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2010考研数学强化班高等数学讲义(一至三章)

2010考研数学强化班高等数学讲义(一至三章)

2010考研数学强化班高等数学讲义(一至三章)

2010考研强化班高等数学讲义

主讲：汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

考研强化班高等数学讲义(一至三章)

第一章函数、极限、连续

§1.1 函数

(甲) 内容要点一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数

二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

(1) )(lim x f y n n ∞

→=, 例 221()lim 1n n n x f x x x →∞??

??-=-?? ?+????

(2) ),(lim x t f y x

t →=，例 sin sin sin ()lim sin x t x

t x t f x x -→??

=

???

2．用变上、下限积分表示的函数

(1) ?

=x a

dt t f y )(

其中)(t f 连续，则

)(x f dx

dy

= (2) ?=)

()

(21)(x x dt t f y ??

其中)(),(21x x ??可导，)(t f 连续，

则

22

11[()]()[()]()dy

f x x f x x dx

????''=- 五、函数的几种性质

1．有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，

则称)(x f 在X 上是有界的。

2．奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X

上是奇函数。

若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原

点对称；偶函数图像关于y 轴对称。重要公式0

,()2(),0

f a f x dx a a f x dx f ??=?-????当为奇函数当为偶函数 3．单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，

21x x <都有)()(21x f x f < )]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单

调不增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）若在(,)a b 内，

()0,()()0,()f x f x f x f x '>'<则单调增加

则单调减少

4．周期性：设)(x f 在X 上有定义，如果存在常数0≠T ，使得任意X x ∈，X T x ∈+，

都有)()(x f T x f =+，则称)(x f 是周期函数，称T 为)(x f 的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。例2()sin (0)f x x π

λλλ

=>T 常数周期=

(乙) 典型例题一、定义域与值域

例1 设)(x f 的定义域为],[a a -（0>a ）求)1(2

-x f 的定义域

解：要求a x a ≤-≤-12

，则a x a +≤≤-112

，当1≥a 时，

10a -≤，21x a ∴≤+，则a x +≤1

当10<-a ，a x a +≤≤-∴11 也即a x a +≤≤-11或a x a --≤≤+-11

??>--≤≤---<-==，x x x x x x x f y 的值域2,)2(122,52,3)(23并求它的反函数。

解：2-y ，33y x -=，

22≤≤-x ，357y x ≤=-≤，y x -=5，

2>x ，1)2(12<--=x y ，y x -+=12，

所以)(x f y =的值域为),11(]7,3[)1,(∞+??-∞

反函数215,3711

二、求复合函数有关表达式例1 设2

())]()n f f f x f x n =重复合

解：2222222111/1)(1)

x f x f x f f x f +=+++=+==，若

222221)1(111/1)(1)

x f x f x f k k k ++=+++=+=+ 根据数学归纳法可知，对正整数n ，2

例2 已知()x x

f e xe -'=，且0)1(=f ，求)(x f

解：令t e x =，t x ln =，因此ln ()()x

2x x t f x f dt t x t -===?

(1)0f =，∴x x f 2

三、有关四种性质

例1 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 [ ]

（A ）若)(x f 为奇函数，则)(x F 为偶函数（B ）若)(x f 为偶函数，则)(x F 为奇函数

（C ）若)(x f 为周期函数，则)(x F 为周期函数（D ）若)(x f 为单调函数，则)(x F 为单调函数例2 求dx x x e e x x I x x ?

f --=)(1是奇函数，)()(11x f e e

)1ln()(22++=x x x f 是奇函数， 1

2++-+=++-=-x x x x x x x f

)()1ln(1ln 22x f x x -=++-=

因此)1ln()(2++--x x e e x x x 是奇函数

220dx x dx x I 例3 设)(),(x g x f 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当b x a <<时，下列结论成立的是

[ ] （A ）)()()()(x g b f b g x f > （B ）)()()()(x g a f a g x f > （C ）)()()()(b g b f x g x f >

（D ）)()()()(a g a f x g x f >

思考题：两个周期函数之和是否为周期函数例1．()sin

x x f x =+ 例2．()sin sin 2f x x x π=+ 四、函数方程

例1．设)(x f 在),0[∞+上可导，0)0(=f ，反函数为)(x g ，且

2)(x f x e x dt t g ，求

解：两边对x 求导得2[(

x g f x f x xe x e '=+，于是()(2)x xf x x x e '=+，故()(2)x f x x e '=+，C e x x f x ++=)1()(，由0)0(=f ，得1-=C ，则1)1()(-+=x e x x f 。

例2 设)(x f 满足x x f x f =-)3

(sin 31)(sin ，求)(x f 解：令)(sin )(x f x g =，则

x x g x g =-)31

x x g x g 22231

)31(31)31(31=-， 2233411111()()33333

g x g x x -=， ……

x x g x g n n n n n )

，各式相加，得]9

911[)31(31)(1-+++=-n n n x x g x g

1)(≤x g ，∴ 0)3

(31lim =∞→x g n n n

→n n 因此x x g 89

，于是 πk x arc x f 289sin )(+=或9

k arc x π+-（k 为整数）

设a b >均为常数，求方程

sin()ln[()sin()ln[()0x b x b x a x a ++-++=的一个解。

(甲) 内容要点

一、极限的概念与基本性质 1．极限的概念

(1) 数列的极限A x n n =∞

(2) 函数的极限lim ()x f x A →+∞

=；lim ()x f x A →-∞

=；lim ()x f x A →∞

A x f x x =→)(lim 0

；A x f x x =+→)(lim 0

；A x f x x =-→)(lim 0

2．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性）设A x f =)(lim ，B x f =)(lim ，则A=B 定理2 （极限的不等式性质）设A x f =)(lim ，B x g =)(lim 若x 变化一定以后，总有)()(x g x f ≥，则B A ≥

反之，B A >，则x 变化一定以后，有)()(x g x f >（注：当0)(≡x g ，0=B 情形也称为极限的保号性）

定理3 （极限的局部有界性）设A x f =)(lim 则当x 变化一定以后，)(x f 是有界的。

定理4 设A x f =)(lim ，B x g =)(lim 则（1）B A x g x f +=+)]()([lim （2）B A x g x f -=-)]()([lim （3）B A x g x f ?=?)]()([lim

（4）)0()()(lim

x g x f （5）B x g A x f =)

二、无穷小量

1．无穷小量定义：若0)(lim =x f ，则称)(x f 为无穷小（注：无穷小与x 的变化过程有关，01lim

=∞→x x ，当∞→x 时x 1为无穷小，而0x x →或其它时，x

不是无穷小） 2．无穷大量定义：任给M>0，当x 变化一定以后，总有M x f >)(，则称)(x f 为无穷大，记以∞=)(lim x f 。

3．无穷小量与无穷大量的关系：在x 的同一个变化过程中，

若)(x f 为无穷大量，则

x f 为无穷小量，若)(x f 为无穷小量，且0)(≠x f ，则

x f 为无穷大量。

4．无穷小量与极限的关系：

lim ()()()f x A f x A x α=?=+，其中lim ()0x α=

5．两个无穷小量的比较

设0)(lim =x f ，0)(lim =x g ，且l x g x f =)

（1）0=l ，称)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小量，记以()[()]f x o g x = 称)(x g 是比)(x f 低阶的无穷小量

（2）0≠l ，称)(x f 与)(x g 是同阶无穷小量。

（3）1=l ，称)(x f 与)(x g 是等阶无穷小量，记以)(~)(x g x f 6．常见的等价无穷小量，当0→x 时

x x ~sin ，x x ~tan ，x x arc ~sin ，x x arc ~tan ，2

cos 1x x -，x e x ~1-，x x ~)1ln(+，(1)1~x x αα+-。

7．无穷小量的重要性质

有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

三、求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则

准则1：单调有界数列极限一定存在

(1) 若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞

→lim 存在，且m A ≥

(2) 若n n x x ≥+1（n 为正整数）又n x M ≤（n 为正整数），则A x n n =∞

→lim 存在，且A M ≤

准则2：夹逼定理

设)()()(x h x f x g ≤≤。若A x g =)(lim ，A x h =)(lim ，则A x f =)(lim 3．两个重要公式

公式1：1sin lim

公式2：e n n n =+∞→)11(lim ；e u

u =+∞→)11(lim ；e v v v =+→1

4．用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换

5．用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）

当0→x 时，2

x n x x e x o x n =+++++ 例：23

112!3!lim lim 3!6

x x x x e o x x x →→--+===

21sin (1)()3!5!(21)!

n x x x x x o x n ++=-++

22cos 1(1)()2!4!

n x x x x o x n =-+-

n n x x x x x o x n

n x x x arc x x o x n ++=-+-

n n n x x x x o x n ααααααα----+=++

6．洛必达法则

第一层次，直接用洛必达法则法则1：（

型）设（1）0)(lim ,0)(lim ==x g x f （2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在

g x '='（或∞）则A x g x f =)

（或∞）（注：如果()lim ()f x g x ''不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()

g x 不存在且不是无穷大量情形）法则2：（

型）设（1）lim (),lim ()f x g x =∞=∞ （2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在

g x '='（或∞）

则A x g x f =)

（或∞）第二层次，间接用洛必达法则"0"?∞型和""∞-∞型

→→--和第三层次：间接再间接用洛必达法则"1"∞型、0

"0"型、0""∞型

()ln ()()ln ()*

lim ()lim x g x g x f x g x f x x x f x e e →→→==

7．利用导数定义求极限

基本公式：0000

()x f x x f x f x x

?→+?-'=?[如果存在]

8．利用定积分定义求极限

基本公式?∑==∞→101

)()(1lim dx x f n k

9．其它综合方法

10．求极限的反问题有关方法

例：已知221lim

a b x →++=-求和（乙）典型例题一、有关无穷小量

(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ 例2．设当0x →时，2

(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小量，而sin n

(1)x e - 高阶的无穷小量，则n 等于（）

（A ）1 （B ）2 （C ）3

二、通过各种基本技巧化简后直接求出极限

例1 设0≠m a ，0≠n b ，求01110

b x b a x a x a x a n n n n m m m m x ++++++----∞→ 解：01110

111lim b x b x b x b a x a x a x a n n n n m m m m x +++++++----∞→ n n n n m m m m n m x x

b x b x b b x a x a x a a x ---------∞→++++++++=0111101111]

当时当时当，n m n m b a n m n

,,0 例2 设0≠a ，1

→+++n n ar ar a

ar a n n n n -=--=+++∞→-∞

→111lim )(lim 1

特例（1）求??

?-+-+-+∞→n n n )32()

解：例2中取32=

-=r ，可知原式5

32)31(311)21(211lim ==+++++

n n 3223lim 11+-++∞→

解：分子、分母用n

n （注：主要用当1

例4 设l 是正整数，求∑=∞→+n

k k l l k k +-=+

k l n n l l l k k 1

11112111)(1 因此原式)1211(1l

特例：（1）∑=∞

（2）∑=∞→=+=+n

三、用两个重要公式

例1 求n n x x x 2

4cos 2cos lim ∞

解：当0=x ，原式=1

当0≠x 时，原式n

n n n x x x x x 2

sin 22cos 4cos 2cos 2sin

sin 22sin 2cos 4cos 2cos 2lim

11---∞→?= =…

n n n n n sin 2sin 2sin lim 2sin 2sin lim =?==∞→∞→ 例2 求x

解一：21)11()11(lim /)1(/)1(lim )11(lim --∞→∞→∞→==+-=??????+-=+-e e e x

x x x x x x x x

lim -+--+∞→∞

+-+=+-e x x x x x

2(cos )sin (120

-→→→-+=-=x

四、用夹逼定理求极限例1．求)21

解：令n n x n 212654321-??=

y n ，则n n y x <<0，于是1

由夹逼定理可知：0lim 2

→n n x ，于是原极限为0

例2 求∑=∞

122+++++≤++≤+++++∑=n n n

n n k n n n n n

lim 221lim 2=++=++++∞→∞→n n n n n

lim 121lim 22=+++=+++++∞→∞→n n n n n n n n n 由夹逼定理可知21

2=++∑=∞→n

k n k n n k 例3 求?∞→x

解：2sin sin 0

ππtdt dt t k k

设ππ)1(+<≤n x n ，则

)1(2sin sin sin 2)1(0

+n dt t dt t dt t n n x n ππ

于是，?+≤≤+x n n dt t x n n 0)

∵ππ2)1(2lim

=+∞→n n n ，π

)1(2lim =+∞→n n n ，

由夹逼定理可知，?=+∞→x x dt t x 02

五、用定积分定义求数列的极限例1．求∑=∞

分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑

1222221+≤+≤+∑=n n k n n n n n n

2=+∞→n n n n ，11

=+∞→n n n 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑

解：∑∑==∞→∞→+=+n

01tan 1πx arc x dx

解：∑∑∑===≤+

而?∑===∞→101

1lim πππxdx n k n n k n ∑∑==∞→∞→=+=+n k n k n n n k n n n n k n 11

)sin 1)(1(lim sin 11lim πππ 由夹逼定理可知，ππ

六、用洛必达法则求极限

∞""型例1．求n

-∞→ 解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑

lim sin x x x x x x

x x →→--等价无穷小代换

6sin lim 3cos 1lim

0==-=→→x x x x x x

解：若直接用0

"0"型洛必达法则1，则得91

x x x -→=12105lim 2

x e x x -→（不好办了，分母x 的次数反而增加）

为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令

于是t t t t x x e t t e x e 55101

+∞→--+∞→-

e →+∞→+∞====

例3 设函数()00)(≠f x f 连续，，求??--→x

解：原式???-=→x

t tf dt t f x 0

（分母作变量替换x t u -=）

?+-+=→x x x x xf du u f x xf x xf dt t f 0

（用洛必达法则，分子、分母各求导数）

（用积分中值定理）

x xf xf xf x ξξξ→→=+（ξ在0和x 之间）

2．""∞-∞型和"0"?∞型

例1 求)cos sin 1(

x x -→ 解：原式=x

x x x 222220sin cos sin lim ?-→

3042cos 2sin 44

x x x -=→ 3024sin 41

lim x x x x -=→ 2064cos 1lim x

例2 设0>a ，0>b 常数。求)(lim 11x

x x b a x -+∞

解：原式11lim 1x

→+∞-= 0lim t t t a b t +→-（0

用洛必达法则

b b a a t t t -=+→

(lim [x g x f 形式可化为)]

(ln[)(lim x f x g e

而)](ln[)(lim x f x g 都是“∞?0”型，按2的情形处理例1 求x

解：令x x y 2

sin =，x x y ln sin ln 2

0ln sin lim ln lim 20

==++→→x x y x x

例2 设0>a ，0>b

n →∞ 解：先考虑11lim (

+它是“∞1”型令x

(11+=，]2ln )[ln(ln 1

-+=x x b a x y x b a y x

x x x 12ln )ln(lim ln lim 11

-+=+∞→+∞→ 0ln()ln 2lim t t t a b t +→+- （0

0"型） ab b a b a b b a a t

t t t t ln )ln (ln 21ln ln lim 0=+=++=+→ 因此，ab b a x

lim 11 于是，ab b a n

七、求分段函数的极限

++→ 解：112))

2sin lim ()0111

八、用导数定义求极限例1 设0()2f x '=，求x

x x f x x f x ??--?+→?)

x f x x f x f x x f x ?-?---?+→?)]

()2([)]()3([lim

()2(lim 23)()3(lim

x x f x x f x x f x x f x x ?--?-+?-?+→?→?

=0003()2()5()10f x f x f x '''+==

例2 设曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，求)2

解：由题设可知0)0(=f ，0

(0)(sin )1x f x =''

2lim ()lim 22(0)220

n n f f n nf f n n

→∞→∞-'=?==-

九、递推数列的极限例1 设301<

+，证明n n x lin ∞

→存在，并求其值。

解：∵01>x ，031>-x ，∴ 2

2)3()3(011112=-+≤

（几何平均值≤算术平均值）用数学归纳法可知1>n 时，2

0≤n 时，)3()3(1n n n n n n n n x x x x x x x x --=--=

∴ n n x x ≥+1，则}{n x 单调增加。

根据准则1，l x n n =∞

把)3(1n n n x x x -=

+两边取极限，得)3(l l l -=

223l l l -=，0=l （舍去）得23

3lim =∞→n n x

思考题设21=x ，1212x x +=，……，1

2n n x x -=+，…… 求n n x ∞

十、求极限的反问题

x →++=-，求a 和b 解：由题设可知2

lim()0x x ax b →++=，10a b ∴++=，再由洛必达法则得

2)1cos(22lim )1sin(lim 21221=+=-+=-++→→a x x a x x b ax x x x 5,4-==b a

例2 设)(x f 在),0(∞+内可导，0)(>x f ，1)(lim =∞→x f x ，且满足x h

h e x f hx x f 1

()([lim =+→，

解：)](ln )([ln 1

lim 100])()([lim x f hx x f h

x f hx x f -+→→=+ 0lim

[ln ()ln ()][ln ()]h x

f x hx f x x f x hx e

因此，1[ln ()]x f x x '=

，21[ln ()]f x x '=，1

ce x f 1)(-=，由1)(lim =+∞

→x f x ，可知1=c

(甲) 内容要点一、函数连续的概念

1．函数在一点连续的概念

定义1 若)()(lim 00

x f x f x x =→，则称)(x f 在点0x 处连续。

定义2 设函数)(x f y =，如果0

0lim ()()x x f x f x -

→=，则称函数)(x f 在点0x 处左连续；如果)()(lim 00

x f x f x x =+→，则称函数)(x f 在点0x 处右连续。

如果函数()y f x =在点0x 处连续，则()f x 在0x 处既是左连续，又是右连续。 2．函数在区间内（上）连续的定义

如果函数)(x f y =在开区间（b a ,）内的每一点都连续，则称)(x f 在),(b a 内连续。如果)(x f y =在开区间内连续，在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称)(x f 在闭区间[b a ,]上连续。

二、函数的间断点及其分类

1．函数的间断点的定义

如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称0x 为)(x f 的间断点。 2．函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点

设0x 是函数)(x f y =的间断点，如果)(x f 在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称

0x 是)(x f 的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

例如：0=x 是x x x f sin )(=

的可去间断点，是x x x f ||)(=的跳跃间断点，是x x f 1

)(=的无穷间断点，是x

sin )(=的振荡间断点。

三、初等函数的连续性

1．在区间I 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I 仍是连续的。

2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。 3．在区间I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。 4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。 5．初等函数在它的定义区间内是连续的。

四、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a ,b ]上连续的函数)(x f ，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1 （有界定理）如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )必在[a, b ]上有界。定理2 （最大值和最小值定理）如果函数f (x )在闭区间[a, b ]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m .

其中最大值M 和最小值m 的定义如下：

定义设M x f =)(0是区间],[b a 上某点0x 处的函数值，如果对于区间],[b a 上的任一点x ，总有M x f ≤)(，则称M 为函数)(x f 在],[b a 上的最大值。同样可以定义最小值m .

定理3 （介值定理）如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c ，在],[b a 上至少存在一个ξ，使得

推论：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在),(b a 内至少存在一个点ξ，使得

这个推论也称零点定理。

思考题：什么情况下能保证推论中的ξ是唯一的？

（乙）典型例题

一、讨论函数的连续性

由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。

例1 讨论函数

???>=<=0,1sin 0

x x x x x e x f x

在点0=x 处的连续性。

考研数学高数习题—极限

一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。模块二极限 1、设221,0 ()0,01,0x x f x x x x ?->? ==??+

（3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限（1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限（1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ .

高等数学讲义(一)

高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。第1讲函数 1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f

}9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。例1 求函数x y -=1的定义域。解在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1．求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2．已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3．设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4．计算 3。 5。计算。 6．计算 71 (2) dx x x +?。 7。计算。 8．计算 21 13sin dx x +?。 9。计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10．计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11．计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12．设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13．设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14．计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15．计算x 。 16．计算 1sin 22sin dx x x +?。 17．计算ln t tdt α ? 。 18．计算()ln n x dx ?。《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2．设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3．计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4．已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝。

考研高等数学145分高手整理完整经典笔记(考研必备免费下载)

最新下载(https://www.wendangku.net/doc/ac11205933.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例

§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数

考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限：（1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ；（2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π；（3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限：（1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限：（1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ；（2）n n n n !lim ∞ →；（3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ；（2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限：（1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+；（3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++；（4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→；（2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ；（4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；

考研高数辅导：高等数学的比重

考研高数辅导：高等数学的比重考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极限、多元函数偏导数的计算、反常积分的计算、二阶常系数齐次线性微分方程通解、定积分的应用(旋转体的体积)、导数的应用(与经济学相关的应用题)、微分中值定理的应用。在高等数学的题目中数学一、数学二、数学三中虽然有重复的，但是题目的难度不一样，侧重点也有所不同，除了要很好的掌握知识点意外还要具有一定的计算能力，不要会做算不

高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续

历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域。解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、求数列的极限方法一利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = .

考研高数精华知识点总结：极限的运算

考研高数精华知识点总结：极限的运算高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的

辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料

第三章中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理第一节微分中值定理

极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)

则0)(0='x f 。在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。

驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。定理1（罗尔定理）：条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论：一定存在),(b a ∈ξ，

使得0)(='ξf 。几何意义：设AB 是（1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =；（2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线；（3）两端点纵坐标相等则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的．即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）

考研高等数学复习方法指导

考研高等数学复习方法指导考研高等数学复习方法指导下面简单谈谈如何复习考研数学中的高等数学部分。首先考生们要明确的是考研数学主要是考根底，包括基本概念、基本理论、基本运算等，假如概念、基本运算不太清晰，运算不太纯熟那你肯定是考不好的。高数的根底应着重放在极限、导数、不定积分、当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容的联系和应用。另一部分考查的是简朴的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识点的综合。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得高分也就不再是难事了。在复习过程中考生们要注意以下几点：第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。第三：关于积分部分。定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。第四：一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。 (1)强调学习而不是复习

(2)复习顺序的选择问题对于考研数学，建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。我们并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。同学们也可根据自己的特殊情况调整复习顺序。 (3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握 (4)加强练习，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过大量的训练可以切实提高数学的.解题能力，做到面对任何试题都能有条不紊地分析和计算。 (5)不要依赖答案学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点，做题的过程中先不要看答案，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以为看明白了就会了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。 (6)强调积极主动地亲自参与，并整理出笔记对于考研数学来说，做题是最关键的，考生必须保证一定的做题量!看书是获得理论知识，要想考场上考出好成绩，必须经过大量的做题实践，只有经过大量的做题实践，才能熟练、自如的应用理论知识。做题有很多好处的：一是通过做题来准确理解、把握基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。单纯的看书，许多概念是无法掌握其精髓的，也不知道在什么情况下使用，如何使用。试卷上不需要考生默写某个概念或公式，而是用这些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过做题来获得，所以考生必须做一定数目的题目。二是题目做的多了，

考研高数辅导：高等数学的比重

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数辅导：高等数学的比重考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极

考研高等数学全面复习资料

高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 ········································································错误!未定义书签。 1、集合的概念····································································错误!未定义书签。 2、常量与变量····································································错误!未定义书签。 2、函数·············································································错误!未定义书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未定义书签。 4、反函数··········································································错误!未定义书签。 5、复合函数·······································································错误!未定义书签。 6、初等函数·······································································错误!未定义书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未定义书签。 8、数列的极限····································································错误!未定义书签。 9、函数的极限····································································错误!未定义书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未定义书签。

[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版）文都网校 2011年5月27日

公开课二：定积分理论一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ，其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ；（3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ，若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。

考研数学知识点复习：高等数学复习攻略

考研数学知识点复习：高等数学复习攻略考研的各门科目中，考研数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大，应及早复习为佳。与英语相比，考研数学只要方法得当，提高分数相对要快一些。高等数学是考研数学内容最多的一部分，所以高等数学的分量也就显得尤为重要。今年试卷整体难度合适，与往年相当，题型也都是我们课堂给大家讲授到的，对知识点的考查很全面，“三基本-基本概念、基本理论和基本方法”占的比重很大，约为83%，对数学的实际应用能力的考查有所体现，抓住了数学考试的本质思想。对于选择题仍然考查考生的基本计算能力、基本逻辑推导能力等；填空题考查基本计算能力；而计算题考查基本计算能力、简单的应用能力和证明能力等。所以，我们XX年参加考试的考生在复习时，一定要以国家考试中心的考试大纲为标准，严格按照规定的考点及层次去复习，至今命题的核心是考察两个层次的问题，一个是三基本，高数的基础应着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容的联系和应用。另一部分考查的是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都

是多个知识点的综合。再一个就是知识的运用能力，有几何、物理、化学、力学等知识。所以考研数学复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习。在具体的复习过程中如何规划复习才能取得事半功倍的效果也是考试普遍关注的问题。数学复习要保证熟练度，平时应该多训练，一天至少保证三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，要天天练习，必须保证一定的题量。不通过一定的题量练习稳固知识基础，也很难把握知识的灵活运用，所以建议大家找一些典型的题做一些训练，通过这种练习来反馈我们知识的把握情况，同时还能更好的掌握这些相关的知识。根据命题考核层次及学习的科学规律，我们总的来说把复习规划可以分为三个阶段：第一个阶段是基础阶段。这个阶段的长短应该根据自己的情况来实施，基础好一点的同学，这个时间可以短一点，基础差一点的同学，这个阶段可以长一点。但是要提醒大家，这个基础阶段的时间不能太长，不能到了十月、十一月份还在打基础，那这样的话，复习的效率就太低了，我们建议基

李正元高等数学强化讲义

第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是： ①掌握求极限的各种方法． 1 ()) n n x f x + =

②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法． ③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算． §1 极限的重要性质 1．不等式性质设B y A x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，，且A ＞B ，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞y n ．设B y A x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥y n ，则A ≥B ．作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设A x n n =∞ →lim ，且A ＞0，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞0．设A x n n =∞ →lim ，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥0，则A ≥0．对各种函数极限有类似的性质．例如：设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，且A ＞B ，则存在δ＞ 0，使得当0 0 < x x -＜δ有f （x ）＞g （x ）．设 B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，且存在δ＞0，使得当0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）≥g （x ），则A ≥B ． 2．有界或局部有界性性质设A x n n =∞ →lim ，则数列｛x n ｝有界，即存在M ＞0，使得｜x n ｜≤M （n = 1，2，3，…）．设，A x f x x =→)(lim 0 则函数f （x ）在x = x 0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M ＞0，使得当0＜｜x －x 0｜＜δ时有｜f （x ）｜≤M ．对其他类型的函数极限也有类似的结论． §2 求极限的方法更多考研公共课资料，关注微信公众号：kaoyanyun 1．极限的四则运算法则及其推广设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，则；B A x g x f x x ±=±→)]()([lim 0 ；AB x g x f x x =→)()(lim 0 ． )0()()(lim 0 ≠=→B B A x g x f x x 只要设)(g lim )(lim 0 x x f x x x x →→，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“0 ”，“ ∞ ∞ ”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设B x x f x x x x =∞=→→)(g lim )(lim 00，，则∞=±→)]()([lim 0x g x f x x .∞=→) ()(lim 0x g x f x x （()0g x ≠）又B ≠0，则∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．2°设

2018年会计硕士考研辅导课件公共课数学强化提高班高等数学第一章函数极限连续

2018年会计硕士考研辅导课件公共课数学强化提高班高等数学第一章函数极限连续质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质。一、基本内容函数：函数的两个重要特性：对应的规则（相互依赖的规则，表达式）、定义域五类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（知道其基本图形、定义域）基本初等函数：在定义域内连续由基本初等函数通过有限次的四则运算，有限次的复合运算构成了初等函数初等函数：在其定义区间内连续函数基本特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性奇偶性：周期性：其中，T为最小正周期。例：，没有最小正周期复合函数：反函数：一一对应的函数才有反函数－>单调函数才有反函数

罗必塔法则：只适用于连续型，所以不能直接用，但可以将n先化为x，观察的变化趋势，再化为n即可函数连续：，则连续函数的一些性质：有界性，最大最小值（最值定理），介值定理 1.利用夹逼定理得： 2.利用单调有界数列必有极限得：右极限，左极限连续函数的三种定义 1. 2. 3.对于当时，有。函数一点处连续：左右极限存在，并相等，并且等于函数在该点的值二、重点内容利用有关知识求出极限. 无穷小：极限为0的变量无穷小的阶数常用的等价无穷小：x→0时，sinx～x , tanx～x ,，， ln （1+x）～x ,，，三、典型例题分析例1：『正确答案』（A）若之取值不包含的间断点，则就没有间断点了。（B）例如为分段函数：当时取-1，而当>0时取1,则,就没有间断点. （C）无间断点.

（D）,因,故的间断点还存在,故选（D）. 例2：『正确答案』原式= = = 例3：求『正确答案』注意：1.对于 2.由于tanx不易求导，故常化为解：原式= 例4：若，则为 A.0 B.6 C.36 D. 『正确答案』解：由泰勒公式：原式＝而，故，答案：C 例5：设试证数列极限存在，并求此极限。『正确答案』证：设对某个正整数k，有，则有故对任意n , 有，是单调递减数列。

高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)

第十章曲线积分与曲面积分曲线积分一基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（1）平面曲线()L AB 的积分：() ()0 1 (,)d lim (,)n k k k L AB T k f x y s f s λξη→==?∑? （2）空间曲线()L AB 的积分： () ()0 1 (,,)d lim (,,)n k k k k L AB T k f x y z s f s λξηζ →==?∑? 其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或 (,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）平面曲线()L AB 的积分： () ()0 1 (,)d (,)d lim [(,)(,)]n k k k k k k L AB T k P x y x Q x y y f x f y λξηξη→=+=?+?∑? （2）空间曲线()L AB 的积分： () (,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++? ()0 1 lim [(,,)(,,)(,,)]n k k k k k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζ ξηζξηζ→==?+?+?∑ 其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或 (,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。二基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质）（1）无向性 () () (,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =? ? ．（2）线性性质 (1) (,)d (,)d L L k f x y s k f x y s =?? ； (2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L L f x y g x y s f x y s g x y s ±=±?? ?．（3）路径可加性曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则 1 2 (,)d (,)d (,)d L L L f x y s f x y s f x y s =+? ??．（4）弧长公式 d L s L =?(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换积函数可用积分曲线方程作变换．（6）奇偶性与对称性如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称， () (,)d L AB f x y s ? 存在，则

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