排列与组合二(带答案)
排列与组合(二)
四、解定序问题——采用除法
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，这其实就是局部有序问题，利用除法来“消序”．
例1：由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有（）
A．210个 B．300个 C. 464个 D．600个
简析：若不考虑附加条件，组成的六位数共有个，而其中个位数字与十位数字的种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共
＝300个，故选B．
例2：信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 ________．
分析：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是＝10(种)．
说明：此题也可以用组合来解，只需5个位置中确定3个，即＝10．
例3：有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法?
分析：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法，剩余的3个位
置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有＝840种．在处理分堆问题时，有时几堆中元素个数相等，这时也要用除法，
例4：不同的钢笔12支，分3堆，一堆6支，另外两堆各3支，有多少种分法?
解：若3堆有序号，则有·，但考虑有两堆都是3支，无须区别，故共有/ ＝9240种．
例5：把12支不同的钢笔分给3人，一人得6支，二人各得3，有几种分法?
解：先分堆：有/ 种．再将这三堆分配给三人，有种。共有
·/ ＝3 .种．
本题亦可用“选位，选项法”，即：=3 .
五、解“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列．
例1：三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，其出场方案共有( )
A．36种 B．18种 C．12种 D．6种
简析：按要求出场顺序必须有一个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱
家中选一名(有种选法)与两名女歌唱家组成一个团体，将这个小团体视为一
个元素，与其余2名男歌唱家排列有种排法。最后小团体内2名女歌唱家排
列有种排法，所以共有＝36种出场方案，选A。
六、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏．
例1：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个．
简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取
两条，有种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有种取法．这样
取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有·＝60个．
例2：在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?
解：依题意，共线的三点组可分为三类：两端点皆为顶点的共线三点组共有
＝28(个)；两端点皆为面的中心的共线三点组共有＝3(个)；两端点
皆为各棱中点的共线三点组共有＝18(个)．所以总共有28+3+18＝49个．例3：某种产品有4只次品和6只正品(每只产品均可区分)．每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?
解：先考虑第五次测试的产品有4种情况，在前四次测试中包含其余的3
只次品和1只正品，它们排列的方法数是6。依据乘法原理得所求的不同情
形有4×6 ＝576种．
七、解排列组台混合问题——采用先选后排
对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略．
例1：3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和
2名护土，不同的分配方法共有 ( )．
A．90种 B．180种 C．270种 D．540种
分析：(二)第一步：先将6名护士分配到3所不同学校，每所学校2名，则有(种)分法．第二步：再将3名医生分配到3所不同的学校，每所学
校1人，有种分法．故共有=540(种)故选(D)．
例2：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_________种．
简析：这是一个排列与组合的混合问题．因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分两步进行：第一步选，从4个球中任选2个球，有种
选法。从4个盒子中选出3个，有种选法；第二步排列，把选出的2个球视
为一个元素，与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有种
排法．所以满足条件的放法共有=144种．
八、正难则反、等价转化策略
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法．其实它就是补集思想．
例1：马路上有编号为1、2、3、…、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_______种．
简析：关掉一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑．因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即从6只亮灯所形成的5个间隙中选
3个插入3只暗灯，其方法有＝10种。故满足条件的关灯的方法共有10种．
例2：有2个a，3个b，4个c 共九个字母排成一排，有多少种排法?
分析：若将字母作为元素，1—9号位置作为位子，那么这是一个“不尽相异元素的全排列”问题，若转换角色，将1—9号位置作为元素，字母作为位子，那么问题便转化成一个相异元素不许重复的组合问题．
即共有＝1260(种)不同的排法．
例3：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种．
解：从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有种；取1个偶数和2个
奇数的取法有种．另外，从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的
偶数，有9种不同取法．因此，符合题设条件的不同取法有+-9＝51 九、隔板法
例1：某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少1人，名额分配方案共有_________种．
简析：构造一个隔板模型．如图，取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，将18枚棋子分隔成10个区间，第i(1≤i≤10)个区间的棋子数对应第i个班级学生的名额，因此名额分配方案的
种数与隔板插入数相等。因隔板插入数为，故名额分配方案有＝24310种．
例2：将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每所学校至少1个名额，问名
额分配方法有多少种?
解：将问题转化成一把排成一行的12个0分成7份的方法数，这样用6块
闸板插在11个间隔中，共有＝462种不同方法．所以名额分配总数是种。例3：6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法?
解：将问题转化成把10个相同的球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放1个球，有多少种不同的放法?
即把排成一行的10个0分成6份的方法数，这样用5块闸板插在9个间隔中，共有＝126种．即原问题中有126种不同带法．
集合---排列组合
职 高 数 学 单 元 测 试 集合---排列组合 (时间:100分钟,满分100分) 姓名________成绩__________ 一．填空：(每空2分,共38分) 1.从1,2,3,4,5中任选两数组成加法式子,共可组成______个不同的加法式子, 若组成无重复数字的二位数,则可组成_______个不同的二位数. 2.计算：0!+5!- C 62+P 62=____ 3.四人排成一列,甲只能站右边第一个位置,则有 种不同站法. 4.1,2,3,4,5中任取2数,可以组成______个两位偶数,如果数字可以重复, 则可组成________个两位偶数. 5.-8和-2的等比中项为________，等差中项为_______ 6.等比数列{a n }中S n =2n+1-2，则此数列的公比q=_________ 7.数列{a n }为等差数列，a n =2-3n 则S 10=__________ 8.集合A={0,1,2,3}的所有真子集有_______个. 9.已知a
排列组合公式(全)教程文件
排列组合公式(全)
排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
排列与组合的综合应用.
高三数学(理一轮复习—— 10.3排列与组合的综合应用 教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解 法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。 教学重点:排列组合综合题的解法。教学过程: 一.主要知识: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法: 4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球
的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11 --m n C 种方法 . 8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为 1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排 列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: ① 5个元素的全排列为:5 5120A =; ②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ?种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ?种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1 59C ?种。 ∴ 120-1-351C ?-252C ?-1 59C ?=44. 用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。 二.典例分析 【题型一】“分配” 、“分组”问题 例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;
排列 组合 定义 公式 原理
排列组合公式 久了不用竟然忘了 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 这就是我们用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
组合的综合应用
组合的综合应用 探究点1 有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选． (2)至多有两名女生当选． (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解】 (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种． (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C412种； 第二类：女队长不当选， 有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种． 故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种． [变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法． 所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122 种． 有限制条件的组合问题分类 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( ) A．60种B．63种
排列与组合综合用题
排列与组合的综合应用题（2） 授课教师：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、知识概述 例1、有13名医生，其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式： ①②；③；④； 其中能成为P 的算式有________．（填序号） 答案：②③ 例2、袋中有3个不同的红球，4个不同的黄球，每次从中取出一球，直到把3个红球都取出为止，共有多少种不同的取法？ 解：＋＋＋＋=4110（种）． 例3、某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起； （2）有且仅有两车连在一起； （3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起. 解：（1）（种）．
（2）（种）． （3）要求任何3辆车不能连在一起，可以分成①5辆车均不相邻，②有且仅有两辆车相邻，③有2组2辆车相邻，三种情况． 有． 例4、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内： （1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？ （2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）． （2）． （3）（种）． 法二：恰有两个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种； 恰有三个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种； 恰有五个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为1种； 故至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投法数为
例5、某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男女同学分别有多少人？ 解：设有男生x人，女生8－x人，（x∈N＋，且2≤x≤7）． 则有，即x（x－1）（8－x）=60． ∴x＝6或x＝5． ∴男生6人，女生2人或男生5人，女生3人． 例6、一栋7层的楼房备有电梯，现有A，B，C，D，E五人从一楼进电梯上楼，求：（1）有且仅有一人要上7楼，且A不在2楼下电梯的所有可能情况种数． （2）在（1）的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？ 解：（1）分A上不上7楼两类A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×53种．共有54＋4×4×53=2625种． （2）（种）． 例7、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有__________种．（以数字作答） 解：（种）．
有限集合上的组合数学问题
2012有限集合上的组合数学问题 知识点： 1.偏序集合基本概念 一个集合A 是所谓偏序的，是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件： 1．若y x 且x y 同时成立，则y x =（反对称律） 2．若,y x z y ，则z x （传递律） 3．对于A 的每一个x ，都有x x （反身律） 4. .,y x y x y x ≠?< 特别地，如果每一对元素之间存在关系 ，则称其为一个全序集合。 这里，符号"" 读作“小于等于”。 假定),( A 是一个有限的偏序集合。由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”（或象一些学者所讲的，“反链”）；包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”（或极大“反链”）。用 M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。 2.偏序集合基本问题和定理。 定理1（Dilworth 定理）.在将偏序集合A 分解成不相交链（相交亦可）的并时，所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。 注意：（1）这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理，用它可以轻易地推出例7-15中的结论。 与Menger 定理，“最大流-最小割定理”和二部图中的“K ' 'o nig 定理”遥相呼应。其实，这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。 （2）由于这个结果是如此重要，我们有必要再给出一个快捷的证明（注意：快捷而简单的证明不一定是“好”的证明！因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。没有经验的研究人员往往忽视这一点。）下面这个证明来自于https://www.wendangku.net/doc/aa12099192.html,erberg 在1967年的篇文章。 证明2：设P 是一个有限偏序集合。P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。 显然有M m ≥。对于||P 实行数学归纳。当||P =0时定理显然成立。令C 是一个极大链。如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素，则定理成立。因此，设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。我们定义： }.,|{i a x i P x S ?∈=- 类似第可以定义+ S 。因为C 的及大性，所以C 中的最大元素不再- S 里面。故，按照归纳假定，- S 是M
排列与组合的综合问题
排列与组合的综合问题 一、基础热身： 1、圆周上有2n(n＞1)个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形 有个（用数字作答）。 2、安排6名同学参加“中国梦我的梦”演讲比赛，要求甲选手不是第一个演讲， 也不是最后一个演讲，不同的排法种数是（用数字作答）。 3、从1、3、5、7中选2个数，再从2、 4、6中选2个数，则选出的4个数排成 的四位数有个（用数字作答）。 4、某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目 不超过2个，则该外商不同的投资方案有种。（用数字作答）。 小结：在处理排列组合综合问题时，应遵循“先特殊后一般”、“先取后排”、“先分类后分步”的基本原则，通过合理的分解将综合问题转化为基本问题来解决。 二、巩固提升： 1、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一跑道也不能站第 二跑道，乙必须站第五或第六跑道，则不同的站法总数是 （用数字作答）。
2、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案 共有（用数字作答）。 3、男生5人和女生3人排成一行，要求两端不排女生，且任何2名女生都不相邻， 则不同的排法种数为（用数字作答）。 4、从6个人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、大围山四个景点游览，要求每 个景点有1个人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲乙两个不去张家界游览，则不同的选择方案有（用数字作答）。 5、已知直线ax+by+c=0中的a、b、c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3} ---中的3个不同元素,并且该直线的倾斜角是锐角,则这样的直线的条数共有（用数字作答）。 6、21中K1101班班委会为了调整同学们高三的紧张生活，利用班会课安排了5 个表演节目，这5个节目已经排成节目单，就在节目表演前，吴楷彬和吴昊天两人各有一个节目要加入，如果将他们的两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为（用数字作答）。 规律小结: 1、解排列组合综合问题时应注意以下几点： ①、把具体问题转化或归结为排列或组合问题 ②、通过分析确定运用分类还是分步 ③、分析题目条件时，避免选取时重复或遗漏 2、解排列组合综合问题常用的方法： ①、直接法与间接法②、分类法与分步法③、元素分析法与位置分析法④、插空法与捆绑法
排列组合集合图形
排列组合集合图形 【解题提示】根据题意画出集合图形，列出方程组，解出方程组即得。注意不重不漏。 【2011-1真题】某年级60名学生中，有30人参加合唱团，45人参加运动会，其中参加合唱团而未参加运动队的有8人，则参加运动队而未参加合唱团的有 （A）15人（B）22人（C）23人（D）30人（E）37人 【解析】如图，合唱团与运动会都参加了的有30822?=人，则参加运动会而未参加合唱团的有452223?= 人 【2010-1真题】某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机登记证、汽车驾驶证得人数分别为130，110，90.又知只有一种证的人数为140，三证齐全的人数为30，则恰有双证得人数 （A）45（B）50（C）52（D）65（E）100【解析】B；方法一：13011090140303502 ++??×=方法二：如图，有1101309014030 a x c m b y a m c z b m x y z m +++=??+++=??+++=??++=?=??，则50 a b c ++=
练习 1某单位有90人，其中65人参加外语培训，72人加计算机培训，已知参加外语培训而未参加计算机培训的有8人，则参加计算机培训而未参加英语培训的人数是 （A）5（B）8（C）10（D）12（E）15 【解析】72-（65-8）=15 A B C三题，每题或得0分或得满分。竞赛结果无人得0 2某班同学参加智力竞赛，共有,, 分，三题全部答对的有1人，答对两题的有15人。答对A题的人数和答对B题的人数之和为29人，答对A题的人数和答对C题的人数之和为25人，答对B题的人数和答对C题的人数之和为20人，那么该班的人数为 A．20B．25C．30D．35E．40
排列组合公式(全)
排列定义从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r) 表示。排列的个数用 P(n,r) 表示。当r=n 时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为P(n,r),P(n,r) 。 组合定义从n 个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n 个中取r 个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r) 表示，组合的个数用C(n,r) 表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r) 。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词( 特别是逻辑关联词和量词) 准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1) 加法原理和分类计数法 1．加法原理
2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 （即分类不漏） （2）乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的六位数 集合A 为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B 为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3 个数的全排列，即3！这时集合B 的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！
完整版排列组合练习题全集
排列组合复习题型总结 一、特殊对象问题：优先进行处理 1. 有5 人排成一列，其中甲不在第一的位置，有多少种排法？ 2. 有5 人排成一列，其中甲不能在第一，乙不能在最后，有多少种排法？二、名额分配问题：名额插挡板法 3. 有10个三好学生的名额分给3 个班，要求每班至少有一个名额，怎么分？ 4. 有7 个三好学生的名额，分给3 个班，怎么分？三、分组分配问题：分配等于先分组，再把组分配出去 5. 有6 本不同的书，平均分给甲乙丙三人，有多少种分法？ 6. 有6 本不同的书，平均分为三组，有多少种分法？ 7. 有6 本不同的书，分甲1 本，乙2 本，丙3 本，有多少种分法？ 8. 有6 本不同的书，分三组，一组1 本，一组2 本，一组3 本，有多少分法？ 9. 有6 本不同的书，分给三个人，一人1 本，一人2本，一人3 本，有多少种分法？ 10. 有9 本不同分成三组，一组5 本，另外两组各2 本，有多少种分法？ 11. 有9 本不同的书，分给甲乙均2本，丙5 本，有多少种分法？ 12. 有9 本不同的书，分给两人各2本，另一人5 本，有多少种分法？四、相邻问题：捆绑法 13. 8 人排成一列，甲乙丙三人必须相邻，有多少种排法？ 14. 8 人排成一列，甲乙两人必须相邻，且都不和丙相邻，有多少种排法？ 15. 一排8 个座位，3 人坐，5 个空座位相邻，有多少种坐法？ 16. 一排8 个座位，3 人坐，其中恰有4 个空座位相邻，有多少种坐法？五、不相邻问题：插空法 17. 某人射击训练，8 枪命中3 枪，恰好没有任何2 枪连续命中，有多少情况？ 18. 8 人排成一列，甲乙丙三人不可相邻，有多少种排法？ 19. 8盏灯关掉3 盏，不许关掉相邻的，也不许关掉两端，多少种方法？ 20. 某人射击训练，8 枪命中3 枪，恰好2 枪连续命中，有多少种情况？六、成双成对问题：先按双取出，再从各双分别取出一只，自然不成双 21. 从6 双不同鞋子中取出4 只，要求都不许成双，有多少种方法？ 22. 从6 双不同鞋子中取出4 只，要求恰好有一双，有多少种方法？七、可（不可）重复使用的对象：问题中有两组对象，解决问题时要以不可重复使用的对象作为分步的标准（住店、投信、映射、冠亚军等） 23. 5人住3 家店，有多少种住法？ 24. 若有4 项冠军在3 个人中产生，没有并列冠军，问有多少种不同的夺冠可能性。 1/ 4
排列与组合
第一章 排列与组合 第一讲、计数的基本原则 A. 主要知识要点： 1. 有限集、无限集、集合中元素的个数 2. 一一映射、相等原则：设,A B 是两个有限集，如果存在由A 到B 上的一个一一对应映射，则A B =. 3. 加法原则 如果完成一件事的全部方法可分成互不相容的K 类，其中属于第 (1)i i k ≤≤类的方法有i n 种，则做这件事情的方法共有1k i i n =∑种. 4. 乘法原则 已知做一件事要经过两个步骤，完成第一个步骤的方法有m 种，完成第一个步骤之后，完成第二个步骤的方法有n 种，则做这件事的方法共有mn 种. B. 典型例题 例1 n 名选手参加乒乓球单打淘汰赛，需要打多少场比赛才能产生冠军？ 变形：有101名选手参加羽毛球比赛，如果采用单循环淘汰制，问要产生冠军需要进行多少场比赛？ 例2：设n 为大于1的正整数，求满足条件x y n +≤的有序整数对(,)x y 的个数. 例3：把4个人分成两组，每组至少1人，求不同的分组方法数. 思考：能否使用包含排斥的问题来解决？ 例4.求n 元集12{,, }n A a a a =的子集的个数. 思考：用乘法原则或者加法原则两种方法进行解答，能否得到多项式的结论. 例5 以N 表示万位数字不是5且各位数字互异的5位数的个数，求N . 例6. 设自然数(2)n n ≥的质因数分解式为12 12 k a a a k n p p p =，求n 的不同的正约数的个数. C. 相关习题：36 1-5P .
第二讲：排列与组合 A.主要知识点： 1.不允许重复的排列问题 例1: （1）从数字{1,2,9}选取数字构成四位数，如果要求每位数字都不相同， 问有多少种方法？ （2）从数字{1,2, 9}选取数字构成四位数，问有多少种选法？ 定义：从n 个元素的集合S 中有序的选取的r 个元素叫做S 的一个r 排列，不同的排列的总数记作(,)P n r .如果r n =，则称这个排列S 的全排列，简称为S 的排列. 定理1：对满足r n ≤的正整数n 和r 有 () ! (,)(1)(1)!n P n r n n n r n r =--+= -. 推论1：n 元集的全排列的个数为!n . 2.不允许重复的组合问题 定义：从n 个元素的集合S 中无序的选取的r 个元素叫做S 的一个r 组合，不同的组合的总数记作(,)C n r .规定：0n ≥时，我们规定(,0) 1.C n = 定理2：对满足r n ≤的正整数n 和r 有 (,)!(,)P n r r C n r =. 重要概念：含有k 种不同元素的多重集S 记作1122{,,}k k n a n a n a 3.多重集的排列问题 定义：从一个多重集S 中有序选取的r 个元素叫做S 的一个r 排列.当r n =时也叫做S 的排列. 例如：{2,1,3}S a b c =，,acab abcc 是S 的4-排列，而abccca 是S 的排列. 定理3：设多重集12{,,,}k S a a a =∞∞∞则S 的r 排列数是r k . 推论2：设多重集1122{,, }k k S n a n a n a =， 且对一切1,2,i k =有i n r ≥，则S 的 r 排列数是r k . 定理4 设多重集1122{,,}k k S n a n a n a =，且12k n n n n =++，则S 的排列数等 于
常见排列组合综合问题的多种方法小结
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有 3 4A 4 4 3
排列与组合所有题型及标准答案
排列与组合所有题型及标准答案
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排列与组合 双基训练 *1.已知2n A =132,则n=( ).【1】 (A)11 (B) -11 (C)12 (D)-12 *2.2n+1A 与3n A 的大小关系是( )。【1】 (A) 2n+1A >3n A (B) 2n+1A <3n A (C) 2n+1A =3 n A (D)不确定 *3.四名学生编入两个班级，不同的编法有( )。【1】 (A)12种 (B)14种 (C)16种 (D)25种 *4.从1～9这9个自然数中，任取3个数作数组(a,b,c)，且a>b>c ，则不同的数组共有 ( )。【2】 (A)21组 (B)28组 (C)84组 (D)343组 *5.5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每类书各取1本，不同的取 法有( )。【1】 (A)3种 (B)12种 (C)60种 (D)120种 *6.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法有( )。【1】 (A)4种 (B)5种 (C)6种 (D)7种 *7.如图9-1，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中，要求相邻的矩形涂色不同， 则不同的涂色方法共有( )。【1】 (A)72种 (B)48种 (C)24种 (D)12种 *8.沿着长方体的棱，从一个顶点到它相对的另一个顶点的最近路线有( )。【1】 (A)3条 (B)4条 (C)5条 (D)6条 *9.用数字0,1，2,3，4,5组成没有重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有( )。 【1】 (A)9个 (B)12个 (C)24个 (D)21个 *10.取1,2，3,4，5这5个数字中的2个分别作为一个对数的底数和真数，则所得的不同的 值的个数为( )。【1】 (A)12 (B)13 (C)16 (D)20 *11.100件产品中有97件合格品，从中任取5件检验，至少有2件是次品的抽法种数为( )。 【1】 (A)322310031003C C +C C (B)5510057C -C (C)554110097973C -C -C C (D)512100973C -2C -C *12.用1,3，5三个数字中的数组成无重复数字的自然数，再以这些自然数中的若干个为元 素组成非空集合，这样的集合个数是( )。【2】 (A)26 (B)215 (C)26-1 (D)215-1 *13.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型的电视机各1 台，则不同的取法有( )。【1】 (A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种
(完整版)排列与组合同步练习(详细答案)
1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有（） A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 2.若x∈｛1，2，3｝，ｙ∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有（） A.2个 B.6个 C.9个 D.3个 3.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（） A.34 B.43 C.A3 D.44 4 4. 五名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数 A.54 B.45 C.5×4×3×2 D.5×4 5.集合M={}3,2,1的子集共有（） A.8 B.7 C.6 D.5 6.设集合A={}4,3,2,1，B={}7,6,5，则从A集到B集所有不同映射的个数是（） A.81 B.64 C.12 D.以上都不正确 7.某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有________种不同的选派方法；从中选一名男生一名女生去领奖，则共有_________种不同的选派方法. 8.从1到10的所有自然数中任取两个相加，所得的和为奇数的不同情形有___种. 9. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法. 10. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有种可能的结果. 11. 乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有项. 12．某校信息中心大楼共5层，一楼和二楼都有4条通道上楼，三楼有3条通道上楼，四楼有2条通道上楼，那么一人从一楼去五楼，共有种不同的走法. 13．某车间生产一个零件，该零件需经车、钳、铣三道工序。该车间有车工5人，钳工8人，铣工6人，加工这个零件有种不同的派工方式；技术改造后，生产这种零件只需冲压一道工序，且任何一人均可加工，这时不同的派工方式有种。
第4课时排列与组合的综合问题
§10.4排列与组合的综合问题 一、 解题思路： 解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： 特殊优先法:我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。 科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生 插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 排列组合的综合问题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍. 二、 问题讨论 例1(优化设计P178例1)、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？ 解法一： 问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有4 4A 种；（2）甲、乙二人有且仅 有1人参加，有234C （44A －33A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －233A ＋22A ）种，故共有252种． 解法二：六人中取四人参加的种数为46A ，从6人中选4人的排列组合数减去甲跑第一 棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数 46A － 243512A A C +＝252种 【评述】对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有55A 种,共有5513452335)(A C C C （C +＝5400种． (2)除去该女生后先取后排：8404447=A C 种． (3)先取后排,但先安排该男生：3360441447=A C C 种． (4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有36C 种,再安排该男生有1 3C 种,其余3人全排
排列与组合的综合问题
排列与组合的综合问题 一、 解题思路： 解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： 特殊优先法:我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。 科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生 插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 排列组合的综合问题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍. 二、 问题讨论 例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？ 解法一： 问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有44A 种；（2）甲、乙二人有且仅 有1人参加，有234C （44A －33A ）种；（3）甲、乙二人均参加，有24C （44A －23 3A ＋22A ）种，故共有252种． 解法二：六人中取四人参加的种数为46A ，从6人中选4人的排列组合数减去甲跑第一 棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数 46A － 243512A A C +＝252种 【评述】对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种． 例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生． (2)某女生一定要担任语文科代表． (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表． (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表． 解：(1)先取后排,有13452335C C C C +种,后排有55A 种,共有5513452335)(A C C C （C +＝5400种． (2)除去该女生后先取后排：8404447=A C 种．
排列与组合的综合问题.
g3.1092 排列与组合的综合问题 一、知识梳理 1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”. 2.解排列组合的应用题，要注意四点： （1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步. （2）深入分析、严密周详，注意分清是乘．还是加．，既不少也不多，辩证思 维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错. （3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决. （4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复. 二、基础训练 1.（04福建）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 A. A2 6C2 4 B. 2 1 A2 6 C2 4 C. A2 6 A2 4 D. 2A2 6 2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为 A.24 B.48 C.120 D.72 3. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A.480 B.240 C.120 D.96 4.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答） 5.市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种.（用数字作答） 例1. 从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法? 例2. 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 思考讨论