专题四十六·综合型问题

一、选择题 1．（2010江苏苏州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标

为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是 A ．2 B ．1 C

．2 D

．2

【答案】C 2．（2010湖北十堰）如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、

F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）

【答案】C

3．（2010 重庆江津）如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90o）的直角边与正方形DEFG 的边

长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）

（第10题） C D

E F

A

B

B ．

C ．

D ．

（第10题分析图） C D

E

F A

B P

【答案】A 二、填空题

1．（2010浙江宁波） 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2

112

y x =-上运动，当

⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ▲ .

【答案】)2,6(或)2,6(-(对一个得2分)

三、解答题

1．（2010安徽芜湖）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，

其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－43

3，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、

C ′．

（1）求折痕所在直线EF 的解析式；

（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．

【答案】

2．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是 APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆

心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．

（1）求弦AB 的长；

（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC 的面积为S ，若

2

S

DE ＝

ABC 的周长.

【答案】解：（1）连接OA ，取OP 与AB 的交点为F ，则有OA ＝1．

∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴OF ＝

12OP ＝1

2

，AF ＝BF ． C

P D

O

B

A

E

F C P

D O

B

A

E

H G

在Rt △OAF 中，∵AF

，∴AB ＝2AF

（2）∠ACB 是定值. 理由：由（1）易知，∠AOB ＝120°，

因为点D 为△ABC 的内心，所以，连结AD 、BD ，则∠CAB ＝2∠DAE ，∠CBA ＝2∠DBA ，

因为∠DAE ＋∠DBA ＝

1

2

∠AOB ＝60°，所以∠CAB ＋∠CBA ＝120°，所以∠ACB ＝60°； （3）记△ABC 的周长为l ，取AC ，BC 与⊙D 的切点分别为G ，H ，连接DG ，DC ，DH ，则有DG ＝DH ＝DE ，DG ⊥AC ，DH ⊥BC .

∴ABD ACD BCD S S S S ???=++

＝

12AB ?DE ＋12BC ?DH ＋12AC ?DG ＝12(AB ＋BC ＋AC ) ?DE ＝1

2

l ?DE ． ∵2

S DE ＝

，∴21

2l DE

DE ＝

l ＝

∵CG ，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD ＝1

2

∠ACB ＝30°， ∴在Rt △CGD 中，CG ＝

tan 30DG

，∴CH ＝CG

．

又由切线长定理可知AG ＝AE ，BH ＝BE ，

∴l ＝AB ＋BC ＋AC ＝

＝

，解得DE ＝1

3，

∴△ABC

． 3．（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止，连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG 。

（1）设AE=x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 的运动路线的长。

【答案】

4．（2010江苏南通）（本小题满分12分）

如图，在矩形ABCD 中，AB =m （m 是大于0的常数），BC =8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF =y ． （1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）若m =8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12

y m

=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？

【答案】⑴在矩形ABCD 中，∠B=∠C =Rt ∠， ∴在Rt △BFE 中， ∠1+∠BFE =90°，

又∵EF ⊥DE ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE ，∴Rt △BFE ∽Rt △CED

∴BF BE CE CD =即8y x x m -=∴2

8x x y m

-= A B

C

D

E

F

（第27题）

⑵当m=8时，

2

8

8

x x

y

-

=，化成顶点式: ()2

1

42

8

y x

=--+，

∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.

⑶由

12

y

m

=，及

2

8x x

y

m

-

=得x的方程: 28120

x x

-+=，得，

12

2;6

x x

==，

∵△DEF中∠FED是直角，

∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，

此时，Rt△BFE≌Rt△CED，

∴当EC=2时，m=CD=BE=6;

当EC=6时，m=CD=BE=2.

即m的值应为6或2时，△DEF是等腰三角形.

5．（2010江苏南通）（本小题满分14分）

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当

△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

【答案】（1）因为当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y ＝ax 2＋bx ＋c ，得

??

?=+=+.04,316c a c a 解得???

??

-==.

1,41c a ∴这条抛物线的解析式为y ＝

4

1x 2

-1. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y=kx+b ，得

??

?=+=+-.02,34b k b k 解得?????=-=.

1,

21b k ∴这条直线的解析式为y ＝-

2

1

x+1. （2）依题意，OA =.54322=+即⊙A 的半径为5. 而圆心到直线l 的距离为3+2=5. 即圆心到直线l 的距离=⊙A 的半径， ∴直线l 与⊙A 相切.

（3）由题意，把x =-1代入y =-

2

1x +1，得y =32，即D （-1，32）.

由（2）中点A 到原点距离跟到直线y =-2的距离相等，且当点A 成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D 作DH ⊥直线l 于H ，交抛物线于点P ，此时易得DH

是D 点到l 最短距离，点P 坐标（-1，-34）此时四边形PDOC 为梯形，面积为17

8

. 6．（2010江苏盐城）（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB

⊥BC ，∠DCB =75o，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数；

（第28题）

（2）求证：AB=BC；

（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30o．

求DF

FC的值．

【答案】

7．（2010山东烟台）（本题满分14分）

如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。（1）求抛物线的解析式；

（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】

8．（2010四川凉山）已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，顶点(1,4)C -，与x 轴交于A 、

B 两点，(1,0)A -。

（1） 求这条抛物线的解析式；

（2） 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线的对称轴交于点F ，依

次连接A 、D 、B 、E ，点Q 为线段AB 上一个动点（Q 与A 、B 两点不重合），过点Q 作QF AE ⊥于F ，QG DB ⊥于G ，请判断QF QG

BE AD

+是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；

（3） 在（2）的条件下，若点H 是线段EQ 上一点，过点H 作MN EQ ⊥，MN 分别与边AE 、BE 相交于M 、N ，（M 与A 、E 不重合，N 与E 、B 不重合），

请判断

QA EM

QB EN

=是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 【答案】

第26题图

9．（2010四川眉山）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正

半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线2

23

y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线5

2

x =

上． （1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断

点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交

CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．

【答案】

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为22

5()32

y x m =-+ …（1分） ∴2254()32

m =?-+

∴16

m =- ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：22251210

()432633

y x x x =--=-+ …………（4分） （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4，

∴5AB =

∵四边形ABCD 是菱形

∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………（5分） ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）

当5x =时，2210

554433y =?-

?+=

当2x =时，2210

224033

y =?-?+=

∴点C 和点D 在所求抛物线上． …………………………（7分）

（3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则

54

20k b k b +=??

+=?

解得：48,33k b ==-．

∴48

33

y x =- ………（9分）

∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ． 则22

10433M y t t =-

+， 48

33

N y t =-，……………………（10分）

∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ??

=-=---+=-+-

=--+ ???

∵2

03-<， ∴当72t =

时，32

l =最大， 此时点M 的坐标为（

72，1

2

）． ………………………………（12分） 10．（2010浙江杭州） (本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =

2

4

1x +1， 点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物 线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点 P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标；

(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时.

① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值.

【答案】

(本小题满分12分)

(1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB = OC = 4， ∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A ，B 的横坐标分别是2和– 2，

代入y =2

4

1x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，

∴M (0，2)，

---2分

(2) ① 过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ， 则HQ = y ，HP = x –t ， 由△HQP ∽△OMC ，得：4

2t

x y -=, 即： t = x – 2y , ∵ Q(x ,y ) 在

y = 241x +1上， ∴ t = –22

1x + x –2. ---2分

当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5,

（第24题）

（第24题）

当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2 ∴x 的取值范围是

x ≠ 1±

5, 且

x ≠± 2的所有实数.

---2分

② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ 时，则点P 在线段OC 上， ∵ CM ∥PQ ，CM = 2PQ ，

∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(2

4

1x +1)，解得x = 0 ， ∴t =

–

202

1+ 0 –2

=

–2

.

--- 2分

2）当CM < PQ 时，则点P 在OC 的延长线上， ∵CM ∥PQ ，CM =

2

1

PQ ， ∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即

2

4

1x +1=2?2，解得： x = ±32. ---2分

当x = –32时，得t = –

2)32(2

1

–32–2 = –8 –32, 当x =32时， 得t =32–8. ---2分 11．（2010浙江宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点A 的坐标为(-2，0)，点

D 的坐标为 (0，，点B 在x 轴的正半轴上，点

E 为线段AD 的中点，过点E 的直 线l 与x 轴交于点

F ，与射线DC 交于点

G . (1)求∠DCB 的度数；

(2)当点F 的坐标为(-4，0)时，求点G 的坐标；

(3)连结OE ，以OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ’，记直线EF ’与射线DC 的交点为H .

①如图2，当点G 在点H 的左侧时，求证：△DEG ∽△DHE ；

②若△EHG 的面积为F 的坐标.

【答案】

解：(1) 在Rt △AOD 中，

∵tan ∠DAO =

32

3

2==AO DO ， ∴ ∠DAB =60°. 2分

∵四边形ABCD 是平行四边形

∴∠DCB =∠DAB =60° 3分

(2) ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD ∥AB

∴∠DGE =∠AFE

又∵∠DEG =∠AEF ，DE =AE

∴△DEG ≌△AEF 4分 ∴DG =AF

∵AF =OF -OA =4-2=2 ∴DG =2 ∴点G 的坐标为(2，32) 6分

(3)①∵CD ∥AB

∴∠DGE =∠OFE

∵△OEF 经轴对称变换后得到△OEF ’

∴∠OFE =∠OF ’E 7分 ∴∠DGE =∠OF ’E 在R t △AOD 中，∵E 是AD 的中点 ∴OE =

2

1

AD =AE 又∵∠EAO =60°

∴∠EOA =60°， ∠AEO =60° 又∵∠EOF ’=∠EOA =60° ∴∠EOF ’=∠OEA

∴AD ∥OF ’ 8分 ∴∠OF ′E =∠DEH ∴∠DEH =∠DGE 又∵∠HDE =∠EDG

∴△DHE ∽△DEG 9分

（图1） （图2）

②点F 的坐标是F 1(113+-，0)，F 2(513--，0). 12分

(给出一个得2分)

对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求. 过点E 作EM ⊥直线CD 于点M ，

∵CD ∥AB

∴∠EDM=∠DAB=60°

∴sin 602EM DE =??==

∵11

22

EGH S GH ME GH =??=?=△∴6GH =

∵△DHE ∽△DEG

∴

DE

DH DG DE = 即DH DG DE ?=2

当点H 在点G 的右侧时，设x DG =，6+=x DH

∴)6(4+=x x

解得：133,13321--=+-=x x （舍）

∵△DEG ≌△AEF

∴AF =DG =133+-

∵OF =AO +AF =1132133-=++-

∴点F 的坐标为(113+-，0)

当点H 在点G 的左侧时，设x DG =，6-=x DH

∴)6(4-=x x

解得：133,13321-=+=x x （舍）

∵△DEG ≌△AEF

∴AF =DG =133+

∵OF =AO +AF =5132133+=++ ∴点F 的坐标为(513--，0)

综上可知， 点F 的坐标有两个，分别是F 1(113+-，0)，F 2(513--，0).

12．（2010浙江绍兴）如图,设抛物线C 1:()512

-+=x a y , C 2:()512

+--=x a y ,C 1与

C 2的交点为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标；

（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,

在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的 直线为l ,且l 与x 轴交于点N . ① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为 (1, 2)，求点N 的横坐标；

② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横 坐标的取值范围.

【答案】

解：（1）∵ 点A )4,2(在抛物线C 1上，∴ 把点A 坐标代入()512

-+=x a y 得 a =1.

∴ 抛物线C 1的解析式为422-+=x x y ,

M

设B (－2,b )， ∴ b ＝－4, ∴ B (－2,－4) . （2）①如图1，

∵ M (1, 5)，D (1, 2), 且DH ⊥x 轴，∴ 点M 在DH 上，MH =5. 过点G 作GE ⊥DH ,垂足为E, 由△DHG 是正三角形,可得EG=3, EH =1， ∴ ME ＝4. 设N ( x , 0 ), 则 NH ＝x －1,

由△MEG ∽△MHN ,得

HN EG

MH ME =, ∴ 1

3

54-=x , ∴ =x 1345+, ∴ 点N 的横坐标为134

5

+． ② 当点Ｄ移到与点A 重合时,如图2，

直线l 与DG 交于点G ,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F , 设Ｎ（x ，0）， ∵ A (2, 4), ∴ G (322+, 2),

∴ NQ =322--x ，ＮF =1-x , GQ =2, MF =5. ∵ △NGQ ∽△NMF ，

∴

MF

GQ

NF NQ =, ∴ 521322=---x x ,

∴ 3

8310+=x .

当点D 移到与点B 重合时,如图3， 直线l 与DG 交于点D ,即点B , 此时点N 的横坐标最小.

∵ B (－2, －4), ∴ H (－2, 0), D (－2, －4), 设N （x ，0），

∵ △BHN ∽△MFN ， ∴ MF

BH

FN NH =， ∴

5

412=-+x x , ∴ 32

-=x . ∴ 点N 横坐标的范围为 32-

≤x ≤3

8310+. 13．（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线

经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；

（3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB ＝90o的点P 的坐标．

第24题图1

第24题图2

第24题图3

图4

【答案】解：（1）∵抛物线经过点C （0，－3）∴C ＝－3，∴y ＝ax 2+bx -3，又抛物线

经过点A （－1，0），对称轴为x =1，所以301212a b a b b a

--===--=???

??

???，

，　解得　.. ∴抛物线的函数关系式为y ＝x 2－2x -3

（2）∵点A （－1,0），对称轴为x =1，∴点B （2，0）．

设直线BC 的函数关系式为y =kx +b ，根据题意得 0333k b k b b -+==-=-=-????

??

，，　解得 ∴直线BC 的函数关系式为y =－3x －3，当x =1时，y ＝－6，∴点P 的坐标为（1，－6）．

（3）如图，过点P 作PD ⊥OC ，设P （1，y ），则PE ＝|y|，DC ＝｜－3－y ｜，

在Rt △PEB 中，PB 2＝22+|y |2＝4+y 2，在Rt △PCD 中PC 2＝12+|－3－y |2＝10+6y +y 2,在Rt △OBC 中，BC 2＝32+32＝18，∵∠PCD ＝90o，∴PB 2+PC 2＝BC 2，∴4+y 2+10+6y +y 2＝18，整理得y 2+3y -2＝0解得y 1

＝

32

+－，y 2

＝

32

－．

14．（2010 福建晋江）（13分）已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，3=OC ，

2=BC ，取AB 的中点M ，连结MC ，把MBC ?沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到DAO ?.

(1)试直接写出点D 的坐标；

(2)已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，连结OP .

①若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与DAO ?相似，试求出点P 的坐标； ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ，使得TB TO -的值最大.

E