数值分析典型例题

数值分析典型例题

第一章典型例题 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保

留小数点后三位才可以。ln2≈0.693 第二章典型例题

例1 用顺序消去法解线性方程组

???

??1

-=4+2+4=+2+31-=4++2321

321321x x x x x x x x x 解 顺序消元

??

??

??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141

25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组

??

?

??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解

x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T

例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组

???

??5

=+2+23=++1=2-2+321

321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式

???????+--=+--=++-=+++5223122)

(2)(1)1(3

)

(3)(1)1(2

)

(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)

第1次迭代,k =0

X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1

???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3

532123

351515232)2(3)

2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T

第3次迭代，k =2

???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1

5)3(2521

3)3(511)3(2)3(2)2(3)

3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T

第4次迭代，k =3

???????=+?-?-==+--==+?+?-=1

512121

311111212)2(3)

2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T

例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛

德尔迭代法发散。

证明 例2中线性方程组的系数矩阵为

A ＝??

??

?

?????-122111221 于是

D ＝??

??

??????100010001 D －1＝D

??

??

?

?????=022001000L ~

??

??

?

?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为

解答 选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，

消元得到

?

?

?=+--=-5.35.125

.15.03232x x x x 是应填写的内容。 3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组

???

??5

=+2+23

=++1

=2-2++321

321321x x x x x x x x x 的迭代格式中)

1(2+k x ＝ (k =0,1,2,…)

答案：)(3)1(13k k x x --+

解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x 2

的值时应该用上x 1的新值。 第三章典型例题

例1 已知函数y =f (x )的观察数据为

x k －2 0 4 5 y k

5

1

－3

1

试构造拉格朗日插值多项式P n (x )，并计算f (－1)的近似值。 [只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数

845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=

0)

)(())()(())(()(x x x x x x x l

40

5-4-2+=5-04-02--05-4-2+=

1)

)()(())())((())()(()(x x x x x x x l

24

5-2+-=5-40-42+45-2+=2)

)(())()(()()()(x x x x x x x l

35

)

4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=

--+-+=

x x x x x x x l 所求三次多项式为

P 3(x )=∑=n

k k k x l y 0)( ＝

84

5-4-?

5-)

)((x x x ＋

40

5-4-2+)

)()((x x x －24

5-2+?3-))(()(x x x ＋

35

4-2+)

()(x x x ＝1+21

55-141-42523x x x

f (－1)≈P 3(－1)＝7

24=1+21

55-14

1-425-

例3 设n x x x x ,...,,,210是n +1个互异的插值节点，

),...,,,)((n k x l k 210=是拉格朗日插值基函数，证明： (1) 1≡∑0

=n

k k

x l

)( (2)

),...,,,()(n m x x x l

m n

k m

k k

210=≡∑0

=

证明 (1) P n (x )=y 0l 0(x )+y 1l 1(x )+…+y n l n (x )=∑=n

k k k x l y 0

)(

)()()(),()!

()

()()(x R x P x f x n f x R n n n n n +=∴1+=

1+1+ωξ

当f (x )≡1时，

1＝)()!()

()()()()(x n f x l x R x P n n k

k k n n 1+1+0

=1++

?1=+∑ωξ 由于0=1+)()

(x f n ，故有1≡∑0

=n

k k x l )(

(2) 对于f (x )=x m ,m =0,1,2,…,n ，对固定x m (0≤m ≤n ), 作拉格朗日插

值多项式，有

)()!()

()()()()(x n f x l x x R x P x n n n

k k

m

k n n m

1+1+0

=1++=+≈∑ωξ

当n >m －1时，f (n +1) (x )=0，R n (x )=0，所以 m n

k k

m k x x l x

≡∑0

=)(

注意：对于次数不超过n 的多项式011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)(,

利用上结果，有

011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)( =∑∑∑∑0

=00

=10

=1-1-0

=++++n

k k n k k k n

k n k

k n n

k n k

k n x l a x x l a x

x l a x x l a )()(...)()(

=∑∑

==--=

++++

n

k k k

n n

k k n k

n n

k

n k x l x Q

a ax x a x a x l 0

001

1)()(]...)[(

上式∑=n

k k k n x l x Q 0

)()(正是Q n (x )的拉格朗日插值多项式。可见，Q n (x )的拉

格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n 的多项式在n +1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。

例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。n =5。a 0,a 1满足的法方程组是

k x k y k 2k x

x k y k 1 1 4 1 4 2 2 4.5 4 9 3 3 6 9 18 4 4 8 16 32 5

5

8.5

25

42.5

∑

15 31 55 105.5

??

?5

105=55+1531

=15+51010.a a a a

解得a 0=2.45, a 1=1.25。所求拟合直线方程为 y =2.45+1.25x 例6选择填空题

1. 设y =f (x ), 只要x 0,x 1,x 2是互不相同的3个值，那么满足

P (x k )=y k (k =0,1,2)的f (x )的插值多项式P (x )是 (就唯一性回答问题)

答案：唯一的

3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( )

(A) )()!

()

()()()()(x n f x P x f x R n n n n 1+1+1+=

-=ωξ (B) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )

(C) )!

()

()()()()(1+=-=1+n f x P x f x R n n n ξ

(D) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )

答案：(A)，(D)。见教材有关公式。 第四章典型例题

例1 试确定求积公式)(

)(d )(3

1+3

1-

≈?1

1-f f x x f 的代数精度。

[依定义，对x k (k =0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k 数值]

解 当f (x )取1,x ,x 2,…时，计算求积公式何时精确成立。 (1) 取f (x )=1,有

左边＝2=1=??1

1-11-x x x f d d )(, 右边＝2=1+1=3

1+3

1-)(

)(f f

(2) 取f (x )=x ,有

左边＝0=0=??1

1-1

1-x x x f d d )(, 右边＝0=3

1+

3

1-

=3

1+3

1-)(

)(f f

(3) 取f (x )=x 2,有

左

边

=

3

2=

=??

1

1

-21

1

-x x x x f d d )(, 右边

=3

2=3

1+3

1-=3

1+3

1-22)()()()(f f

(4) 取f (x )=x 3,有

左边=0==??1

1-31

1-x x x x f d d )(, 右边=0=3

1+3

1-

=3

1+3

1-33)(

)()(

)(f f

(5) 取f (x )=x 4,有

左边

=

5

2=

=??

1

1

-41

1

-x x x x f d d )(, 右边

=9

2=

3

1+3

1-

=3

1+3

1-44)(

)()(

)(f f

当k ≤3求积公式精确成立，而x 4公式不成立，可见该求积公式具

有3次代数。

例5 试确定求积公式)]()0([)]()0([2

d )(20

h f f ah h f f h x x f h '-'++

≈?中的参

数a ，并证明该求积公式具有三次代数精度。

解 公式中只有一个待定参数a 。当f (x )=1,x 时，有 0]11[2d 10++=?

h

x h

,即h =h

)11(]0[2

d 12

0-++=?

ah h h x x h ,2222h h =

不能确定a ，再令f (x )=x 2, 代入求积公式，得到

)202(]0[2

d 2

20

2

h ah h h x x h

-?++=?

,即 333223ah h h -=

得121=a .

求积公式为)]()0([12

)]()0([2d )(2

0h f f h h f f h x x f h

'-'++≈?

将f (x )=x 3代入上求积公式，有

)303(12

]0[2d 223

3

h h h h x x h

-?++=?

可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f (x )=x 4代入上公式中，有

)404(12

]0[2d 3240

4

h h h h x x h

-?++≠?

所以该求积公式具有三次代数精度。

例6 选择填空题

1. 牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点

是 。

解答：牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其

精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。 第五章典型例题

例1 证明方程1－x －sin x ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x

∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin 1<0

∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根。又

f '(x )=1－cos x >0(x ∈[0，1]),故f (x )＝0在区间[0，1]内有唯一实根。 给定误差限ε＝0.5×10－4，有

728713=1-2

104+50-=1-2--≥

.ln ln .ln ln ln )ln(εa b n

只要取n ＝14。

例2 用迭代法求方程x 5－4x －2＝0的最小正根。计算过程保留4

位小数。 [分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间。若建立迭代格式

)),(()(,)(,21∈1>4

5='42-=42-=4

54x x x x x x x ??即，此时迭代发散。

建立迭代格式)

21(5

4

)24(54

)(,24)(,245455≤≤<+='+=+=x x x x x x x ??，

此时迭代收敛。

解 建立迭代格式

552+4=2+4=x x x x )(,? 1)),21(5

4

)

24(54)(05

4

=≤≤<

+=

'x x x x 取初始值?(可任取1，2之间的值)

≈6=2+4=5501x x 1.431 0 ≈7247=2+4=5512.x x 1.505 1

≈02048=2+4=5523.x x 1.516 5 ≈0668=2+4=5534.x x 1.518 2

≈07288=2+4=5545.x x 1.5185

取≈*x 1.5185

例3 试建立计算3a 的牛顿迭代格式，并求3791411.的近似值，要

求迭代误差不超过10－5

[分析]首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过10－5。

解 令0=-==33a x x f a x )(,，求x 的值。牛顿迭代格式为

),...,,()()(10=3+32=3--='-=2

23

1

+k x a

x x a x x x f x f x x k

k k k k k k k k

迭代误差不超过10－5，计算结果应保留小数点后6位。 当x =7或8时，x 3=343或512，0>8''80<7''7)()(,)()(f f f f 而,取x 0=8,

有

≈8

?3791411+8?32=3+

3

2=2

2001.x a x x 7.478 078 ≈4780787?3791411+4780787?32=3+32=

2

2212...x a x x 7.439 956 0381220=-21.x x

≈4399567?3791411+4399567?32=3+32=

2

2223...x a x x 7.439760 0001960=-32.x x

≈439760

7?3791411+4397607?32=3+32=

22334...x a x x 7.439760 于是，取≈*x 7.439760

例4 用弦截法求方程x 3－x 2－1＝0，在x =1.5附近的根。计算中保留5位小数点。 [分析] 先确定有根区间。再代公式。

解 f (x )= x 3－x 2－1，f (1)=－1，f (2)=3，有根区间取[1,2]

取x 1=1, 迭代公式为

)()

()()

(1-1-1+---

=n n n n n n n x x x f x f x f x x (n =1,2,…)

251≈1?43

-2=-+--1---=0120

302131213112.)(x x x x x x x x x x

≈2-251?2

+2-251-2511

-251-251-251=2

323233).(.....x 1.37662

≈251-376621?25

1+251-376621-3766211

-376621-376621-376621=2

323234)..(.......x 1.48881

≈376621-488811?37662

1+376621-488811-4888111

-488811-488811-488811=2

323235)..(.......x 1.46348

≈488811-463481?48881

1+488811-463481-4634811

-463481-463481-463481=2

323236)..(.......x 1.46553 取≈*x 1.46553，f (1.46553)≈－0.000145 例4 选择填空题

1. 设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，若满足 ，

则方程f (x )=0在区间[a ,b ]一定有实根。 答案：f (a )f (b )<0

4．牛顿切线法是用曲线f (x )上的 与x 轴的交点的横坐

标逐步逼近f (x )＝0的解；而弦截法是用曲线f (x )上的 与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解。 答案：点的切线；两点的连线

解答：见它们的公式推导.