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(完整word版)二次函数精选练习题及答案

二次函数练习题及答案

一、选择题

1．将抛物线2

3y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（） A 2

3(2)1y x =++ B.2

3(2)1y x =+- C.2

3(2)1y x =-+ D.2

3(2)1y x =-- 2．将抛物线22

+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（）Ａ．32+=x y ；Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ；Ｄ．2)1(2

+-=x y ． 3．将抛物线y= （x -1）2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）

A ．y=（x -2）2

B ．y=（x -2）2+6

C ．y=x 2+6

D ．y=x 2 4．由二次函数1)3(22

+-=x y ，可知（）

A ．其图象的开口向下

B ．其图象的对称轴为直线3x =-

C ．其最小值为1

D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大 5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（）

A ．最大值1

B ．最小值﹣3

C ．最大值﹣3

D ．最小值1 6．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（）

A ．2

(3)3y x =-+ B ．2

(3)1y x =-+ C ．2

(1)3y x =-+ D ．2

(1)1y x =-+

7．抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b 、c 的值为

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

二、填空题

8．二次函数y=－2（x －5）2＋3的顶点坐标是．

9．已知二次函数2

y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”x 0 1 2 3 y 1-

10．在平面直角坐标系中，将抛物线2

23y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为．

c bx x y ++=2

322

--=x x y

11．求二次函数2

245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿)对称轴＿＿＿＿。 12．已知(－2,y 1),(－1,y 2),(2,y 3)是二次函数y=x 2－4x+m 上的点, 则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是 __________ . 13．（2011?攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2﹣1；②y=2x 2+3；③y=﹣2x 2﹣1；④y=2/21x -的图象不可能由函数y=2x 2+1的图象通过平移变换得到的函数是．（把你认为正确的序号都填写在横线上）

14．已知抛物线2

21y x x =-+-，它的图像在对称轴______（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的

15．x 人去旅游共需支出y 元，若x,y 之间满足关系式y=2x 2 - 20x + 1050,则当人数为_____时总支出最少。 16．若抛物线y=x 2﹣4x+k 的顶点的纵坐标为n ，则k ﹣n 的值为 ____ ．

17．若二次函数y=（x-m ）2-1，当x<1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是______

三、解答题

18．已知二次函数2286y x x =-+-.

（1）求二次函数2286y x x =-+-的图象与两个坐标轴的交点坐标；

（2）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y )称为整点. 直接写出二次函数

2286y x x =-+-的图象与x 轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数．

19．（8分）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．

（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）

（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．

20．如图，矩形ABCD 中，AB=16cm ，AD=4cm ，点P 、

Q 分别从A 、B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以2cm/s 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以1cm/s 的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）.

（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值.

21．如图，已知二次函数的图象与轴相交

于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．

（1）求与轴的另一个交点D 的坐标；

（2）如果恰好为的直径，且5ABC S =V ，求和的

2)(m k m x y -++=x 1(0)A x ，

2(0)B x ，y C ABC △P P ⊙y AB P ⊙m k

值．

22．已知关于x 的方程mx 2+(3m+1)x+3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；

（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y= mx 2+(3m+1)x+3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．

23．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P 是抛物线y=

x 2

上的一个动点．

（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y=-1的相切；

（2）设直线PM 与抛物线y=

x 2

的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：∠PNM=∠QNM ．

24．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式y=

110

x 2

+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲、p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额-全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，p 甲=-

x+14，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W 甲（万元）与x 之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，p 乙=-

x+n （n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1）、（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得最大的年利润？

25．（12分）已知抛物线2

y x bx c =++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C ，该抛物线的顶点为点D ．

（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标；

（2）连接AC ，CD ，BD ，BC ，设△AOC ，△BOC ，△BCD 的面积分别为1S ，2S 和3S ，用等式表示1S ，2S 、3S 之间的数量关系，并说明理由；

（3）点M 是线段AB 上一动点（不包括点A 和点B ），过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，连接MC ，是否存在点M 使∠AMN=∠ACM ？若存在，求出点M 的坐标和此时刻直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．

26．如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1），交y 轴于点M ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直x 轴于点E ，交线段AM 于点F ，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P ，作PN 垂直x 轴于点N ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为(3，3)，AD 为斜边上的高．抛物线y ＝ax 2＋2x 与直线y ＝

x 交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ． 27．求OA 所在直线的解析式 28．求a 的值

29．当m≠3时，求S 与m 的函数关系式．

30．如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝ 3

2．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对

称图形时m 的取值范围．

O O

A A B

P D P

D y y x

图①

图②

参考答案

1.【答案】B

【解析】分析：根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x 2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3（x+2）2；

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3（x+2）2

先向下平移1个单位可得到抛物线y=3（x+2）2-1．故选B ．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

2．D 【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题；

0||22

0||()k k k k y ax y a x k >

0||220||h h h h h y ax y ax >

所以将抛物线22

+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是2

(1)2y x =-+，选D

3．D. 【解析】试题分析：将y=（x-1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=x 2+3；再向下平移3个单位为：y=x 2．故选D. 考点：二次函数图象与几何变换．

4．C ．【解析】试题分析：由二次函数1)3(22

+-=x y ，可知：

A ．∵a ＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；

B ．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；

C ．其最小值为1，故此选项正确；

D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故此选项错误．考点：二次函数的性质．

5．B 【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，顶点P 的坐标是（1，﹣3），所以二次函数有最小值是﹣3．故选B ．考点：二次函数的性质

6．C ．【解析】试题分析：抛物线2

46(2)2y x x x =-+=-+的顶点坐标为（2，2），把点（2，2）向左平移1个单位，向上平移1个单位得到对应点的坐标为（1，3），所以平移后的新图象的函数表达式为2(1)3y x =-+．故选C ．考点：二次函数图象与几何变换．

7．B 【解析】方法1，由平移的可逆性可知将，的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得图像为抛物线2

y x bx c =++的图像，又2

23y x x =-- 的顶点坐标（1，-4）向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到（-1，-1），∴2

y x bx c

=++22(1)12x x x =+-=+，即b=2,c=0;

322

--=x x y

方法2，2

y x bx c =++的顶点24,2

4b b c ??

--- ??? 向右平移2个单位再向下平移3个单位，

得2

y x bx c =++的顶点（1，-4）即212

-+=∴b=2, 2444b c --=-,∴c=0, 故选B 8．(5,3).【解析】试题分析：因为顶点式y=a （x ﹣h ）2+k,其顶点坐标是（h,k ）,对照求二次

函数y=－2（x －5）2＋3的顶点坐标(5,3). 故答案是(5,3)．考点：二次函数的顶点坐标. 9．（小于）【解析】试题分析：代入点（0，-1）（1,2）（2,3）有

21,112441

c b b y x x =--+-=?=?=-+-()()2

224144323y x x x x x =-+-=--++=--+，因为在0到1递增，所以y1的最

大值是2，y2的最小值是2，所以小于考点：二次函数解析式

点评：本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递减规律的考查 10．2

23y x x =-++（顶点式为2

(1)4y x =--+）．

【解析】试题分析： ∵2

23(1)2y x x x =++=++，∴顶点坐标为（﹣1，2），当x=0时，y=3，∴与y 轴的交点坐标为（0，3），∴旋转180°后的对应顶点的坐标为（1，4），∴旋转后的抛物线解析式为2

(1)423y x x x =--+=-++，即2

23y x x =-++．

考点：二次函数图象与几何变换． 11．(1,-7) x=1

【解析】先把y=2x 2-4x-5进行配方得到抛物线的顶点式y=2（x-1）2-7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴．

解：∵y=2x 2-4x-5=2（x 2-2x+1）-5=2（x-1）2-7，

∴二次函数y=2x 2-4x-5的顶点坐标为（1，-7），对称轴为x=1，故答案为（1，-7），x=1． 12．y 3< y 2

【解析】由于点的坐标符合函数解析式，将点的坐标代入直接计算即可．解：将（-2，y 1），（-1，y 2），（2，y 3）分别代入二次函数y=x 2-4x+m 得， y 1=（-2）2-4×（-2）+m=12+m ， y 2=（-1）2-4×（-1）+m=5+m ， y 3=22-4×2+m=-4+m ， ∵12＞5＞-4， ∴12+m ＞5+m ＞-4+m ， ∴y 1＞y 2＞y 3．按从小到大依次排列为y 3＜y 2＜y 1．故答案为y 3＜y 2＜y 1． 13．③，④

【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可．

解：二次项的系数不是2的函数有③④．故答案为③，④．考点：二次函数的变换问题．用到的知识点为二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数． 14．右侧【解析】本题实际是判断抛物线的增减性，根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．

解：∵抛物线y=-x 2-2x+1中，a=-1<0，抛物线开口向下， ∴抛物线图象在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小（下降）．填：右侧．

15．５【解析】考点：二次函数的应用．

分析：将y=2x 2-20x+1050变形可得：y=2（x-5）2+1000，根据二次函数的最值关系，问题可求．

解答：解：由题意，旅游的支出与人数的多少有关系， ∵y=2x 2-20x+1050， ∴y=2（x-5）2+1000，

∴当x=5时，y 值最小，最小为1000．

点评：本题考查利用二次函数来求最值问题，将二次函数解析式适当变形即可．

16．4．【解析】试题解析：∵y=x 2-4x+k=（x-2）2+k-4，∴k-4=n ，即k-n=4．考点：二次函数的性质

17．m≥1.【解析】试题分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的自变量的取值范围．试题解析：∵二次函数的解析式y=（x-m ）2-1的二次项系数是1， ∴该二次函数的开口方向是向上；

又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m ，-1），∴当x≤m 时，即y 随x 的增大而减小；而已知中当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∴m≥1. 考点: 二次函数的性质． 18．（1）（1，0）和（3，0）（2）5 【解析】解: （1）令，则

，

∴二次函数2

286y x x =-+-的图象与y 轴的交点坐标为（0，-6）.…………1分令y=0，则2

286y x x =-+-，求得121,3x x ==，

∴二次函数2286y x x =-+-的图象与轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)………3分

（2）5个 . …………4分

19．(1)S=-2x 2+32x (2)x=8时最大值是128 【解析】考点：二次函数的应用。

分析：在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公式列出二次函数，用二次函数的性质求最大值。

解答：（1）由题意，得S=AB?BC=x （32-2x ），∴S=-2x 2+32x 。（2）∵a=-2＜0，∴S 有最大值．∴x=-b/2a=-32/2×(-2)=8时，有S 最大=（4ac-b 2）/4a=-322/4×(-2)=128。

∴x=8时，S 有最大值，最大值是128平方米。点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x 2-2x+5，y=3x 2-6x+1等用配方法求解比用公式法简便。 20．（1）y=-x 2+8x ，自变量取值范围：0

0x =6y =-x

角形的面积列式整理即可得解，根据点Q 先到达终点确定出x 的取值范围即可；（2）利用二次函数的最值问题解答．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴BC=AD=4，根据题意，AP=2x ，BQ=x ，∴PB=16-2x ， ∵S △PBQ =

PB QB ?，∴y=-x 2+8x 自变量取值范围：0

21．（1）（0，1）；（2）【解析】试题分析：（1）令x=0，代入抛物线解析式，即求得点C 的坐标．由求根公式求得点A 、B 的横坐标，得到点A 、B 的横坐标的和与积，由相交弦定理求得OD 的值，从而得到点D 的坐标．

（2）当AB 又恰好为⊙P 的直径，由垂径定理知，点C 与点D 关于x 轴对称，故得到点C 的坐标及k 的值．根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出AB 线段的长，由三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，可求得m 的值．（1）易求得点C 的坐标为

由题设可知12x x ，是方程即的两根，

所以，所 ∵⊙P 与轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，

设它们的交点为点O ，连结DB ，

∴△AOC ∽△DOC ，则由题意知点C 在轴的负半轴上，从而点D 在轴的正半轴上，所以点D 的坐标为（0，1）；（2）因为AB ⊥CD ， AB 又恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，

所以点C 的坐标为，即又，所以解得考点：一元二次方程求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，垂径定理，三角形面积公式

点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，如何表示OD 及AB 的长是本题中解题的关键．

22．（1）证明略；（2）m=1；（3）1＜b ＜3，b ＞

134

．【解析】试题分析：（1）求出根的判别式总是非负数即可；（2）由求根公式求出两个解，令这两个解是整数求出m 即可；

.2±=m 1-=k (0)k ，0)(2

2=-++m k m x 022=++k mx x 2122(2)4m m k

x -±--=

，12122x x m x x k +=-?=，y .12

1===?=

k k x x OC OB OA OD y y (01)-，

1-=k 2

212112()4(2)4221AB x x x x x x m k m k m =-=+-=--=-=+211

211522

ABC S AB OC m =

?=?+=△.2±=m

（3）先求出A、B的坐标，再根据图像得到b的取值范围．

试题解析：（1）证明：∵m≠0，∴mx2+(3m+1)x+3=0是关于x的一元二次方程. ∴△=(3m+1)2－12m =(3m－1)2．∵ (3m－1)2≥0，∴方程总有两个实数根.

（2）解：由求根公式，得x1=－3，x2=

m -．

∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，∴m=1．

（3）解：∵m=1时，∴y=x2+4x+3．

∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．当直线y=x+b经过

B点时，可得b=1．∴1＜b＜3．

当直线y=x+b与y=－x2－4x－3 的图象有唯一公共点时，可得x+b=－x2－4x－3，

∴x2+5x+3+b=0，∴△=52－4(3+b) =0，∴b=13

．∴b＞

．

综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞13

．

考点：根的判别式，求根公式的应用，函数的图像.

23．(1)证明见解析．（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y=-1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM 和P到y=-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=-1是圆P的切线．

（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q，P作QR⊥直线y=-1，PH⊥直线y=-1，垂足为R，H，那么QR∥MN∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH．（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例关系式可写成QR：PH=RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠QNR=∠PNH，根据等角的余角相等，可得出∠QNM=∠PNM．

试题解析：（1）设点P的坐标为（x0，1

x20），则PM=222

(1)

x x

+-=x20+1；

又因为点P到直线y=-1的距离为，1

x20-（-1）=

x20+1

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R．

由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．

因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，

所以，PH∥MN∥QR，于是QM MP

RN NH

=，所以

QR PH

RN HN

=，因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．

于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．考点：二次函数综合题．

24．（1）（-1

x2+14x）万元；w甲=-

x2+9x-90．（2）n=15．（3）应选乙地．

【解析】试题分析：（1）依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；

（2）求出利润W 乙（万元）与x 之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元．求出n 的值；

（3）分别求出x=18时，W 甲和W 乙的值，通过比较W 甲和W 乙大小就可以帮助投资商做出选择．

试题解析：（1）甲地当年的年销售额为（-120x+14）?x=（-120

x 2

+14x ）万元；

w 甲=（-120x 2+14x ）-（110x 2+5x+90）=-320

x 2

+9x-90．

（2）在乙地区生产并销售时，年利润：

w 乙=-110x 2+nx-（110x 2+5x+90）=-1

x 2+（n-5）x-90．由22

4()(90)(5)45144()5

n ac b a ?-?----=

?-=35，解得n=15或-5．经检验，n=-5不合题意，舍去， ∴n=15．（3）在乙地区生产并销售时，年利润

w 乙=-15

x 2

+10x-90，将x=18代入上式，得w 乙=25．2（万元）；将x=18代入w 甲=-320

x 2

+9x-90，得w 甲=23．4（万元）． ∵W 乙＞W 甲， ∴应选乙地．考点：二次函数的应用．

25．（1）2

23y x x =--，D （1，﹣4）；（2）132S S S +=；（3）M （

32，0）， 3

y x =-．【解析】试题分析：（1）把A 、B 的坐标代入即可求出抛物线的解析式，用配方法把一般

式化为顶点式求出点D 的坐标；

（2）利用勾股定理的逆定理判断△BCD 为直角三角形，分别求出△AOC ，△BOC ，△BCD 的面积，计算即可得到答案；

（3）假设存在，设点M 的坐标为（m ，0），表示出MA 的长，由MN ∥BC ，求出AN ，根据偶△AMN ∽△ACM ，求出m ，得到点M 的坐标，从而求出BC 的解析式，由于MN ∥BC ，设直线MN 的解析式为y x b =+，求解即可．

试题解析：（1）∵抛物线2

y x bx c =++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴10

930

b c b c -+=??

++=?，

解得：23

b c =-??

=-?，∴抛物线的解析式为：223y x x =--，∵223y x x =--=2

(1)4x --，

∴点D 的坐标为：（1，﹣4）；（2）132S S S +=．证明如下：

过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥y 轴于F ，由题意得，

，

BD=

BC=

222CD BC BD +=，∴△BCD 是直角三角形，1S =

12×OA×OC=32，2S =12×OB×OC=92

，3S =

×CD×BC=3， ∴132S S S +=；（3）存在点M 使∠AMN=∠ACM ，设点M 的坐标为（m ，0），∵﹣1＜m ＜3，∴MA=m+1，AC=10，∵MN ∥BC ，∴

AM AB

AN AC =

，即110

m AN +=，解得，AN=10(1)4m +，∵∠AMN=∠ACM ，∠MAN=∠CAM ，∴△AMN ∽△ACM ，∴

AM AN

AC AM

，即210(1)10(1)m m +=?

+，解得， 132m =，21m =-（舍去），∴点M 的坐标为（32

，0），设BC 的解析式为y kx b =+，把B （3，0），C （0，﹣3）代入得，

303k b b +=??=-?，解得13

k b =??

=-?，则BC 的解析式为3y x =-，又MN ∥BC ，∴设直线MN 的解析式为y x b =+，把点M 的坐标为（3

，0）代入得，b=32-

，∴直线MN 的解析式为32

y x =-．

考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．探究型；4．和差倍分；5．动点型；6．综合题；7．压轴题．

26．（1）21

2y x x 1

=--+

（2）点D 的坐标为3524??

- ??? ，

（3）满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，5

-）、（10，﹣39）。

【解析】分析：（1）把点A 、B 、C 的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三

元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值。

（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M 的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即可求得

直线AM 的关系式为1y x 13=+。由题意设点D 的坐标为200012x x x 133??

--+ ??? ，，则点F

的坐标为001x x 13??

+ ???

，，易求DF 关于0x 的函数表达式，根据二次函数最值原理来求线段

DF 的最大值。

（3）对点P 的位置进行分类讨论：点P 分别位于第一、二、三、四象限四种情况。利用相似三角形的对应边成比例进行解答。解：（1）把A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1）

代入2y ax bx c =++得，

9a 3b c 0a b c 04a 2b c 1

-+=??++=??-+=?．解得1a 32b 3c 1

?=-??

=-??=???

。

∴抛物线的表达式为212y x x 133

=--+。

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M 的坐标为（0，1）。设直线MA 的表达式为y=kx+b ，

则b 13k b 0=??-+=?，解得1k 3b 1?

=???=?。 ∴直线MA 的表达式为1y x 13=+。

设点D 的坐标为200012x x x 133??--+ ??? ，，则点F 的坐标为001x x 13??

+ ???

，。

∴2

220000*********DF x x 1x 1x x x 3333324??

??=--+-+=--=-++ ? ???

??。

∴当03x 2=-时，DF 的最大值为34。此时200125x x 1334--+=

，即点D 的坐标为3524??- ???

，。

（3）存在点P ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似。设P 212m m m 133??

--+ ???

，，

在Rt △MAO 中，AO=3MO ，要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限。

①设点P 在第二象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM 。 ∴()212m m 13m 333

--+=+，即2m 11m 240++=，解得m=﹣3或m=﹣8。 ∵此时﹣3＜m ＜0，∴此时满足条件的点不存在。

②当点P 在第三象限时， ∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM 。

∴()212m m 13m 333??

---+=-- ???

，即2m 11m 240++=，解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8。

当m=﹣8时，212m m 11533

--+=-，∴此时点P 的坐标为（﹣8，﹣15）。

③当点P 在第四象限时，

若AN=3PN 时，则2123m m 1m 333??

---+=+ ???

，

即m 2+m ﹣6=0。

解得m=﹣3（舍去）或m=2。当m=2时，21

25m m 1333

--+=-， ∴此时点P 的坐标为（2，53

-）。

若PN=3NA ，则()212m m 13m 333??

---+=+ ???

，即m 2﹣7m ﹣30=0。

解得m=﹣3（舍去）或m=10。

当m=10时，21

2m m 13933

--+=-，∴此时点P 的坐标为（10，﹣39）。综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，53

-）、（10，﹣39）。

27．设直线OA 的解析式为y kx =. Q 点A 的坐标为（3，3）. 33k ∴=. 解得1k =.

∴直线OA 的解析式为y x =

28．当6x =时，11

6322

y x =

=?=. C ∴点的坐标为(6，3)， Q 抛物线过点C （6，3） 33626a ∴=+?. 解得1

a =-

29．根据题意，()()3060D B ，，，.

Q 点P 的横坐标m ，PE y ∥轴交OA 于点E ，

()E m m ∴，.当03m <<时，如图①，

OAB OED S S =△△-S ＝113

6339222

m m ??-?=-+.…………7分

当3m >时，如图②，

63322

OBC ODA S S m ==??-??△△-S

3.2

m =-

图②

30．33

m=-或

m=或34

≤. 提示：

如图③，RQ=RN时，33

m=-，……………………………………11分

如图④，AD所在的直线为矩形RQMN的对称轴时，9/4

m=，…………………12分

如图⑤，RQ与AD重合时，重叠部分为等腰直角三角形，3

m=；………13分

如图⑥，当点R落在AB上时，m=4.所以34

≤<.…………………14分

【解析】（1）已知了A点的坐标，即可求出正比例函数直线OA的解析式；

（2）根据C点的横坐标以及直线OC的解析式，可确定C点坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求出待定系数a的值；

（3）已知了A点的坐标，即可求出OD、AD的长，由于△OAB是等腰直角三角形，即可确定OB的长；欲求四边形ABDE的面积，需要分成两种情况考虑：

①0＜m＜3时，P点位于线段OD上，此时阴影部分的面积为△AOB、△ODE的面积差；

②m＞3时，P点位于D点右侧，此时阴影部分的面积为△OAB、△OAD的面积差；

根据上述两种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；

（4）若矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形，首先要找出其对称轴；

①由于直线OA的解析式为y=x，若设QM与OA的交点为H，那么∠QEH=45°，△QEH 是等腰直角三角形；那么当四边形QRNM是正方形时，重合部分是轴对称图形，此时的对称轴为QN所在的直线；可得QR=RN，由此求出m的值；

②以QM、RN的中点所在直线为对称轴，此时AD所在直线与此对称轴重合，可得PD=1/2 RN=3/4，由OP=OD-PD即可求出m的值；

③当P、D重合时，根据直线OC的解析式y=x/2知：RD=3/2；此时R是AD的中点，由于RN∥x轴，且RN=3/2=DB/2，所以N点恰好位于AB上，RN是△ABD的中位线，此时重合部分是等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是轴对称图形，所以此种情况也符合题意，此时OP=OD=3，即m=3；当R在AB上时，根据直线OC的解析式可用m表示出R 的纵坐标，即可得到PR、PB的表达式，根据PR=PB即可求出m的值；根据上述三种轴对称情况所得的m的值，及R在AB上时m的值，即可求得m的取值范围

图③图④

2019届中考数学复习专项一选择、填空题专项一、二次函数的图像与性质练习

二次函数的图像与性质满分训练 1.已知二次函数y=x2-5x+m的图像与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（） A.（-1，0）`` B.（4，0） C.（5，0） D.（-6，0） 2.若直线y=x+m与抛物线y=x2+3x有交点，则m的取值范围是（） A.m≥-1 B.m≤-1 C.m＞1 D.m＜1 3.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（） A.15 B.18 C.21 D.24 4.下列关于抛物线y=x2-（a+1）x+a-2的说法错误的是（） A.开口向上 B.当a=2时，经过坐标原点O C.不论a为何值，都过定点（1，-2） D.当a＞0时，对称轴在y轴的左侧 5.（xx·陕西模拟）已知二次函数y=x2+2x+m2+2m-1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x ≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（） A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3 6.若点A（a，m）和点B（b，m）是二次函数y=mx2+4mx-3上的两个点，则a+b的值为（） A.2 B.4 C.-2 D.-4 7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像是由二次函数y=1 2 x2的图像经过平移而得到的，若二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A,C（-1，0）两点，与y轴交于点D 5 0, 2 ?? ? ?? ，顶点为B，则四边形ABCD的面积为（） A.9 B.10 C.11 D.12 8.如图,是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），有下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④当y＜0时，-2＜x＜4。其中正确的是（） A.②③ B.①③ C.①③④ D.①②③④

二次函数选择、填空题集锦解析

1、抛物线()322 +-=x y 的顶点坐标是（） A （－2，3） B （2，3） C （－2，－3） D （2，－3） 2、抛物线21 323y x x =-+-与2y ax =的形状相同，而开口方向相反，则a =（） A 13- B 3 C 3- D 13 3．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。 4．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（） A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x y D ．2)1(2-+=x y 6．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ① 0a b c ++<；② 0a b c -+<；③20b a +<；④0abc >. 其中所有正确结论的序号是（） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①② 7．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（） A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1) 8．18.已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象经过点A(0.85,y 1)，B(1.1,y 2),C(2,y 3), 则有( ) (A) y 1y 2>y 3 (C) y 3>y 1>y 2 (D) y 1>y 3>y 2 9．函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（） A ．k ＜3 B ．k ＜3且k ≠0 C ．k ≤3 D ．k ≤3且k ≠0 10．已知反比例函数x k y =的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（） y O x y O x y O x y O x

二次函数试题及答案

2009年中考试题专题之13-二次函数试题及答案一、选择题 1、向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒。 2、在平面直角坐标系中，将二次函数2 2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222 +=x y C ．2)2(2-=x y D ．2 )2(2+=x y 3、抛物线3)2(2 +-=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、二次函数2 (1)2y x =++的最小值是（）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 23 6、抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 7、根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（） x … －1 0 1 2 … y … －1 47- －2 4 7 - … A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点 8、二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-，

9、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（） 10、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++-x C 、y=12 1 212+--x x D 、y=22++-x x 11、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程2 0ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 A ． B ． C ． D ．

二次函数中考选择填空题(带答案)

2018二次函数中考选择填空题（难）一．选择题（共18小题） 1．（2018?杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（） A．甲B．乙C．丙D．丁 2．（2018?泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．或C．D．1 3．（2018?齐齐哈尔）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2018?连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（） A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B．点火后24s火箭落于地面 C．点火后10s的升空高度为139m D．火箭升空的最大高度为145m

5．（2018?贵阳）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（） A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2 6．（2018?乐山）二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（） A．a=3±2B．﹣1≤a＜2 C．a=3或﹣≤a＜2 D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣ 7．（2018?宁波）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（） A．B．C． D． 8．（2018?达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．