曲线曲面积分(单元练习题)答案

曲线积分与曲面积分单元练习题

一、 填空题：

1．设L 为122=+y x 上点)0,1(到)0,1(-的上半弧段，则

2d L

s ?

= π2；

2．?+C

ds y x z 2

2= 285π ，其中C 是曲线??

?

??===t z t y t

x sin 2cos 2介于0=t 到π=t 一段； 3．L 为逆时针方向的圆周:4)3()2(22=++-y x ,则

=-?L

xdy ydx π8-；

4．设C 是由ｘ轴、ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则

?=-C

xdy ydx

1-；

5． 第一类曲面积分

??∑

dS =的面积∑；

6． 设曲面∑为：2222x y z a ++=，则

2

22()x

y z dS ∑

++=??44a π；

7．设∑：2222a z y x =++．则

dS z ??∑

2=4

34a π； 8．格林(Green)公式指出了下列两类积分：_平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。

高斯(Gauss)公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分__之间关系。 二、计算题： 1．计算

?

L

ds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。

解

12

1

55|)41(1214110

23

21

2

-=+=+?

x dx x x 。 2．计算

?L

xyds ，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222

≥=+y x y x

。

解2sin )cos 1(0

=+=

?

?π

tdt t xyds L

3．已知平面曲线弧段L 是圆 4 2

2

=+y x 上从点 ()0,2到()2,0的有向弧段，试计算

?=L

xydx I .

解 ()t d t t I cos 2sin 2cos 220

?

π

=dt t t ?π-=20

2sin cos 83

8-

=

4．计算224(2)()L

I x xy dx x y dy =

+++?

,其中L 为由点(0,0)O 到点(1,1)A 的曲线

sin

2

y x π

=.

解法一：由于2242,P x xy Q x y =+=+，

2P Q x y x

??==??，所以积分与路径无关。 224(2)()L

I x xy dx x y dy =+++?

11

240

(1)x dx y dy =++?? =

23

15

解法二：根据第二类曲线积分计算。 5．利用格林公式计算

?

-L

x y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.

解：L 所围区域D ：222a y x ≤+,由格林公式，可得

?

-L

x y x y xy d d 22=

y x y y x x xy D

d d ))()((22???-?-??=??+D y x y x d d )(22=4π2002

2πd a r r r d a ??=?θ. 6．利用格林公式计算(e sin )d e cos d x x L

I y y x y y =

-+?

，其中L 是圆周 222 x y a +=上

从点(,0)a 到(,0)a -的上半圆有向弧段.

解 令e sin x P y y =-，e cos x

Q y =，令:0,l y a x a =-≤≤

由格林公式知(e sin d e cos d )x x L l

I y y x y y +=

-+?

()d d D

Q P

x y x y

??=-???? 2

πd d 2

D

a x y ==??

其中22

2

:D x y a +≤. 又

(e sin )d e cos d 0x x l

y y x y y -+=?

，

所以2

π(e sin )d e cos d 2

x

x

L a I y y x y y =-+=?

7．?

+-C

xydy x dx y xy y sin )sin (，其中C 为从点)1,1(-A 沿抛物线2

x y =到原点

)0,0(O ，再沿直线x y =到点)1,1(B 。

解 111:1-=到从x y L 。 原式＝

2)1(sin 1

1

1

1

1

-=

--=

-

?

?

????

?

--+y

y

D

L L C dx dy dx x dxdy

＝6

5

-

8．下列计算是否正确，若正确，请给出理由，若不正确，请改正错误，并给出正确计算结果。计算曲线积分?

+-=

L

y

x ydx

xdy I 2

24，其中L 为从A （-1，0）到C （0，1），再到B （1，0）的曲线，AC 为直线：1+=x y ，CB 为直线：1+-=x y ，计算过程为：因为

224y x y P +-=,224y x x Q +=,x Q

y x x y y P ??=+-=??2

2222)4(4，所以积分与路径无关，从而?

+-=

L

y x ydx xdy I 224=?+-AB

y x ydx

xdy 224=0(其中AB 为直线段：)11(0≤≤-=x y )。

不正确，因为x

Q y x x y y P ??=+-=??2

2222)4(4 ,要求042

2≠+y x ，所以这样做是错误的。设l 是从A 到C '

),21,0(，再到B 的半椭圆周：t y t x sin 2

1,cos ==，则

?

+-=L

y x ydx xdy I 224=?+-l y

x ydx xdy 224=221

0π-=?πdt 。 9．计算积分??

∑

zdS ，其中∑是上半球面2

22y x a z --=。 解

dxdy z z y x a I y x D

2

22221++?--=

??

=

????

π==--?

--D

D

a adxdy dxdy y x a a y x a 32

22222

10． 求

??∑++2

22z

y x dS 其中∑是界于平面H z z ==及0之间的圆柱面2

22R y x =+. 解 柱面按∑对称面zox 划分为两块，方程分别为

2

222x R y x R y --=-=和

它们在zox 面上的投影均为},0|),{(R x R H z x z D zx ≤≤-≤≤=，且都有

2

2

2

21x

R R y y x z -=

++

于是

??∑

++222z y x ds σ-?+=??d x R z R 22221

12 dz

z R dx x R H

R

R

?

?

+-=-0

2

22

21

12 =R H arctan 2π

11．计算22

()d d I x y x y ∑

=

+??,其中∑是圆锥面的一部分z =,

0x ≥,0y ≥, 01z ≤≤的下侧外表面.

解 2222

()d d ()d d xy

D I x y x y x y x y ∑

=

+=-+???? ， 令cos ,sin ,01π

x r y r ,0r 2

θθθ==≤≤

≤≤ 2222()d d ()d d xy

D I x y x y x y x y ∑

=+=-+????

1

320

d d r r π=-θ??π

8

=-

12．求曲面积分

2

22()()()y

z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-??，其中∑为锥面

(0)z z h =

≤≤的外侧.

解 由于∑在xoy 面上的投影区域

222{(,)|}xy D x y x y h =+≤

x y z z =

=

，又∑取下侧，故由投影法得

2

22()()()y

z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-??

=2222[(()(()]xy

D y x y x x y d σ-

++-+-??

注意到xy D 关于y 轴对称，故上式第一项与第二项在xy D 上的二重积分为0，于是

2

22()()()y

z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-?? =2()xy

D x y d σ--??

=2220

(cos sin )d r r rdr π

θθθ-

-?

?

=4

14

h π- 13． 计算曲面积分

??∑

-+-,)()(xdydz z y dxdy y x

其中∑为柱面

12

2

=+

y

x

及平面0=z

，3=z 所围成的空间闭区域Ω的整个边

界曲面的外侧。

解 由于 ,,0,)(y x R Q x z y p -==-=

,0,0,

=??=??-=??z

R

x

Q

z y x

P 利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分，再利用柱面坐标计算三重积分：

??∑

-+-xdydz

z y dxdy y x )()(

???-=

Ω

dxdydz z y )(

???Ω

θ-θ=

dz rdrd z r )sin (

dz z r rdr d ???-θθ=π3

20

10

)sin (.2

9π-

=

14．计算积分

??∑

-+-+-dxdy

y x dzdx x z dydz z y )()()(其

中

)0(22h z y x z ≤≤+=

∑：的下侧。

解 设)(2

2

1h y x h z ≤+=∑：的上侧, 则

??∑+∑-+-+-1

)()()(dxdy y x dzdx x z dydz z y =00=???Ω

dv (高斯公式),

而

??∑-+-+-1

)()()(dxdy y x dzdx x z dydz z y =??-xy

D dxdy y x )(=0, 所以, I=0

15．计算

zdxdy ydzdx x dydz xy

++??∑

22

，其中∑为曲面22y x z +=被平面1=z 所截下

的下面部分，且它的方向向下（注：坐标系的z 轴正向是向上的）。 解

?????

Ω

∑+∑++=++dv x y zdxdy ydzdx x dydz xy )1(222

21

=???πρ

+ρρρ?20101

2

2)1(dz d d =

π3

2

， ????π==++∑D

dxdy zdxdy ydzdx x dydz xy 2

21

。????∑∑+∑π-

=-=

1

213

I 16．设∑为

)

20(22

2≤≤+-

=z y x z 上侧，计算曲面积分

??∑

+zdxdy dydz x 2。

解 设)4(0:221≤+=∑y x z 下侧，4:;20:2222≤++-≤≤Ωy x D y x z

原式?????????

++=

-=

Ω

∑∑+∑D

dxdy dxdydz x 0)12(11

3

8)1cos 2(20

2

20

π

=

+?ρρρ?=

?

??

ρ-π

dz d d

曲线积分和曲面积分

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出： 从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。 曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头

{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。 换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。 在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。 根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi） 如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

曲线运动经典例题

《曲线运动》经典例题 1、关于曲线运动，下列说法中正确的是（AC） A. 曲线运动一定是变速运动 B. 变速运动一定是曲线运动 C. 曲线运动可能是匀变速运动 D. 变加速运动一定是曲线运动 【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，则可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。 2、质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，而保持F2、F3不变，则质点（A） A．一定做匀变速运动B．一定做直线运动 C．一定做非匀变速运动D．一定做曲线运动 【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知，当突然撤去F1而保持F2、F3不变时，质点受到的合力大小为F1，方向与F1相反，故一定做匀变速运动。在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动（条件是F1的方向和速度方向在一条直线上），也可能做曲线运动（条件是F1的方向和速度方向不在一条直线上）。 3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（C） A. 合运动的速度一定比分运动的速度大 B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等 【解析】根据速度合成的平行四边形定则可知，合速度的大小是在两分速度的和与两分速度的差之间，故合速度不一定比分速度大。两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。两个匀变速直线运动的合运动是否是匀变速直线运动，决定于两初速度的合速度方向是否与合加速度方向在一直线上。如果在一直线上，合运动是匀变速直线运动；反之，是匀变速曲线运动。根据运动的同时性，合运动的两个分运动是同时的。 4、质量m=0.2kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如图所示，求： (1)物体所受的合力。 (2)物体的初速度。 (3)判断物体运动的性质。 (4)4s末物体的速度和位移。 【解析】根据分速度v x和v y随时间变化的图线可知，物体在x 轴上的分运动是匀加速直线运动，在y轴上的分运动是匀速直线 运动。从两图线中求出物体的加速度与速度的分量，然后再合成。 (1) 由图象可知，物体在x轴上分运动的加速度大小a x=1m/s2，在y轴上分运动的加速度为0，故物体的合加速度大小为a=1m/s2，方向沿x轴的正方向。则物体所受的合力 F=ma=0.2×1N=0.2N，方向沿x轴的正方向。 (2) 由图象知，可得两分运动的初速度大小为 v x0=0，v y0=4m/s，故物体的初速度

第十章曲线曲面积分(习题及解答)

第十章 曲线曲面积分 §10．1对弧长的曲线积分 一、选择题 1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ). (A)(,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =-? ? ； (B)(,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =? ? ； (C) (,)d (,)d 0AB BA f x y s f x y s +=?? ； (D) (,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =--? ? ． 答(B). 2. 设有物质曲线23 :,,(01),23 t t C x t y z t ===≤≤其线密度为 ρ它的质量M =( ). (A) 10 t ? ; (B) 10 t t ? ; (C) t ? ; (D) t ? . 答(A). 3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分 OM I s =?不相等的积分是( ). (A) 10 x ?; (B) 10 y ? ; (C) d r r ? ; (D) 10 e r ? 答(D). 4 .设L 是从 (0,0) A 到 (4,3) B 的直线段,则曲线积分

()d L x y s -=? ( ). (A) 403d 4x x x ??- ??? ?; (B)3 03d 4y y y ?? - ??? ?; (C)3 034y y y ?- ??; (D) 4 034x x x ? - ? ?. 答(D). 5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则 曲线积分 s =?( ). (A) x ?; (B) y ? ; (C) 10 x ? ; (D) y ? . 答(C). 6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2) B -的直线段,则曲线积分 ()d L x y s +=?( ). (A) ; (B)2; (C) ; (D) . 答(D). 二、填空题 1. 设L 是圆周221x y +=,则31d L I x s =?与52d L I x s =?的大小关系是 . 答:12.I I =

曲线积分和曲面积分

定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：

从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。 表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。

换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。 在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。 然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi） 如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。

最新曲线积分与曲面积分习题及答案

第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。

高中物理曲线运动经典题型总结-(1)word版本

专题 曲线运动 一、运动的合成和分解 【题型总结】 1．合力与轨迹的关系 如图所示为一个做匀变速曲线运动质点的轨迹示意图，已知在B 点的速度与加速度相互垂直，且质点的运动方向是从A 到E ，则下列说法中正确的是( ) A ．D 点的速率比C 点的速率大 B ．A 点的加速度与速度的夹角小于90° C ．A 点的加速度比D 点的加速度大 D ．从A 到D 加速度与速度的夹角先增大后减小 2．运动的合成和分解 例：一人骑自行车向东行驶，当车速为4m ／s 时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7m ／s 时。他感到风从东南方向（东偏南45o）吹来，则风对地的速度大小为（ ） A. 7m/s B. 6m ／s C. 5m ／s D. 4 m ／s 3．绳（杆）拉物类问题 例：如图所示，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m 沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v 时，小车的速度为多少？ 练习1：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为B A v v ,，则（ ） A 、 B A v v = B 、B A v v ? C 、B A v v ? D 、重物B 的速度逐渐增大 4．渡河问题 例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2,战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( ) 例2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) (B) (C) (D) 【巩固练习】 1、 一个劈形物体M ，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个 光滑小球m ，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（ ） m

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

曲线积分和曲面积分习题与答案

第十章 曲线积分和曲面积分 （A ） 1、计算下列对弧长的曲线积分 1）ds y x n L )(22+?，其中：)20(sin ,cos :π≤≤==t t a y t a x L 2）,xds L ?其中围成及为由2 x y x y L == 3） ,2yzds x T ?其中T 为折线ABCD ，这里A ，B ，C ，D 依次为点（0，0，0） ，（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2） 4） ,)(22ds y x L +? 其中L ：)20(),cos (sin ),sin (cos π≤≤-=+=t t t t a y t t t a x 2 、计算下列对坐标的曲线积分 1）,)(22dx y x L -? 其中L 是2x y =上从（0，0）到（2，4）的一段弧 2） ,xydx L ?其中L 是222)(a y a x =+-及x 轴围成的在第一象限内的区域的整个边界 （逆时针向） 3） ,ydz dy dx T +-?其中T 为有向闭折线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1，0，0） ，（0，1，0），（0，0，1） 4） dy xy y dx xy x L )2()2(22-+-? ，其中L 是2x y =上从点（-1，1）到（1，1）的一 段弧 3、利用格林公式，计算下列曲线积分 1） ,)635()42(dy x y dx y x L -+++-?其中L 为三顶点分别为（0，0） ，（3，0）和（3，2）的三角形正向边界 2） ,)2sin ()sin 2cos (222dy ye x x dx e y x xy x y x x x L -+-+? 其中L 为正向星形线 )0(3 23 23 2 >=+a a y x 3） ,)3sin 21()cos 2(2223dy y x x y dx x y xy L +-+-? 其中L 为抛物线22y x π=上由 （0，0）到（)1,2 π的一段弧 4、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某个),(y x u 的全微分，并求这样的

曲线运动典型例题

一、选择题 1、一石英钟的分针和时针的长度之比为 3：2，均可看作是匀速转动，则（）A．分针和时针转一圈的时间之比为 1：60 B．分针和时针的针尖转动的线速度之比为 40：1 C．分针和时针转动的角速度之比为 12：1 D．分针和时针转动的周期之比为 1：6 2、有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的内侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示中虚线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h．下列说法中正确的是（） A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大 D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大 3、A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球的轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为 r/min，则两球的向心加速度之比为：（）

A．1：1 B．6：1 C．4：1 D．2：1 4、两个质量相同的小球a、b用长度不等的细线拴在天花板上的同一点并在空中同一水平面内做匀速圆周运动，如图所示，则a、b两小球具有相同的 A．角速度 B．线速度 C．向心力 D．向心加速度 5、关于平抛运动和匀速圆周运动，下列说法中正确的是（） A．平抛运动是匀变速曲线运动 B．平抛运动速度随时间的变化是不均匀的 C．匀速圆周运动是线速度不变的圆周运动 D．做匀速圆周运动的物体所受外力的合力做功不为零 6、在水平面上转弯的摩托车，如图所示，提供向心力是 A．重力和支持力的合力 B．静摩擦力C．滑动摩擦力 D．重力、支持力、牵引力的合力

7、如图所示，在粗糙水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（） A．物块始终受到三个力作用B．只有在a、b、c、d 四点，物块受到合外力才指向圆心 C．从a到b，物体所受的摩擦力先减小后增大D．从b到a，物块处于失重状态 8、如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若车行进时轮与路面没有滑动，则） A． A点和B点的线速度大小之比为1：2 B．前轮和后轮的角速度之比为2：1 C．两轮转动的周期相等 D． A点和B点的向心加速度相等 9、用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是( )

新1第十一章 曲线积分与曲面积分习题答案

第十一章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 1. 选择题： (1) 对弧长的曲线积分的计算公式 ? L ds y x f ),(=?'+'β α φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要 求 （C ） . （A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β (2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则? L ds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π12 2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)? +L ds y x )(，其中L 为 I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周2 2 2 R y x =+； 解：I ） 111 ()()()()(1)13 222 L OA AB BO x y ds x y ds x y ds x y ds xdx y dy +=+++++=+++= ++=??????? II ） 22 ()(cos sin [sin cos ]2L x y ds R t R t R t t R π π+=+=-=?? (2)? L yds ，其中L 为x y 22 =上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧； 解： 2 2 23/21 1 [(1)]3 3 L yds y ===+=?? ?

*(3) ? Γ +ds y x )(2 2，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ； )20(π≤≤t 解：1/2 222 222222 20 ()(sin cos )2x y ds a a t a t b dt a a π ππΓ +=++==??? *(4) ? +L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+； 解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则 ds θ=。 222224sin 8 L rd d ππ π π π π π π θθ θθθ====-=???? 第二节 对坐标的曲线积分 1．填空题 (1) 对坐标的曲线积分的计算公式 ? +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?'+'β α φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{ 中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是 [(,)cos (,)cos ]L P x y dx Q x y ds αβ+? ，其中βα,为有向光滑曲 线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角. 2．选择题： (1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ） （A ）无关， （B ）有关； (2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ? - +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?+-L dy y x Q dx y x P ),(),(， （B ） ? - +L dy y x Q dx y x P ),(),(=?+L dy y x Q dx y x P ),(),(.

曲线积分曲面积分总结

第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1

曲线积分与曲面积分习题答案

第十一章 曲线积分与曲面积分 第三节 Green 公式及其应用 1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1) ? -L ydx x dy xy 2 2，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得 23 22223 81()22 L D xy dy x ydx x y dxdy d r dr π π θ-=+==?????， 其中D 为229x y +≤。 (2) ?-++L y y dy y xe dx y e )2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界； 解：由Green 公式，得 ()(2)(1)1y y y y L D D e y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==?????。 *(3) ?+-L dy xy ydx x 22 ， 其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ； 解：连直线段AB ，使L 与BA 围成的区域为D ，由Green 公式，得 6cos 2222 22 320 3cos 44 4620()0 1515353cos 334442264 L D BA x ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d π θ θ π θπθθπ-+=+- -+=-= =???=???????? ? *(4) ? +-L y x xdy ydx 2 2，其中L 为正向圆周4)1(2 2=++y x . 解：因为222 22 () x y P Q y x x y -??==??+，(,)(0,0)x y ≠。作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得 22 0L l ydx xdy x y +-=+? ，故 22222 2 2 2 2 22 sin cos 2L l l ydx xdy ydx xdy ydx xdy x y x y r r r d r π θθ θπ ---+=-=++--==-? ?? ?

物理必修2第五章曲线运动经典分类例题

第五章曲线运动经典分类例题 §5.1 曲线运动基础 一、知识讲解 二、【典型例题】 知识点1、力和运动的关系 1、曲线运动的定义： 2、合外力决定运动的速度： 】 3、合外力和速度是否共线决定运动的轨迹： 4、物体做曲线运动的条件： 习题 1、关于曲线运动的速度，下列说法正确的是：（） A、速度的大小与方向都在时刻变化 ) B、速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C、速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D、质点在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向 2、下列叙述正确的是：（） A、物体在恒力作用下不可能作曲线运动 B、物体在变力作用下不可能作直线运动 C、物体在变力或恒力作用下都有可能作曲线运动 D、物体在变力或恒力作用下都可能作直线运动 ^ 3、下列关于力和运动关系的说法中，正确的上：（） A．物体做曲线运动，一定受到了力的作用 B．物体做匀速运动，一定没有力作用在物体上 C．物体运动状态变化，一定受到了力的作用 D．物体受到摩擦力作用，运动状态一定会发生改变 4、下列曲线运动的说法中正确的是：（） A、速率不变的曲线运动是没有加速度的 B、曲线运动一定是变速运动 C、变速运动一定是曲线运动 D、曲线运动一定有加速度，且一定是匀加速曲线运动; 5、物体受到的合外力方向与运动方向关系，正确说法是：（） A、相同时物体做加速直线运动 B、成锐角时物体做加速曲线运动 C、成钝角时物体做加速曲线运动 D、如果一垂直，物体则做速率不变的曲线运动6．某质点作曲线运动时:（） A．在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向 B．在任意时间内位移的大小总是大于路程

高中物理曲线运动经典习题30道-带答案

一．选择题（共25小题） 1．（2015春?苏州校级月考）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下面说法正确的是（） A．物体做匀速运动，且v2=v1B．物体做加速运动，且v2＞v1 C．物体做加速运动，且v2＜v1D．物体做减速运动，且v2＜v1 2．（2015春?潍坊校级月考）如图所示，沿竖直杆以速度v为速下滑的物体A，通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（） A．物体B向右做匀速运动B．物体B向右做加速运动 C．物体B向右做减速运动D．物体B向右做匀加速运动 3．（2014?蓟县校级二模）如图所示，绕过定滑轮的细绳一端拴在小车上，另一端吊一物体A，A的重力为G，若小车沿水平地面向右匀速运动，则（） A．物体A做加速运动，细绳拉力小于G B．物体A做加速运动，细绳拉力大于G C．物体A做减速运动，细绳拉力大于G D．物体A做减速运动，细绳拉力小于G 4．（2014秋?鸡西期末）如图所示，用绳跨过定滑轮牵引小船，设水的阻力不变，则在小船匀速靠岸的过程中（） A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不变 C．船所受浮力增大D．船所受浮力变小 5．（2014春?邵阳县校级期末）人用绳子通过动滑轮拉A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，求A物体实际运动的速度是（） A．v0sinθB．C．v0cosθD． 6．（2013秋?海曙区校级期末）如图中，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度V1≠0，若这时B的速度为V2，则（）

曲线积分与曲面积分(答案word

第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e

高中物理曲线运动经典习题道带答案

一．选择题（共25小题）1．（2015春?苏州校级月考）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下面说法正确的是（） A．物体做匀速运动，且v2=v1B．物体做加速运动，且v2＞v1 C．物体做加速运动，且v2＜v1D．物体做减速运动，且v2＜v1 2．（2015春?潍坊校级月考）如图所示，沿竖直杆以速度v为速下滑的物体A，通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，细绳与竖直杆间的夹角为θ，则以下说法正确的是（） A．物体B向右做匀速运动B．物体B向右做加速运动 C．物体B向右做减速运动D．物体B向右做匀加速运动3．（2014?蓟县校级二模）如图所示，绕过定滑轮的细绳一端拴在小车上，另一端吊一物体A，A的重力为G，若小车沿水平地面向右匀速运动，则（） A．物体A做加速运动，细绳拉力小于G B．物体A做加速运动，细绳拉力大于G C．物体A做减速运动，细绳拉力大于G D．物体A做减速运动，细绳拉力小于G 4．（2014秋?鸡西期末）如图所示，用绳跨过定滑轮牵引小船，设水的阻力不变，则在小船匀速靠岸的过程中（） A．绳子的拉力不断增大B．绳子的拉力不变 C．船所受浮力增大D．船所受浮力变小 5．（2014春?邵阳县校级期末）人用绳子通过动滑轮拉A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，求A物体实际运动的速度是（）

A．v0sinθB．C．v0cosθD． 6．（2013秋?海曙区校级期末）如图中，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度V1≠0，若这时B的速度为V2，则（） A．V2=V1B．V2＞V1C．V2≠0D．V2=0 7．（2015?普兰店市模拟）做平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于（） A．物体的高度和受到的重力 B．物体受到的重力和初速度 C．物体的高度和初速度 D．物体受到的重力、高度和初速度 8．（2015?云南校级学业考试）关于平抛物体的运动，下列说法中正确的是（）A．物体只受重力的作用，是a=g的匀变速运动 B．初速度越大，物体在空中运动的时间越长 C．物体落地时的水平位移与初速度无关 D．物体落地时的水平位移与抛出点的高度无关 9．（2014?陕西校级模拟）一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（） A．B．C．t anθD．2tanθ10．（2011?广东）如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是（）

(完整版)曲线运动复习提纲及经典习题

《曲线运动》复习提纲 一、曲线运动 1.曲线运动速度方向:时刻变化; 曲线该点的切线方向。 2.做曲线运动的条件：物体所受合外力方向与它的速度方向不在同一直线上(即F(a)与v 不共线) 3.曲线运动的性质：曲线运动一定是变速运动，即曲线运动的加速度a ≠0。 ①做曲线运动的物体所受合外力的方向指向曲线弯曲的一侧（凹侧）。 ②轨迹在力和速度方向之间 4.曲线运动研究方法：运动合成和分解。（实际上是F 、a 、v 的合成分解） 遵循平行四边形定则（或三角形法则） 二、运动的合成与分解 物体实际运动叫合运动 物体同时参与的运动叫分运动 (1)合运动与分运动的关系： ①独立性。 ②等时性。 ③等效性。 (2)几个结论：①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。 ②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，不一定是直线运动(如平抛运动)。 ③两个匀变速直线运动的合运动，一定是匀变速运动，但不一定是直线运动。 (3)典型模型：①船过河模型 1)处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际 上参与了 两个方向的分运动：随水流的运动（水速），在静水中的船的运动 （就是船头指向的方向）。 船的实际运动是合运动。 2)若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间： θsin 1v d v d t ==合 3)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，此时过河时间1 v d t =(d 为河宽)。因为在垂直于 河岸方向上，位移是一定的，船头按这样的方向，在垂直于河岸方向上的速度最大。 ②绳（杆）端问题 船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成： a)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v ； b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为αcos v , 当船向左移动， α将逐渐变大，船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子，但物体A 却在做变速运动。 三、平抛运动 1．运动性质 a)水平方向：以初速度v 0做匀速直线运动． b)竖直方向：以加速度a=g 做初速度为零的匀变速直线运动，即自由落体运动． 说明：在水平和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．合运动是匀变速曲线运动．相等的时间内速度的变化量相等．由△v=gt ，速度的变化必沿竖直方向 2．平抛运动的规律 以抛出点为坐标原点，以初速度v 0方向为x 正方向，竖直向下为y 正 方向，如右图所示，则有： 分速度 gt v v v y x ==,0

曲线与曲面积分习题参考答案

十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分 1. 计算ds y x L ?+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 320 32 2 2 2 20 2 2 2 2 2 2 2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L ππ π==++=+???. 2. 计算ds x L ?，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界. 解 )12655(12 1 4121 021 0-+= ++=???dx x x dx x ds x L . 3．计算?L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ?L yds ＝dy y y dy y y ??+=+2 22 2421)2(1 )122(3 4)4(4412202-=++= ?y d y . 4．计算?+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ?+L ds y x )(＝23 2 11)(1 0= ++?x x . 5．计算?L xyzds ，其中L 是曲线232 1 ,232,t z t y t x == =)10(≤≤t 的一段. 解 ?L xyzds ＝??+=++1 31 02223)1(232 )2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143 216. 6．计算L ?，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第 一象限所围成的扇形的整个边界.

高中物理必修二曲线运动经典例题

《曲线运动》 1、关于曲线运动，下列说法中正确的是（ ） A. 曲线运动一定是变速运动 B. 变速运动一定是曲线运动 C. 曲线运动可能是匀变速运动 D. 变加速运动一定是曲线运动 2、质点在三个恒力F 1、F 2、F 3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F 1，而保持F 2、F 3不变，则质点（ ） A ．一定做匀变速运动 B ．一定做直线运动 C ．一定做非匀变速运动 D ．一定做曲线运动 3、关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ） A. 合运动的速度一定比分运动的速度大 B. 两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动 C. 两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动 D. 合运动的两个分运动的时间不一定相等 4、质量m=0.2kg 的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x 和v y 随时间变化的图线如图所示，求： (1) 物体所受的合力。 (2) 物体的初速度。 (3) 判断物体运动的性质。 (4) 4s 末物体的速度和位移。 5、已知某船在静水中的速率为v 1＝4m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d ＝100m ，河水的流动速度为v 2＝3m/s ，方向与河岸平行。试分析： ⑴ 欲使船以最短时间渡过河去，航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？ ⑵ 欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？ 7、在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L ＝1.25cm ，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中a 、b 、c 、d 所示，则小球平抛的初速度为v 0＝ （用L 、g 表示），其值是 。（g 取9.8m/s 2） 9、如图，高h 的车厢在平直轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a ，车厢顶部A 点处有油滴滴下落到车厢地板上，车厢地板上的O 点位于A 点的正下方，则油滴的落地点必在O 点的 （填“左”或“右”）方，离O 点的距离为 。 11、如图在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V 0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空 a b c d