例题精解 一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数642 12 ++= x x y 的图象 【解】 )128(21 642122++=++=x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … y … 25 0 23- -2 2 3- 0 25 … 【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表 【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01>Θ ∴当3-=x 时， 7min -=y 函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b Θ，2029)5(431)5(44422=-?-?-?=-a b ac x -2 -1 0 1 2 y 7 6 5 4 3
二次函数的图像(顶点式)
2、5次函数y=a(x-h)2+k 的图像 执笔人：刘红梅 时间：2009年12月3日 学习目标: 会用描点法画出函数y=a(x-h)2+k 的图像 学习重点: 1．会用描点法画出二次函数 的图像； 2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标； 学习难点:确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。 学习方法:三五三教学模式法。 一、自主探究： 1、在同一坐标系中画出函y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 的图像 解：列表： 描点连线： 2、观察图像完成下表： 1、观察函数y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2的图像，回答问题 （1）它们的形状_________，位置____________. (2)函数y= x 2与函数y=(x-1)2+2有什么联系？ 2、归纳总结： 1、二次函数y=a(x ±h)2+k 图像的性质 函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 y 随x 的增大而减小 y= x 2 ,y=x 2+2, y=(x-1)2 , y=(x-1)2+2, 抛物线 开口方向 对称性 顶点坐标 最值 y 随x 的减小而减小 y=a(x+h)2+k （a>0） y=a(x-h)2+k (a<0)
2、函数y=a(x ±h)2+k （a ≠0）的图像可以看作是y=ax 2向左或向右平移_________ 个单位，再向上或向下平移___________个单位得到的. 三、巩固练习： 1、指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值及y 随x 增大而减小的x 取值范围。 （1）y=－6(x-2)2 (2)y=3x 2－6 (3)y=3－x 412 (4) y=x 5 1 2 (5) y=2(x+3)2+7 (6) y=4－2(x+4)2 2、抛物线的y=－4（x －6）2－3向左或向右平移_________ 再__________ 平移___个单位得到y=－4x 2. 四、延伸迁移： 如图，某公路的隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，，底部宽OM 的 为12米，建立如图所示的直角坐标系。 （1） 直接写出M 及抛物线顶点P 的坐标； （2） 求这条抛物线的解析式。 五、达标检测：1、课本53页知识技能1 2、抛物线y=3（x+h ）2 +k 的顶点坐标是（1，5），则h=_____ k=_____ 六、学习收获
描点画对数函数的图象
课件3 描点画对数函数的图象 课件编号：ABⅠ-2-2-1. 课件名称：描点画对数函数的图象. 课件运行环境：几何画板4.0以上版本. 课件主要功能：配合教科书“2.2.2 对数函数及其性质”的教学，说明对数函数图象的画法，演示对数函数图象的性质． 课件制作过程（一）： （1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签A，并用【文本】工具把标签改为O． （2）单击【Graph】菜单的【New Parameter】（新建参数），弹出“New Parameter”对话框，如图1，把Name栏改为x，把Volum栏改为0.5，单击【OK】后，出现参数x＝0.5．再新建参数y＝－1，n＝0（用来控制迭代次数）． 图1 图2 （3）单击【Measure】（度量）菜单中的【Calculate】（计算）打开计算器，计算“x×2”以及“y＋1”的值，如图2． （4）先后选中x，y，单击【Graph】菜单的【Plot As （x，y）】（绘制点
（x ，y ）），画点（x ，y ）． （5）单击【Display 】菜单的【Trace Plotted Point 】（追踪点的轨迹）． （6）先后选中x ，y ，n ，按住Shift 键，单击【Transform 】（变换）菜单的【Iterate To Depth 】（带参数的迭代），如图3，弹出“Iterate ”对话框，依次单击“x 2”，“y ＋1”，最后单击【Iterate 】完成迭代，如图4． 图3 图4 （7）先后选中x ，y ，x ×2以及y ＋1，单击【Display 】菜单的【Hide Measurements 】（隐藏目标）． （8）单击【Graph 】菜单的【Plot Points 】（绘制点）画点E （－0.5，0）．再画点F （8，0）． （9）选中两点E ，F ，按Ctrl ＋L 键画线段EF ．单击【Construct 】菜单的 【Piont On Segment 】（在线段EF 上构造点A ）． （10）单击【Measure 】（度量）菜单中的【Abscissa （x ）】（度量点的横坐标），打开计算器，计算log A x 2的值，如图5．
21.2 二次函数的图像和性质
21.1 二次函数（2） 教学目标： 1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 重点难点： 重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、范例 例1、画二次函数y=ax2的图象。 x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9 … 标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 三、做一做 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。 对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。 对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物
函数图象的画法 教学设计
函数图象的画法 【教学目标】 1．学会用列表、描点、连线画函数图象。 2．学会观察、分析函数图象信息。 3．提高识图能力、分析函数图象信息能力。 4．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力。 【教学重点】 1.函数图象的画法。 2.观察分析图象信息。 【教学难点】 分析概括图象中的信息。 【教学过程】 一、提出问题，创设情境 我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立。但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映。例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。 即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰。 我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息。 二、导入新课 问题1在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题。现在让我们来回顾一下。 先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？
分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温。这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t（时）的函数关系。例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10，2)。实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t，T)，表示时间为t时的气温是T。 问题2 如图，这是2004年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？ 分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数。这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系。例如，下午14：30时的指数是1746．26，表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(14：30，1746．26)。实质上也就是说，当时间是14：30时，对应的函数值是1746．26．上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子。 一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形。图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象。 函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利。 [活动一] 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化。你从图象中得到了哪些信息？
描点法画函数图象的一般步骤
一．选择题 1.下列各点在函数 2 y x - =的图象上的是（） A.（-2，1）； B.（0，-2）； C.（1，2）； D.（2，-2） 答案:A 2.如图，下列四种表示方式中，能表示变量y是x的函数的有（） A.1个； B.2个； C.3个； D.4个 答案:B 3.已知点A（2，3）在函数y=mx2-x+1的图象上，则m等于（） A.1； B.-1； C.2； D.-2 答案:A 4.若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是（） A.2； B.-2； C.1； D.-1 答案:D 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（） 答案:C 6.如图，在平面直角坐标系中，点B（1，1），半径为1、圆心角为90°的扇形外周有一动点P，沿A→B→C→A运动一圈，则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）
答案:C 7.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（） A.这是一次1500米赛跑； B.甲，乙两人中先到达终点的是乙； C.甲，乙同时起跑； D．甲在这次赛跑中的速度为5米/秒 答案:C 8.某电信部门为了鼓励固定消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拔打市在120分钟时，每分钟收费0.2元，超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市费用y（元）与拔打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（） 答案:B 9.三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10位h(米)随时间t(天)变化的是（）
二次函数的图像及画法
二次函数的图像及画法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数y＝ax 的图像的画法 用描点法画二次函数y＝ax 的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。 用描点法画出二次函数y＝x 的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线y＝x 关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y ＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a0时，y＝ax 的图像 当a0时，y＝ax 的图像 二次函数y=ax ;，y=a(x-h) ;，y=a(x-h) +k，y=ax +bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称
轴如下表： 解析式 y=ax ; y=ax +K y=a(x-h) ; y=a(x-h) +k y=ax +bx+c 顶点坐标 (0，0) (0，K) (h，0) (h，k) (-b/2a，4ac-b /4a) 对称轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h0时，y=a(x-h) ;的图象可由抛物线y=ax ;向右平行移动h个单位得到， 当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h0,k0时，将抛物线y=ax ;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h) +k的图象； 当h0,k0时，将抛物线y=ax ;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h) -k的图象； 当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)sup2;+k的图象； 当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)sup2;+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为上加下减，左加右减。 因此，研究抛物线y=ax +bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h) ;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
九年级下二次函数图像与性质教案
第1课时 26.1 二次函数 一、阅读教科书 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽 然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－1 3时，x 的值．
《二次函数图像》重难点教学
课题：《二次函数的图象》难点教学 教学目标： 1、会用描点法画出二次函数的图象； 2、根据图象观察、分析出二次函数的性质； 3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识 4、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力； 5、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神. 教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质 教学难点：渗透数形结合的数学思想方法 教学用具：直尺、几何画板 教学过程： 1、列表、描点画出函数与图象，引入新课 2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识. 提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出，时所对应的y值分别相等，如等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y 轴对称的. （2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释，可取 任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互
相对应的，反映了数形结合的思想. （3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出. （4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如：离y轴近， 离y轴远.从列表中可以看出：如过点（2，2），过点（2，8）也就是说，当x=2时，图象所对应的点高于所对应的点.因此会有上述的结论. 3、画出函数的图象 与中的a都是正数，当a<0时，图象会是什么样子呢？ 4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质 (1)与刚才两个图象不同的是，的图象开口向下.这是因为x是任意实数。因此，开口会向下.图象有最高点（0，0） (2)此图象仍然是关于y轴对称的 (3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小 5、得出一般的规律 一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线的开口向上，当a<0时，抛物线的开口向下，a的绝对值越大，图象越靠近y 轴. 6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数
二次函数的图像与性质教学案例
二次函数 y=ax2的图像和性质教学目标 知识能力目标： 1）、能用描点法画二次函数的图像； 2）、通过图像发现和研究二次函数的性质。 过程与方法目标： 1）、经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程； 2）、体会数形结合思想在数学中的应用。 情感，态度与价值观目标： 1）、经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验； 2）、体验数学活动中的探索性和创造性 3）、积极参与探究活动，体验二次函数是描述现实生活的重要模型。 教学重点：如何画好二次函数的图像。 教学难点：通过二次函数的表达式推断出其图像性质，体会数形结合思想在函数中的应用。 教学突破：我们将从直观入手，从学生的生活经验出发，开展一系列的教学活动，从活动中获取知识。 教学过程： 一、复习旧知，引入新知： 1）、下列哪些函数是二次函数？哪些是反比例函数，一次函数？
(1)y=3x－l (2)y＝2x2＋7 (3)y= 8x (4)y=x－2 (5)y=(x+3)2-x2 (6) y=3(x-1)2+1 2）、通常怎样画一次函数，反比例函数的图像？ 设计意图：首先用问题作为切入点，引出新知。学生会根据已有的知识储备轻松得出结果，这样问题就出来了，我们用列表，描点，连线的方法画出一次函数，反比例函数的图像，那么，特殊的二次函数Y=-X2可否用这种方法来画呢？从而自然而然的引出数学活动1 二．教学活动： 1、数学活动1：画函数y=-x2的图像 1）、多媒体展示画法（列表，描点，连线） 根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点（x,y）,再用平滑的曲线顺次连接各点，就可得到y=-x2的图像
初中函数解析式与图像画法
初中函数解析式及图象画法 一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 1、一次函数：y=kx+b（k、b是常数，k 0） 说明：①k 0的常数 ②x指数为1 ③b取任意实数 ④自变量x的取值为一切实数。【x的取值范围（定义域）：x € R】 ⑤函数y的取值是一切实数。【y的取值范围（值域）：y€ R】 k 2、反比例函数：y （k为常数，k 0） x 说明：① 常数k不为零（也叫做比例系数k）②分母中含有自变量x，且指数为1. ③自变量X的取值为一切非零实数。【x的取值范围（定义域）：｛X € R I x丰0｝】（反比例函数 有 意义的条件：分母工0）④函数y的取值是一切非零实数。【y的取值范围（值域）：｛y € R I y丰0｝】 3、二次函数：一般式：y ax2bx c （a 0 , a , b ,c是常数）： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. ⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤） 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）; 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 1、一次函数y=kx+b图像（直线）的画法：两点法 ①计算必过点（0, b）和（-—,0）［当x=0,时，y= b，过点（0, b）;当y=o,时，x=-—过点（-一，0）］ k k k ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的直线） k 2、反比例函数y k图像（双曲线）的画法：---五点绘图法： x ①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线） 3、二次函数y ax2 bx c图象（抛物线）的画法---五点绘图法： 2 ①配方变形：对于二次函数y ax2 bx c经过配方变形为顶点式：y=a（x+■一）2 j4ac_—,其顶点坐标为（ 2a 4a 2 ②确定三特征：开口方向（a正朝上；b负朝下）；对称轴（直线x=-—）；其顶点坐标为（-■一 ,4ac b） 2a 2a 4a ③然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 ④选取五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0, c关于对称轴对称的点-，c、与x轴的交 a b 4ac b 2a' 4a
“五点法”作二次函数的图像导学案
“五点法”作二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像导学案 复习引入 1． 二次函y=5(x+1)2的图像与y 轴的交点坐标是___________。 2． 二次函数y=-2x2+1沿y 轴向下平移2个单位与y 轴的交点坐标是___________。 3． 把二次函数y=3x2的图像，先沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，顶点坐标是 ___________。 4． 二次函数y=-x2-x +2的图像与x 轴的交点坐标是_______, 对称轴是______, 与y 轴的交点坐 标是_______,此点关于抛物线对称轴对称的点的坐标是______。 例题讲解 例题1 二次函数 (1) 求出对称轴和顶点坐标。 （2）求抛物线与x 轴的交点坐标。 （3）求抛物线与y 轴的交点坐标，并求出此点关于抛物线对称轴对称的点的坐标。 （4）并画出这个函数的图像. 例2：指出抛物线: y= -x2+5x- 4的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x 轴的交点坐标。并画出草图。 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c 的图像画法，一般分为三步： 1、利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c 改写成y=a （x+m ）2+k 的形式； 2、确定抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向； 3、利用对称性描点作图。 总结：1、“五点”：①顶点坐标 ②与y 轴的交点坐标 ③与y 轴的交点坐标关于对称轴的对称点 ④与x 轴的交点坐标（有交点时）， 这样就可以画出它的大致图象。 2、抛物线y=ax2+bx+c 与y 轴的交点的求法： 令x=0，即y= c ，则交点为（0，c ）; 3、抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的交点的求法： 令y=0，即ax2+bx+c=0，求得x 1，x 2， 则交点为（x 1，0）、（x 2，0 ）。 3 42+-=x x y
描点法画函数图象的一般步骤
一．选择题 1.下列各点在函数2 y x -= 的图象上的是（） A.（-2，1）； B.（0，-2）； C.（1，2）； D.（2，-2） 答案:A 2.如图，下列四种表示方式中，能表示变量y 是x 的函数的有（） A.1个； B.2个； C.3个； D.4个 答案:B 3.已知点A （2，3）在函数y=mx 2-x+1的图象上，则m 等于（） A.1； B.-1； C.2； D.-2 答案:A 4.若点（m ，n ）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n 的值是（） A.2； B.-2； C.1； D.-1 答案:D 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4），则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是（）
答案:C 6.如图，在平面直角坐标系中，点B（1，1），半径为1、圆心角为90°的扇形外周有一动点P，沿A→B→C→A运动一圈，则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（） 答案:C 7.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（）
A.这是一次1500米赛跑； B.甲，乙两人中先到达终点的是乙； C.甲，乙同时起跑；D．甲在这次赛跑中的速度为5米/秒 答案:C 8.某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拔打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元，超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拔打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（） 答案:B 9.三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h(米)随时间t(天)变化的是（） 答案:B
专题20 二次函数的图像与性质(基础)-(沪教版)
专题20 二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与性质（基础） 【目标导向】 1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【知识要点精讲梳理】 要点一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点诠释： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式 加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数的图象的画法 2 (0)y ax bx c a =++≠2 y ax bx c =++2 ()y a x h k =-+2 y ax bx c =++2 y ax bx c =++2()y a x h k =-+2 (0)y ax bx c a =++≠=-+≠2 ()(0)y a x h k a 2 ()y a x h k =-+2 ()y a x h k =-+2 ()y a x h k =-+2 y ax bx c =++22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ?? ??????=++=++=++-+?? ? ? ??????????? 2 2424b ac b a x a a -? ?=++ ?? ?2 ()y a x h k =-+2b h a =-2 44ac b k a -=2 y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b a a ?? -- ???2 y ax bx c =++2b x a =-24,24b ac b a a ??-- ???2 y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠
