导数中的不等式恒成立问题
适用学科数学适用年级高二年级
适用区域全国课时时长(分钟)120
知识点1导数公式
2函数的单调性
3 函数中的不等式恒成立问题
教学目标 1 理解和掌握导数在处理不等式恒成立问题是高考的一个难点。
2 能应用导数的方法来研究函数中的不等式问题,,来培养学生应用数学分
析、解决实际函数的能力.
3 培养学生学习的积极性和主动性,发现问题,善于解决问题,探究知识,
合作交流的意识,体验数学中的美,激发学习兴趣,从而培养学生勤于动
脑和动手的良好品质
教学重点导数的公式,函数的单调性,不等式问题
教学难点导数研究函数中的不等式问题
学习过程
一、复习预习
考纲要求:
1.理解导数和切线方程的概念。
2.能在具体的数学环境中,会求导,会求切线方程。
3.特别是没有具体点处的切线方程,如何去设点,如何利用点线式建立直线方程。4.灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题
二、知识讲解
1.导数的计算公式和运算法则
几种常见函数的导数:0'=C (C 为常数);1
)'(-=n n
nx
x (Q n ∈);
x x cos )'(sin =; x x sin )'(cos -=;1(ln )x x '=
; 1(log )log a a x e x
'=, ()x x e e '= ; ()ln x x
a a a '= 求导法则:法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'.
法则2 [()()]()()()(u x v x u x v x u x v x
'='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3: '
2
''
(0)u u v uv v v v -??=≠ ???
复合函数的导数:设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'=',函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '=',则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数,且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?'
2.求直线斜率的方法(高中范围内三种) (1) tan k α=(α为倾斜角); (2) 1212
()()
f x f x k x x -=
-,两点1122(,()),(,())x f x x f x ;
(3)0()k f x '= (在0x x =处的切线的斜率); 3.求切线的方程的步骤:(三步走) (1)求函数()f x 的导函数()f x ';
(2)0()k f x '= (在0x x =处的切线的斜率); (3)点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-; 4.用导数求函数的单调性: (1)求函数()f x 的导函数()f x '; (2)()0f x '>,求单调递增区间; (3)()0f x '<,求单调递减区间; (4)()0f x '=,是极值点。
考点一 函数的在区间上的最值
【例题1】:求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】:最大值为18,最小值为-2.
【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ,∴3,121==x x ,由函数的单调性,当11=x ,2=y ,取
得极大值;当32=x ,2-=y ,取得极小值;当5=x ,18=y 。所以最大值为18,最小值为-2.
【例题2】:求曲线3231y x x =-+在)5,2(-上的最值范围 。 【答案】:)51,19(-
【解析】:由2,0,063)(212===-='x x x x x f ,该函数在),2()0,(+∞-∞ 上单增,在)2,0(上单减,
当1,0==y x ;3,2-==y x ;19,2-=-=y x ;51,5==y x 。曲线3231y x x =-+在)5,2(-上的最值范围为)51,19(-。
考点二 用导数研究函数的单调性
【例题3】:已知函数5)(23-+-=x x ax x f 在R 上是单调递增函数,求a 的取值范围。 【答案】:3
1
≥
a 【解析】:123)(2+-='x ax x f ,因为)(x f 在R 上单调递增,所以,0)(≥'x f ,即:0
1232≥+-x ax 在R 上恒成立,即:??
?≤?>00a ,所以,???<->0
1240a a 所以,31
≥a 。
【例题4】:设函数()(0)kx f x xe k =≠.求函数()f x 的单调区间;
【答案】:若0k <,则当1,x k ??∈-∞- ???时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当1,,x k ??
∈-+∞ ???
时,
()'0f x <,函数()f x 单调递减。
【解析】:由()()'10kx f x kx e =+=,得()1
0x k k
=-
≠, 若0k >,则当1,x k ??∈-∞-
???
时,()'
0f x <,函数()f x 单调递减, 当1,,x k ??∈-
+∞ ???时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,w.若0k <,则当1,x k ?
?∈-∞- ??
?时,()'0f x >,
函数()f x 单调递增,当1,,x k ??
∈-
+∞ ???
时,()'0f x <,函数()f x 单调递减。.
考点三 用导数证明不等式
【例题5】:设函数()1x f x e -=-,证明:当x >-1时,()1
x
f x x ≥+ 【答案】:如下
【证明】:当1->x 时,1
)(+≥
x x x f 当且仅当,令1x g x e x =--(),则 1.x g x e =-,
()当0≥x 时0g x '≥(),)(x g 在[)∞+.0是增函数:当0≤x 时()0g x '≤,)(x g 在(]0.∞-是减函数,于是)(x g 在
0=x 处达到最小值,因而当R x ∈时,)0()(g x g ≥,即1,x e x ≥+所以当1->x 时,.1
)(+≥x x
x f 【例题6】:设函数2()ln(1)2
x
f x x x =+-+,证明:当x >0时,()f x >0; 【答案】:如下
【证明】:2
22
12(2)2()0,(1)1(2)(1)(2)
x x x f x x x x x x +-'=-=≥>-++++ ,(仅当0x =时()0f x '=) 故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增,当0x =时,()0f x =,故当0)(,0>>x f x 。
K
.
考点四 函数中含参数的问题
【例题7】:设2
1)(ax
e x
f x
+=,其中a 为正实数,若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围 【答案】:.10≤ 【解析】:对)(x f 求导得.) 1(1)(2 22ax ax ax e x f x +-+=' ①若)(x f 为R 上的单调函数,则)(x f '在R 上不变号,结合①与条件a>0,知0122 ≥+-ax ax ,在R 上恒成立,因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由 此并结合0>a ,知.10≤ 【例题8】:已知点P 在曲线4 1 x y e =+上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 【答案】: 34 π απ≤≤ 【解析】:因为' 2441(1)2x x x x e y e e e --==≥-+++,即0tan 1α>≥-,所以34π απ≤≤。 考点五 导数的综合问题 【例题9】:设0a >,讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性. 【答案】:如下 【解析】:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x ---+'=+---= 令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+,224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ?=---=-+=-- ① 当1 03a << 时,0?>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<< -或1(31)(1) 2(1) a a a x a a -+-->-时,()0f x '> 当 1(31)(1)1(31)(1) 2(1)2(1) a a a a a a x a a a a -----+--<< --时,()0f x '< 则()f x 在1(31)(1)(0, )2(1)a a a a a -----,1(31)(1) (,)2(1) a a a a a -+--+∞-上单调递增, 在1(31)(1)1(31)(1) ( ,)2(1)2(1) a a a a a a a a a a -----+----上单调递减 ② 当 1 13 a ≤≤时,0?≤,()0f x '≥,则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ③ 当1a >时,0?>,令()0f x '=,解得1(31)(1) 2(1) a a a x a a -±--= - ∵0x >,∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----= -,则当1(31)(1) 02(1) a a a x a a ----<<-时,()0f x '> 当1(31)(1)2(1)a a a x a a ----> -时,()0f x '<,则()f x 在1(31)(1) (0,)2(1) a a a a a -----上单调递增,在 1(31)(1) (,)2(1) a a a a a ----+∞-上单调递减 【例题10】:设函数ax x x a x f +-=22ln )(,0>a (Ⅰ)求)(x f 的单调区间;(Ⅱ)求所有实数a ,使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立. 【答案】:()f x 的增区间为(0,)a ,减区间为(,)a +∞ 【解析】:(1)因为2 2 ()ln .0f x a x x ax x =-+>其中,所以2()(2) ()2a x a x a f x x a x x -+'=-+=- 由于0a >,所以()f x 的增区间为(0,)a ,减区间为(,)a +∞ (Ⅱ)证明:由题意得,(1)11,f a c a c =-≥-≥即,由(Ⅰ)知()[1,]f x e 在内单调递增, 要使2 1()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立,只要222 (1)11, ()f a e f e a e ae e =-≥-??=-+≤? ,解得.a e = 四、课堂练习 【基础型】 1若不等式x 4﹣4x 3>2﹣a 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围 答案:),29(+∞ 解析:记F (x )=x 4﹣4x 3∵x 4﹣4x 3>2﹣a 对任意实数x 都成立,∴F (x )在R 上的最小值大于2﹣a 求导:F ′(x )=4x 3﹣12x 2=4x 2(x ﹣3),当x ∈(﹣∞,3)时,F ′(x )<0,故F (x )在(﹣∞,3)上 是减函数;当x ∈(3,+∞)时,F ′(x )>0,故F (x )在(3,+∞)上是增函数. ∴当x=3时,函数F (x )有极小值,这个极小值即为函数F (x )在R 上的最小值 即[F (x )]min =F (3)=﹣27,因此当2﹣a <﹣27,即a >29时,等式x 4﹣4x 3>2﹣a 对任意实数x 都 成立,故答案为:(29,+∞) 2若不等式 2x -1>m(x 2-1)对满足-2≤m ≤2的所有m 都成立,求x 的取值范围。 答案:2 3 1x 271+<<+- 解析:原不等式化为 (x 2-1)m -(2x -1)<0,记f(m)= (x 2-1)m -(2x -1) (-2≤m ≤2) 根据题意有:?????<=<=0 1)-(2x -1)-2(x f(2)0 1)-(2x -1)--2(x f(-2)2 2,即:?????<->+01-2x 2x 03-2x 2x 22 解之得x 的取值范围为2 3 1x 271+<<+- 【巩固型】 1若函数()ln f x kx x =-在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是 (A )(],2-∞- (B )(],1-∞- (C )[)2,+∞ (D )[)1,+∞ 答案D 解析:因为)(x f 在),1(+∞上递增,0)(≥'∴x f 恒成立,x kx x f ln )(-= ,01 )(≥- ='∴x k x f ,即x k 1 1> ≥,所以),1[+∞∈k 。 2在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大是 。 答案: 11()2e e + 解析:00 0000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+,00000000011 [(1)]()22 x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+- 00'01 ()(1)2 x x t e e x -=+-,所以,t 在(0,1)上单调增,在(1,)+∞单调减,max 11()2t e e =+ 【提高型】 1设()nx mx x x f ++= 23 3 1. (1)如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-,求()x f 的解析式; (2)如果()+∈<+N n m n m ,10,()x f 的单调递减区间的长度是正整数,试求m 和n 的值. 答案:x x x x f 233 1)(23 ++= (2)m=2,n=3或,5,3==n m 解析:(1)已知()nx mx x x f ++=233 1,()n mx x x f ++=∴22 ' 又()()()322322'-+-+=--=n x m x x x f x g 在2-=x 处取极值, 则()()()3022222'=?=-+-=-m m g ,又在2-=x 处取最小值-5. 则()()()25342222 =?-=-+?-+-=-n n g ,()x x x x f 233 123 ++= ∴ (2)要使()nx mx x x f ++= 23 3 1单调递减,则()022'<++=∴n mx x x f 又递减区间长度是正整数,所以()022'=++=n mx x x f 两根设做a ,b 。即有: b-a 为区间长度。又()()+∈-=-=-+= -N n m n m n m ab b a a b ,2444222 又b-a 为正整数,且m+n<10,所以m=2,n=3或,5,3==n m 符合。 2设()ln f x x =,()()()g x f x f x '=+. (1)求()g x 的单调区间和最小值;(2)讨论()g x 与1 ()g x 的大小关系; (3)求a 的取值范围,使得()()g a g x -<1 a 对任意x >0成立. 答案:(1)(1) 1.g =(3)0a e << 解析:(1)由题设知1 ()ln ,()ln f x x g x x x ==+ ,∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1, 当x ∈(0,1)时,()g x '<0,()g x 是减函数,故(0,1)是()g x 的单调减区间。 当x ∈(1,+∞)时,()g x '>0,()g x 是增函数,故(1,+∞)是()g x 的单调递增区间, 因此,x =1是()g x 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以()g x 的最小值为(1) 1.g = (2)1()ln g x x x =-+,设11()()()ln h x g x g x x x x =-=-+,则2 2 (1) ()x h x x -'=- ,当1x =时,(1)0h =, 即1()()g x g x =,当(0,1)(1,)x ∈?+∞时,()0h x '<,因此,()h x 在(0,)+∞内单调递减, 当01x <<时,()(1)0h x h >=,即1()().g x g x < (3)由(1)知()g x 的最小值为1,所以,1()()g a g x a -<,对任意0x >,成立1()1,g a a ?-< 即1,Ina <从而得0a e <<。 五、课程小结 本节课是高考中必考的知识点,而且在高考中往往有一定的难度,所以需要学生要准确的理解知识点,灵活并熟练地掌握求导公式,学会建立切线方程,特别是没有给出具体点切线方程的建立。用点线式求切线方程的步骤: 用导数求函数的单调性: (1)求函数()f x 的导函数()f x '; (2)()0f x '>,求单调递增区间; (3)()0f x '<,求单调递减区间; (4)()0f x '=,是极值点。 六、课后作业 【基础型】 1设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、,且12x x < (I )求a 的取值范围,并讨论()f x 的单调性;(II )证明:()2122 4 In f x -> 答案:102 a << 解析:(I )()2222(1)11a x x a f x x x x x ++'=+ =>-++,令2()22g x x x a =++,其对称轴为12x =-。由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为480(1)0 a g a ?=->?? -=>?,得 1 02 a << ,⑴当1(1,)x x ∈-时,()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数;⑵当12(,)x x x ∈时,()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数;⑶当2,()x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数; (II )由(I )21 (0)0,02 g a x =>∴- <<,222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2, 设()()22 1(22)1()2 h x x x x ln x x =-++>-, 则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++,⑴当1 (,0)2 x ∈-时,()0,()h x h x '>∴在 1 [,0)2 -单调递增;⑵当(0,)x ∈+∞时,()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减。 ()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时,故()22122 ()4 In f x h x -=>. 2(Ⅰ)设函数2()ln(1)2 x f x x x =+-+,证明:当x >0时,()f x >0; (Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽 得的20个号码互不相同的概率为p .证明:p <199()10<21e . 答案:如下 解析:(Ⅰ)2 22 12(2)2()0,(1)1(2)(1)(2) x x x f x x x x x x +-'=-=≥>-++++ ,(仅当0x =时()0f x '=) 故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增.当0x =时,()0f x =,故当x >0时,()f x >0. (Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,连续抽取20次,则抽得的20个 号码互不相同的概率为2010020 100A p =,要证p <(910)19<21 e . 20 1910020910010A p =<() 即证19)90(819899?? ,所以19 )90(819899?? . 即19910 p <() 再证:192910e -<( ),即证192109e >(),即证1029>19ln ,即证102 9>ln 19 由(Ⅰ)2()ln(1)2 x f x x x =+-+,当x >0时,()f x >0.令1,9x =则1 21129ln(1)ln(1)01991929 ? +- =+->+,即1029>ln 19,综上有:19 2910p e -<<()。 【巩固型】 3已知函数f (x )=e x -ln(x +m ),当m ≤2时,证明f (x )>0. 答案:如下 证明:当m ≤2,),(+∞-∈m x 时,)2ln()ln(+≤+x m x ,故只需证明当m =2时,0)(>x f . 当m =2时,函数2 1 )(+- ='x e x f x 在(-2,+∞)单调递增.又0)1(<-'f f ,0)1(>-'f , 故0)(='x f 在(-2,+∞)有唯一实根x 0,且)0,1(0-∈x .当),2(0x x -∈时,0)(<'x f f ; 当),(0+∞∈x x 时,0)(>'x f f ′,从而当x =x 0时,f (x )取得最小值. 由0)(0='x f 得2 1 00 += x e x ,00)2ln(x x -=+, 故02 )1(21 )()(02 0000>++=++= ≥x x x x x f x f . 综上,当m ≤2时,0)(>x f f (x )>0. 4已知函数b ax x x f ++=2)(,)()(d cx e x g x +=若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ,且在点P 处有相同的切线24+=x y . (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若x ≥-2时,)()(x kg x f ≤,求k 的取值范围. 答案:(1)2,2,2,4====d c b a (2)[1,e 2] 解析:(1)由已知得4)0(,2)0(,2)0(,2)0(='='==g f g f .而)()(,2)(c a cx e x g a x x f x ++='+=', 故4,2,2,2=+===c d a d b .从而2,2,2,4====d c b a . (2)由(1)知,)1(2)(,24)(2+=++=x e x g x x x f x . 设函数24)1(2)()()(2 ---+=-=x x x ke x f x kg x F x , 则)1)(2(242)2(2)(-+=--+='x x ke x x x ke x F .由题设可得0)0(≥F ,即1≥k . 令0)(='x F 得nk x 11-=,22-=x . ①若2 1e k ≤≤,则021≤<-x .从而当),2(1x x -∈时,0)(<'x F ;当),(1+∞∈x x 时,0)(>'x F .即 F (x )在(-2,x 1)单调递减,在(x 1,+∞)单调递增.故F (x )在[-2,+∞)的最小值为F (x 1). 而0)2(2422)(1112 111≥+-=---+=x x x x x x F .故当2-≥x 时,0)(≥x F ,即)()(x kg x f ≤恒成立. ②若2 e k =,则))(2(2)(22--+='e e x e x F x .从而当x >-2时,0)(>'x F ,即F (x )在(-2,+∞)单 调递增.而0)2(=-F ,故当2-≥x 时,0)(≥x f ,即f (x )≤kg (x )恒成立. ③若k >e 2,则0)(222)2(222<--=+-=---e k e ke F .从而当2-≥x 时,)()(x kg x f ≤不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e 2]. 5已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 (Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k f x x x >+-,求k 的取值范围。 答案:(1)1a =,1b =(2)0k ≤ 解析:(Ⅰ)221 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+, 由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1) (1)1,1'(1),2f f =???=-??即1, 1,22 b a b =?? ?-=-??解得1a =,1b =。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1f ()1x x x x =++,所以22 ln 1(1)(1) ()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >,则22 (1)(1)2'()k x x h x x -++=。 (i)设0k ≤,由22 2 (1)(1)'()k x x h x x +--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h(x)递减。而(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得 21 ()01h x x >-;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0,可得2 11x - h (x )>0 从而当x>0,且x ≠1时,f (x )-( 1ln -x x +x k )>0,即f (x )>1ln -x x +x k . (ii )设0 (1)(1)2k x x -++=2(1)21k x x k -++-的图像开口向下,且 244(1)0k ?=-->,对称轴x= 111k >-. 当x ∈(1,k -11)时,(k-1)(x 2 +1)+2x>0,故' h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈(1, k -11)时,h (x )>0,可得2 11x -h (x )<0,与题设矛盾。 (iii )设k ≥1.此时2 12x x +≥,2 (1)(1)20k x x -++>?' h (x )>0,而h (1)=0,故当x ∈(1, +∞)时,h (x )>0,可得2 11 x - h (x )<0,与题设矛盾。 【提高型】 6已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明:曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点; (Ⅱ)若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值,,求a 的取值范围。 答案:5 (,21)2 --- 解析:(Ⅰ) 2()36(36)f x x ax a '=++-,(0)36f a '=-,又(0)124f a =- 曲线()0y f x x ==在的切线方程是:(124)(36)y a a x --=-,在上式中令2x =,得2y = 所以曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点; (Ⅱ)由()0f x '=得2 2120x ax a +--=,(i )当2121a --≤≤ -时,()f x 没有极小值; (ii)当21a > -或21a <--时,由()0f x '=得221221,21x a a a x a a a =--+-=-++- 故02x x =。由题设知21213a a a <-++-<,当21a > -时,不等式21213a a a <-++-<无解; 当21a <--时,解不等式21213a a a <-++-<得5 212 a -<<-- 综合(i)(ii)得a 的取值范围是5(,21)2 ---。 7已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. (Ⅰ)若2 '()1xf x x ax ≤++,求a 的取值范围;(Ⅱ)证明:(1)()0x f x -≥ . 答案:[)1,-+∞. 解析:11 ()ln 1ln x f x x x x λ +'= +-=+,()ln 1xf x x x '=+,题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤.令()ln g x x x =-,则1()1g x x '=-,当01x <<,' ()0g x >;当1≥x 时,0)(≤'x g ,1x =是()g x 的 最大值点,1)1()(-=≤g x g ,综上,a 的取值范围是[)1,-+∞. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 1)1()(-=≤g x g 0 1ln <+-x x .当 1 0< ()(1)l n 1l n f x x x x x x x x =+-+=+-+≤;当1≥x 时, ()ln (ln 1)f x x x x x =+-+ 1ln (ln 1)x x x x =++-11 ln (ln 1)x x x x =--+0≥,所以0)()1(≥-x f x . 8设函数()1x f x e -=-. (Ⅰ)证明:当1->x 时,()1x f x x ≥+;(Ⅱ)设当0x ≥时,()1 x f x ax ≤+,求a 的取值范围. 答案:?? ? ???210, 解析:(Ⅰ)当1->x 时,1 )(+≥ x x x f 当且仅当,令1x g x e x =--(),则 1.x g x e =-, ()当0≥x 时0g x '≥(),)(x g 在[)∞+.0是增函数:当0≤x 时()0g x '≤,)(x g 在(]0.∞-是减函数,于是)(x g 在 0=x 处达到最小值,因而当R x ∈时,)0()(g x g ≥,即1,x e x ≥+所以当1->x 时,.1 )(+≥ x x x f (Ⅱ)有题设0≥x ,此时0)(≥x f ,当0则,01<+ax x 1 )(+≤ ax x x f 不成立; 当0≥a 时,令x x f x axf x h -+=)()()(,则1 )(+≤ ax x x f 当且仅当.0)(≤x h 1)()()()(-'+'+='x f x f ax x af x h ).()()(x f ax x axf x af -++= (i )当2 1 0≤ ≤a 时,由(Ⅰ)知)()1(x f x x +≤()()()(1)()h x a f x a x f x a x f x f x '≤-++- 0)(12≤-=x f a )(.)(x h 在[)∞+.0是减函数,0)0()(=≤h x h ,即.1 )(+≤ ax x x f (ⅱ)当2 1 a > 时,由(ⅰ)知)(x f x ≥,()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-)()()()(x f x af x axf x af -+-≥ )()12(x f ax a --=.当a a x 120-<<时,0)(>'x h ,所以0)0()(=>h x h ,即1 )(+>ax x x f , 综上,a 的取值范围是?? ? ???210,。