一种有限变形情况下高聚物本构模型
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科技创新导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ科 研 报 告
２００８ ＮＯ．３６
Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ科技创新导报
１ 引言
粘弹性变形是指高聚物在外力作用下的既不符合虎克定律，又不符合牛顿定律，而是介于弹性和粘性之间，应力同时依赖于应变和应变率的一种变形。许多研究者就提出过不同的模型，如一根弹簧和一个粘壶的并联模型（ｋｅｌｖｉｎ－Ｖｏｉｇｔ模型）、串联模型（Ｍａｘｗｅｌｌ模型）、标准固体模型以及四元件模型等等。本文对经典的粘弹性模型进行了修改。
弹塑性变形采用率无关本构关系，关于有限弹塑性变形的唯象理论，Ｎｅｍａｎｔ－Ｎａｓｓｅｒ和Ｎａｇｂｄｉ做过全面的讨论。在经典的率无关弹塑性理论中，有限变形通常分解成塑性变形和弹性变形两个部分，这两个部分分别通过各自的控制方程来描述。但同时也存在着两个问题，（１）有限变形中变形率分解成弹性、塑性两部分之和来理解，（２）率（微分）型本构方程中张量客观率（导数）的选择。许多研究者提出了多种客观率，其中经典的客观率有物质共旋率、相对共旋率（Ｄｉｅｎｅｓ，１９７９）、欧拉标架共旋率（Ｓｏｗｅｒｂｙ，１９８４）。但是至今不能证明任何一种客观应力率对于弹塑性本构关系是正确的。采用上面的几种常见客观应力率本构关系退化到弹性时，即次弹性模型，与一般的弹性理论不一致。
２ 一维粘弹塑性本构模型
一维粘弹性本构模型是在标准线性固体的改进（Ｓ．Ｇ．Ｂａｒｄｅｎｈａｇｅｎ，１９９７），由Ｍａｘｗｅｌｌ模型和一个线性弹簧并联组成．线弹性弹簧应力应变
关系可以写成
，这里Ｅｓ
、εｓ
分别是应力和应变。
线性粘壶的
变形关
系
是
，这里
，分别指的应力和应变率，η
ｄ
指的是粘度。本文把粘度看成一个关于应变率的函数，按照非牛顿体表示为（Ｂｉｒｄ ｅｔ ａｌ，１９９７）。
（１）
控制方程我们可以表示成，准固体模型的应力可以写成Ｍａｘｗｅｌｌ模型的应力σＶ和弹簧部分的应力σＥ。Ｍａｘ－ｗｅｌｌ模型和线性弹簧的控制方程我们可
以分
别表
示成
，
，
。根据上式控制
方程可以写成
一维粘塑性本构关系模型的思想就是在一维粘弹性模型的基础上加上一个弹塑性弹簧。弹塑性弹簧是一个滑动单元，弹性模量为Ｅ，当单元应力大于滑动应
力Ｙ时，模量为
，这里
是非线性弹簧的应力应变关系，
，弹塑性弹簧
的本
构
关系
根据塑性流动率我们可以写成
（２）
这里是屈服面，一维模型的
控制方程为（
）
（３）
３ 三维粘弹塑性本构模型
取Ｌａｇｒａｎｇｅ坐标系ＸＡ与Ｅｕｌｅｒ坐标系x i 重合的直角坐标系，速度，变
形梯度Ｆij ，速度梯度Ｌij 和变形率张量Ｄij 。对于各向同性材料，我们分别通过体积部分和偏量部分两部
分考
虑
。
三维有限变形下的控制方
程可以
写成
（
）（Ｓ．Ｇ． Ｂａｒｄｅｎｈａｇｅｎ，１９９７）
（４）
这里的指的是客观应力率，通过式（２）
我们可以得到三维情况下
的关系为
（５）
根据一维情况下（５）式和塑性流动率，
我们可
以
得到
（６）
这里J ２是弹塑性应力
的第
二不变量
，
是塑
性
变形率，
（塑性变形是不可压缩的），是等效塑性应变率。
４ 简单剪切变形计算
简单剪切变形往往作为各种理论比较的算例。它的运动方程为x １＝X １＋kX ２，x ２＝X ２，x ３＝X ３。式中x i 和X i （i ＝１，２，３）分别是即时和初始构形的直笛尔坐标。我们可以求出变形梯度
F ，变形率D ，物质旋率W ，相对旋率
，以及对数旋率Ωlog 。（Ｂｒ
ｕｈ
ｎｓ，
１９９９）
采用本文给出的本构模型和旋率取作对数旋率，计算粘弹性部分简单剪切变形时的应力响应。图１为粘弹性部分应为曲线。
５ 小结与展望
本文以粘壶和线性弹簧为出发点，提出了三维有限变形下粘弹塑性本构模型，结和塑性应变流理论，提出了各向同性材料的本构关系。近几十年来，科学家们进行了积极的探索，对高分子材料非线性粘弹性本构关系进行了较为细致的研究。高分子材料的本构关系通常采用两种理论来描述，一种是连续介质力学理论，另一种是
分子网络理论。无论哪一种理论都是为了能尽可能完善的对高聚物的本构进行研究。目前已经有许多不同的高聚物本构模型，但是没有一种本构模型可以说是完美无缺的，因为在高聚物本构研究领域还有许多未能解决的问题。
参考文献
［１］ Ｂｒｕｈｎｓ Ｏ，Ｘｉａｏ Ｈ，Ｍｅｙｅｒｓ，Ａ．，Ｓｅｌｆ－
ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ Ｅｌｅｒｉａｎ ｒａｔｅ ｔｙｐｅ
一种有限变形情况下高聚物本构模型
叶飞
（宁波大学 浙江宁波 ３１５２１１）
摘 要：根据一维弹簧和阻尼器的组合，我们模拟了高聚物率相关性、应力松弛和徐变。以此为出发点，我们建立了三维有限变形下高聚物的本构模型。模型中，采用了粘弹性和弹塑性并联组合，在粘弹性中，本文客观应力率采用了对数共旋应力率，弹塑性分析中采用了有限变形的弹塑性变形分解，这种分析不同于变形率的弹塑性和式分解，也不同于Ｌｅｅ的变形梯度弹塑性乘积分解，本构关系客观性要求体现在率型本构方程得积分之中。最后，在不同在加载条件下进行了简单剪切变形计算。关键词：高聚物材料 有限变形 简单剪切变形 本构模型 粘弹塑性中图分类号：Ｏ３４文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－０９８Ｘ（２００８）１２（ｃ）－００２１－０２
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科 研 报 告
科技创新导报ｅｌａｓｔｏｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｍｏｄｅｌｓ ｂａｓｅｄ ｕｐｏｎ ｔｈｅ
ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｓｔｒｅｓｓ ｒａｔｅ ，１９９９ ４７９－５２０
［２］ Ｂａｒｄｅｎｈａｇｅｎ Ｓ Ｇ，Ｓｔｏｕｔ， Ｍ Ｇ，Ｇｒａｙ，
Ｇ． Ｔ．： Ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，ｆｉｎｉｔｅ
ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｖｉｓｃｏｐｌａｓｔｉｃ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｐｏｌｙｍｅｒｉｃ ｍａｔｅｒｉａｌｓ［Ｊ］．１９９７．
Ｍｅｃｈ．Ｍａｔｅｒ．２５，２３５－２５３
图１左图和右图分别为粘弹性部分正应力和剪应力与ｋ在不同应变率下变形关系
［３］ Ｓ Ｇ Ｂａｒｄｅｎｈａｇｅｎ： Ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，
ｆｉｎｉｔｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｖｉｓｃｏｐｌａｓｔｉｃ ｃｏｎｓｔｉ－ｔｕｔｉｖｅ ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ ｐｏｌｙｍｅｒｉｃ ｍａｔｅｒｉａｌｓ．１９９７．２３５－２５３
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ｒａｔｅｓ ａｎｄ ｓｔｒａｉｎ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｉｎ ｈｏｍｏｇｅ－ｎｅｏｕｓ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．Ｉｎｔ，Ｊ．Ｓｏｌｉｄｓ
Ｓｔｒｕｃｔ，１９８４，１０３７－１０４８
［５］ Ｍｅｔｚｇｅｒ Ｄ Ｒ，Ｄｕｂｅｙ，Ｒ Ｎ，Ｃｏｒｏｔａｔｉｏｎａｌ
ｒａｔｅｓ ｉｎ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ｅｌａｓ－ｔｉｃ－ｐｌａｓｔｉｃ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，１９８７，Ｉｎｔ．Ｊ．Ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ，３４１－３６８
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ｓｔａｔｅ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＡｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ ，１９９０， ３１５－３９３
［７］ 黄克智，黄永刚．固体本构关系［Ｍ］．北
京：清华大学出版社，１９９９．
稿件要求：
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2013数学建模——古塔的变形
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编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
古塔的变形数学模型 摘要: 本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。 对于问题二，我们分别研究该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，通过建立数学模型来确定变形的程度。 首先，用各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。用古塔各层中心点进行平面拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。 古塔的倾斜变形必然会导致在同一层中，测点存在高程的绝对差h，如果古塔只存在倾斜变形的话，每层的h值会相等；如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层的h值会发生改变。所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差h的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。 古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。 对于该塔的变形趋势的研究，将倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归。再用得到的回归方程预测未来几年的数据，结合用excel画出的图来预测古塔在未来时间里的变形趋势。 关键字：线性回归变化趋势拟合预测
古塔的变形模型
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、我网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：sm063 所属学校（请填写完整的全名）：山东现代职业学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 马昱轩 2. 李倩 3. 梁帅健 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：宋祖芳 日期：2013年 9月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：sm06303
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
古塔的变形模型 摘要 某古塔是我国重点保护文物,已有上千年历史。由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。基于附件1提供的4次观测数据：对于问题1，1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据（因MATLA B程序中用的是循环语句，所以计算时赋予0值），其它各层均给出8个点的观测值，为使所得数据更具真实性，确定古塔各层中心位置的方法更具适用性，本文将每层所给8点构成的图形看做不规则八边形，用中垂线求交点法求得古塔各层中心坐标。 对于问题2，结合问题1的分析，采用垂直投影法[1]求古塔的倾斜度，根据所得数据，分析古塔的倾斜程度（因1986年和1996年13层赋予值后所得数据偏差较大，为使所得数据更具真实性，所以本问题起1986年和1996年13层数据予以舍弃）；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过x轴、z轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在x轴、z轴的界面的弯曲程度。同理，也可分析y轴、z轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法[1]求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。 对于问题3，利用问题1、2所得数据，进行合理的分析与猜想，进而分析出古塔塔身的倾斜、弯曲、扭曲等变化趋势。 本文的模型解决了题目给出的问题，计算过程中充分尊重观测数据，给出更符合实际的结果。 本文所得结果大部分由图表给出，结合图像，较为直观地表现出古塔变形情况。结果表明，采用MATLAB数学软件可得出可靠结论。 关键词：古塔变形监测MATLAB垂直投影法倾斜度
2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文
2013年全国大学生高教杯数学建模C题古塔变形论文
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2020数学建模-古塔的变形
2013数学建模-古塔的变形
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古塔的变形高教杯数学建模c题答案word版
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题目：古塔的变形 摘要 古塔是展现中国古代悠久历史的文化载体，是我国古代具有代表性的建筑，它不仅蕴含了丰富的历史信息还见证了古代建筑师的建筑之精妙。本文针对古塔长时间承受自重和外力作用引起的组合变形问题，采用数据处理、几何分析及曲线拟合的方法，利用matlab等数学软件编程、计算，给出了确定古塔各层中心位置的通用方法，根据所给的各次测量数据计算出古塔各层的中心坐标，分析了该塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况对变形趋势做了预测。 针对问题1，我们首先要根据这几年来四次古塔的数据变化情况，用建模软件MATLAB 制作成模型图，用数学建模中拟合的方法来画出塔的基本形状，再确定古塔每层的中心点，建立中心点拟合线方程模型，观察是否有倾斜、扭曲、变形等情况。 针对问题2，古塔倾斜的原因主要与日光照射、地基活动有关。首先朝向阳面的地基水分较少，阴面的地基水分较多，于是1万多吨的塔，开始向水分较多，地基松软的方向倾斜。另外大量的地下水开采影响了地基的稳固，而古塔附近的铁路运输，也会造成震动。而且，受到地基的不均匀沉降、地震、大风等影响，都会有可能倾斜等变形情况。 针对问题3，根据管理部门委托的测绘公司的数据表来看，古塔每年都以很小的角度在偏移，由于各种人为或者自然原因，使得古塔慢慢的倾斜为斜塔，斜塔并不一定都会倒塌，只要塔的重心线（通过重心点所引的垂直线）还在塔的底面积范围内，塔就是安全的。因此纠偏要根据每座塔的具体情况而定。且一般来说，有些塔在倾斜的过程中，原本松软的地基会被渐渐压实，然后与倾斜角度构成新的平衡，便就此稳定下来。 关键词: 古塔组合变形倾斜弯曲扭曲中心位置变形趋势 一问题复述 古塔是有着特定的形式和风格的东方传统建筑，是中国五千年文明史的载体之一，被誉为中国古代杰出的高层建筑。但由于存在时间久远，受各方面影响，古塔的可能会发生变形。文物部门为了更好地保护古塔，必须对其进行适时的观测，确定各种变形量，根据变形量，预测古塔的变形趋势，最后制定必要的保护措施。 请根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题： 1、给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 2、分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3、分析该塔的变形趋势。 二问题的分析 本文研究的是古塔的变形问题。在给出了的一个古塔实例以及相应数据（附件1，该实例古塔的4次观测数据）的条件下，我们需要用建立该古塔的各层中心位置的通用方法，且列表给出各次测量的古塔各层的中心位置。并进一步分析该古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，最后分析该古塔的变形趋势。
古塔变形
古塔变形 摘要 本文主要通过对倾斜、弯曲、扭曲三个角度研究，来分析古塔的变形趋势。 针对问题一，由于观测数据缺失现象，本文先进行数据的预处理，再采用空间圆的拟合方法，建立空间球体和斜平面所组成的方程组来求解。同时结合运用MATLAB软件，计算出4次测量的古塔各层中心坐标，并以列表形式给出。 针对问题二，本文假设古塔的第一层是水平的，首先过古塔的塔顶的中心点作第一层的垂线，作出射影，构建直角三角形，得到射影和垂线的比值作为衡量古塔倾斜程度的指标。发现随着年份增加，古塔倾斜程度越大，但1986年—1996年、2009年—2011年的变化幅度不大，1996年—2009年的变化幅度较大。对于研究弯曲度，将各层的中心连线向X-Z平面及Y-Z平面进行投影，分别比较两者的方差得出向X-Z平面投影的研究价值更大。通过曲线拟合求得4年曲线对应的方程，利用曲率公式求得曲线上各点的曲率值来分析古塔的弯曲程度，得出从1968年到1996年，各层的曲率有增长趋势，从1996年-2011年各层的曲率逐渐递减。最后，将相邻两层的中心连线投影到第一层中，得到的夹角大小来确定古塔的扭曲情况，得到各年各层的扭曲率不存在明显的递变规律。 针对问题三，本文从倾斜、弯曲、扭曲三个方面采用灰色预测模型GM(1,1) 进行拟合与预测，并得出各因素相对于各层的时间响应函数，经检验得出扭曲程度最容易预测，其次是倾斜程度，而弯曲程度不易预测。 关键词：古塔变形；空间圆拟合；投影；灰色预测模型GM(1,1)
一．问题重述 塔，作为一种古代高层建筑，不但标志着古代人们征服自然的胜利，同时也记录了当时的历史和工艺。塔的挺拔高耸的姿态，对佛寺组群甚至城市轮廓面貌都起着一定的美化作用，也成为今天的地标性建筑。塔采用多种结构，也有变化多端的造型，在中国建筑史上独树一帜，是我国古代优秀的文化遗产。 但是这类建筑物由于长细比大、重心高，且由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响等。因此对地基要求非常高，因而许多古塔都产生了不同程度的倾斜。特别是砖石结构的古塔，自重大、强度低，一旦倾斜，往往造成倾斜一侧地基应力集中，又进一步加速了建筑物的倾斜。虽然塔身的倾斜在美学上营造了一种缺憾美，但在古建筑的保护中应该遵循‘保护第一”的原则。因此，对于倾斜古塔的纠偏应该慎重，在保证安全的前提下，应尽量保持其原貌。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以致定必要的保护措施。 我国目前对于倾斜古塔的保护通常采用扶正纠偏的方法，而对古塔的研究也大多集中于如何扶正以及在非倾斜状态下结构性能的分析上。 某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。 根据4次观测数据，进行分析 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。 二．问题假设 1.假设古塔的塔体是完全刚性的； 2.假设观测点均具有代表性； 3.假设古塔第一层是水平的； 4.假设观测方法正确且测量仪器精度较高； 三．符号说明 ()c b a ,,： 空间球体的球心坐标； i ： 表示塔的层数； ??: 第i 层的中心位置相对第一层水平偏移的距离 H ?: 第i 层到下一层平面的距离； 1→i α： 第i 层塔与底层塔形成的倾斜度； ),,(i i i z y x ：表示第i 层的中心位置坐标； ： 相邻两个中心位置点向量； 'z ： 曲线拟合函数一阶求导； ''z ： 曲线拟合函数二阶求导； 1→n θ: 第向量与第向量的角度；
古塔变形分析
古塔变形的分析 摘要： 文物部门需要适时的对古塔进行观测，了解各种变形量，以制订必要的保护措施。 附件1给出了对古塔的四次测量数据，是每层八个测量点的三个坐标值，但1986年和1996年对塔的第13层的测量点5的数据值是缺失的，为了对塔的变形进行准确的分析研究，我们首先应用MATLAB7.0工具箱的数据拟合功能，取1986年和1996年每层观测点5的测量数据x 和y 坐标值，用这些已知数据值对第13层的测量点5的x 和y 坐标值进行二次曲线拟合，假设塔的每层高度是相同的，用第13层的z 的平均值来预测点5的z 坐标，则1986年和1996年第13层点5的坐标分别是x=567.992，y=519.727，z=52.83429和x=567.992，y=519.737，z=52.83 对所给测量点坐标应用MATLAB7.0做3维线图，直观看出测量点在每层为均匀分布的8个点，各层为正八边形，且随着楼层的增高每层边长逐渐减小，可以推测该古塔为上小下大的八角塔。进一步通过对测量得到的各层的相邻两点间的坐标值应用空间两点间的距离公式：221221221)()()(z z y y x x d -+-+-=计算边长，每层边长近似相等，可以进一步看出该古塔是一个八角形塔。 对第一问：因为该塔是一个正八边形塔，对于中心坐标我们认为是每层的中心，就是该层的坐标中心位置，我们取各层8个测量点坐标的平均值作为该层的平均值，并计算出了该塔每层的中心坐标。 对第二问：以第一层中心坐标为起始点向上一层的中心坐标做向量计算各向量与X 、Y 、Z 轴的夹角来判断古塔的倾斜、弯曲、扭曲，根据4次各层中心向量与X 、Y 、Z 轴的夹角的变化我们得出1986和1996年塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况不明显，2009和2011年情况基本相同，但是在第5层到第7层发生扭曲，第8到11层发生弯曲、扭曲，第12到13层发生倾斜，最后倾向于X 轴。 对于第三问：由第二问的分析情况可以得出该塔发生扭曲、弯曲、倾斜等情况，所以该塔会随着时间的推移第12到13层会发生倾倒。 关键词：曲线拟合；空间两点间距离公式；空间物体几何中心；MATLAB7.0；空间向量方向角
古塔模型
古塔变形问题 摘要 文物是国家不可再生的文化资源，为了更好地加强对历史文物和国家重要文化遗产的保护，提出具体的保护措施和实施方案，所以分析古建筑的变形情况和变化趋势尤为重要。本文主要研究国家重点保护文物---古塔的变形情况及变形趋势。 对于问题一：本文运用空间直线方程求解缺失数据，然后将古塔的每一层看做正八边形，将中心看做重心进行求解。 对于问题二：本文运用了投影分析等方法求解出倾斜、弯曲、扭曲的情况。、对于问题三：由于古塔的变形是长时间积累作用，将各种形变对时间做回归拟合，并进行了验证，在此基础上推测出未来几年的变化情况。 最后为保护古塔，在古塔产生各种变形程度和预测的基础上给管理部门提出了合理建议，为古塔保护做了基础性准备工作，可供以后古塔的纠偏加固工程参考。 一、问题重述 由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。 某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了四次观测。 请你们根据附录1提供的4次观测数据，讨论以下问题： 1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层 中心坐标。 2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3.分析该塔的变形趋势。 二、问题分析 2．1问题一的分析：
问题一是关于几何图形中心的计算问题，由附录1数据可知，该塔是八边形，在此我们假设其为正八边形。于是我们首先需要进行的工作是数据补缺，我们利用空间直线方程的求解，计算出了缺失的数据。然后，我们将古塔的中心假设为正八边形的重心进行求解。 2.2问题二的分析： 问题二要求我们利用题目所给的测量数据和问题一求解出的数据，建立模型来度量模型的各种变形程度，要求分别针对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行分析，找到能充分描绘他们的数学量，然后找到计算这些数学量的方法。 针对古塔倾斜情况的分析，我们从古塔底面的中心到顶部的有效中心（可能是塔尖或者较高的某层中心）的向量与竖直方向的夹角，作为古塔的倾斜角。这里关键是建立模型求古塔底面的中心坐标。 针对古塔弯曲情况分析，假设古塔各层中心和塔尖在同一平面内，其连线为平面内一条曲线，用该曲线的弯曲程度描述古塔的弯曲程度。 针对古塔扭曲情况的分析，用各层相对第1层的水平旋转角来描述其扭曲情况，找出其旋转角与高度的变化关系，用古塔的最大旋转角度作为反映古塔扭曲情况的扭曲角。 2.3问题三的分析： 以问题2的结果为基础，分析数据间的变化关系，由于古塔的变形是长时间积累作用，将各种形变对时间做回归拟合，并进行了验证，在此基础上推测出未来几年的变化情况。 三、模型假设 1、将古塔每一层都看做正八边形，并把其重心看做中心。 2、古塔每一层的1、2角的连线均平行。 3、古塔底面中心位于空间直角坐标系的xoy坐标面内。 4、古塔每层中心在同一个平面内。 5、古塔底面中心位于空间直角坐标系的xoy坐标面内。 四、符号说明 1、() ,, M x y z：表示第i层第j个角的坐标。 i j j j