或判断等差(等比)数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数，记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，；（Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，，猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列．证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ，所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列．评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

等差数列与等比数列的综合运用

等差数列与等比数列的综合运用班别：坐号：姓名： 1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于。 2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，则这三个数分别是。 3．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是。 4．已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列 5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6．已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ ，则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7．如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠） 8．如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150，则这个等差数列的公差为。 9．在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和：（1）21 123n n S x x nx -=++++ （2）23123n n S x x x nx =+++++

等差等比数列综合题

高二数学必修五数列单元综合练习题一、选择题: 1.在等差数列｛a n ｝中，若4612a a +=，n S 是数列｛a n ｝的前n 项和，9S 则的值为（A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 2．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 3．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（）Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 ４．在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( ) ５．在等比数列{}n a 中，如果69a =6,a =9,那么3a 为（） (A )4 (B)23 (C)9 16 (D)2 ６.数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =（） B.－3 C.－6 ７．数列n {a }中，对任意自然数n ，n 12n a +a ++a =21???-，则22212n a +a ++a ???等于（） A.()2n 2-1 B. ()2n 12-13 C.n 4-1 D. ()n 14-13 ８．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10= ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 35 ９．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n =5n +k ，则常数k= ( ) A ． 1 B ．1 C ．0 D ．以上都不对１０．数列的前n 项和为 ( ) A ． B ． C ． D ．１１．对于数列{a n }，满足，则该数列前100项中的最大项和最小项分别是 ( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44 C ．a 45，a 44 D ．a 45，a 50 １２．已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（） A 、8项 B 、7项 C 、6项 D 、5项二、填空题： }232{3--n n 22124---n n 22724--+n n 22236-+-n n 32128-+-n n 20052004--=n n a n

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为（）（A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ） z y x 1,1,1成等差数列（D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为（）（A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）

等差等比数列的运用公式大全

第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； a d a a d -+，， n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>，，由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. 12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

等差、等比数列的综合问题

专题2 数列知识网络图解一、数列的概念、性质例①若数到{αn }满足αn+1 = 若α1=67 则α2009的值为（） A. 67 B.57 C. 37 D.1 7 ②αn 则数列{αn }最大项为（） A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 ③通项为αn =n 2 －α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列知识整合 2αn ， 0≤αn ＜1 2 1 2 ≤αn ＜1 2αn －1，

要点热点探究例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 n n A B =7453 n n ++，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ) （2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（）（3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________ （4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为（） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39 ()121 2112121*(21) 7(21)45122172131 (21)21,2,3,5,11 n n n n n n n n a a n a A n b b b B n n n a z n N n b ----+?--+ ====+ +-++?- ∈ ∈ ∴=Q 解 ()619512006195200 21 1 200200200100 222 A C a a a a a a s ,B,∴+=++=?=?=?=Q 三点共线

等差等比数列综合应用教案

教育个性化教育教案教师姓名学科数学上课时间 2011/1/29 学生姓名年级时间段课题名称等差数列和等比数列教学目标等差数列和等比数列教学重难点等差数列和等比数列一、知识回顾 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法. (2)通项公式法.(3)中项公式法. 3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足???≤≥+00 1m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当 1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。二、基本训练 1．等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。 2．各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ?=，则3132310log log log a a a ++ += 。 3．若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项。 4．在等差数列中，S 11＝22，则a 6＝__________________. 5．等比数列{}n a 中，①若a 1 +a 4＝9，a 2 ·a 3=8，则前六项和S 6=___________；②若a 5+ a 6 ＝a ，a 15+ a 16 ＝b ，则a 25+ a 26＝__________________. 6．数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2 {}n a 、2{}n a 是等比数列；②{ln }n a 是等差数列；③1{}n a 、{||}n a 是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠是等比数列。正确的命题是。三、例题分析例1、设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，m n ≠， 1）若,m n a n a m ==，求m n a +和m n S +；2）若,m n S n S m ==，求m n S +；3）若71 427 n n S n T n +=+，求n n a b 。

等差、等比数列证明(补差1)

1. 等差、等比数列证明例 1：已知数列前n 项和n s n n 22 +=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]121222 1-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。例2：设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列；证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。（2）,232,23111 -+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321 22122111111 1=??=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21 21 1==a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为43 的等差数列。

例3：设数列{}n a 的前n 项的和() +∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ()()()[] 12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。注：由于212-=-a a ，故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立，因此，数列{}n a 不是等差数列。例4：设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。证明如下：3≥n 时： ()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+--- 两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta 所以：t t a a n n 3321+=- （这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为2=n 时： ()t s t ts 332312=+-

(完整word版)等差等比数列综合练习题

等差数列等比数列综合练习题一．选择题 1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是（） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比2 1 =q ，那么它的前5项的和5S 的值是（） A ． 231 B ．233 C ．235 D ．2 37 3. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项 6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则 d c b a ++22等于（） A ．1 B ．21 C ．4 1 D ．81 7.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a ?=+=则 20 10 a a =( ) A.2 3 B.32 C.23或 32 D.23-或 32 - 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且

7768,b a b b ==则( ) A.2 B. 4 C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10 D. 9 11.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( ) A. d<0 B. 110s > C.120s < D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则 1 4 a a 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题 13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=?a a ，则5a =__________ 15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=L ,则 ()101102200lg x x x +++=L ________ 17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________

证明数列是等差或等比数列的方法

一、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，3 21=a ，且满足2 11322++=+n n n a S S （*N n ∈）证明：数列{}n a 是等差数列证明：由2 11322++=+n n n a S S 得2 1132)(2++=++n n n n a S a S 整理得12 1234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=- 两式相减得n n n n n a a a a a 2233412 2 1+--=++ n n n n a a a a 2233122 1+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a 所以()231=-+n n a a ，即3 21=-+n n a a 所以{}n a 是首项为32，公差为3 2 的等差数列 2.等差中项法 212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A 、B 为常数（1）求A 与B 的值（2）证明数列{}n a 是等差数列解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231718S S S ===，，把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851 得B A +=?-?-1773 B A +=?-?2712182 解得：20-=A ，8-=B （2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n 整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、定义法 01.证明数列是等差数列的充要条件的方法： {}1()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}2222()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 02.证明数列是等差数列的充分条件的方法： {}1(2)n n n a a a d n --=≥?是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥?是等差数列 03.证明数列是等比数列的充要条件的方法： {}1 (00)n n n a q q a a +=≠≠?1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法： 1 n n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ?为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有 1 n n a q a -== （常数0≠）；②

n *∈N 时，有 1 n n a q a +== （常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有 1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= 。证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d =0时，显然命题成立当d ≠0时， ∵ 111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? 再证充分性： ∵ 122334 111 a a a a a a ++???1111n n n n a a a a ++++= ?? ………① ∴ 122334 111 a a a a a a ++???11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++= ??? ………② ②﹣①得： 121211 11n n n n n n a a a a a a +++++=- ??? 两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+ 即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是

(完整word版)高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题例已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111 (-)4n n+1 ?，所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?-L =11 (1-)= 4n+1?n 4(n+1) ，即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。例设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数．（I ）求1a 及n a ；（II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,,Θ成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴，即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或

等差等比数列综合应用

等差等比数列综合应用一、选择题１、在等比数列{}n a 中，n S 为其前ｎ项和，若103013S S =，1403010=+S S ，则20S 的值是（） A50 B40 C30 D 1310 2、数列{}n a 且公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 且等比数列，{}n b 的相邻三项，若52=b ，则n b 等于（） A 1 355-? ? ? ???n B 1 535-? ? ? ???n C 1 533-? ? ? ???n D 1 353-? ? ? ???n 3、已知数列{}n a 的前n 项和142 +-=n n S n ，则数列{}n a 的前10项的和为（） A56 B61 C65 D67 4、数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且76b a =，则有（） A 10493b b a a +≤+ B 10493b b a a +≥+ C 10493b b a a +≠+ D 93a a +与104b b +的大小不确定 5、数列{}n a 中，n a 互不相等且0≠n a ，321,,a a a 成等差数列，432,,a a a 成等比数列， 543,,a a a 的倒数成等差数列，则531,,a a a （） A 成等差数列 B 倒数成等差数列 C 成等比数列 D 倒数成等比数列 6、{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且121211,++==n n b a b a ，则（） A 11++=n n b a B 11++>n n b a C 11++

4等差等比数列综合(JT)

菁差菁比探合【知识要点】【典型例题】例1.已知数列@｝的前〃项和S”=20〃-灯（心M）,求数列仏|｝的前“项的和7；的表达式. 例2?设首项为正数的等比数列，它的前"项之和为80,前2“项之和为6560,且前九项中数值最大的项为54,求此数列.

例3.已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为851,所有偶数项之和为170?, 求 S = “3 + “6 + 5 + a\2的值? 例4.在等比数列｛5 ｝中,4 =1000.9 =丄，又设乞=-(lg?i +lg?2 +???lg?)?求数列｛" ｝的前n项和的 10 n 最大值.

(1)设b n=a n^-2a n(neN*)求证:数列｛$｝是等比数列: ⑵ 设C“= *(“€”)，求证：数列｛c”｝是等差数列； 2 例6.已知｛?｝是各项为不同的正数的等差数列，lgglgglg^成等差数列，又仇=丄/ = 1,2,3,... (1)证明｛$｝为等比数列； 7 (2)如果数列｛b fI｝前3项的和等于—,求数列｛? ｝的首项⑷和公差d

【课堂训练及作业】 1. 如果a p a 2,...a s 为各项都大于零的等差数列，公差dHO,则() 2. 已知等差数列｛?｝的公差为2,若a p a 3,a 4成等比数列，则a 2 = () A ? 一4 B. 一 6 C. 一 8 D ? 一 10 3. 在各项都为正数的等比数列&｝中，首项a, =3,前三项和为21,则as +a 4+a 5 = () A. 33 B ? 72 C. 84 D ? 189 4. 已知数列的通项公式为a. =2n-49，则S.达到最小值时,n=() A ?26 B ?25 C ?24 D ?23 5. 首项为0的等差数列｛“”｝的前n 项和为Sn ，则Sn 与a“的关系为( ) A ? S n =—a n B. S n = na n C. S n =a n D ? S n = ira n 7. 在数列｛-｝中，3|=1宀=2,且a n +2—a rl =l + (—l)n (nwN ?)，则S I00 = ______________ 8. 已知数列｛$｝为等差数列，它的首项勺=1,前］0项的和为55,令化=log 2 a n (n e N 、?求满足 a } +a 2 +??? + % > 100的最小正整数n. 已知数列仏｝中,a n =< 2n -'(n 为正奇数) 2n-l(n 为正偶数)