正比例函数概念
第十九章一次函数
佃.1 函数
19.1.2 函数的图象 第1课时 函数图象及其画法 第2课时 实际问题中的函数图象
经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联糸的天键是分别用点的横、 纵坐标表示自变量和对应的函数值
会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律
通过观察实际问题的函数图象，使学生感受到解析式法和图象法表示函数关系的相互转换这一 数形结合的思想.
多媒体：PPT 课件、电子白板
教学活动
1. 小明想用最大刻度为100 'C 的温度计测量食用油的沸点温度 (远高 于100 C )，显然不能直接测量，
于是他想到了另一种方法，把常温10 C 的食用油放在锅内用煤气灶均匀地加热 ，开始加热后，每隔10 s 测量一
次油温，共测量了 4次，测得的数据如下:
请你按下面的问题进行思考:
⑴在这个测量过程中，锅中油的温度 w 是加热时间t 的函数吗?
(2) 能写出w 与t 的函数解析式吗？ (3) 求这种食用油的沸点温度. 2.求下列函数中自变量 x 的取值范围.
① y = 2x 2 + 7;②尸一1 + .x - 2
x + 2
教学设计
课题 第1课时 函数图象及其画法
第2课时实际问题中的函数图象
授课人
知识技能 了解函数图象的意义，掌握画函数图象的方法.
情感态度
通过生动实例激发学生的探索精神
教学 重点 函数图象的意义及画法，从图象中获取信息. 数学思考 问题解决
教学 难点 授课 类型
新授课
课时
教具
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
时间t/s
0 10 20
30 油温w/ C 10
25 40 55
油的沸点温度.他是怎样计算的呢?
温故知新，为抓住 本节重点，突破难点做 知识储备，为本课的学 习提供迁移或类比方
他测量出把油烧沸腾所需要的时间是
，这样就可以确定该食用
【课堂引入】
函数是描述运动和变化过程的重要数学模型，试观察下面问题中，
当自变量的值增大时，函数值如何变化？
(1) 某射击运动员训练的射击次数n和射击成绩y(单位：环)之间的对应关系如下：
n/次123456
y/环8.98.688.499.8
⑵如图19- 1 -,小球从高为4 m,坡角为45°的斜坡坡顶开始滚下，小球
离出发点的水平距离为x m,离水平面的高度为y m, y随
着x的变化而变化.
⑶如图19- 1 —是北京市某天24小时内气温的变化图，气温T随时间t的变化
而变化.
9 IOJJ 吟比M 出M 门18 19 30 21 22 阳。L H彳4 $ $ 7 g 旳1]
图19- 1 -
(4) y = x2- 2x.
上述4个问题中，你能观察到当自变量增大时，函数值是怎样变化的吗？
(1)当自变量的值n取1，2, 3时，函数值y随着n的增大而减小，当n取4,
5, 6时，y随n的增大而增大；
(2) y随着x的增大而减小；
⑶在9?14时，T随着t的增大而增大，14?16时，T基本不变；16?次日5
时，T的值随着t的增大而减小；次日5?8时，T变化不大;
(4)不能直接看出.
上述4个问题中，函数值随自变量的增大的变化规律，哪一个最清
楚，哪一个最不清楚？为什么？
—irT 图
19- 1 -
活动
创设
情境
导入
新课
1.利用大量的实例引
入课题，使学生经历从现
实生活中抽象岀数学问题
的过程,从而激发学生的
好奇心和求知欲.
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图19- 1-
问题⑵中去掉斜面，保留运动时经过的路径，建立如图所示的直角 坐标系，就可以看出x ，y 分别是小球所在位置的横纵坐标 ，小球运动过
程中，y 随着x 的增大而减小.
也就是说，以满足函数关系的自变量的值和对应的函数值分别为横 纵坐标，画岀
这些点，并用光滑的曲线连接这些点 ，就得到一个能直观 反映变量之间关系的图象，从这个图象中可以方便地看岀当自变量增大 时，函数值怎样变化.
看看问题（3），是否有这样的特点？
说明这样得到的图形能直观地反映岀函数值怎样随自变量的变化而 变化，这样的图形我们称之为函数的图象 .
【探究1】
在上面的问题中，我们了解了函数图象是坐标平面上以自变量的值 为横坐标、以对应的函数值为纵坐标的点组成的曲线
，函数图象直观地
反映了变量之间的对应关系和变化规律.那么，怎样画一个函数的图象 呢？
例［教材P77例3改编］在下列式子中，对于x 的每一个确定的值 y 有唯一的对应值，即y 是x 的函数，请画出这些函数的图象.
这个函数的自变量的取值范围是什么？为什么表格中一 3前和3后
还有一栏要写省略号？
画岀的图象是什么？图象上的点从左向右运动时
，这个点是越来越
高还是越来越低？能否用坐标解释这一图形特点？当自变量的值越来越 大时，对应的函数值怎样变化？
学生自主练习：画出函数y = 6（x >0）的图象.（教师提示学生注意自变
ZV
量的取值范围）
活动
创设 情境 导入 新课
2.挖掘和利用现实
生活中与函数图象有关 的
背景，让学生在观察 中认识、理解函数的图 象.
6
(1)y = x + 0.5; (2)y = x (x > 0). (1)列表画图如下：
活动
实践 探究 交流 新知
x
-3 -2 -1 0
1 2 3
y
-2.5
-1.5
-0.5
0.5 1.5 2.5
3.5
图 19- 1 -
1.引导学生观察、 分
析、类比、猜想，体 验知
识的生成过程，使 传授的数学知识成为学 生自己思
考获得的结 果，从而抓住了重点， 突破了难点.
x
0.5
1 1.5 2
2.5 3
3.5
4 5
6
y
6
3
2
1.5
根据表中数值描点 (x ，y)，并 F 用平'曲线连接这些点 (图 9 — —).
归纳：
画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线 ，这种画函数图象的方
法称为描点法. 【探究2】
我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵 坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在 函数图象上？
(1)判断下列各点是否在函数 y =x + 0.5的图象上？
①(-4，— 4.5):②(4，4.5).
6
⑵判断下列各点是否在函数 y = x (x > 0)的图象上？
ZV
①(2, 3);②(4, 2). 【探究3】
请画岀下面问题中能直观地反映函数变化规律的图象： 正方形的面积S 与边长
x 之间的函数解析式为 S = x 2. 思考： (1) 这个函数的自变量的取值范围是什么？ (2) 怎样获得组成曲线的点？
⑶怎样确定满足函数关系的点的坐标？
(4)自变量x 的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值
S 是否唯-
确定了一个点(x ，S)呢?
解：⑴填写下表：
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
S
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
活动
实践 探究 交流 新知
2. 使学生领会和掌
握图象的意义，培养学 生的观察、归纳、概括 等探
究能力
3. 以教材例题为素
材，使学生抓住重点知 识.
描点连线，如图19- 1 —, 一般地，对于一个函数，如果把自变 量与函数
的每对对应值分别作为点的横、纵坐标
，那么坐标平面内由这
些点组成的图形，就是这个函数的图象.如图19-1 —中的曲线就叫函数 y =6(x > 0)的图象.
X
用空心圈表示不在该曲线的点 ，用平滑曲线去连接画岀的点. 【应用举例】
例1 ［教材P76例2］如图19- 1—所示，小明家、食堂、图书馆在 同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家， 图19- 1—反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 之间的对应关 系.
1. 应用迁移、巩固
提高，培养学生解决问 题
的能力.
2. 训练学生的识图
能力，规范学生的解题 思路.
图 19- 1 -
根据图象回答下列问题：
(1) 食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2) 小明吃早餐用了多少时间？
(3) 食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ (4) 小明读报用了多少时间？
(5) 图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少?
活动
实践 探究 交流 新知
4.通过学生亲自动
手实践，提高学生对知
识的应用能力.. 活动
开放 训练 体现 应用
小明家
倩堂 图书馆
图 19- 1 -
LjjZkm
活动
开放训练体现应用
活动四：课堂总结反思
例2王教授和孙子小强经常一起进行晨炼，主要活动是爬山.有一天，小强让爷
爷先上，然后追赶爷爷.图19 - 1 -中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y
（米）与爬山所用时间x（分）的关系（从小强开始爬山时计时）.
问题1：图中有一个直角坐标系，它的横轴和纵轴各表示什么？
（横轴表示两人爬山所用时间，纵轴表示两人离开山脚的距离）
问题2 :如图，线段上有一点P,则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？
（P的坐标是（3, 90），表示小强爬山3分钟后，离开山脚的距离为90 米）
我们能否从图象中看出其他信息呢？（1）小强让爷爷先上多少米？
⑵山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？
解：（1）小强让爷爷先上60米.
⑵山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶
总结：在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标
意义?如图中的点P（3，90），这一点表示小强爬山3分钟后，离开山脚的距离为
90米.再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的
现实情境.图中的两条线段都可以看岀随着自变量x的逐渐增大，函数值
y也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离
越大，当x达到最大值时，也就是到达山顶.
【当堂训练】
1. 画岀下列函数的图象，并指岀当x的值增大时，函数值怎样变化？
（1）y = 4 —2x; （2）y = -2x2+ 1.
2.
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T
如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？
小结与作业:
1?知识的综合与拓
展，提高应考能力.
2加深对函数图象
的理解，强化学生的识图
能力，让学有余力的学生
发挥潜能.
1. 当堂检测，及时反
馈学习效果.
2. 学生小结能发挥学
生的主体作用，逐步提高
学生的语言表达能力和自
我获取知识的能力.