2
.
7．已知实数x ，y 满足????
?
y ≤x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y －1的最大值为( )
A ．5
B ．4 C.1
2
D ．－3
解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ????
12，12，z ＝2x －y －1可变形为：y ＝2x －z －1，表示斜率为2，在y 轴上截距为－z －1的一组平行线，将直线l ：z ＝2x －y －1进行平移，当直线经过点B 时，目标函数z 达到最大值，
所以z max ＝2×2－(－1)－1＝4，故选B.
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )
A. 2
B. 3
C.32
D ．2
解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°. 又由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，
∴sin A ＝a sin B
b ＝
1×323
＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝3
2
.
9．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15.若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30 B ．45 C ．90
D ．186
解析：选C 依题意得????? a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝15，∴?????
a 1＝3，
d ＝3，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)·3＝3n ， ∴b n ＝a 2n ＝6n ，
∴{b n }的前5项和为S 5＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝6＋12＋18＋24＋30＝90. 10．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝4
3
，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．钝角三角形
解析：选A 由正弦定理得
cos A cos B ＝b a ＝sin B
sin A
，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.又b a ＝4
3，所以a ≠b ，故A ＝B 舍
去，所以A ＋B ＝π
2
，即△ABC 为直角三角形．
11．已知a >b ，则不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1
a 中不能恒成立的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D 对于①，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，a －b >0，但a ＋b 的符号无法确定；
对于②，1a －1b ＝b －a
ab ，b －a <0，但ab 的符号无法确定；
对于③，1a －b －1
a ＝
b (a －b )a ，a －b >0，但b a 的符号不确定．
所以这三个不等式都不能恒成立．
12．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1
b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )
A ．0
B ．4
C ．－4
D ．－2
解析：选C 由1a ＋1
b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，
而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4，
所以－(a ＋b )2
ab ≤－4，
因此要使k ≥－(a ＋b )2
ab
恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n ，则a 16＝________.
解析：由题意可知a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝1
2
，a 5＝－1，
a 6＝2，a 7＝1
2，…，所以数列{a n }是以3为周期的周期数列．又16＝3×5＋1，所以a 16
＝a 1＝12
.
答案：1
2
14．已知log 2(x ＋y )＝log 2x ＋log 2y ，则xy 的取值范围是________． 解析：由已知得x ＋y ＝xy ，又x >0，y >0， ∴xy ＝x ＋y ≥2xy ，∴xy ≥4. 答案：[4，＋∞)
15．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________． 解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )
＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，易知只需?
????
f (－1)＝x 2
－5x ＋6>0，
f (1)＝x 2
－3x ＋2>0，解得x ＜1或x ＞3.
所以x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)
16．某房地产开发公司用800万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，已知第一层每平方米的建筑费用为600元，楼房每升高一层，每平方米的建筑费用增加40元．若把楼房建成n 层后，每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，则n ＝________.
解析：易知每层的建筑费用构成等差数列，设为{a n }，则n 层的建筑总费用为S n ＝600×103
＋(600＋40)×103＋…＋[600＋40(n －1)]×103＝(2n 2＋58n )×104，
所以每平方米的平均综合费用为
800×104＋(2n 2＋58n )×1041 000n ＝10????2n ＋800
n ＋58≥ 102
2n ×800n ＋58＝1 380元，当且仅当2n ＝800
n ，即n ＝20时等号成立．
答案：20
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 2－4ax －3. (1)当a ＝－1时，求关于x 的不等式f (x )>0的解集；
(2)若对于任意的x ∈R ，均有不等式f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，不等式ax 2－4ax －3>0，即－x 2＋4x －3>0. 可化为x 2－4x ＋3<0，即(x －1)(x －3)<0，解得10的解集为(1,3)．
(2)①当a ＝0时，不等式ax 2－4ax －3≤0恒成立； ②当a ≠0时，要使得不等式ax 2－4ax －3≤0恒成立；
只需????? a <0，Δ≤0，即?????
a <0，(－4a )2
－4a (－3)≤0，
解得?????
a <0，－34
≤a ≤0，即－34
≤a <0，
综上所述，a 的取值范围为???
?－3
4，0. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．
(1)若b ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积；
(2)若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，试判断△ABC 的形状．
解：因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C .又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π
3.
(1)法一：因为b ＝23，c ＝2，所以由正弦定理得b sin B ＝c
sin C ，即b sin C ＝c sin B ，即
23sin C ＝2×
32，得sin C ＝12
. 因为b >c ，所以B >C ，即C 为锐角，所以C ＝π6，从而A ＝π
2.
所以S △ABC ＝1
2
bc ＝2 3.
法二：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－2a －8＝0，得a ＝4. 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×3
2
＝2 3.
(2)因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A ·sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ；由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 所以ac ＝a 2＋c 2－ac ，即(a －c )2＝0，即a ＝c . 又因为B ＝π
3
，所以△ABC 为等边三角形．
19．(本小题满分12分)货轮在海上自B 点以40 km/h 的速度沿方向角(从指北方向顺时针转到目标方向线的旋转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方向角为110°，航行半小时后，船到达C 点，观测灯塔A 的方向角是65°，求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离．
解：在△ABC 中，BC ＝40×0.5＝20 km ， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，
∠ACB ＝65°＋(180°－140°)＝105°，∠BAC ＝45°. 根据正弦定理，得AC sin ∠ABC ＝BC
sin ∠BAC ，
AC ＝BC ·sin ∠ABC sin ∠BAC ＝20·sin 30°sin 45°＝10 2.
故货轮到达C 点时与灯塔的距离为10 2 km.
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋a 2x ＋2b －a 3，当x ∈(－2,6)时，其值为正，而当x ∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负．
(1)求实数a ，b 的值及函数f (x )的解析式；
(2)设F (x )＝－k
4f (x )＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)，问k 取何值时，函数F (x )的值恒为负值？
解：(1)由题意可知－2和6是方程f (x )＝0的两根，
∴???
－a ＝－2＋6＝4，2b －a
3
a ＝－2×6＝－12.
∴?
????
a ＝－4，
b ＝－8.∴f (x )＝－4x 2＋16x ＋48. (2)F (x )＝－k
4(－4x 2＋16x ＋48)＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)＝kx 2＋4x －2.
当k ＝0时，F (x )＝4x －2不恒为负值； 当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值，
则有?
????
k <0，16＋8k <0，解得k <－2.
21．(本小题满分12分)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 2＋S 2＝31，a n ＋1＝3a n －2n (n ∈N *)．
(1)求证：{a n －2n }为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)由a n ＋1＝3a n －2n 可得a n ＋1－2n ＋1＝3a n －2n －2n ＋1＝3a n －3·2n ＝3(a n －2n )，即a n ＋1－2n ＋1
a n －2n
＝3.
又a 2＝3a 1－2，则S 2＝a 1＋a 2＝4a 1－2，
得a 2＋S 2＝7a 1－4＝31，得a 1＝5，∴a 1－21＝3≠0，且a n ＋1－2n ＋1
a n －2n ＝3.
故{a n －2n }为等比数列．
(2)由(1)可知a n －2n ＝3n －1(a 1－21)＝3n ，故a n ＝2n ＋3n ， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＋3(1－3n )1－3
＝2n ＋1
＋3n ＋12－7
2.
22．(本小题满分12分)已知定义域为[0,1]的函数f (x )是增函数，且f (1)＝1.
(1)若对于任意x ∈[0,1]，总有4f 2(x )－4(2－a )·f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围； (2)证明：f ?
???122＋223
＋…＋n 2n ＋1<1. 解：(1)f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )≤f (1)＝1，故1－f (x )≥0， 当f (x )＝1时，不等式化为0·a ＋1≥0，显然a ∈R ； 当f (x )<1时，不等式化为
a ≤4f 2(x )－8f (x )＋5
4－4f (x )对于x ∈[0,1]恒成立．
设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )
＝1－f (x )＋1
4[1－f (x )]
≥1.
当且仅当f (x )＝1
2时取等号，∴y min ＝1，从而a ≤1，
综上所述，a ∈(－∞，1]． (2)令T n ＝122＋2
23＋…＋n 2n ＋1，①
则12T n ＝123＋2
24＋…＋n －12n ＋1＋n 2n ＋
2，② ①－②化简得，T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－1
2n －n 2n ＋1<1，
又由①知T n >0，∵f (x )在[0,1]上是增函数，
∴f ? ??
??122＋223＋…＋n 2n ＋1
