变限积分的性质

变限积分的性质

摘要

变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词：变限积分；连续性；可微性；奇偶性；单调性；周期性；应用

引言

随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越

来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

1. 变限积分的概念与理解 1.1变限积分的定义

设f 在[,]a b 上可积，根据定积分的性质，对任何[,]x a b ∈，f 在[,]a x 也可积，于是，由

()(),[,]x

a

x f t dt x a b Φ=∈? （1）

定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上限函数.类似地，又可定义变下限的定积分：

(),(),[,].b

x

x f t dt x a b ψ=∈? （2）

Φ与ψ统称为变限积分; 变量复合函数定义为：

()

()

()

()

(),(),(),u x b

u x a

v x v x f t dt f t dt f t dt ?

?

?

其中()u x 、()v x 是定义在[,]αβ上的函数且()u x ，()v x [,]a b ∈.

注：在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量写成x （例如()x

a f x dx ?），

以免与积分上、下限的x 混淆。 1.2对变限积分基本概念的理解

例题 ，计算（1）sin ;xdx ?（2）0

sin ;x

xdx ?（3）2sin .o

xdx π

?并由此说明不

定积分、定积分、变上限积分三者之间的联系。

解：（1）1I (,)x c =sin cos ;xdx x c =-+? （2）20

0()sin cos0cos 1cos ;x

x

I x xdx cosx

x x ==-=-=-?

（3）2230

sin cos

cos0cos

1.2

I xdx ππ

π

==-=-=?

不定积分sin xdx ?表示sin x 的含有任意常数的原函数；积分0

sin x

xdx ?是

上限变量x 的函数，也是sin x 的一个原函数；而定积分20

sin xdx π

?表示

一个数，它是sin x 的任意一个原函数在2

x π

=

与0x =两点处函数值之

差。笼统地说，定积分3I 是数，变上限积分2()I x 是一个函数，而不定

积分1(,)I x c 是一族函数。21()I x c +即为1I ；此处取1c =可得，12I I =;取2

x π

=

时，23I I =，三者既有联系又有区别。

2. 变限积分的性质 2.1连续性：

若()f x 在[,]a b 上可积，则

()(),()()

x

b

a

x

F x f t dt

G x f t dt ==?? 在[,]a b 都连续.

2.2可微性（原函数存在定理）

若()f x 在[,]a b 上连续，则2.1中的(),()F x G x 在[,]a b 上可导且

()()(),[,]x

a d F x f t d t f x x a

b dx '==∈? ()()(),[,]

b

x

d G x f t d

t f x x a b dx '==-∈?. 这就是说：函数F 是f 在[,]a b 上的一个原函数;函数G 是f 在[,]a b 上的一个原函数。

注:2.2建立了导数、积分这两个看起来似乎毫不相关的概念之间的内在联系，它证明了“连续函数必有原函数”的基本结论，而且说明了()x

a f t dt

?是f 的一个原函数。此2.2的这个结论在微积分学中具有十分重要的地位，被称为“微积分基本定理”. 2.2.1推论

若()f x 在[,]a b 连续，()u x 在[,]αβ上可导且[,]x αβ∈，()[,]u x a b ∈，则()

()()u x a

H x f t dt =?

在[,]αβ上可导，且

()(())(H x f u x u x ''=.

2.2.2推论

若()f x 在[,]a b 连续，()u x 、()v x 在[,]αβ上可导且[,]x αβ∈，()u x 、

()[,]v x a b ∈，则()()

()()u x v x H x f t dt =?

在[,]αβ上可导，且

()(())()(())H x f u x u x f v x v x

'''=-

2.2.3牛顿-莱布尼茨公式

由微积分基本定理，我们还能得出一个重要的公式，即牛顿-莱布尼茨公式：

若函数f 在[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则

()()()()b

b a a

f x dx F b F a F x =-=?

例1 下列计算是否正确？若有错，请订正.

（1）2

20

x t x d e dt e dx →--=?；

（2）2

2sin sin 0

x t x d e dt e dx --=?；

（3）2

420t x x

d e dt e dx --=?﹒2.x

解 （1）正确.因被积函数2

()t f t e -=是连续函数，变上限定积分2

x

t e dt -?

对上限变量求导数，就等于被积函数2

()t f t e -=在上限变量x 处的值，即

()2

2

.x

t x e dt e

--'

=?

（2）错误.因为上限sin x 是x 的函数，需要利用复合函数求导公式，

()

22sin sin sin 00sin cos .sin x x t t x

d d d x

e dt e dt e x dx d x dx

---==?? （3）错误. 因为下限2x 是x 的函数，需转化为变上限函数积分求导

问题

222

4200

2.x t t x x d d e dt e dt xe dx dx ---=-=-??

例2 设函数()g x 连续，且21()()()2x

a

f x x t

g t dt =-?，试求(),().f x f x '''

分析 由于()f x 的变上限积分表示式的被积函数中出现了积分

上限变量x ，故不能直接利用公式()()x

a

d t dt x dx ??=?来求导数()f x '.

需先将()f x 改写成积分的被积表达式中只含积分变元t 的形式，在对其求导.

解 20

1()()()2x

f x x t

g t dt =-?

=

2

2

00

1()()(),2

2x

x

x x g t dt x tg t dt t g t dt -+?

??

2

()()()2

x

x f x x g t dt g x '=+?

-2

2

0()()()2

x

x tg t dt x g x g x -+?

=0

()(),x x

x g t dt tg t dt -??

0()()()()().x

x o f x g t dt xg x xg x g t dt ??''=+-=????

?? 如果忽略了被积函数中含有积分上限变量这一事实，而硬套变上限

积分求导公式，就会酿成错误结果：

22

011()()()()()

0.22

x t x

d f x x t g t dt x t g t dx =??'=

-=-= ????

例3 设()f x 连续，212sin (cos ),x

dy

y f x t dt dx

=-?求

2222221

cos 1

cos22

sin cos sin sin cos ,.(cos )()()()x x

x

x x

x

u x t dt du f x t dt f u du f u du

---=-=--=-=?

?

?

解：令则因此

故 2cos2sin ().x x

y f u du -=?

从而

(cos 2)dy

f x dx

=﹒2(cos2)(sin )x f x '--﹒2(sin )x '- =-22sin 2(cos2)(sin )2sin cos xf x f x x x +-

=2

(sin )2(cos 2)f x f x ??--??﹒sin 2x

例4 设12

200()(0)11x

x

dt dt F x x t t =+>++??,求()F x . 解：122200211()11111x x

d dt d dt F x dx t dx t x x

'=+=+++++??·1()x ' =

2

2

11

111x x +++·21()0x -= 所以 ()F x C = （C 为常数） 而 1

11

2200(1)2arctan 112

dt dt F t t t π

=+==

++?

?

所以 ()2

F x π

=

2.3奇偶性

若()f x 在[,]a a -上可积且为偶（奇）函数，则0

()()x

F x f t dt =?是[,]a a -上

奇（偶）函数.

证明：设0()()x

F x f t dt =?，其中函数()f x 在区间[,]a b 上可积.

若函数()f x 为 [,]a b 上的奇函数，由变量替换有： 0

()()()(

)()()x

x

x

F x f t d t f u d u f u d u F x

-==--==?

?

?

, 即()F x 为偶函数；

若函数()f x 为[,]a b 上的偶函数，由变量替换有：

()()()()()()x

x x

F x f t dt f u d u f u du F x --==--=-=-?

??，

即()F x 为奇函数。

例 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，且 0

()(2)()

,x F x x t f t d t =-?

证明（1）若()()f x f x -=，则()()F x F x -=；

（2）若()f x 非增（即：1x <2x 时，12()()f x f x ≥），则()F x 非

减.

证明：（1）0()(2)()x

F x x t f t dt --=--?

[2()]()()x

t u x u f u d

u =------?令 =0

(2)()().x

x u f u du F x -=?

（2）0

0()[()2()]x x d

F x x f t dt tf t dt dx '=

-??

=0

()()(()()).x x

f t dt xf x f t f x dt -=-??

（Ⅰ）当x >0时，由()f x 非增可知：

()()0f t f x -≥ [0,]t x

∈， 因此

()(()())0

x

F x f t f x d t '=-≥?

； （Ⅱ）当x<0时，有()()0f t f x -≤ [0,]t x ∈,因此

()(()

())0.

x

F x f x f t d t '=-≥? 综上所述，对任意的(,),()0.x F x '∈-∞+∞≥再利用拉格朗日中

值定理，当1x <2x 时，有

2121

()()()()0,

F x F x F x x ξ'-=-≥ 则()F x 非减. 2.4单调性

若()f x 在[,]a b 上可积且()f x >0([,])x a b ?∈，则()()x

a Fx f td t

=?在[,]a b 上

是单调递增函数.

若()f x 在[,]a b 上可积且()f x <0([,])x a b ?∈,则()()x

a F x f t dt =?在[,]a

b 上

是单调递减函数.

证明：

2.4.1积分第二中值定理

由变限积分的可微性及单调性我们又可得到积分第二中值定理 设函数f 在[,]a b 上可积，则

（1）若函数g 在[,]a b 上单调减少，且()0g x ≥，则存在[,]a b ξ∈，

使得

()()()()b

a

a

f x

g x dx g a f x dx ξ

=?

?；

（2）若函数g 在[,]a b 上单调增加，且()0g x ≥，则存在[,]a b ξ∈，

使得

()()()()

b

b

a

f x

g x dx g b f x dx ξ

=?

?. 2.4.1.1推论

设函数f 在[,]a b 上可积，若g 为单调函数，则存在[,]a b ξ∈，

使得

()()()()()(b

b

a

a

f x

g x dx g a f x dx g b

f x dx ξ

ξ=+?

??

2.5周期性

以T 为周期的连续函数()f x 的原函数以T 为周期的充分必要条件是

()0.T

f x dx =?

例设()g x 是在(,)-∞+∞内以T 为周期的连续函数，则0

()()x

x

g t dt g t dt --?? 也以T 为周期。

证明：由周期函数积分性质得： 0000()()()()().x T

x x T

x

T

x

g t d t g t d t

g t d t

g t d t g t d t

++=+=+??

???

()()()()()

.

x

T x T

x

x T

x

g t dt g t dt g t dt g t dt g t dt -------=+=+?

??

?? 因()T

o

g t dt ?不一定为零，所以0

()x

g t dt ?与0

()x

g t dt -?不一定以T

为周期，而

()()()()x T

x x T

x

g t dt g t dt g t dt g t dt +----=-?

?

??，

所以00

()()x x

g t dt g t dt --??以T 为周期.

3、变限积分的应用

学习数学最重要的就是对数学思想的不断积累并逐渐内化，将数学的精华转化为自己的各种能力。积分变限函数这类重要的函数，除了能拓展我们对函数概念的理解外，它又是连接积分学和微分学的重要工具，它在许多场合都有重要的应用。

3.1变限积分在求函数极限时的应用 例1求下列极限 （1）2

2

20

1lim

;x

t x x t e dt xe

→+∞

?

（2）2

32

lim

(sin )x x x o

t dt

t t t dt

→-??

；

（3）lim

()x

a x a

x f t dt x a

→-?（其中f 为连续函数）（4）03

0sin lim .1ln(1)x x x x

t dt

t →-+?

解：（1）

2

2

20

1lim

x

t

x x t e dt xe

→+∞

?

=2

2

2

22221

lim

lim .122

2x x x

x x x e

x x e x e →+∞

→+∞==++ （2）2

3

2

00

lim (sin )x x x o

t dt

t t t dt

→-?

?=43

0022lim lim

(sin )sin x x x x x x x x x →→=-- =22

20066lim lim 12.1cos 2x x x x x x →→==-

（3）方法一 ()lim

x

a

x a

x f t dt

x a

→-?=lim ()()().x

a x a f t dt xf x af a →??+=????

?

方法二 由积分中值定理可知

()()()

x

a

f t d t f x a ξ=-?

,a x ξ<< 于是 l i m ()x a x a x f t dt x a →-?=lim x a x x a

→-·()()lim ()().x a f x a xf af a ξξ→-==

（4）03

0sin lim 1ln(1)x x x x

t dt t →-+?=200331cos 21lim

lim 12ln(1).x x x x x x x x

→→-==+ （这里用到了等价无穷小代换：当0x →时，2331cos 2,ln(1).x x x x -+）

3.2变限积分在研究函数性态中的应用

例1 设f 是[0,)+∞上的连续凸函数，证明：

01()()x

F x f t d t x

=

? 也是(0,)+∞内的凸函数.

证明：由于f 是[0,)+∞上的连续凸函数，所以有12(0,1),,0,x x λ?∈?>恒有 1212((1))()(1)()

f x x f x f x λλλλ

+-≤+-， 于是 12((1))F x x λλ+- =

12

(1)0

12

1

()(1)x x f t dt x x λλλλ+-+-?

1

1212

((1))

(((1)))t x x x f x x x d x

λλλλ

=+-+

-? =1112120

(()(1)())[()(1)()]f xx xx dx f xx f xx dx λλλλ+-=+-?? =1

2

1

1

120

012

1()(1)()()()x x f xx dx f xx dx f t dt f t dt x x λ

λλλ-+-=

+

???? =12()(1)()F x F x λλ+-，

所以F 是(0,)+∞内的凸函数.

例2 设f 是(,)-∞+∞内的连续奇函数，且单调增加，

()(2)()x

F x x t f t dt =-?，证明：

（1）F 是奇函数； （2）F 是[0,)+∞内的单调减函数.

证 （1）0

()(2)()(2)()x x

F x x t f t dtt u x u f u du --=--=---+-??

=0

(2)()()x

x u f u du F x --=-?，

所以F 为奇函数.

（2）0

()()2()x

x

F x x f t dt tf t dt =-??，故

()()()()()x

F x f t dt xf x xf xf x ξ'=-=-? （ξ介于零与x 之间）

=[()()]0x f f x ξ-<，

所以F 为[0,)+∞内的单调减函数. （这里用到了积分第一中值定理.） 例3 设函数f 在[,]a b 上连续，且()0f x >，若

1

()()()

x

x

a b

F x f t dt

dt f t =+??， 证明：（1）F 为[,]a b 上的严格单调增函数； （2）方程()0F x =在(,)a b 内有且只有一个根. 证 （1）因为

2

1()()22()F x f x f x ?

'=+=+≥， 所以F 在[,]a b 上严格单调增加. （2）因为 1

1()0()

()a

b b

a F a dt dt f x f t ==-

?

()()0b

a

F b f t d t =>?

，

所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程()0F x =在(,)a b

内至少存在一个根，又由于F 在[,]a b 上严格单调增加，所以方程

()0F x =在(,)a b 内只能由一个根.

例4 证明：连续奇函数的一切原函数均为偶函数，连续偶函数的原函数中只有

一个为奇函数. 证 设f 为连续的奇函数，则f 的一切原函数可以表示为

()().

x

F x f t d t C =+? 由于 00

()()()t u

x x

F x f t dt C f u du C =---=+=--+?

?

=0

()()x

f u du C F x +=?，

所以f 的一切原函数均为偶函数.

设f 为连续的偶函数，f 的一切原函数可以表示为 0

()().

x F x f t d t C =+? 由于 00

()()()t u

x x

F x f t dt C f u du C =---=+=--+?

?

=0

()x

f u du C --+?()

()2()2x

f t dt C C F x C =-

++=-+?

要使()()F x F x -=-，必须2C =0，即C=0.所以f 的一切原函数中只有

()()x

F x f t dt =?是奇函数.

例5 设f 为定义在R 上的一个连续周期函数，周期为T ，证明： 0011lim

()().x T

x f t dt f t dt x T

→+∞=?? 解 000,[0,),.x n N x T x nT x ?>?∈∈=+及使得于是

000

00

011

1()()()().x nT x nT

nT x nT f t dt f t dt f t dt f t dt x nT x nT x ++??==

+???

?++??

?? 由于

()(),nT

T

f t dt n f t dt =?

?

()(),nT x x nT

f t dt f t dt +=?

?

所以

000

11()()()x T x n

f t dt f t dt f t dt x nT x nT x =+

++??

?

1

()T

f t dt T

→

?

（n →∞），

从而有 00

11lim

()().x T x f t dt f t dt x T →+∞=??

3.3变限积分在证明定积分不等式中的应用

例1 设函数f 在[,]a b 上连续且单调增加，证明：

()().2b

b

a a

a b xf x dx f x dx b +≥?? 证 令 ()()(),[,]2

x x

a a a x F x tf t dt f t dt x a

b +=-∈??， 则有()0.F a = 由于

11()()()()()()2222x x

a a

a x x a F x xf x f t dt f x f x f t dt +-'=-

-=-?? = 1

()22x a f x --()()f x a ξ- （a x ξ≤≤） =1

()[()()]02

x a f x f ξ--≥，

所以F 在[,]a b 上单调增加.于是有()()0F b F a ≥=，从而

()().2

b

b

a

a a

b xf x dx f x dx +≥

?

? 例2 设f 在[,]a b 上有连续的导函数，()0f a =，证明：

2221

()()[()].2

b

b a

a f x dx

b a f x dx '≤-?

?

证 由于f '连续且()0f a =，于是有 ()(),x

a

f x f t dt '=

?

[,]

x a b ∈. 由施瓦兹不等式可得

[]2

2

22

2

()()1()1()x x x x a a a a f x f x dt f x dt dt f t dx ????'''==?≤????????

????

=()

x a -[]2

()x

a

f t dt '?

[]2

()().b

a

x a f t dt '≤-?

对上述不等式从a b 到积分可得

[]22

2

1()()().2b

b a

a f x dx

b a f t dt '≤-?

?

3.4变限积分在证明ξ的存在性中的应用

例1 设函数[,]f a b 在上连续，证明：存在(,)a b ξ∈，使得

()()().b

a

f x dx f b a ξ=-?

证 设 ()(),[,]x

a

F x f t dt x a b =

∈?

.

由题设知，F 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在(,)a b ξ∈，使得

()()()()()()F b F a F b a f b a ξξ'-=-=-，

即有

()()().b

a

f x dx f b a ξ=-?

例2 设函数f g 和均在[,]a b 上连续，且()0g x ≠，证明：存在(,)a b ξ∈使得 ()

()()().b

b

a

a

g f x dx f g x dx ξξ=?

?

证 方法一 设()()()()()x

b x b

a

a

a

a

F x g t dt f t dt f t dt g t dt =

-?

???，则有

()()0.F a F b ==由罗尔定理可知，存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即有

()

()()().b

b

a

a

g f x dx f g x dx ξξ=?

?

方法二 设 ()(),()(),[,x

x

a

a

F x f t dt

G x g t dt x

a b =

=∈?

? 在[,]a b 上利用柯西中值定理，有

()()()()()()()()()()

F b F b F a F f

G b G b G a G g ξξξξ'-==='-， 即有 ()()()()g F b f G b ξξ= 于是 ()

()()().b

b

a

a

g f x dx f g x dx ξξ=?

?

4.结语

本文主要介绍了变限积分的概念，举例来理解变限积分的概念。即变限积分是通过定积分定义上限x 在区间[a,b]上任意变动的函数，它与我们接触的其他函数不一样，它的特殊结构决定了它有许多特殊的性质。通过借助于对定积分的认识，研究了变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，并通过举例，更加深刻的理解这些。最后我们研究了变限积分在求函数极限中、在研究函数性态中、在证明定积分不等式中和证明存在性问题中的应用。

参考文献

[1]华中科技大学数学系编微积分学习辅导与习题选解高等数学出版社，2004

[2]朱正佑、秦成林编数学分析（上册）上海大学出版社，2006.1

[3]周誓达编著微积分（经济类与管理类）中国人名大学出版社2005

[4]韩玉良隋亚莉李宏艳王雅芝编微积分学习指导清华大学出版社2006.9

[5]齐民友主编杨丽华孟新焕编微积分学习指导武汉大学出版社2008.5

谢辞

时间总是在不知不觉中流逝，转眼间，我的大学生活即将结束，论文的完成也将给我的大学生活的画上一个完美的句号。

本论文是在我的论文指导老师李琨的悉心指导下完成的，在本论文的写作过程中，李琨老师对我的帮助特别大。李琨老师优秀的科学修养，深厚的数理功底，严谨的治学态度都给我留下了深刻的印象，也成了我努力奋斗的榜样。在我思考并列提纲的过程中，经历了苦恼和彷徨，而李琨老师对我的疑问一一作出了解答，而且对我的提纲做出了悉心的指导，严格的把关，循循善诱，让我对我的论文重拾了信心。从论文的开题报告、搜集材料、列提纲，李老师给了我很多的建议和帮助，在此我对我的指导老师表示衷心的感谢，感谢老师对我的耐心指导和帮助。

在这临近毕业之际，借此机会还要感谢大学四年学习生活期间，给我诸多帮助的各位老师和导员，你们给我的悉心指导和衷衷教诲我会永记在心中。感谢你们，是各位代课老师，认真负责的态度感染我，是各位老师，我才能很好的掌握和运用专业知识完成我的毕业论文。

最后我还要感谢陪我度过大学生活的同学们，谢谢你们给我的大学生活留下了美好的回忆。

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

含有变限积分或定积分的极限的求法

含有变限积分或定积分的极限的求法 【摘要】通过对变限积分和定积分的学习和研究,认识到处理含积分极限问题需利用被积函数、变限积分的相关性质,根据极限变量的类型需要相应的解决方法。 【关键词】变限积分定积分极限洛必达法则等价无穷小积分中值定理夹逼准则积分估值定理 1.含变限积分的极限的求法。 1.1 利用洛必达法则。洛必达法则则是在求解型或者型未定式极限的一种行之有效的法则,同时也要注意某些技巧,如:等价无穷小因子代换、变量代换法、恒等变形、有确定极限对的因子先求出极限等。 小结:对变限积分施行适当的变量代换,变形成带有型或型的极限问题后,一般用洛必达法则求解。而对于积分变量不是连续型变量,一般不用洛必达法则求之。 当然,洛必达法则也不是处处可以用的,例如“已知是以T为周期的连续函数,设求”,此题不能用洛必达法则,是因为分子和分母同时求导后得到,其极限不存在。一个比较直观的解法是令,其中。利用被积函数的周期性将积分区间分解成和,最终得到 1.2 换元法。积分中使用换元法实质就是对积分实施适当的变量替换,运用积分基本性质和运算法则,推出所要证明的结果,这是积分中经常使用的方法。 例2.设函数可导,且,求 例3.设在点x=0的某领域内连续,并且,求 解:当时,,令则于是 小结:但是要注意的是在使用换元法时要注意积分上下限要跟着变化,在等式两边上下限相同时,要把等式的一边化为另一边时,一般使用换元法来达到目的。 1.3 利用变限积分的等价无穷小代换。作等价无穷小代换时,如果只对分子或(分母)中的某一项做替换就会出错,必须将分子和分母的整体分别换成它们各自的等价无穷小,但是如果分子或者分母为若干个无穷小因子做替换,这时可以保证所得的新的分子或(分母)的整体与原来的分子或(分母)的整体式等价无穷

定积分的概念和性质公式

1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限

其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点

怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；

在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）

设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立

定积分的性质和基本定理

第二节 定积分的性质 和基本定理 用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭 示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效 §2.1 一、定积分的基本性质 性质 1 b a 1dx=∫b a dx=b-a 证 0 lim →λ∑=n 1 i f(ξi ）Δx i ＝ lim →λ∑=n 1 i １·Δx i ＝0 lim →λ (b-a)=b-a b a 1dx=∫b a dx=b-a 性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］

b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β ∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+β g(x), lim →λ∑=n 1 i F(ξi ）Δx i ＝0 lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］ Δx i ＝0 lim →λ［α∑ =n 1 i f(ξi ）Δx i ＋β ∑ =n 1 i g(ξi ）Δ x i ］ ＝αb a f(x)dx+β∫b a g(x)dx αf(x)+βg(x)在［a,b b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ b a f(x)dx+β ∫b a g(x)dx 特别当α=1,β=± 1 b a ［f(x)±g(x)］dx=∫ b a f(x)dx ±∫ b a g(x)dx 当β =0 b a αf(x)dx=α∫ b a f(x)dx 性质 2 性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意 两点构成的区间上可

考研数学利用变限积分求导计算函数极限的方法

考研数学：利用变限积分求导计算函数极限的方法 在考研数学中，利用变限积分求导来计算定积分、函数极限和证明积分等式或不等式是常考的题型，事实上，变限积分是与微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）紧密联系在一起的，其重要性不言而喻。在上一篇文章中，文都考研数学辅导老师向大家介绍了利用变限积分求导来计算定积分的技巧，下面对利用变限积分求导来计算函数极限这类题的解题方法进行分析介绍，供各位考生参考，希望对大家有所裨益。 变限积分求导的基本公式： 公式1：若()f x 连续，则 ()()x a d f t dt f x dx =?； 公式2：若()f x 连续，12(),()x x ??可导，则21 () 2211()()(())()(())()x x d f t dt f x x f x x dx ??????''=-? 利用变限积分求导计算函数极限的基本方法： 1）如果函数是含变限积分的分式，可以考虑使用变限积分求导法计算极限； 2）通常是对 00型和∞ ∞ 型不定式积分使用，并结合洛必达法则使用； 3）如果被积函数中含参数x ，应该先将参数x 分离出来，提到积分号前面去。 例1. 求极限2 2 2lim x t x x te dt x e →∞ ? 解析：这是一个 ∞ ∞ 型不定式极限，可以运用洛必达法则，而分子是一个变上限积分函数，因此可如下计算：2 2 2 2 2 20 232lim lim 22x t x x x x x x te dt x e x x e xe x e →∞ →∞ ?==+?2 2 lim 11x x x →∞=+ 例2. 0 ()()(0)0,lim ()x x x tf x t dt f x f x f t dt →-≠??若连续，求 解析：这是一个 型不定式极限，可以运用洛必达法则，但分子中的被积函数含参数x ，需要先将x 分离出来，提到积分号外面去，这可以通过积分换元法实现，具体过程如下： 1.()()()()()()()x t u x x x x x tf x t dt x u f u du x t f t dt x f t dt -=-= --= -=-?? ? ? ?

不定积分(含变上限积分)和微分解题方法

不定积分和微分 一、公式 )()(x f dx x f dx d =? 和??+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/ 的应用 注意：)(x f 的不定积分为?+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数?)(x f 是)(x F 的导数，即 ? +=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F = 1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知 ?+=c x F dx x f )())((?，求)(x f 方法：求导得)())((/ x F x f =?，令t x =)(?，则)(1 t x -=?，即))(()(1/x F x f -=? 例1（1）?+=c x dx x f 2 )(，求?-dx x xf )1(2 解：对 ? +=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=，2222)1(x x f -=- 则c x x dx x x dx x xf +-=-=-??3 2)22()1(2 2 2 2 （2）?+=c x dx x xf arcsin )(，求 ? ) (x f dx 解：对? +=c x dx x xf arcsin )(两边求导得2 11)(x x xf -= ，即2 11)(x x x f -= c x x d x dx x x x f dx +--=---=-=??? 23 2222)1(3 1 )1(1211)( 2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知)())((/ x f x F =?，求)(x F 方法：令t x =)(?，则)(1 t x -=? ，即))(()(//t f t F ?=，故?=dt t f x F ))(()(/? 例2（1）x x f 22 / tan )(sin =，求)(x f 解：令t x =2 sin ，则t t -=1cos 2 ，t t x x x -==1cos sin tan 222

定积分基本公式

定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.

例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.

考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点 ()()x a F x f t dt =? 形如上式的积分，叫做变限积分。 注意点： 1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。 2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。 （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。） 关于积分上限函数的理论 定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则?=x a dt t f x F )()(在],[b a 上连续。 定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。 定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x a dt t f x F )()(在],[ b a 上可导，而且有 ).(])([)(x f dt t f dx d x F x a == '? ========================================== 注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12

高等数学第五章定积分总结

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?

变上限定积分函数及其导数教案

高等数学教案 变上限定积分函数及其导数 教学内容：变上限定积分函数及其导数。 知识目标：使学生掌握变上限定积分函数的定义； 使学生了解原函数存在定理的证明； 使学生会熟练运用原函数存在定理求导数。 情感目标：通过原函数存在定理体会积分和微分之间的联系。 教学重点：通过对变上限定积分的掌握和原函数存在定理的结论会求 变上限定积分函数的导数。 教学难点：原函数存在定理的证明。 教学设计：对高职生来说，原函数存在定理的证明过程是本节课的难点，所以采用提前给出储备知识减弱学生负担，同时又辅以数形结合 来形象展示。对变上限积分函数的导数采用讲练结合来强化重点。 教学方法：讲练结合+任务驱动 教学过程： 一课程导入 在前面我们通过两个实例曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引入了定积分的概念。求定积分的过程实际上是求和式的极限一般来说，根据定义求定积分计算是很复杂的，所以，必须寻求一种简单而有效的方法。牛顿-莱布尼兹在创建微积分时，就发现定积分和不定积分有密切的联系。我们第二讲要讲的牛顿-莱布尼兹公式，从而把求定积分的问题转化为求不定积分（既原函数）的问题，为人们计算定积分提供了简便的方法。本节课所要讲的原函数存在定理，在微分

和积分之间建立了关系，牛顿和莱布尼兹利用这种关系用来计算计算定积分，得出了著名的牛顿-莱布尼兹公式。 二 储备知识 引导学生复习下面一些知识点，为后面的知识做准备。 1 原函数：若)()(x f x =Φ'，则)(x Φ是)(x f 的一个原函数。 2 可导的概念：若x x f x ??→?)(lim 0存在 ，则)(x f 可导。 3 复合函数求导：)()())(((x u u f x u f dx d '?'= 4 定积分的积分区间可加性：dx x f dx x f dx x f b c b ???+=c a a )()()(。 5 定积分积分中值定理 ：)())(()(b a a b f dx x f b a ≤≤-=?ξξ。 三 给出课堂任务目标 给出本节课的任务目标，以便让学生明白本节课的主要任务。 本堂课主要有三个任务目标 ：1 掌握变上限积分函数的概念； 2 了解原函数存在定理的证明； 3 会熟练运用原函数存在定理求导数。 四 课程内容 1变上限定积分函数的概念 设)(x f 在],[b a 上连续，],[b a x ∈，则)(x f 在],[x a ，即定积分?x a dx x f )(存在，这样很容易混淆，又定积分的值与积分变量无关，我们把积分变量换成t,即得?x a dt f )t (。若固定积分下限a ，则对任意一个],[ b a x ∈，定积分?x a dt f )t (都有唯一的值与x 对应，所以?x a dt f )t (是上限变量x 的函数，称它为变上限定积分函数， 记作?=Φx a dt f x )t ()(。 从定积分的几何意义来解释变上限积分是x 的函数。

变限积分的性质

变限积分的性质 摘要 变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。 关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用 引言 随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。 1. 变限积分的概念与理解 1.1变限积分的定义 [,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也 可积，于是，由

x,,,()(),[,]xftdtxab (1) ,a 定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x 限函数.类似地，又可定义变下限的定积分: b,,,(),(),[,].xftdtxab (2) ,x 与统称为变限积分; 变量复合函数定义为: ,, uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(), ,,,avxvx()() [,],,,[,]abux()vx()ux()vx() 其中、是定义在上的函数且，. xfxdx() 注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a 以免与积分上、下限的混淆。 x 1.2对变限积分基本概念的理解 ,x2sin;xdxsin;xdx 例题，计算(1)(2)(3)并由此说明不sin.xdx,,,0o 定积分、定积分、变上限积分三者之间的联系。 (,)xcsincos;xdxxc,,，解:(1)= I1, xxIxxdxcosxxx()sincos0cos1cos;,,,,,,, (2) 20,0 ,,,22Ixdx,,,,,,sincoscos0cos1. (3) 30,02 xsinxdxsinxsinxdx 不定积分表示的含有任意常数的原函数;积分是,,0 ,2sinx上限变量的函数，也是的一个原函数;而定积分表示xsinxdx,0 ,sinxx,0一个数，它是的任意一个原函数在与两点处函数值之x,2 差。笼统地说，定积分是数，变上限积分是一个函数，而不定IIx()32 c,1积分是一族函数。即为;此处取可得，;Ixc(,)III,Ixc()，111221 ,取时，，三者既有联系又有区别。 x,II,232 2. 变限积分的性质 2.1连续性: fx()[,]ab 若在上可积，则

变上限积分求导

变上限定积分求导法则： 例如：原函数存在定理：()( )()0x f t dt f x ' =? 如果该函数()f t 再添一个变量x ，那么公式就变为 ()() ()()0 x x xf t dt f t dt xf x '=+? ? 相当于：x 是一个常数，提取在变上限定积分()0x f t dt ?的前面。 举例：（2008年高职升本试卷） 若()f x 在(),-∞+∞内连续，()()()02x F x x t f t dt =-? 证明：（1）若()f x 为奇函数，则()F x 为奇函数。 （2）若()f x 非增，则()F x 非减。 证明：（1）若()f x 为奇函数，则证明()()F x F x -+=0即可。 ()()()()002x x F x x t f t dt xf t dt ''????'=-=-??????????()02x tf t dt '?????? ? =()()()()()002x x f t dt xf x xf x f t dt xf x +-=-?? ()()()()00 2()x x F x x t f t dt x f t dt --''????'-=--=--????? ?????()02x tf t dt -'??????? =()()()()()0 ()(1)2()(1)x x f t dt x f x x f x f t dt xf x ---+-------=---?? 故：()()()()()()00 x x F x F x f t dt xf x f t dt xf x -''+-=----?? ()()()0 0 0x x x x f t dt f t dt f t dt --=+==??? 由拉格朗日定理，可知：()() F x F x C ''+-≡（C 为常数） 当0x =时代入，可得：()()F x F x -+=0。 （2）若()f x 非增，则证明()0F x '>。 由()F x '= ()()0 x f t dt xf x -?

数学分析定积分的基本性质

牡丹江师范学院教案 学院系别：理学院 课程名称数学分析（2）授课专业和班级 授课内容定积分的基本性质 授课学时 2学时 教学目的使学生理解定积分的五个基本性质，并能够运用这些性质进行定积分的计算和估值等问题的处理 教学重点定积分的五个基本性质 教学难点区间可加性及其应用 教具和媒体使用 教学方法 启发式几何直观 反例 教学过程 包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 时间分配 (90分钟)一、复习所需要的知识1．定积分的概念2．可积准则 二、逐次给出定积分的五个基本性质，并加以证明和应用 1、线性运算法则 2、乘积的可积性 3、绝对可积性 4、保不等式性 5、积分区间上的可加性 6、说明一个重要结论定积分与函数再有限点处的值无关三、处理两个综合性问题： 1、证明Schwartz 不等式 2、处理一个与保不等式性相关的重要结论四、总结作业 5 60205板书设计 定积分的基本性质 性质1性质4性质6性质2性质5证明Schwarz 不等式性质3问题2 讲授新拓展内容 关于 ],[2b a L 的介绍 课后总结 定积分的性质再定积分的计算与估值中的作用 系主任 年 月 日

教学过程全设计与教学内容 教学内容 备注 一、复习定积分的概念与可积准则（教师板书） 给出本次课程在概念和可积准则的基础上来研究定积分的基本性质 定积分的基本性质（板书） 二．定积分的基本性质及其证明1.定积分的线性运算法则 定理1若函数,[,]f g R a b ∈，则对任意的常数,R αβ∈有+[,]f g R a b αβ∈，且 []()()d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x αβαβ+=+?? ?证明：应用定积分的定义，此处略。2.定积分的乘积可积性 ,[,]f g R a b ∈，则有[,]f g R a b ?∈. 证明：因,[,]f g R a b ∈，记|()|, |()|f g f x M g x M ≤≤则对任意的0ε>，存在分割1T ，使得1 ()2i T g f x M ε ω?< ∑，同理存在分割2T ，使得2 ()2i T f g x M ε ω?< ∑取分割分割12T T T =+,在此分割下，我们记每个小区间为i ?因使得，则 |()()()()||()()()()||()()()()|,,[,]f x g x f y g y f x g x f x g y f x g y f x g y x y a b -≤-+-?∈进而有 ,,,sup |()()()()|sup |()()|sup |()()()()|, i i i f g x y x y x y f x g x f y g y M g x g y M f x g y f x g y ∈?∈?∈?-≤-+-12 12 12 2 1 ()()()()()i f i g i f i g i T T T T T T T T fg x M g x M f x M g x M f x ωωωωωε +++?≤?+?≤?+?<∑∑∑∑∑（根据分割加细大和不增，小和不减的性质),所以有结论成立。关于乘积可积性的一个注 一般地，()()d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ≠???3.绝对可积性 [,]f R a b ∈，则有||[,]f R a b ∈.且有不等式()|()|b b a a f x dx f x dx ≤??. 证明应用可积准则，略！绝对可积性的一个注

变限积分确定的函数的性质及其应用

变限积分确定的函数的性质及应用 摘要 由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。 关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。

ABSTRACT Limited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications. Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.

浅析反常积分与定积分的定义与性质

浅析反常积分与定积分的定义与性质 浅析反常积分与定积分的定义与性质 浅析反常积分与定积分的定义与性质 刘汉兵1，刘树兵2 （1.中国地质大学（武汉）数理学院，湖北武汉430074；2.湖北省鄂州市第二中学，湖北鄂州436001） 摘要：积分学是微积分理论中的一个重要部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类。这两类积分各自具备一些性质，而这些性质常常被拿来相互比较。本文将从定义出发，结合一些反例，深入剖析定积分和反常积分的性质差异及其原因。 关键词：反常积分与定积分；性质差异；定义 作者简介：刘汉兵（1985-），男（汉族），湖北鄂州人，博士，讲师，研究方向：微分方程的最优控制理论；刘树兵（1982-），男（汉族），湖北鄂州人，本科，高中教师，研究方向：数学教学教育。 积分学是微积分理论中的一个重要组成部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类，反常积分又包含了无穷积分与瑕积分，它们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。粗略来看，反常积分是更为一般的积分，定积分作为更为特殊的积分，应该具备反常积分所具备的性质。但

是在这部分内容的学习过程中，可以看到反常积分与定积分的一些性质有所区别，甚至从表面上看，反常积分的一些性质，定积分并不具备。本文将从定义出发，剖析这些性质的差异及其原因，以更加准确深刻的理解定积分和反常积分的异同。 一、无穷积分与定积分的定义与性质 我们知道对于无穷积分，有如下的一个重要性质。 这显然是不合情理的，因为无穷积分是定积分的推广，定积分是更为特殊的积分。仔细分析会发现，上述两个命题中第二个命题即为定理2的结论，是真命题，而命题一看似定理1的结论，但是它与定理1的描述相比，去掉了一个非常重要的条件：“f在任何有限区间[a，u]上可积”，所以命题一是错误的。实际上，我们上述定义的函数E（x）可以更直接的说明命题一是不对从定理的证明我们也可以进一步认识到A、B两部分内容的差异对定理结论的影响。定理1的两个证明都是围绕积分上限趋于正无穷时，变上限积分极限的存在性展开的，而定理2的证明则是依赖于有限区间上的可积性定理，即证明当划分足够细时，Daboux大和与Daboux小和收敛到同一个极限，这是完全不同的两个对象。另一方面，我们从证明里面看到，定理1确实是依赖于条件A的。在定理1的证明里，我们用到了f（x）在任一有限区间上的定积分，如果没有条件A，这些定积分是不存在的，这也说明了为什么不能运用定理1的证明方法得到定积分的类似性质。

定积分的基本性质

定积分的基本性质 一、定积分的基本性质 性质1: ∫b a1dx=∫b a dx=b-a 证: f(ξi)Δx i＝ 1·Δx i＝ (b-a)=b-a 所以 ∫b a1dx=∫b a dx=b-a 性质2:(线性运算法则):设f(x),g(x)在［a,b］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且 ∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由 F(ξi)Δx i＝［αf(ξi)+βg(ξi)］Δx i ＝［αf(ξi)Δx i＋βg(ξi)Δx i］

＝α ∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx， 因此 αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且 ∫b a［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b a g(x)dx 特别当α=1,β=±1时，有 ∫b a［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx±∫b a g(x)dx 当β=0时 ∫b aαf(x)dx=α∫b a f(x)dx 性质2主要用于定积分的计算 性质3:对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则 ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx 证:a,b,c的位置，由排列知有六种顺序 (i)当a

f(ξi)Δx i ＝［f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i］ ＝f(ξi)Δx i＋f(ξi)Δx i ＝ ∫c a f(x)dx+∫b c f(x)dx (ii)当c0，有f(ξi)Δx i>0有

不定积分概念及其基本运算性质

备课本 Lesson Preparation ______--______学年第____学期 Academic Year - Semester 课程名称_______________________ Course 教材名称及版本_______________________ T extbook and Edition 授课班级_______________________ Class 教师姓名_______________________ Teacher 审核人_______________________ Approver

填写说明 1、此备课本用来书写教案，适用于所有专职教师、兼职教师和兼课教师。 2、所有承担教学任务的教师需书写纸质版教案，如因使用多媒体教学需要和教学任务繁重，可用电子版教案，但格式必须按纸质版格式，且所有教案的书写应与学期授课计划相符合。 3、备课过程中的各个环节和要素可根据实际授课内容进行填写。如： 授课课题：（教学章、节、标题或项目名称） 教学目标和要求：（教学目标一般说应包含知识教学、能力发展和思想教育三方面内容，教学要求是指识记、理解、简单应用、综合应用等层次） 教学重点和难点：教学重点，是为了达到确定的教学目的而必须着重讲解和分析的内容；教学难点，是就学生的接受情况而言的，学生经过自学还不能理解或理解有困难的地方，即可确定为教学难点。 教学方法：（讨论、启发、演示、辩论、讲练结合、案例教学、情境模拟等） 教学手段：（多媒体教学、录像带、挂图、幻灯片等） 授课时间：第周 课时累计： 教学过程：（体现教学步骤，包括时间分配和教学内容教学进程）作业布置：（含思考题、讨论题） 课后反思：（因为课后反思是教案实施效果追记，课前还不能打印，只能课后用笔手写） 4、备课本的审核人为各教研室（项目中心）主任。

3变限积分函数的性质及其应用

404 §3 变限积分函数的性质及其应用 由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。 3.1 变限积分 定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念： 注 由于 ?? -=x b b x dt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限函数即可。 证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 对[a ，b ]上的任一点x ，只要[],x x a b +?∈，按照Φ的定义有 ()()x x x a a x x x fdt f dt +??Φ=Φ+?-Φ=- ? ? 。 又函数 ) (x f 在[a ， b ]上可积，则 ) (x f 在[a ， b ]上有界，即存在正数M ，对 一切[],x a b ∈有()f x M ≤。又当0x ?≥时有 x x x x x x x x x f d t f d t M d t M x +?+?+??Φ=≤≤=?? ? ? 。

405 又不难验证，当0x ?<时，上述不等式M x ?Φ≤?仍然成立。从而有 lim 0x ?→?Φ=。这就证得Φ在[],a b 上的连续性。 3.2 微积分学基本定理 1 变限积分的可微性 ——微积分学基本定理 当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。 证 ],[b a x ∈?，任取0≠?x ，且],[b a x x ∈?+，则 ? ? - = Φ-?+Φ=?Φ?+x a x x a t d t f t d t f x x x )()()()( ? ? ? ? ?+?+= - + = x x x x a x x x x a t d t f t d t f t d t f t d t f )()()()(， 由积分中值定理知，存在ξ 介于x 与x +?x 之间，使得 x f ?=?Φ)(ξ， 由于x x →?→?ξ0，再由导数定义及) (x f 的连续性知 )()(l i m )(l i m l i m )(00x f f f x x x x x ===??Φ =Φ'→→?→?ξξξ。 注 (1) 当],[b a C f ∈时， ? = Φx a dt t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数 恰为被积函数在上限的值。 亦即 )(x Φ是)(x f 的一个原函数。即连续函数必有原函数，因此定理1又称原函数存在定理。 (2) 变上限函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视。我们将这里拓宽一下。 若)(x ?可导，则)(x ?与变上限函数)(x Φ构成了复合函数?) ()(x a t d t f ?，由复 合函数求导法则知