向量坐标表示练习题及标准答案

一、主要知识：

1．基本单位向量

2. 位置向量 ：起点是 的向量叫做位置向量。

已知(),A x y ，则位置向量OA xi y j =+。把有序实数对(),x y 叫做位置向量OA 的坐

标，记作(),OA x y =。

注意：位置向量的坐标就是 。

3.已知任意两点()()1122,,,P x y Q x y ，则向量PQ = 。

注意：一个向量的坐标就是 。

4.向量的运算的坐标表示形式

设λ是一个实数，()()1122,,,a x y b x y ==

则a b += 说明向量相加等于 ；

a b -= 说明向量相减等于 ；

a λ= 数乘向量等于 ； a = 向量的模等于 ；

1212a b x x y y =?==且 向量相等的充要条件是 。

5.非零向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的充要条件是 。

6.已知P 是直线12P P 上一点，且()1

2,1PP PP R λλλ=∈≠- ()()()111222,,,,,P x y P x y P x y ，则

x = ，y = 这个公式叫做点P 分线段12P P 的定比分点公式，其中λ叫做定比，点P 叫做分点。

特别地，当1λ=时，P 是12P P 的中点，

此时 x = ，y = 叫做中点公式。

二、例题分析：

考点一、向量的坐标表示及其运算

例1、已知平行四边形ABCD 中，()()()2,1,3,2,2,4A B C ---，O 为坐标原点。

（1）写出,OB AC 的坐标；（2）求点D 的坐标。

巩固练习：

已知()()4,1,5,2a b =-=，（1）求23a b +的坐标；（2）求2a b -。

提高练习：

已知()()24,3,23,4a b a b +=--=，求,a b 的坐标。

例2、 已知点()2,3A -，点B 在x 轴上，且5AB =，求AB 的坐标。

巩固练习：

（1）已知()2,5AB =，点()3,1B -，则点A 的坐标为 。

（2）已知()()3,2,2,1a b =-=--，则2a b +的坐标为 ，

2a b += 。

（3）2,2AB i j AC i j =-=+，则BC =

考点二、向量平行的判断应用

例3、设()()22,4,8,1a k b k =+=+，已知//a b ，求实数k 的值。

巩固练习：

已知()()4,5,3,6a b ==，求实数k ，使ka b +与3a b -平行。

迁移练习：

已知()()()3,6,5,2,6,A B C y -三点共线，求实数y 的值。

考点三、定比分点公式和中点公式

例4、已知47

PA AB =-

，设BP PA λ=，求λ的值。 巩固练习：

已知()()2,1,8,8A B -，求线段AB 的三等分点,C D 的坐标。

提高练习：

已知()()122,1,0,5P P -，若点P 在12P P 的延长线上且122PP

PP =，求点P 的坐标。 课堂测试：

1．已知平面内两点()()2,4,2,1P Q -，则PQ 的单位向量0_______

a =。

2．已知()()2,3,1,5a b =-=-，则3_________a b -=。 3．若向量()0,2a =、(),3b k l =--，且a 与b 是模相等的平行向量，则___,___k l ==。

4．若平面内,A B 两点的坐标分别是()()2,5,3,0，P 是直线AB 上的一点，23

AP PB =-

，则点P 的坐标是________。 5．在ABC ?中，有命题

①=-；②=++；③若0)()(=-?+AC AB AC AB ，则ABC ?为

等腰三角形；④若0>?AB AC ，则ABC ?为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）

A ．①②

B ．①④

C ．②③

D ．②③④

6．如图,在平面四边形ABCD 中,下列结论中错误的是 ( )

A ．=

B ．=+

C ．=-

D ．=+

7．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j

=+，3AC i k j =+，则k 的可能值有

( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

8．若平面内,,A B C 三点的坐标分别是()()()112233,,,,,x y x y x y ，G 是ABC ?的重心，求

点G 的坐标。

当堂巩固

1．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．

2．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →

＝(5－m ，－3－m)，若点A ，B ，C 能构成三

角形，则实数m 满足的条件是________．

3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1 AB →＋λ2 AC →(λ1，

λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

4．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还

是反向？

5．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM →＝t 1 OA →＋t 2 AB →

.

(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；

(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．

课后作业

1．已知()()1,3,4,a k b k =-=，若//a b ，则实数k = 。

2．已知()()2,4,3,6A B -，若12

AC CB =，则点C 的坐标为 。 3．若()()()1,2,5,4,9,A B C t -三点不能构成三角形，则t = 。

4．平行四边形ABCD 中，()()4,2,2,6AC BD =-=-，则AB = 。

5．ABC 中，()()4,1,3,4A B ，ABC 的重心()2,3G ，则顶点C 坐标为 。

6．设2AB =，P 为AB 延长线上一点，且4BP =，设AP PB λ=，则λ= 。

7．()()()1,1,2,1,4,2AB CB CD ==-=，则AD = 。

8．已知()1,5A -，向量()2,3a =，若3AB a =，则点B 位于第 象限。

9．已知()()1,2,2,2a b =-=-，则a b -的单位向量的坐标为 。

10．已知()()3,5,5,6A B -且()

23,44a x x x =-+-，若a AB =，则x = 。 11．已知()()3,1,1,1,A B O ---为坐标原点，（1）求2OA AB OB +-；

（2）若2xOA yOB AB +=，求实数,x y 的值。

12．已知()()()1,3,,2a b t t t R =-=∈，求a b +的最小值。

13．已知()2,1a =-，点()4,4A ，且//AB a ，若25AB =，求OB 的坐标。

14．已知ABC 中，()()()4,1,2,1,0,5A B C -，点D 在AB 上，2AD DB =，点E 在AC 边上，且DE 恰将ABC 的面积平分，求点E 的坐标。

答案

例1：（1）()()3,2,4,3---；（2）()3,7

巩固练习：（1）()23,4；（2）61

提高练习：()()1,2,2,1---

例2：()4,3-或()4,3 巩固练习：（1）()1,6-；（2）()1,4--，17；（3）3i j + 例3:3或5- 巩固练习：13k =- 迁移练习：6

例4：34

λ= 巩固练习：()()4,2,6,5C D 提高练习：()2,11- 课堂测试：

1. 43,55??- ???

； 2. 75； 3. 0,15k l ==--或； 4. ()0,15； 5. C ； 6. C ； 7. B 8. 123123,33x x x y y y x y ++++=

=

当堂巩固

1． 12 2． m ≠54 4.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．

5． (1) t 2＜0且t 1＋2t 2≠0，(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．

∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，

AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2 AB →，∴AM →与AB →共线，又它们有公

共点A ，

∴A ，B ，M 三点共线．

课后作业：

1.4或3-；

2.114,33??- ???

； 3.10-； 4.()3,4-； 5.()1,4-； 6.32-；

8.一； 9. 34,55??-

???； 10.5-； 11.（1）4；（2）2,2-； ； 13.()8,2或()0,6 14.()1,4

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所

向量的坐标表示及其运算

资源信息表

（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充

要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向

量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即

(完整版)平面向量平行的坐标表示教案

8.3.2平面向量平行的坐标表示 教学目标：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示， 并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。 教学重点：平行向量充要条件的坐标表示，解决向量平行（共线）的有关问题 教学难点：充要条件的推导，共线条件的判断 教学过程： 一、复习：1． 平行向量基本定理 2．平面向量的坐标运算法则 二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb （ ），那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？ 2．推导：设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) 其中b a 由a =λb (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) 2 121y y x x 消去λ：x 1y 2-x 2y 1=0 结论：a ∥b (b 0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 注意：1 消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b 0 ∴x 2, y 2中至少有一个不为0 2 充要条件不能写成2 211x y x y ∵x 1, x 2有可能为0 3 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b 0)0 1221 y x y x 三、应用举例 例一，判断下列两个向量是否平行 （1）a =（-1,3），b =（5，-15） （2）AB =（2,0），CD =（0,3） 解：（1） （-1） （-15）=3 5 a 与 b 平行

（2） 2 3 0 0 AB 与CD 不平行 点评：利用坐标表示可以判断两个向量是否平行 两个课后练习巩固 例二 若向量a =(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x 解：∵a =(-1,x)与b =(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x ?(-x )=0 ∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2 定评：如果两个向量共线 根据公式可以求出未知数 完成课后第二第三两题 例三 已知A (-1,-1)，B (1,3)，C (2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的关系. 点评：如何证明三点共线 主要是证明两个有公共点的两个向量平行， 同时引导学生如何证明三点不共线 变式．已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) （1） 向量AB 与CD 平行吗？ （2）直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵2×2-4-1=0 ∴AB ∥CD 11,312,421,513,62634//. 0A B C AB AC AB AC AB AC A u u u r u u u r u u u r u u u r 解：直线、直线有公共点，所以、、三又，故，点共线，

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若

向量平行的坐标表示

教材：向量平行的坐标表示 目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决 向量平行(共线)的有尖问题。 过程：一、复习：1 ?向量的坐标表示(强调基底不共线，《教学与测试》P145例三) 第九教时 2平面向量的坐标运算法则 V 练习：1 ?若 M(3, -2) N(-5,-1)

注意：1消去入时不能两式相除yi, ?有可能为0, TbO

1 7 3 ???P 点坐标为(?1,卫) y 2 2 22 2充要条件不能写成 址上 TX I ,X2有可能为0 Xi X 2 3从而向量共线的充要条件有两种形式：a// b(bO) 、应用举例 例一 (P111例四) 例二(P111例五) 例三若向量a=(-1 ,X)与b =(-X 5 2)共线且方向相同，求X 解：Ta#1,X)与 b=(?X,2)共线? (-1)x2- X? (- X )=0 又:AC =(1-(-1), 5-(-1 ))=(2,6) 2X4-2X60 - AC 与 AB 不平行 ? A, B, C 不共线? AB 与CD 不重合 ? AB// CD 四、练习：1?已知点 A(0,1)B(1,0) C(1,2) D(2,1)求证:AB// CD 2 ?证明下列各组点共线：1 A(152) B(-3,4) C(2,3.5) 2 P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6) a b Xi y2 X2yi 0 ? x=± .. 2 Ta 与b 方向相同 ? X2, y2中至少有一个不为0 例四 已知 A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 平行于直线CD 吗？ 解：TAB =(1-(-1), 3-(-1 ))=(2, 4) x=、. 2 向量AB 与CD 平行吗?直线AB 与 CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又：T2X 2-4-1 =0 ? AB // CD AB =(2, 4)

(完整版)向量共线的坐标表示

《平面向量共线的坐标表示》教案 教学目标 (1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式； (2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力； (3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 教学重点和难点 (1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解； (2)难点：定比分点的理解和应用。 教学过程 一、新知导入 （一）、复习回顾 1、向量共线充要条件: 2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则 a + b =(x 1+x 2,y 1+y 2). a - b =(x 1-x 2,y 1-y 2). λa =(λx 1,λy 1). （2）. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （二）、问题引入 已知下列几组向量： (1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)； (4)a ＝????12，1，b ＝??? ?－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？ 问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？ ),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则. ,)(//λλ=?≠使存在唯一实数

二、新知探究 思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？ 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。 由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?21 21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时能不能两式相除？ （不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0） （2）能不能写成2 211x y x y = ？ （不能。 ∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)???===?. 01221y x y x b a λ 三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用） 1．向量共线问题： 例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 变式练习1： 2．证明三点共线问题： 例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。 变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线． 已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.

向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大

小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在

x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；

《平面向量共线的坐标表示》教学设计

《平面向量共线的坐标表示》教学设计 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课： a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .

由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?2 121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0 （2）充要条件不能写成 2 2 11x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)0 1221=-=? y x y x b a λ 三、讲解范例： 例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x 解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x ?(-x )=0 ∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平 行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD 又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴

空间向量运算的坐标公式

空间向量运算的坐标公式 如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的 有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个 ______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一 个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一 点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐 标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、 向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系 O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是 存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量 的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则 121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例

空间直角坐标系及空间向量的坐标表示

选修2—1 第三章 空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的坐标表示 总第(4)教案 （理科使用） ● 教学目的： 1、掌握空间直角坐标系的概念，会确定简单几何体的顶点坐标； 2、掌握空间向量坐标运算规律； 3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4、会用中点坐标公式解决有关问题● 教学重点：空间直角坐标系，向量坐标运算● 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 教学过程： 一、复习引入： 空间直角坐标系： （1）若空间一个基底的三个基向量互相垂直，长为1，这个基底叫单位正交基底，用{} k j i ,,表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{} k j i ,,，以点O 为原点，分别以k j i ,,的方向为 正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz -，点O 叫原点，向量 i ,都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分 别称为xOy 平面， yOz 平面，zOx 平面；（这里建立的坐标系都是右手直角坐标系） 2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一 的有序实数组(,,)x y z ，使z y x ++= ，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算：(类比平面向量的坐标运算) （1）若),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则 ),,(332211b a b a b a +++=+ ),,(332211b a b a b a ---=-， ))((321R a a a ∈=λλλλλ，，， 332211b a b a b a ++=?， ‖? 332211,,b a b a b a λλλ===（R ∈λ） 0332211=++?⊥b a b a b a 模长||3 22212a a a ++= （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则 ),,(122212z z y y x x AB ---=． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 |AB|=2 12212212)()()(z z y y x x -+-+-

空间向量及其运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【学习目标】 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。 2.空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 3. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 2 3 1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB → ＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定 2、判断对错。 (1)空间直角坐标系中，向量AB → 的坐标与终点B 的坐标相同．( ) (2)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ∥x 1x 2 ＝y 1y 2 ＝z 1 z 2 .( ) (3)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC → 的坐标相同．( ) (4)设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA → ＝(0,1，－1)．( ) 【经典例题】 题型一 空间直角坐标系 注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示． 例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN → 的坐标．

《空间向量运算的坐标表示》示范教案

3．1.5空间向量运算的坐标表示 整体设计 教材分析 空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础． 学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构． 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量的坐标运算规律； 2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示； 3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式． 过程与方法 1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法； 2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养． 情感、态度和价值观 通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的坐标运算； 2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示； 3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示． 教学难点： 1．向量坐标的确定； 2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用． 教学过程 引入新课 提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．

向量坐标表示练习题及标准答案

一、主要知识： 1．基本单位向量 2. 位置向量 ：起点是 的向量叫做位置向量。 已知(),A x y ，则位置向量OA xi y j =+。把有序实数对(),x y 叫做位置向量OA 的坐 标，记作(),OA x y =。 注意：位置向量的坐标就是 。 3.已知任意两点()()1122,,,P x y Q x y ，则向量PQ = 。 注意：一个向量的坐标就是 。 4.向量的运算的坐标表示形式 设λ是一个实数，()()1122,,,a x y b x y == 则a b += 说明向量相加等于 ； a b -= 说明向量相减等于 ； a λ= 数乘向量等于 ； a = 向量的模等于 ； 1212a b x x y y =?==且 向量相等的充要条件是 。 5.非零向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的充要条件是 。 6.已知P 是直线12P P 上一点，且()1 2,1PP PP R λλλ=∈≠- ()()()111222,,,,,P x y P x y P x y ，则 x = ，y = 这个公式叫做点P 分线段12P P 的定比分点公式，其中λ叫做定比，点P 叫做分点。 特别地，当1λ=时，P 是12P P 的中点， 此时 x = ，y = 叫做中点公式。 二、例题分析： 考点一、向量的坐标表示及其运算

例1、已知平行四边形ABCD 中，()()()2,1,3,2,2,4A B C ---，O 为坐标原点。 （1）写出,OB AC 的坐标；（2）求点D 的坐标。 巩固练习： 已知()()4,1,5,2a b =-=，（1）求23a b +的坐标；（2）求2a b -。 提高练习： 已知()()24,3,23,4a b a b +=--=，求,a b 的坐标。 例2、 已知点()2,3A -，点B 在x 轴上，且5AB =，求AB 的坐标。 巩固练习： （1）已知()2,5AB =，点()3,1B -，则点A 的坐标为 。 （2）已知()()3,2,2,1a b =-=--，则2a b +的坐标为 ， 2a b += 。 （3）2,2AB i j AC i j =-=+，则BC = 考点二、向量平行的判断应用 例3、设()()22,4,8,1a k b k =+=+，已知//a b ，求实数k 的值。 巩固练习： 已知()()4,5,3,6a b ==，求实数k ，使ka b +与3a b -平行。 迁移练习： 已知()()()3,6,5,2,6,A B C y -三点共线，求实数y 的值。 考点三、定比分点公式和中点公式 例4、已知47 PA AB =- ，设BP PA λ=，求λ的值。 巩固练习： 已知()()2,1,8,8A B -，求线段AB 的三等分点,C D 的坐标。 提高练习：

空间向量的坐标表示及其运算

空间向量的坐标表示及其运算 1. 已知()2,1,3=，()3,2,1-B ，则A 的坐标是 . 2. 已知()()m b a ,4,2,2,2,1-=-= ，若b a //，则实数=m . 3. 在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是______ . 4. 若()1,1,1A ，()4,0,1-B ，()3,2,2-C ，则以AC AB ,为邻边的平行四边形的面积为 . 5. 若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos α，2sin α，1)，则|AB → |的取值范围是 . 6. 若()()222111,,,,,z y x A z y x A ，且P 为AB 中点，则P 的坐标为 . 7. 在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,51===AA BC AB ，如图，建立空间直角坐标系，写 出11,,CB B A AC 及D B 1. 8. 已知()()1,2,3,3,6,4--B A ，且3 2 -=，求点P 的坐标。 9. 已知()()5,3,2,1,5,1-==b a ， （1）当()() b a b a 3//-+λ，求实数λ的值； （2）当()() b a b a 3/-⊥+λ，求实数λ的值 y

10. 已知空间三点()2,0,2-A ，()()4,0,3,2,1,1--C B ，求： （1）BAC ∠； （2）若向量k k +与向量k 2-垂直，求实数k 值。 11. 已知()3,2,1=，()2,1,2=，()2,1,1=，点S 在直线OP 上，求?的最小值，并指出此时S 的坐标。 12. 在棱长为a 的正四面体ABCD 中，建立恰当的坐标系， （1）求D C B A ,,,的坐标； （2）求AB BC ? +AC BD ? 的值。 C P A

人教版高中数学选修2-1教案学案：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。 教学过程 1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学： 如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。 因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。 这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则 a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。 空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。 例题分析： 例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。 例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4， 9），求证：四边形ABCD 是梯形。

3.1.4空间向量的坐标表示

3.1.4空间向量的坐标表示 编写： 审核： 行政审查： 【教学目标】 1、用坐标表示空间向量，掌握空间向量坐标运算；根据向量坐标判断两个空间向量平行． 2、让学生经历推广的过程，注意维数增加所带来的影响，掌握向量的坐标运算． 3、培养学生的空间想象能力． 【教学重点】能正确判断两向量平行及解决有关综合问题． 【教学难点】根据向量坐标判断两个空间向量平行． 【教学过程】 一、引入： 1．空间向量的坐标表示： 空间直角坐标系O —xyz 中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 轴方向上的______________，对于空间任一个向量a ，若有a ＝x i ＋y j ＋z k ，则有序数组__________叫向量a 在空间直角坐标系中的坐标． 特别地，若A (x ，y ，z )，则向量OA →的坐标为__________． 2．坐标运算： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝________________________； a － b ＝________________________；λa ＝________________________； (λ∈R )． a ∥ b (a ≠0)?__________，__________，__________ (λ∈R )． 二、新授内容： 例1．已知)4,10,3(),8,3,1(-=-=b a ，求3,,-+． 例2．已知空间四点A (－2，3，1)，B (2，－5，3)，C (10，0，10)和D (8，4，9)． 求证：四边形ABCD 是梯形．

【变式拓展】1.设a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，计算2a ＋3b,5a －6b ，并确定λ，μ的值， 使λa ＋μb 与向量b 平行． 2.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上， 且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点． 求证：PQ ∥RS . 例3．已知A (－2，0，6)、B (3，1，12)、C (0，－3，7)、D (5，－2，13)， 求证：A 、B 、C 、D 四点共面． 三、课堂反馈： 1．已知在△ABC 中，A(2，-5,3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，则C 点坐标为__________． 2．已知向量a ，b 满足2a ＋b ＝(－1，－4，3)，a －2b ＝(2，4，－5)，则a ＝__________，b ＝__________． 3．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，若DB ∥AC ，DC ∥AB ，求点D 的坐标． 4．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．