高等数学下册期末考试题及答案
高等数学下册期末考试题及答案
一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =
)
0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分??
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),
()()
(βαψ?≤≤?
?
?==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为92
2
=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则
=++??∑
ds y x )12
2（ 。
6、微分方程x y
x
y dx dy tan
+=的通解为 。 7、方程
04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑
∞
=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在)
,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在)
,(00y x 处连续；
（B ）
)
,(y x f x '，
)
,(y x f y '在
)
,(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y
y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当
0)()(2
2→?+?y x 时，是无穷小；
（D ）0)()(),(),(lim 2
200000
0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。
2、设),
()(x y
xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x
u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,12
2
2
≥≤++z z y x 则三重积分
???Ω
=zdV
I 等于（ ）
（A ）4
?
??20
201
3cos sin π
π
???θdr
r d d ；（B ）
?
??20
10
2sin π
π
??θdr
r d d ；
（C ）
???π
π
???θ20
2
1
3
cos sin dr
r d d ；（D ）
???ππ???θ20
1
3cos sin dr
r d d 。
4、球面22224a z y x =++与柱面
ax y x 22
2=+所围成的立体体积V=（ ）
（A ）
??
-20
cos 20
2
244π
θθa dr
r a d ； （B ）
??
-20
cos 20
2244π
θθa dr
r a r d ；
（C ）
??
-20
cos 20
2
2
48π
θθa dr
r a r d ； （D ）
?
?
-
-22
cos 20
224π
πθθa dr
r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则
?=+L
Qdy Pdx )
(
（A ）
????-??D
dxdy x Q y P )(
； （B ）????-??D dxdy x P y Q )(； （C ）????-??D
dxdy y Q x P )(
； （D ）????-??D dxdy y P x Q )(。
6、下列说法中错误的是（ ） （A ） 方程022
=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程；
（B ） 方程x y dx dy x dx dy y
sin =+是一阶微分方程； （C ）
方程
0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程x y x dx dy 22
1=
+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）
（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin 。
8、设0
lim =∞
→n n nu , 则∑∞
=1
n n
u
（ ）
（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。 三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==，
求y u x u ????,
。
2、（8分）设
?
+-=t
x t
x dz
z f t x u )(),(，求
t u x u ????,。 四、求解下列问题（共计15分）。
1、计算=I ?
?-20
2
2
x
y dy
e dx 。（7分）
2、计算
???Ω
+=dV
y x I )(22，其中Ω是由
x 21,22
2===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分） 五、（13分）计算?
+
+-=L y x ydx
xdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭
曲线的逆时针方向。
六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程
)()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存在，求)(x f 。
七、（8分）求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛区间。
高等数学（下册）考试试卷（二）
1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=
??+??y z
x z 。 2、=+-→→xy
xy y x 93lim 00
3、设
?
?
=
20
2),(x
x
dy
y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则
??≤+→=
++
2
22)(
1lim 223
t y x t d y x f t σπ 。
5、设L 为取正向的圆周42
2=+y x ，则曲线积分
?
=
-++L
x x dy x ye dx ye y )2()1( 。
6、设→
→
→
+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(2
2
2
，则=A div 。
7、通解为x
x e c e c y 221-+=的微分方程是 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）。
1、设函数??
?
??=+≠++=0
,00,),(22224
22
y x y x y x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）
（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。 2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u 及 +??22x u 022=??y u ，
则（ ）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上；
（C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。
3、设平面区域D ：
1)1()2(2
2≤-+-y x ，若??+=D
d y x I σ
21)(，
??+=D
d y x I σ
32)(
则有（ ）
（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。
4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则
???Ω
dxdydz z xy 32 =（ ）
（A ）3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）3641
。
5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为?
?
?==)()(t y t x ψ? )(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψ?在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(2
2≠'+'t t ψ?， 则曲线积分?=L
ds y x f ),(（ ）
(A)
?β
α
ψ?dt
t t f ))(),((； (B)
?'+'α
β
ψ?ψ?dt t t t t f )()())(),((22 ；
(C) ?'+'β
α
ψ?ψ?dt
t t t t f )()())(),((2
2
； (D)?α
β
ψ?dt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面
12
22=++z y x ， 则曲面积分 ??∑
++zdxdy
ydzdx xdydz =（ ）
(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。
7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）
(A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数∑∞
=1
n n
a
为一交错级数，则（ ）
(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)
0(0→→n a n ，则必收敛。
三、求解下列问题（共计15分）
1、（8分）求函数
)ln(2
2z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2）
的方向的方向导数。
2、（7分）求函数
)4(),(2
y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）计算???
Ω
+++=3)1(z y x dv
I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义
???Ω
++=dv
y x f z t F )]([)(222，
其中
{}2
22,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt dF
。 五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求
?-+-=L
x x dy
m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2
x ax y -=到O （0，
0）的弧。
2、（7分）计算
??∑
++=dxdy
z dzdx y dydz x I 222，其中∑是
)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。 六、（15分）设函数)(x ?具有连续的二阶导数，并使曲线积分
?
'++-'L
x dy
x ydx xe x x )(])(2)(3[2???与路径无关，求函数)(x ?。
高等数学（下册）考试试卷（三）
一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设
?=yz
xz
t dt
e u 2
， 则=
??z u
。
2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=的方向导数
)
0,0(l
f ??= 。
3、设Ω为曲面0,12
2
=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分???Ω
=dv
z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最
后对x 三次积分，则I= 。
4、设),(y x f 为连续函数，则=
I ??=
+
→D t d y x f t σπ),(1
lim 2
，其中2
22:t y x D ≤+。
5、?=+L
ds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω?是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数),,(z y x P ，
),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系
式： ， 该关系式称为 公式。
7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*
y 。 8、若级数∑∞
=--11)1(n p
n n 发散，则p 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、设),(b a f x '存在，则x b x a f b a x f x )
,(),(lim
0--+→=（ ）
（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）21
)
,(b a f x '。
2、设2
y
x z =，结论正确的是（ ） （A ）022>???-???x y z y x z ； （B ）022=???-???x y z
y x z ； （C ）022
y x z 。
3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则
??=
D
d y x f σ),(（ ）
（A ）0；（B ）2??1
),(D d y x f σ
；（C ）4??1
),(D d y x f σ
； (D)2??2
),(D d y x f σ
。
4、设Ω：2222R z y x ≤++，则???
Ω+dxdydz y x )(22=（ ） （A ）538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）51516R π。
5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x 坐标x 为
（ ）
（Ａ）x =?L ds
y x x M
),(1
ρ； （B ）x =?L
dx y x x M ),(1
ρ；
（C ）x =?L ds y x x ),(ρ； （D ）x =?L xds M 1
, 其中M 为曲线弧Ｌ的质量。
６、设∑为柱面
12
2=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分??∑
++ydxdz
x xzdydz zdxdy y 2
2＝（ ）
（A ）0； （B ）4π-
； （C ）245π； （D ）4π
。
７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）
（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(；
（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++234，若
x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=。
８、设
??
?≤<<≤--=ππx x x f 010,
1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ） （A ）]
)1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）πn 1； （D ）πn 4。
三、（１２分）设
t
t x f y ),,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶连续偏导数，
求
dx dy
。
四、（８分）在椭圆
442
2=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。 五、（８分）求圆柱面y y x 22
2=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ。
六、（１２分）计算??∑=xyzdxdy I ，其中∑为球面
12
22=++z y x 的0,0≥≥y x 部分 的外侧。
七、（10分）设x
x d x df 2sin 1)(cos )
(cos +=，求)(x f 。
八、（10分）将函数
)1ln()(3
2x x x x f +++=展开成x 的幂级数。
高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案
一、1、当10<a 时，12
2≥+y x ； 2、负号； 3、
23;110????-+=D
y
e e y dx dy d σ； 4、dt
t t )()(22ψ?'+'；
5、180π；
6、
Cx x y
=sin
；
7、
x
x
e C e C x C x C y 2423212sin 2cos -
+++=； 8、1；
二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ；
三、1、21f y f x u '
+'=??；)(xy x g x y u +'=??；
2、)()(t x f t x f x u --+=??；)()(t x f t x f t u -++=??；
四、1、)1(21420200220222-----===?????e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ； 2、
??????=+=πππ
θθ2020212022132233142r dz r dr d dz r dr d I 柱面坐标； 五、令
2
222,y x x
Q y x y P +=+-=则
x Q
y x x y y P ??=+-=??22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，
x Q y P ????,在D 内连续。所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，x Q
y P ????,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+
l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则
πε2)(
2
22*
=+??-??+=+-=?????
???
=+++-
++++
y x D l
l L l
l
L dxdy y P
x Q Green I 公式
六、由所给条件易得：
0)0()0(1)
0(2)0(2
=?-=
f f f f
又x x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim
)(0 =x x f x f x f x f x f x ?-?-?+→?)
()()(1)
()(lim 0 x f x f x f x f x f x ?-???-+=→?)
0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即 )0()(1)
(2
f x f x f '=+'
c x f x f +?'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴
七、令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n t Θ2
1
23
21232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当
12
1 当 1 当1-=t 即1=x 时，级数∑∞ =++-1 1 121 )1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞ =+-1 121 )1(n n n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。 高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案 一、1、1； 2、-1/6； 3、 ? ? ?? +20 2 /42 22 /),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、)0(32 f '； 5、π8-； 6、)(2z y x ++； 7、02=-' +''y y y ； 8、0； 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ； 三、1、函数 )ln(2 2z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且 ) 1,0,1(2 21z y x x u A ++= ??2/1=； 1) 1,0,1(2 22 2 =+? ++= ??z y y z y x y u A ； 2 /11) 1,0,1(2 22 2 =+? ++= ??z y z z y x z u A 而),1,2,2(-==AB l 所以 ) 31,32,32(-=ο ,故在A 点沿AB l =方向导数为： =??A l u A x u ??αcos ?+A y u ??βcos ?+A z u ??γcos ? .2/131 21)32(03221=?+-?+?= 2、由?????=--==-+--='0)24(0)1()4(22y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ， 又0)0,(,0),0(==x f y f 而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(2 3≤≤-=x x x y x f 令 0)122(2 3='-x x 得4,021==x x 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f ),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f 四、1、Ω的联立不等式组为??? ??--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 101010: 所以?? ? ---++++=1 010103)1(x y x z y x dz dy dx I ??--++=x dy y x dx 10210]41 )1(1[21 ?- =--+=101652ln 21)4311(2 1dx x x 2、在柱面坐标系中 ? ??+=π θ20 002 2 )]([)(t h rdz r f z dr d t F ?+=t dr r h r r hf 032 ]31)([2π 所以 ]31)([232t h t t hf dt dF +=π] 31 )([222h t f ht +=π 五、1、连接→ OA ，由Green 公式得： ? ? ? -+=OA OA L I ? ? -=+OA OA L ??= ≥≤+++-0 ,220 )cos cos (y ax y x x x Green dxdy m y e y e 公式 281 a m π= 2、作辅助曲面???≤+=∑2 22 1:a y x a z ，上侧，则由Gauss 公式得： ?? ∑ =I +??∑1 ?? ∑-1 =?? ??∑∑+∑-1 1 =??? ??≤≤≤+≤+- ++a z z y x a y x dxdy a dxdydz z y x 0,2 2222 22)(2 = ??? ≤+-a z y x a zdxdy dz 4 2 222π 4 04321 2a a dz z a πππ-=-=? 六、由题意得： )()(2)(32x xe x x x ???''=+-' 即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''??? 特征方程0232 =+-r r ，特征根2,121==r r 对应齐次方程的通解为：x x e c e c y 221+= 又因为2=λ是特征根。故其特解可设为：x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得： 1 ,2 1 -== B A 即 x e x x y 2*)2(21 -= 故所求函数为： x x x e x x e c e c x 2221)2(2 1)(-++=? 高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案 一、1、2 222z x z y xe ye -； 2、5； 3、???------1 111102 22 2),,(x x y x dz z y x f dy dx ； 4、 3 25);0,0(a f π、； 6、 ?????+ Ω?Ω++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P )(， Gauss 公式； 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P 。 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于 dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=， ='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ，即得： y t t x t t x F f F F f F f dx dy ' '+'''-'?'= 四、设),(y x 为椭圆 442 2=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为 13326y x d --= ；令 )44()326(2 22-++--=y x y x L λ，于是由： ? ?? ??=-+==+---==+---=04408)326(60 2)326(422y x L y y x L x y x L y x λλλ 得条件驻点： ) 53,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321----M M M M 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中 1313 13 3261 min = --= M y x d 即为所求。 五、曲线?????=++=y y x y x z 22222在yoz 面上的 投影为? ? ?=≤≤=0) 0(22x z y y z 于是所割下部分在yoz 面上的投影域为： ???? ?≤≤≤≤y z y D yz 202 0:， y 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 σd z x y x A yz D ????+??+=22)()( 12 x ?? ?? =-=-=yz D y y y dz dy y y dydz 21 20 2 2 8 2222 六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2 221:y x z ---=∑， 21,∑∑在面xoy 上的投影域都为： ,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy 于是： ???? ∑--= 1 221dxdy y x xyzdxdy xy D 151 1cos sin 2 01 022= ?-?= ??ρρρθθρθπ d d 极坐标 ； ????∑=----=2151))(1(2 2dxdy y x xy xyzdxdy xy D ， ?? ??∑∑+=∴2 1I =152 七、因为x x d x df 2sin 1)(cos ) (cos ==，即x x f 2sin 1)(cos +=' 所以2 2)(x x f -=' c x x x f +-=∴3 312)( 八、 )1ln()1ln()]1)(1ln[()(2 2x x x x x f +++=++=Θ 又] 1,1(,)1()1ln(11-∈-=+∑∞ =-u u n u n n n ∴∑∑∞ =∞=---∈-+-=11211] 1,1(,)1()1()(n n n n n n x x n x n x f ∑∞ =--∈+-=11] 1,1(),1()1(n n n n x x x n ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R == 设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解： πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -??????==+=-+?????? ?? 以π,1x y ==代入上式得π1c =-， 故所求特解为 1(π1cos )y x x =--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解：2 2323d 3ln x x x x c x --=--+? 2 2 223323d 23 +3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------??????∴==++???????? 2223311e .e e 22x x x x x c c ----????=?=++ ? ????? 以x =1,y =0代入上式，得12e c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -??=- ??? . 3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功． 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =??=?，t ：0→π2 北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分） 往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ； 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0() lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e 高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中． 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1n n a ∞ =∑发散，则级数21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数21n n a ∞ =∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21 n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞ =∑收敛，则级数2 1 n n a ∞ =∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4．设2 2 :2D x y x +≤，二重积分 ()d D x y σ-??= . 5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤?? 以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．……………………………… 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解： 05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．大一(第一学期)高数期末考试题及答案
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