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二次函数的图像专项练习题

二次函数基础定义

知识点一：二次函数的定义

形如)0(2

≠++=a c bx ax y 【注意：二次项的系数0≠a ；x 的最高次幂为2】

例题：若()311

+++=-x x

a y a 二次函数，则a 的值为 .

【变式训练】若()1211

+-+=+x x m y m

二次函数，则m 的值为 .

知识点二：“一般式”化“顶点式”

例题：542

++=x x y

方法一：1)2(52)222(52222542

2222222++=+-+??+=+-+??+=++=x x x x x x x y …

方法二：144,222=--=-a b ac a b ，1)2(44)2(542222

++=-++=++=x a

b a

c a b x x x y 【变式训练】把下列二次函数化成顶点式

①322+-=x x y ； ②1122+-=x x y ； ③7422

++=x x y

(

知识点三：开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，增减性【温馨提示】形状相同，则二次项的系数a 相等

【变式训练】完成下列表格

知识点四：二次函数与x 轴交点的个数及交点的坐标，与y 轴的交点坐标

【温馨提示】1.对于二次函数c bx ax y ++=2，当△=ac b 42

->0，图像与x 轴有两个交点；当△

=ac b 42-=0，图像与x 轴有一个交点；当△=ac b 42

-<0，图像与x 轴没有交点。2.求二次函数

c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标就是令y =0，求出x 1，x 2，则交点坐标为（x 1，0），

（x 2，0）；二次函数c bx ax y ++=2

与y 轴的交点坐标就是令x =0，求出y ，则交点坐标为（0，y ）；

【变式训练】完成下列表格

…

知识点五：二次函数图像的平移

【温馨提示】二次函数图像的平移其实就是顶点的平移

例题：二次函数162++=x x y 的图像经过怎样平移能够变成542

+-=x x y （

【分析】162++=x x y 的顶点坐标为（－3，－8），542

+-=x x y 的顶点坐标为（2，1）.点（－3，－8）向右平移5个单位，再向上平移9个单位变成（2，1），所以162++=x x y 向右平移5个单位，再向上平移9个单位变成542

+-=x x y

【变式训练】完成下列表格

知识点六：待定系数法求二次函数的解析式

【温馨提示】一般知道三个点的坐标，设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2

，然后将三个点的坐标代入c bx ax y ++=2

，得到一个三元一次方程组；如果知道两个点的坐标，其中一个点为顶点),(n m ，则设二次函数的解析式为n m x a y +-=2)(，再把另一个点的坐标代入n m x a y +-=2

)(求出a 的值；若

知道三个点的坐标，其中有两个点（x 1，0），（x 2，0）在x 轴上，则可设))((21x x x x a y --=，再把另一个点的坐标代入))((21x x x x a y --=，求出a 的值。【变式训练】

1、已知抛物线c bx ax y ++=2

经过(－1，2)、(1，－1)、(0，3)三点，求抛物线的函数关系式。

：

2、已知二次函数的顶点坐标是（1，－2），且图像经过(3，5)三点，求二次函数的解析式。

二次函数图像基础练习题

1.二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，此拋物线的对称轴是（）

A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1

2.已知a －b ＋c=0 ，9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（）

A.第一或第二象限

B.第三或第四象限

C.第一或第四象限

D.第二或第三象限

3.已知M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y x

2上，点N 在直线y x =+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y abx a b x =-++2()（）。

A. 有最小值92

B. 有最大值-92

C. 有最大值92

D. 有最小值-9

4.抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为（）

[

（A ）（-2，7）（B ）（-2，-25）（C ）（2，7）（D ）（2，-9）

5．在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）

A ．22y x x =--+

B ．22y x x =-+-

C ．22y x x =-++

D ．22y x x =++ 6．二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（） A ．(18)-， B ．(18)，

C ．(12)-，

D ．(14)-，

7.抛物线y=x 2一3x+2与y 轴交点的坐标是( )

A ．(0，2)

B ．(1，O)

C ．(0，一3)

D ．(0，O) 8.如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，

图象过A 点（3，0），二次函数图象对称轴为1x =，给出四个结论：

①24b ac >；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论是（） ;

A ．②④

B ．①③

C ．②③

D ．①④ 9.二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是 A ．(-1，-2) B ．(1，-2) C ．(-1，2)

D ．(1，2)

10.已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ， a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（）

1x =

—

(30)

A ，第8题图

A ．2

B 3

C 、4

D 、5

11.二次函数y=(x+1)2 +2的最小值是（） ,

A B C D 2

、 2 、1 、-3 、 3

12.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ，其中正确结论的个数为（） A 、0个 B 、3个 C 、2个 D 、1

？

12题 13题 15题

13.小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2）1c >；（3）0b >；（4）0a b c ++>；（5）0a b c -+>．你认为其中正确信息的个数有（）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

14.已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（）

》

15.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是 A ．a ＜0 B.abc ＞0 C.c b a ++＞0

D.ac b 42-＞0

16.在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）

A ．222-=x y

B ．222+=x y

C ．2)2(2-=x y

D ．2)2(2+=x y 17.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（） A ．1x =

B ．1x =-

C ．3x =-

D ．3x =

1 。

2 －1 1 Ｏ－1 O

-1A ． x

O 1

-1

B ． x

y O

-1

1 \ O

18.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，

其中正确的个数有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

19.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（） A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+>

20.将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（） A ．y ＝2x 2＋3 B ．y ＝2x 2－3 》

C ．y ＝2（x ＋3）2

D ．y ＝2（x －3）2

21.将抛物线22y x =向左平移1个单位，得到的抛物线是（） A ．22(1)y x =+

B ．22(1)y x =-

C ．221y x =+

D ．221y x =-

22.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A ．22y x =- B ．22y x =

C ．21

y x =-

D ．21

y x =

23.如图9, 已知抛物线212

y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF

知：如图，抛物线

}

O [

（19题图）图6（1）图6（2）

2334y x =-+与x 轴交于点A ，

点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3

y x b =-+与y 轴交于点E ．

（1）写出直线BC 的解析式． ^

（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少

（

2（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线21

y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两

点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是

线段AB 上

的

动点，作

c bx x y ++-=2

x y

图,抛物线

24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,

使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.

(1)求点A 的坐标;

(2)以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

例2、已知抛物线y=x 2+(1-2a)x+a 2 (a ≠0)与x 轴交于两点A （x 1,0），B(x 2,0) ， (x 1≠x 2)

（1）求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点的左侧；（2）若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB=OC-2，求a 的值。

－1 O >

O B

(第28题）l 0y

-1-2-4

-3

-1-2-4-3124

35123

例3、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).

=3,c=7 =-9,c=-15

=3,c=3 =-9,c=21

例4、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，

（1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。

（2）该运动员的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：

2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

二次函数应用题(含答案)

二次函数应用题一、选择题 1．烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．3s B．4s C．5s D．6s 2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( ) A．5元B．10元C．0元D．3600元 3．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( ) A．10m B．20m C．30m D．60m 4．由表格中信息可知，若设，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( ) x -1 0 1 1 8 3 A．B． C．D． 5．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(米)与时间t(秒)间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为( ) A．24米B．12米C．米D．6米

6．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是( ) A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为，则该企业一年中应停产的月份是( ) A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月 8．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( ) A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大二、填空题 9．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN

二次函数知识点大全

二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0 a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0 c ,与y 轴交于正半轴；③0