2016考研数学考前必背:常考公式集锦(高等数学篇)
离考试还有最后几天,跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了2016年数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生最后冲刺复习有所帮助。本文内容为高数的常考公式汇总。
1、无穷小的比较
设在某极限过程x →中,函数(),()x x αβ都为无穷小量,并且都不为0.
若()
lim
0()
x x x αβ→
=,则称当x →时,()x α为()x β的高阶无穷小量,或()x β为()x α的低阶无穷小量,记作()(())x o x αβ=; 若()
lim
0()
x x C x αβ→
=≠,则称当x →时,()x α与()x β同阶无穷小量, 若()
lim
1()
x x x αβ→
=,则称当x →时,()x α与()x β为等价无穷小量,记作()~()x x αβ. k 阶无穷小:设在某极限过程x →中,函数(),()x x αβ都为无穷小量,并且都不为0.若
[]
()
lim
0()k
x x C x αβ→
=≠,则称当x →时,()x α是()x β的k 阶无穷小. 2、导数的四则运算法则:设函数()f x 与()g x 均可导,则
[]()()()()f x g x f x g x '''±=±,
[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=
+,
2
()()()()()
()()f x f x g x f x g x g x g x '''??-=????
. 3、常用函数的n 阶导数公式
(1)x
e y = x
n e y =)(
(2))1,0(≠>=a a a y x
n x n a a y )(ln )
(=
(3)x y sin = )2sin()
(πn x y
n +
= (4)x y cos = )2
cos()
(πn x y
n +
=
(5)x y ln = n n n x n y
----=)!1()1(1)
(
(6)a
y x = ()(1)...(1)n a n
y a a a n x -=--+
4、五个常用的麦克劳林公式
211...2!!(1)!
n x
n x x e e x x n n ξ
+=++++++,ξ在x 与0之间.
321123cos sin ...(1)(1),3!(21)!(23)!
n n
n n x x x x x n n ξ+++=-++-+-++ξ在x 与0之间.
()22122cos cos 1...(1)(1),2!2!(22)!n n n n x x x x n n ξ++=-++-+-+ξ在x 与0之间. 211
1
(1)ln(1)...(1),2(1)(1)
n
n n n n x x x x x n n ξ-++-+=-++-+++ξ在x 与0之间. 211(1)(1)...(1)(1)...()
(1)1...(1),2!!(1)!
a n n n a a a a a n n x ax x x x n n ααααξ--+---+--+=++
+++++ξ在x 与0之间.
5、极值
第一充分条件:设函数()f x 在0x 处连续,并在0x 的某去心邻域0000(,)(,)x x x x δδ-+内
可导.
①若00(,)x x x δ∈-时'
()0,f x >而00(,)x x x δ∈+时'
()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值;
②若00(,)x x x δ∈-时'
()0,f x <而00(,)x x x δ∈+时'
()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值;
③若0000(,)
(,)x x x x x δδ∈-+时,'()f x 符号保持不变,则()f x 在0x 处不能取到极值.
第二充分条件:设函数()f x 在0x 处存在二阶导数且'0()0f x =, ①若''0()0,f x >则()f x 在0x 处取得极小值; ②若''0()0,f x <则()f x 在0x 处取得极大值; ③若''0()0,f x =则()f x 在0x 处是否取极值未知.
6、基本积分公式 (1)1
1,(1)1
a
a x dx x C a a +=
+≠-+?
,1ln ,dx x C x =+?
(2)1,ln x
x
x x a dx a C e dx e C a
=
+=+?
? (3)cos sin ,sin cos xdx x C xdx x C =+=-+??
(4)2
2
sec tan ,csc cot xdx x C xdx x C =+=-+?
?
, (5)sec tan sec ,csc cot csc x xdx x C x xdx x C =+=-+??
,
(6)
21
arctan 1dx x C x =++?,
(7)
arcsin x C =+
7、定积分的性质 1)规定: (1)()()()b
b b
a a
a
f x dx f u du f t dt ==?
??
(2)
()(),()0,()0b
a a b
a
b
a
b
f x dx f x dx f x dx f x dx =-==?
???特例:
2)线性性质 (1)[]()()()()b
b
b
a a a
f x
g x dx f x dx g x dx +=+???,
(2)()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =?
?,k 为常数
3)
1b
a
dx b a =-?
4)区间可加性:
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f u du f t dt =+?
??
注:不要求a c b <<,只要()c
a
f x dx ?
和()b
c
f x dx ?都存在就可以使用定积分的区间可加性.
5)比较定理:
(1)若在区间[,]a b 上恒有()()f x g x ≥,则有
()()b
b
a
a
f x dx
g x dx ≥?
?;
推论:(1)若在区间[,]a b 上恒有()0f x ≥,则有()0b a
f x dx ≥?
(2)
()()b
b
a
a
f x dx f x dx ≤?
?
(3)估值定理:
设M m 和为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值,则有:
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-?
(4)积分中值定理:设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?
8、微积分基本定理 1)内容:
(1)设函数()f x 在区间[,]a b 上可积,令()(),x
a
x f t dt a x b Φ=≤≤?
称为变上限积分(积
分上限函数).
(2)变上限积分的导数:
定理:若函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则变上限积分()()x
a
x f t dt Φ=
?
在[,]a b 上可导,
且()
()()(),x
a
x f t dt f x a x b '
'Φ=
=≤≤?
(3)牛顿——莱布尼兹公式:设()f x 在区间[,]a b 上连续,()F x 是()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则()()()b
a
f x dx F b F a =-?
2)计算导函数 (1)
()
()(),x
a
f t dt f x a x b '
=≤≤?
(2)
()
()(),b
x
f t dt f x a x b '
=-≤≤?
(3)[]()
()()()u x a f t dt f u x u x '??'=????
? (4)()
()()(())()(())()u x v x f t dt f u x u x f v x v x '
?
?''=-???
?
?
9、平面图形的面积
1)直角坐标系下平面图形的面积
()
b
a
f x dx
?
()
d
c
y dy
?
?
[]
()()
b
a
f x
g x dx
-
?
()
()
d
c
y y dy
φ?
-
??
??
?
2)极坐标系下平面图形的面积
在极坐标系下,由直线θα
=和θβ
=和曲线()
rρθ
=所围图形的面积为
2
1
()
2
S d
β
α
ρθθ
=?.
简单几何体的体积
1)平行截面面积已知立体图形的体积
立体在过点,
x a x b
==且垂直于x轴的两个平面之间,以()
S x表示过点x且垂直于x 轴的截面面积.
则所求立体的体积为:()b
a
V S x dx =?
2)旋转体的体积
由连续曲线()y f x =、直线,x a x b ==及x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体
.
该立体的体积为:2()b
a
V f x dx π=?
.
10、偏导数
设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y D ∈的某一邻域内有定义,把y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ?,相应的函数有增量0000(,)(,)z f x x y f x y ?=+?-,若极限
00000
(,)(,)
lim
x f x x y f x y x
?→+?-?
存在,则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处关于x 的偏导数存在,并定义此极限值为函数
(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对变量x 的偏导数,记作
000
,
,x x x x y y y y z
f x
x
====????0
00(,)x x x
x y y z f x y =='',.
类似地,可以定义函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对变量y 的偏导数
00000
(,)(,)
lim
y f x y y f x y y
?→+?-?,
记作
00000
000(,)
(,)(,)
,
,(,)y
y x y x y x y z f
z f x y y y
??''??,.
全微分:若函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-可表示为
z A x B y o
?=?+?+,
其中A 、B 仅依赖于(,)x y 而与x ?、y ?无关,则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微,其中A x B y ?+?称为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分,记作dz ,即dz A x B y =?+?. 11、极值的充分条件:设函数(,)z f x y =在00(,)x y 点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数,又设0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==.令
000000(,),(,),(,)xx
xy yy f x y A f x y B f x y C ''''''=== (1)若20AC B ->,则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点具有极值.当0A >时取得极小值;当0A <时取得极大值.
(2)若20AC B -<,则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点不能取到极值.
(3)若20AC B -=,则函数(,)z f x y =在00(,)x y 点可能有极值,也可能没有极值. 条件极值
1)函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ?=下的极值,称为条件极值,其中函数(,)z f x y =称为目标函数,(,)0x y ?=称为约束条件. 2)拉格朗日乘数法:
对条件极值给出解题方法:
(1)作拉格朗日函数:(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+
(2)解方程组:(,)(,)0(,)(,)0(,)0
x x x y y y L f x y x y L f x y x y x y λ?λ??'''?=+=?
'''=+=??
=?(本质是找三元函数(,,)L x y λ的驻点)
(3)根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值. 12、直角坐标与极坐标相互之间的转化公式 直角坐标与极坐标相互之间的转化公式为:
cos sin x y ρθ
ρθ=??
=?
,其中d d d d ρρθρρθ=?. 极坐标下二重积分计算公式:
(,)(cos ,sin )D
D
f x y dxdy f d d ρθρθρρθ=????
极坐标适用范围:积分区域边界为圆或与圆相关图形(扇形,环形等);被积函数可写成
()22f x y +或被积函数中多次出现22
x y +.模棱两可时用极坐标.
对称性
ⅰ)若积分区域关于x 轴对称,且被积函数是关于变量y 的奇函数,则积分值为零;若积分区域关于x 轴对称,且被积函数是关于变量y 的偶函数,则积分值为等于第一二象限积分的两倍.
ⅱ)若积分区域关于y 轴对称,且被积函数是关于变量x 的奇函数,则积分值为零;若积分区域关于y 轴对称,且被积函数是关于变量x 的偶函数,则积分值为等于第一四象限积分的两倍.
ⅲ)特别地,若积分区域关于两个坐标轴都对称,被积函数关于两个变量都是偶函数,则积分值等于第一象限内的积分的四倍.
ⅳ)轮换对称性:若设将积分区域xy D 的变量,x y 交换之后的区域为yx D ,则有
(,)(,)xy
yx
D D f x y dxdy f y x dxdy =????.特别地,当xy D
关于直线
y x =对称时,xy yx D D =,此
时则有
(,)(,)xy
xy
D D f x y dxdy f y x dxdy =????.
13、球面坐标系下的三重积分计算:球面坐标通过三个变量式来确定三维空间中的点.其中ρ为点到原点的距离,确定了该距离后,该点就被限制在了一个以原点为圆心的球面上;
(02)θθπ≤≤和(0)??π≤≤是两个角度:将xoz 平面0x >部分的半平面逆时针旋转,
当旋转到经过该点时,所转过的角度即为θ,可见,θ的作用类似于地球仪上的经度;将该点与原点连接,该连线与z 轴正半轴的夹角即为?,可见?的作用类似于纬度(只不过这
个纬度是以南纬90度作为0度的).它与直角坐标系的转换公式为sin cos sin sin cos x y z ρ?θρ?θρ?=??
=??=?
.
三重积分球面坐标转换公式:
2
(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin D
D
f x y z dxdydz f d d d ρ?θρ?θρ?ρ
?ρ?θ=??????
当被积函数中形如(
)222
f x y z
++或()f z ,积分区域为球体、锥体时,可考虑用球面坐
标.
14、对弧长的曲线积分计算方法: ①设曲线L 的参数式为()
,()
x x t t y y t αβ=?≤≤?
=?,则有计算公式:
(,)((),(L
f x y ds f x t y t β
α
=?
?
15、格林公式:设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成,函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有连
续的一阶偏导数,则有:
L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ??
??+=- ????
????,其中曲线L 取正向边界. 注:1)在运用时要注意检验(,)P x y 及(,)Q x y 是否具有所需的连续的一阶偏导数 2)L 是闭合的
3)正向定义:沿着曲线L 的方向走时,闭区域D 在其左手边 16、对面积的曲面积分的计算方法: 计算的原则是代入、投影
解题思路:首先将积分曲面转化为(,)z z x y =,再将dS
,最后再确定曲面∑在xoy 平面上的投影即可.
17、高斯定理:设空间闭区域Ω是由分块光滑的闭曲面∑围成的,函数
(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω??
???++=++ ?????
?????? 其中, ∑是关于Ω的外侧.
18、斯托克斯公式:设Γ是分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑有向曲面,∑与Γ的方向符合右手规则(当拇指以外的四指沿着Γ的方向运动时,拇指所指的方向与∑上法向量的指向一致),函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在∑上具有一阶连续偏导数,则有
R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑????????????++=-+-+- ? ? ??????????
??????. 19、二阶常系数线性微分方程的求解
若二阶线性微分方程'
''()()()y P x y Q x y f x ++=中函数(),()P x Q x 均恒为常数,则称该方程为二阶常系数线性微分方程.我们下面讨论这类方程的解法,也即形如
'''()y py qy f x ++=的方程的求解.
先求解二阶常系数齐次线性微分方程:'
''0y py qy ++= a. 写出'
''0y py qy ++=对应的特征方程2
0r pr q ++= b. 求出特征方程的两个根12,r r .
c. 根据12,r r 的不同形式,我们有如下的公式:
再求解二阶常系数非齐次线性微分方程:'
''()y py qy f x ++=
该方程的通解为*
1122C y C y y ++,其中1122C y C y +为齐次线性微分方程的通解,*y 为非齐次线性微分方程的特解.下面讨论*y 的求法
20、(比较审敛法) 设
1n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑均为正项级数,若除了有限项以外,均有n n u v ≥成立,则若
1
n
n u
∞
=∑收敛则
1
n
n v
∞
=∑也收敛,若
1
n
n v
∞
=∑发散,则
1
n
n u
∞
=∑也发散.
推论1:设
1
n
n u
∞
=∑与
1n
n v
∞
=∑均为正项级数,假设存在0N >使得当n N >时有(0)
n n ku v k ≥>成立.则有,若
1
n
n u
∞
=∑收敛则
1n
n v
∞
=∑也收敛,若
1
n
n v
∞
=∑发散,则
1
n
n u
∞
=∑也发散.
推论2(极限形式):设
1
n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑均为正项级数,
当lim (0)n
n n
u l l v →∞=<<+∞时,则1n n u ∞=∑与1n n v ∞
=∑同敛散 当lim 0n
n n u v →∞=时,若1n n v ∞=∑收敛则1n n u ∞=∑收敛.若1n n u ∞=∑发散则1n n v ∞
=∑发散 当lim n
n n
u v →∞=+∞时,若1n n u ∞=∑收敛则1n n v ∞=∑收敛.若1n n v ∞=∑发散则1n n u ∞
=∑发散 (3) p 级数
1
1
p n n ∞
=∑的收敛性:当1p >时收敛,当1p ≤时发散. 21、幂级数求和
(),n n n S x a x x D ∞
==∈∑,D 为收敛域.
利用1
,sin ,cos ,ln(1),
1x
e x x x x
+-的幂级数展开式求和. 分析运算在求幂级数的和函数时经常要用到,其方法是先逐项求导或逐项积分,将其变为几个已知和函数的幂级数,再求和. 幂级数间接展开法
常用函数的幂级数展开式:,sin ,cos ,ln(1),(1)x
e x x x x α
++.
通过求导或积分或拆分使)(x f 变成已知幂级数展开式函数的组合,把已知展开式带入.