C
v ?
A
B
C r
v 1
v 1
v 1
ω?(a)
C
C
ωC
v ωO
(a)
第10章 动能定理及其应用
10-1 计算图示各系统的动能:
1.质量为m ,半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时,若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示,B 点的速度为v B ,θ = 45o(图a )。
2.图示质量为m 1的均质杆OA ,一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心,另一端放在水平面上,圆盘在地面上作纯滚动,圆心速度为v (图b )。
3.质量为m 的均质细圆环半径为R ,其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上
作纯滚动,图示瞬时角速度为ω(图c )。
解:
1.2
22222163)2(2121)2(212121B
B B
C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+=
ω 2.2
22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++=
3.2
2222222)2(2
12121ωωωωmR R m mR mR T =++=
10-2 图示滑块A 重力为1W ,可在滑道内滑动,与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ,杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时,试求系统的动能。
解:图(a )
B A T T T +=
)2121(21222211ωC C J v g W v g W ++=
21
221121212211122]cos 22)2
[(22ω?ωω??+?++++=l g
W l l v l v l g W v g W
]cos 3
1
)[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++=
10-3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ,角速度为ω,齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。
解:
C OC T T T +=
2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r
r r g F r g F r g F ωωω++=
习题10-2图
习题10-3图
B
v A C
θ
(a)
v
O
ω
A
习题10-1图
(b)
(c)
A
)92(3P Q 22F F g
r +=ω 10-4 图示一重物A 质量为m 1,当其下降时,借一无重且不可伸长的绳索使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。滑轮B 的半径为R ,与半径为r 的滚子C 固结,两者总质量为m 2,其对O 轴的回转半径为ρ。试求重物A 的加速度。
解: 将滚子C 、滑轮D 、物块A 所组成的刚体系统作为研究对象,系统具有理
设系统在物块下降任意距离s 时的动能
动能:2
2221212121C
C C A J v m v m T ω++=
其中r R v A C -=ω,r
R r v r v A C C -==ω
,2
2ρm J C =
22
22212
2222221])
([21])(1)([21A A v r R r m m v r R m r R r m m T -++=-+-+=ρρ 力作的功:gs m W 1=
应用动能定理:gs m v r R r m m A 12
2
222
1])([21=-++ρ 将上式对时间求导数:s g m a v r R r m m A A &12
2
221])([=-++ρ
求得物块的加速度为:)
()()(222212
1ρ++--=r m r R m r R g m a A
10-5 图示机构中,均质杆AB 长为l ,质量为2m ,两端分别与质量均为m 的滑块铰接,两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k ,且当θ = 0?时,弹簧为原长。若机构在θ = 60?时无初速开始运动,试求当杆AB 处于水平位置时的角速度和角加速度。
解:应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。
动能:2
222
12121AB O B A J mv mv T ω++=
其中:AB A l v θωsin =;AB B l v θωcos =;223
1
ml J O =
2
222226
53121AB
AB AB ml ml ml T ωωω=+= 外力的功:])cos ()60cos [(2
)sin 60(sin 22)sin 60(sin 22θθθl l l l k l mg mgl W --?-+-?+-?=
T = W ;2
265AB ml ω])cos 1(4
1[2)sin 23(222θθ--+-=l k mgl (1)
当0=θ时:8
32
kl mgl W +=
2265AB ml ω832kl mgl +=;ml
kl mg m k g l AB 203324203536+=
+=ω 习题10-4图
习题10-5图
习题10-6图
对式(1)求导:AB AB ml αω23
5θθθθθ&&sin )cos 1(22cos 22---=l k mgl ; 其中:AB ωθ=-&;当0=θ时:l
g AB 56=α
10-6 图a 与图b 分别为圆盘与圆环,二者质量均为m ,半径均为r ,均置于距地面为h 的斜面上,
斜面倾角为θ,盘与环都从时间0=t 开始,在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面?
解:对图(a )应用动能定理:
θsin 4321mgs mv C =;求导后有θsin 3
2
1g a C = 设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d ,则2
112
1t a d C =;θsin 3211g d a d t C =
= 对图(b )应用动能定理:θsin 2
2mgs mv C =;求导后有θsin 2
1
2g a C =
2
2
22
1t a d C =;θ
sin 422
2g d
a d
t C ==
因为t 1 < t 2,所以圆盘(a )先到达地面。
10-7 两匀质杆AC 和BC 质量均为m ,长度均为l ,在C 点由光滑铰链相连接,A 、B 端放置在光滑水平面上,如图所示。杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动,试求铰链C 落到地面时的速度。
解:设铰链C 刚与地面相碰时速度C v v =。根据运动学分析A '点及B '点分别为C A ''及C B ''杆的速度瞬心,如图(a )
ωω===''l v
l v C C A ωω==='
'l
v
l v C C B 动能定理:
0231
212222-??=??ωml h mg
231
mv mgh =
gh v 3=
10-8 质量为15kg 的细杆可绕轴转动,杆端A 连接刚度系数为k =50N/m 的弹簧。弹簧另一端固结于B 点,弹簧原长1.5m 。试求杆从水平位置以初角速度0ω=0.1rad/s 落到图示位置时的角速度。
解:2021)31(21ωml T =, 222)3
1
(21ωml T = ])5.112()5.12[(2
232212---+?
=k
mg W
习题10-7图
习题10-8图
A 'C A
''ωC
'C B
''ωB
C
v
(a)
习题10-9图
习题10-10图
60
(a) )733(2
3
-+=
k mg 1212W T T =-
)733(2
3)(612022-+=-k mg ml ωω 2
02
)
733(633ωω+-+=
ml
k mg
93.12
15)
733(5068.915332
=?-?+??=
rad/s
10-9 在图示机构中,已知:均质圆盘的质量为m 、半径为r ,可沿水平面作纯滚动。刚性系数为k 的弹簧一端固定于B ,另一端与圆盘中心O 相连。运动开始时,弹簧处于原长,此时圆盘角速度为ω,试求:(1)圆盘向右运动到达最右位置时,弹簧的伸长量;(2)圆盘到达最右位置时的角加速度α及圆
盘与水平面间的摩擦力。
解:(1)设圆盘到达最右位置时,弹簧的伸长量为δ,则22143ωmr T =
;02=T ;2122
1
δk W -= 1212W T T =-;=-2243ωmr 22
1
δk -;ωδr k m 23=
(2)如图(a ):r F J O A =α;Fr J O =α
ωα222323r k m k mr =;m k
32ωα= A F mr =α2
1
;6km r F A ω=
10-10 在图示机构中,鼓轮B 质量为m ,内、外半径分别为r 和R ,对转轴O 的回转半径为ρ
,其上绕有细绳,一端吊一质量为m 的物块A ,另一端与质量为M 、半径为r 的均质圆轮C 相
连,斜面倾角为?,绳的倾斜段与斜面平行。试求:(1)鼓轮的角加速度α;(2)斜面的摩擦力及连接物块A 的绳子的张力(表示为α的函数)。
解:(1)应用动能定理:T = W
2
2222
1212121C
C C O O A J Mv J mv T ωω+++= 其中:O A R v ω=;O C r v ω=;O C ωω=;2ρm J O =;22
1Mr J C =2
2222)2
1(21O
Mr Mr m mR T ωρ+++= 设物块A 上升距离s A 时:A C mgs Mgs W -=?sin 对动能定理的表达式求导:
A C O O mgv Mgv Mr R m -=++?αωρ
sin ]2
3
)([222
2
223)(2)sin (2Mr R
m mR Mr g C O ++-=
==ρ?ααα
(2)如图(a ):Fr J C =α;αMr F 2
1=
(a )
(a )
(b )
习题10-12图
?
.
?
r
O
s
v
g
1m B k A d
g
2m
(a)
如图(b ):mg F ma -=T ;)(T αR g m F +=
10-11 匀质圆盘的质量为1m 、半径为r ,圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O 转动,以起吊重物A ,如图所示。若重物A 的质量为2m ;弹簧刚度系数为k 。试求系统的固有频率。
解:设弹簧上OB 位于铅垂位置时为原长,则动能
22122))(21(2121r v
r m v m T +=212)4
121(v m m +=
2
222222)(2s r
kd gs m d r s k gs m W -=-=
W T =
22222
122)4121(s r
kd gs m v m m -=+
t d d
:v s r
kd g m va m m )()21(22212-=+
s r
kd g m a m m 22
212)21(-=+
g m s r
kd
s m m 222
12)21(=++&& 1
221222
2
1)
2(m m g m s m m r kd s +=
++&& )
2(2122
22
n m m r kd +=ω 2
1n 22m m k
r
d +=
ω
10-12 图示圆盘质量为m 、半径为r ,在中心处与两根水平放置的弹簧固结,且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为0k 。试求系统作微振动的固有频率。
解:设静止时弹簧的原长,则
动能20220))(21
(212
1r v mr mv T +=204
3mv =
弹力功:22
2x k
W ??-=
22
43kx mv -= t d d
: 0022
3kxv a mv -= 022
3
0=+kx x mv && 034=+x m
k x && m
k 34n =
ω
10-13 测量机器功率的功率计,由胶带ACDB 和一杠杆BOF 组成,如图所示。胶带具有铅垂的两段AC 和DB ,并套住受试验机器和滑轮E 的下半部,杠杆则以刀口搁在支点O 上,借升高或降低支点O,可以变更胶带的拉力,同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。在F处挂一重锤P,杠杆BF 即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m =3kg ,L=500mm ,试求发动机的转速n =240r/min 时发动机的功率。
习题10-11图
习题10-13图
(b)
解:设发动机的角速度为ω。则
π860
240
π260π2=?==
n ω(rad/s ) 又 const =ω,发动机作等速转动。 滑轮E 的角加速度0=α。
滑轮E 受力分析如图(a )。 由 ∑=0E M
得 0)(21=--R T T M
R T T M )(21-= (1) 取杠杆为研究对象,受力如图(b )。 由 0=∑O M 得
0)(21='-'-R T T mgl
R T T mgl )(21'-'= (2) 且 11T T =',22T T =' (3) 综合(1)、(2)、(3)可得:
mgl M =
∴ 发动机的功率
π
850.08.93???===ω
ωmgl M P
=0.369(kW)
10-14 在图示机构中,物体A 质量为m 1,放在光滑水平面上。均质圆盘C 、B 质量均为m ,半径均为R ,物块D 质量为m 2。不计绳的质量,设绳与滑轮之间无相对滑动,绳的AE 段与水平面平行,系统由静止开始释放。试求物体D 的加速度以及BC 段绳的张力。
解:(1)设物块D 下降距离s 时,速度为v D ,则系统动能为:
2
122222
12121)(21A
B B
C C
D v m J J v m m T ++++=ωω 其中:R v D
C =
ω;R v D B 2=ω;D A v v 2=;22
1mR J J B C == 2
21212)427(21)4221(21D
D v m m m v m m m m m T ++=++++= 重力的功为:gs m m W )(2+=; 应用动能定理W T =并求导:
D D a v m m m )42
7
(21++D gv m m )(2+= 2
12287)(2m m m g m m a D +++=
(2)如图(a ),应用相对速度瞬心的动量矩定理:
R F gR m m R a J BC D O
2)(2-+=;其中:2222
3
R m mR J O += ?
+-+=)2
1
43()(2122m m g m m F BC 212287)(2m m m g m m +++ )
287(2))(23()287)((2122212m m m g m m
m m g m m m m m ++++-+++=
2112287)2)((2m m m g m m m m
++++=
习题10-14图
(a )
F BC
F T
C B
A
D K
E H
习题10-15图
习题10-16图 αR
O
A
g
m T F 'B
T
F R C
g
m C
C
ωC
a O
ωO
αh
(a)
10-15 图示机构中,物块A 、B 质量均为m ,均质圆盘C 、D 质量均为2m ,半径均为R 。C 轮铰接于长为3R 的无重悬臂梁CK 上,D 为动滑轮,绳与轮之间无相对滑动。系统由静止开始运动,试求(1)物块A 上升的加速度;(2)HE 段绳的张力;(3)固定端K 处的约束力。
解:(1)设物块A 上升距离s 时,速度为v A ,则系统动能为:
22
22212121)2(21A
C C
D D D mv J J v m m T ++++=ωω 其中:R v
A C =ω;R
v A D 2=ω;2A D v v =;2mR J J D C ==
22
2
3)424(21A
A mv v m m m m m T =++++= 重力的功为:mgs mgs s g m m W 2
1
2)2(=-+=;
应用动能定理W T =并求导:A A A mgv a mv 213=;g a A 61
=
(2)如图(a ),应用动量矩定理:R mg F R
a
J HE A C )(-=
其中:2
22222
1mR mR mR J C =+=
mg mg ma F A HE 3
4
2=+=
应用动量定理:HE C A F mg F ma --=3;mg F C 5.4=
(3)如图(b ),应用平衡方程:0=Kx F
∑=0y
F ;0='-C
Ky
F F ;mg F Ky
5.4=
∑=0)(F K M ;03=?'-R F M C K ;mgR M K
5.13=
10-16 两个相同的滑轮,视为匀质圆盘,质量均为m ,半径均为R ,用绳缠绕连接,如图所示。如
系统由静止开始运动,试求动滑轮质心C 的速度v 与下降距离h 的关系,并确定AB 段绳子的张力。
解:1、先对O 、C 轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理:
对O 轮:R F J O O T =α (1) 对C 轮:R F J C C T '=α (2)
C O J J =, T
T F F '= 由(1)、(2): ααα==C O
ωωω==C O (3)
2、再对整体用动能定理
1212W T T =-
mgh mv J J C C C O O =++2222
12121ωω (4) r e v v v +=C (动系为绳AB )
ωωωR R R v v v C O C 2r e =+=+=
(5) (3)、(5)代入(4)得:
mgh mR =222
5
ω (6)
gh R
gh R 1051
521==
ω (6)式两边对t 求导:
C
(a )
m g
2m g HE
a A
D
F C C
(b )
M K
F Kx K C ′
F Ky
C mgv mR =ωα25
(5)代入,得:R
g 52=
α (5)式对t 求导,得:5
42g R a C =
=α 轮心、质心运动定理:T F mg ma C -=
绳中张力:mg F 5
1
T =
绪论单元测试 1 【多选题】(2分) 下面哪些运动属于机械运动? A. 发热 B. 转动 C. 平衡 D. 变形 2 【多选题】(2分) 理论力学的内容包括:。 A. 动力学 B. 基本变形 C. 运动学 D. 静力学
3 【单选题】(2分) 理论力学的研究对象是:。 A. 数学模型 B. 力学知识 C. 力学定理 D. 力学模型 4 【多选题】(2分) 矢量力学方法(牛顿-欧拉力学)的特点是:。 A. 以变分原理为基础 B. 以牛顿定律为基础 C.
通过力的功(虚功)表达力的作用 D. 通过力的大小、方向和力矩表达力的作用 5 【多选题】(2分) 学习理论力学应注意做到:。 A. 准确地理解基本概念 B. 理论联系实际 C. 熟悉基本定理与公式,并能在正确条件下灵活应用 D. 学会一些处理力学问题的基本方法 第一章测试 1 【单选题】(2分)
如图所示,带有不平行的两个导槽的矩形平板上作用一力偶M,今在槽内插入两个固连于地面的销钉,若不计摩擦,则。 A. 板不可能保持平衡状态 B. 板必保持平衡状态 C. 条件不够,无法判断板平衡与否 D. 在矩M较小时,板可保持平衡 2 【单选题】(2分)
A. 合力 B. 力螺旋 C. 合力偶 3 【单选题】(2分) 关于力系与其平衡方程式,下列的表述中正确的是: A. 在求解空间力系的平衡问题时,最多只能列出三个力矩平衡方程式。 B. 在平面力系的平衡方程式的基本形式中,两个投影轴必须相互垂直。 C. 平面一般力系的平衡方程式可以是三个力矩方程,也可以是三个投影方程。
D. 任何空间力系都具有六个独立的平衡方程式。 E. 平面力系如果平衡,则该力系在任意选取的投影轴上投影的代数和必为零。 4 【单选题】(2分)
C (a-2) D R (a-3) (b-1) D R 第1篇 工程静力学基础 第1章 受力分析概述 1-1 图a 、b 所示,Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。试将同一力F 分别对两坐标系进行分解和投影,并比较分力与力的投影。 习题1-1图 解:(a )图(c ):11 s i n c o s j i F ααF F += 分力:11 cos i F αF x = , 11 s i n j F αF y = 投影:αcos 1F F x = , αs i n 1F F y = 讨论:?= 90°时,投影与分力的模相等;分力是矢量,投影是代数量。 (b )图(d ): 分力:22)cot sin cos (i F ?ααF F x -= ,22sin sin j F ? α F y = 投影:αcos 2F F x = , )cos(2α?-=F F y 讨论:?≠90°时,投影与分量的模不等。 1-2 试画出图a 和b 习题1-2图 比较:图(a-1)与图(b-1)不同,因两者之F R D 值大小也不同。 (c ) 2 2 x (d )
1-3 试画出图示各物体的受力图。 习题1-3图 B 或(a-2) B (a-1) (b-1) F (c-1) 或(b-2) (e-1)
F (a) 1- 4 图a 所示为三角架结构。荷载F 1作用在铰B 上。杆AB 不计自重,杆BC 自重为W 。试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图,并加以讨论。 习题1-4 图 1- 5 图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆D 支撑,在构件C 点作用有一水平力F 。试问如果将力F 沿其作用线移至D 或E (如图示),是否会改为销钉A 的受力状况。 解:由受力图1-5a ,1- 5b 和1-5c 分析可知,F 从C 移至E ,A 端受力不变,这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移;而F 从C 移至D ,则A 端受力改变,因为HG 与ABC 为不同的刚体。 1 (f-1) 'A (f-2) 1 O (f-3) F F'F 1 (d-2) F y B 21 (c-1) F A B 1 B F Dx y (b-2) 1 (b-3) F y B 2 A A B 1 B F 习题1-5图
C v ? A B C r v 1 v 1 v 1 ω?(a) C C ωC v ωO (a) 第10章 动能定理及其应用 10-1 计算图示各系统的动能: 1.质量为m ,半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时,若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示,B 点的速度为v B ,= 45o(图a )。 2.图示质量为m 1的均质杆OA ,一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心,另一端放在水平面上,圆盘在地面上作纯滚动,圆心速度为v (图b )。 3.质量为m 的均质细圆环半径为R ,其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上作 纯滚动,图示瞬时角速度为 (图c )。 解: 1.2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2.2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3.2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10-2 图示滑块A 重力为1W ,可在滑道内滑动,与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ,杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时,试求系统的动能。 解:图(a ) B A T T T += )2 121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10-3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ,角速度为ω,齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解: C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10-2图 习题10-3图 B v A C θ (a) v O ω A 习题10-1图 (b) (c) A
第一章静力学基础 一、是非题 1.力有两种作用效果,即力可以使物体的运动状态发生变化,也可以使物体发生变形。 () 2.在理论力学中只研究力的外效应。() 3.两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。()4.作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是:两个力的作用线相同,大小相等,方向相反。()5.作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。() 6.三力平衡定理指出:三力汇交于一点,则这三个力必然互相平衡。() 7.平面汇交力系平衡时,力多边形各力应首尾相接,但在作图时力的顺序可以不同。 ()8.约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。() 二、选择题 1.若作用在A点的两个大小不等的力 1和2,沿同一直线但方向相反。则 其合力可以表示为。 ①1-2; ②2-1; ③1+2; 2.作用在一个刚体上的两个力A、B,满足A=-B的条件,则该二力可能是 。 ①作用力和反作用力或一对平衡的力;②一对平衡的力或一个力偶。 ③一对平衡的力或一个力和一个力偶;④作用力和反作用力或一个力偶。 3.三力平衡定理是。 ①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点; ②共面三力若平衡,必汇交于一点; ③三力汇交于一点,则这三个力必互相平衡。 4.已知F 1、F 2、F 3、F4为作用于刚体上的平面共点力系,其力矢 关系如图所示为平行四边形,由此。 ①力系可合成为一个力偶; ②力系可合成为一个力; ③力系简化为一个力和一个力偶; ④力系的合力为零,力系平衡。 5.在下述原理、法则、定理中,只适用于刚体的有。 ①二力平衡原理;②力的平行四边形法则; ③加减平衡力系原理;④力的可传性原理; ⑤作用与反作用定理。 三、填空题
第6章 刚体的平面运动分析 6-1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动,沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动,当运动开始时,角速度0ω= 0,转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解:?c o s )(r R x A += (1) ?sin )(r R y A += (2) α为常数,当t = 0时,0ω=0?= 0 22 1t α?= (3) 起始位置,P 与P 0重合,即起始位置AP 水平,记θ=∠OAP ,则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚,故有? ? =CP CP 0,即 θ?r R = ?θr R = , ??r r R A += (4) 将(3)代入(1)、(2)、(4)得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为: ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6-2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处,一端A 以匀速v 0沿水平向右运动,如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解:杆AB 作平面运动,点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ,点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6-3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时,轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系?设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解:R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6-4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动,杆BC 一端与滚子铰接,另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时,滚子的角速度ω=12 rad/s ,θ=30?,?=60?,BC =270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 习题6-2图 习题6-2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
第五章 习题5-2.重为G的物体放在倾角为α的斜面上,摩擦系数为f;问要拉动物体所需拉力T的最小值是多少,这时的角θ多大? 解:(1) 研究重物,受力分析(支承面约束用全反力R表示),画受力图: (2) 由力三角形得 (3) 当T与R垂直时,T取得最小值,此时有:
习题5-6.欲转动一放在V形槽中的钢棒料,需作用一矩M=15N.m的力偶,已知棒料重400N,直径为25cm;求棒料与槽间的摩擦系数f。 解:(1) 研究钢棒料,受力分析(支承面约束用全反力R表示),画受力图: (2) 由力三角形得: (3) 列平衡方程: 由(2)、(3)得: (4) 求摩擦系数:
习题5-7.尖劈顶重装置如图所示,尖劈A的顶角为α,在B块上受重物Q的作用,A、B块间的摩擦系数为f(其他有滚珠处表示光滑);求:(1) 顶起重物所需力P之值;(2)取支力P后能保证自锁的顶角α之 值。 解:(1) 研究整体,受力分析,画受力图: 列平衡方程 (2) 研究尖劈A,受力分析,画受力图 由力三角形得
(3) 撤去P力后要保持自锁,则全反力与N A成一对平衡力 由图知 习题5-8.图示为轧机的两个轧辊,其直径为d=500mm,辊面间开度为a=5mm,两轧辊的转向相反,已知烧红的钢板与轧辊间的摩擦系数为f=0.1;试 问能轧制的钢板厚度b是多少? 解:(1) 研究钢块,处于临界平衡时,画受力图: (2) 由图示几何关系:
习题5-10.攀登电线杆用的脚套钩如图所示,设电线杆的直径d=30cm,A、B间的垂直距离b=10cm,若套钩与电线杆间的摩擦系数 f=0.5;试问踏 脚处至电线杆间的距离l为多少才能保证安全操作? 解:(1) 研究脚套钩,受力分析(A、B处用全反力表示),画受力图: (2) 由图示几何关系: 习题5-12.梯子重G、长为l,上端靠在光滑的墙上,底端与水平面间的摩擦系数为f;求:(1)已知梯子倾角α,为使梯子保持静止,问重为P 的人的活动范围多大?(2)倾角α多大时,不论人在什么位置梯 子都保持静止。 解:(1) 研究AB杆,受力分析(A处约束用全反力表示),画受力图:
6章 刚体的平面运动分析 6-1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动,沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动,当运动开始时,角速度0ω= 0,转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解:?cos )(r R x A += (1) ?sin )(r R y A += (2) α为常数,当t = 0时,0ω=0?= 0 22 1t α?= (3) 起始位置,P 与P 0重合,即起始位置AP 水平,记θ=∠OAP ,则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚,故有? ? =CP CP 0,即 θ?r R = ?θr R = , ??r r R A += (4) 将(3)代入(1)、(2)、(4)得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为: ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6-2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处,一端A 以匀速v 0沿水平向右运动,如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解:杆AB 作平面运动,点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ,点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6-3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时,轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系?设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解:R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6-4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动,杆BC 一端与滚子铰接,另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时,滚子的角速度ω=12 rad/s ,θ=30?,?=60?,BC =270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6-2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6-2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
F DB CB DB F ' 习题3-3图 第3章 静力学平衡问题 3-1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。试求其中1,2,3各杆受力。 解:图(a ):045cos 23=-?F F F F 2 2 3= (拉) F 1 = F 3(拉) 045cos 232=?-F F F 2 = F (受压) 图(b ):033='=F F F 1 = 0 F 2 = F (受拉) 3-2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上,点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接,在点D 加一铅垂向下的力F ,AB 可视为铅垂,DB 可视为水平。已知α= 0.1rad.,力F = 800N 。试求绳AB 中产生的拔桩力(当α很小时,tan α≈α)。 解:0=∑y F ,F F ED =αsin αs i n F F ED = 0=∑x F ,DB ED F F =αcos F F F DB 10tan == α 由图(a )计算结果,可推出图(b )中:F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。 3-3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成,绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。桁架BC 用铰链连接于点C ,并由钢索AB 维持其平衡。重物W = 40kN 悬挂在链索上,链索绕过点B 的滑轮,并沿直线BC 引向绞盘。长度AC = BC ,不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。 (b-1) 习题3-1图 (a-1) (a-2) '3 (b-2) 习题3-2图 F
习题7-2图 习题7-1图 s F 第3篇 工程动力学基础 第7章 质点动力学 7-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时,具有平行于斜面方向的速度40.2km/h ,忽略 摩擦,并假设他一经接触跳台后,牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。 解:接触跳台时 17 113600 102403 0..v =?= m/s 设运动员在斜面上无机械能损失 768 8442892171122 02 0....gh v v =??-= -= m/s 141 8.cos v v x ==θm/s, 256 3.s i n v v y ==θm/s 541 022 1.g v h y == m 33201.g v t y == s 2 2 0121)(gt h h = + 780.08 .9) 44.2541.0(2) (2012=+= += g h h t s 112.121=+=t t t s 05 911211418...t v x x =?==m 7-2 图示消防人员为了扑灭高21m 仓库屋顶平台上的火灾,把水龙头置于离仓库墙基15m 、距地面高1m 处,如图所示。水柱的初速度250=υm/s ,若欲使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台,且不计空气阻力,试问水龙头的仰角α应为多少?水柱射到屋顶平台上的水平距离s 为多少? 解:(1) α cos v t 0115= (1) 20 2 1sin 2 110=- ?gt t v α (2) (1)代入(2),得 0 1.44cos sin 375cos 5002=+-ααα α αα2 2 c o s 1c o s 3751.44cos 500-=+ 0 81.1944cos 96525cos 3906252 4 =+-αα 22497.0cos 2 =α, ?=685.61α (2) g v t αsin 02= (到最高点所经过时间) 26 .232)15cos (20=?-?=t v S αm 7-3 图示三角形物块置于光滑水平面上,并以水平等加速度a 向右运动。另一物块置于其斜面上,斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为s f ,且tan θ>s f ,开始时物块在斜面上静止,如果保持物块在斜面上不滑动,加速度a 的最大值和最小值应为多少? 习题7-1解图 θ v 0 v y O
《理论力学》课后答案 习题4-1.求图示平面力系的合成结果,长度单位为m。 解:(1) 取O点为简化中心,求平面力系的主矢: 求平面力系对O点的主矩: (2) 合成结果:平面力系的主矢为零,主矩不为零,力系的合成结果是一个合力偶,大小是260Nm,转向是逆时针。 习题4-3.求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解:(1) 平行力系对A点的矩是:
取B点为简化中心,平行力系的主矢是: 平行力系对B点的主矩是: 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B,且: 如图所示; 将R B向下平移一段距离d,使满足: 最后简化为一个力R,大小等于R B。其几何意义是:R的大小等于载荷分布的矩形面积,作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心,平行力系的主矢是: 平行力系对A点的主矩是:
向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A,且: 如图所示; 将R A向右平移一段距离d,使满足: 最后简化为一个力R,大小等于R A。其几何意义是:R的大小等于载荷分布的三角形面积,作用点通过三角形的形心。 习题4-4.求下列各梁和刚架的支座反力,长度单位为m。
解:(1) 研究AB杆,受力分析,画受力图: 列平衡方程: 解方程组: 反力的实际方向如图示。 校核:
结果正确。 (2) 研究AB杆,受力分析,将线性分布的载荷简化成一个集中力,画受力图: 列平衡方程: 解方程组: 反力的实际方向如图示。 校核: 结果正确。 (3) 研究ABC,受力分析,将均布的载荷简化成一个集中力,画受力图:
列平衡方程: 解方程组: 反力的实际方向如图示。 校核: 结果正确。 习题4-5.重物悬挂如图,已知G=1.8kN,其他重量不计;求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。
(b) 第2篇 工程运动学基础 第4章 运动分析基础 4-1 小环A 套在光滑的钢丝圈上运动,钢丝圈半径为R (如图所示)。已知小环的初速度为v 0,并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ,且 0 < θ <2 π,试确定小环 A 的运动规律。 解:R v a a 2 n sin ==θ,θ sin 2R v a = θ θtan cos d d 2t R v a t v a = ==,??=t v v t R v v 02d tan 1d 0θ t v R R v t s v 00tan tan d d -==θθ ??-=t s t t v R R v s 0000d tan tan d θθ t v R R R s 0tan tan ln tan -=θθθ 4-2 已知运动方程如下,试画出轨迹曲线、不同瞬时点的 1.?? ???-=-=225.1324t t y t t x , 2.???==t y t x 2cos 2sin 3 解:1.由已知得 3x = 4y (1) ? ??-=-=t y t x 3344 t v 55-= ? ??-=-=34y x 5-=a 为匀减速直线运动,轨迹如图(a ),其v 、a 图像从略。 2.由已知,得 2arccos 21 3arcsin y x = 化简得轨迹方程:29 4 2x y -= (2) 轨迹如图(b ),其v 、a 图像从略。 4-3 点作圆周运动,孤坐标的原点在O 点,顺钟向为孤坐标的正方向,运动方程为 22 1 Rt s π=,式中s 以厘米计,t 以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一次到达y 坐标值最大的位置时,求点的加速度在x 和y 轴上的投影。 解:Rt s v π== ,R v a π== t ,222 n Rt R v a π== y 坐标值最大的位置时:R Rt s 2 212ππ== ,12=∴t R a a x π==t ,R a y 2π-= A 习题4-1图 习题4-2图 习题4-3图
习 题 12–1 一刚度系数为k 的弹簧,放在倾角为θ的斜面上。弹簧的上端固定,下端与质量为m 的物块A 相连,图12-23所示为其平衡位置。如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ,不计摩擦力,试求作用于重物A 上所有力的功的总和。 图12-23 ))((2 sin 2st 2 st s k s mg W +-+ ?=δδθ 2st 2 sin s k s k mgs --=δθ 22 s k -= 12–2 如图12-24所示,在半径为r 的卷筒上,作用一力偶矩M=a ?+b ?2 ,其中?为转角,a 和b 为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。设重物B 的质量为m ,它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时,试求作用于系统上所有力的功的总和。 图12-24 3 22π40 π3 64π8d )+ (d b a b a M W M + ===? ????? mgr r mg W F π4π4μμ-=?-= )3π16π6π(3 4 π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑ 12–3 均质杆OA 长l ,质量为m ,绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动,如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为θ,
试求杆的动能。 图12-25 x x l m x x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω=== θωθω2220222k sin 6 1 d )sin 2(ml x x l m E l ?== 12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动,质量为 m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下,如图12-26所示。试求 系统的动能。 图12-26 ])30sin ()30cos [(2 1 2 122221k ?++?+=u v u m v m E )30cos 2(212 122221?+++=uv v u m v m )3(2 1 2122221uv v u m v m +++= 12–5 如图12-27所示,滑块A 质量为m 1,在滑道内滑动,其上铰接一均质直杆AB ,杆AB 长为l ,质量为m 2。当AB 杆与铅垂线的夹角为?时,滑块A 的速度为A v ,杆AB 的角速度为ω。试求在该瞬时系统的动能。 图12-27 AB A E E E k k k += 22222221)12 1(21])sin 2()cos 2[(2121ω?ω?ωl m l l v m v m A A ++++= )12 1cos 41(212122222 221ω?ωωl lv l v m v m A A A ++++= )cos 3 1(2121222 221?ωωA A A lv l v m v m +++= 12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动,设曲柄和椭圆规
解:如图(a ),应用虚位移原理: F 1 ?術 F 2 ? 8r 2 = 0 书鹵 / 、 8r 1 8r 2 tan P 如图(b ): 8 廿y ; 8 厂乔 8r i 能的任意角度B 下处于平衡时,求 M 1和M 2之间的关系 第12章 虚位移原理及其应用 12-1图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。 试求平衡时, 解:应用解析法,如图(a ),设0D = y A = 2l sin v ; y^ 61 sin v S y A =21 cos :心; 溉=61 COST 心 应用虚位移原理: F 2 S y B - R ? S y A =0 6F 2 —2R =0 ; F i =3F 2 习题12-1图 F 2之值。已知:AC = BC 12-2图示的平面机构中, D 点作用一水平力F t ,求保持机构平衡时主动力 =EC = DE = FC = DF = l 。 解:应用解析法,如图所示: y A =lcos ) ; x D =3lsin v S y A - -l sin^ 心;S x D =3I COS ^ & 应用虚 位移原理: —F 2 ? S y A - F I 8x^0 F 2sin J - 3F t cos ^ - 0 ; F 2 = 3F t cot^ 12-3图示楔形机构处于平衡状态,尖劈角为 小关系 习题12-3 B 和3不计楔块自重与摩擦。求竖向力 F 1与F 2的大 F i F 2| (a ) (b) F i 8i - F 2 12-4图示摇杆机构位于水平面上,已知 OO i = OA 。机构上受到力偶矩 M 1和M 2的作用。机构在可
高等教育出版社,金尚年,马永利编著的理论力学课后习题答案 第一章 1.2 写出约束在铅直平面内的光滑摆线 上运动的质点的微 分方程,并证明该质点在平衡位置附近作振动时,振动周期与振幅无关. 解: 设s 为质点沿摆线运动时的路程,取 =0时,s=0 S= = 4 a (1 ) X Y
设 为质点所在摆线位置处切线方向与x 轴的夹角,取逆时针为正, 即切线斜率 = 受力分析得: 则 ,此即为质点的运动微分方程。 该质点在平衡位置附近作振动时,振动周期与振幅无关,为. 1.3 证明:设一质量为m 的小球做任一角度0θ的单摆运动 运动微分方程为θθθ F r r m =+)2(&&&& θθ sin mg mr =&& ① 给①式两边同时乘以d θ θθθθ d g d r sin =&& 对上式两边关于θ&积分得 c g r +=θθcos 2 12& ② 利用初始条件0θθ=时0=θ &故0cos θg c -= ③ 由②③可解得 0cos cos 2-θθθ -?=l g & 上式可化为dt d l g =?-?θθθ0cos cos 2-
两边同时积分可得θθθθθθθθd g l d g l t ??--- =-- =0 2 02 2 200 2 sin 12 sin 1001 2cos cos 12 进一步化简可得θθθθd g l t ?-= 0002 222sin sin 1 2 1 由于上面算的过程只占整个周期的1/4故 ?-==0 2 2 2 sin 2 sin 12 4T θθθ θd g l t 由?θθsin 2 sin /2sin 0= 两边分别对θ?微分可得??θ θθd d cos 2 sin 2cos 0= ?θθ 20 2 sin 2 sin 12 cos -= 故?? θ? θθd d 20 2 sin 2 sin 1cos 2 sin 2 -= 由于00θθ≤≤故对应的2 0π ?≤≤ 故?? θ ? θ?θθ θθπ θd g l d g l T ??-=-=20 20 2 2 cos 2 sin sin 2 sin 1/cos 2 sin 4 2 sin 2 sin 2 故?-=2 022sin 14π??K d g l T 其中2 sin 022θ=K 通过进一步计算可得 g l π 2T =])2642)12(531()4231()21(1[224222ΛΛΛΛ+????-????++??++n K n n K K 1.5
第一章 习题4-1.求图示平面力系的合成结果,长度单位为m。 解:(1) 取O点为简化中心,求平面力系的主矢: 求平面力系对O点的主矩: (2) 合成结果:平面力系的主矢为零,主矩不为零,力系的合成结果是一个合力 偶,大小是260Nm,转向是逆时针。 习题4-3.求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解:(1) 平行力系对A点的矩是: 取B点为简化中心,平行力系的主矢是: 平行力系对B点的主矩是: 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B,且:
如图所示; 将R B向下平移一段距离d,使满足: 最后简化为一个力R,大小等于R B。其几何意义是:R的大小等于载荷分布的矩形面积,作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心,平行力系的主矢是: 平行力系对A点的主矩是: 向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A,且: 如图所示; 将R A向右平移一段距离d,使满足: 最后简化为一个力R,大小等于R A。其几何意义是:R的大小等于载荷分布的三角形面积,作用点通过三角形的形心。
习题4-4.求下列各梁和刚架的支座反力,长度单位为m。解:(1) 研究AB杆,受力分析,画受力图: 列平衡方程: 解方程组: 反力的实际方向如图示。 校核: 结果正确。 (2) 研究AB杆,受力分析,将线性分布的载荷简化成一个集中力,画受力图:
列平衡方程: 解方程组: 反力的实际方向如图示。校核: 结果正确。(3) 研究ABC,受力分析,将均布的载荷简化成一个集中力,画受力图: 列平衡方程: 解方程组:
反力的实际方向如图示。 校核: 结果正确。 习题4-5.重物悬挂如图,已知G=1.8kN,其他重量不计;求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。 解:(1) 研究整体,受力分析(BC是二力杆),画受力图: 列平衡方程: 解方程组: 反力的实际方向如图示。
静力学习题及解答—静力学基础
第 1 周习题为 1.2~1.9; 1.10~1.12 为选作。 1.1 举例说明由 F1 ? r = F2 ? r ,或者由 F1 × r = F2 × r ,不能断定 F1 = F2 。 解:若 F1 与 F2 都与 r 垂直,则 F1 ? r = F2 ? r = 0 ,但显然不能断定 F1 = F2 ; 若 F1 与 F2 都与 r 平行,则 F1 × r = F2 × r = 0 ,也不能断定 F1 = F2 ;
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
静力学习题及解答—静力学基础
1.2 给定力 F = 3 (? i + 2 j + 3k ) ,其作用点的坐标为 (?3,?4,?6) 。已知 OE 轴上的 单位矢量 e =
3 (i + j + k ) ,试求力 F 在 OE 轴上的投影以及对 OE 轴之矩。 3 解:力 F 在 OE 轴上的投影
FOE = F ? e = 3 (?i + 2 j + 3k ) ?
3 (i + j + k ) = ?1 + 2 + 3 = 4 3
力 F 对坐标原点 O 之矩 i j k mO ( F ) = ? 3 ? 4 ? 6 = 3 (15 j ? 10k ) ? 3 2 3 3 3 根据力系关系定理,力 F 对 OE 轴之矩
mOE ( F ) = mO ( F ) ? e = 3 (15 j ? 10k ) ? 3 (i + j + k ) = 15 ? 10 = 5 3
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛
《理论力学》课程习题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】:本课程《理论力学》(编号为06015)共有单选题,计算题,判断题, 填空题等多种试题类型,其中,本习题集中有[判断题]等试题类型未进入。 一、单选题 1. 作用在刚体上仅有二力A F 、B F ,且0+=A B F F ,则此刚体________。 ⑴、一定平衡 ⑵、一定不平衡 ⑶、平衡与否不能判断 2. 作用在刚体上仅有二力偶,其力偶矩矢分别为A M 、B M ,且A M +0=B M ,则此刚体________。 ⑴、一定平衡 ⑵、一定不平衡 ⑶、平衡与否不能判断 3. 汇交于O 点的平面汇交力系,其平衡方程式可表示为二力矩形式。即()0=∑A i m F ,()0=∑B i m F ,但________。 ⑴、A 、B 两点中有一点与O 点重合 ⑵、点O 不在A 、B 两点的连线上 ⑶、点O 应在A 、B 两点的连线上 ⑷、不存在二力矩形式,∑∑==0,0Y X 是唯一的 4. 力F 在x 轴上的投影为F ,则该力在与x 轴共面的任一轴上的投影________。 ⑴、一定不等于零 ⑵、不一定等于零 ⑶、一定等于零 ⑷、等于F 5. 若平面一般力系简化的结果与简化中心无关,则该力系的简化结果为________。 ⑴、一合力 ⑵、平衡 ⑶、一合力偶 ⑷、一个力偶或平衡 6. 若平面力系对一点A 的主矩为零,则此力系________。 ⑴、不可能合成一个力 ⑵、不可能合成一个力偶
⑶、一定平衡 ⑷、可能合成一个力偶,也可能平衡 7. 已知1F 、2F 、3F 、4F 为作用刚体上的平面共点力系,其力矢关系如图所示为平行四边形,因此可知________。 ⑴、力系可合成为一个力偶 ⑵、力系可合成为一个力 ⑶、力系简化为一个力和一个力偶 ⑷、力系的合力为零,力系平衡 8. 已知一平衡的平面任意力系1F 、2F ……1n F ,如图,则平衡方程∑=0A m ,∑=0B m ,∑=0Y 中(y AB ⊥),有________个方程是独立的。 ⑴、1 ⑵、2 ⑶、3 9. 设大小相等的三个力1F 、2F 、3F 分别作用在同一平面内的A 、B 、C 三点上,若AB BC CA ==,且其力多边形如b <>图示,则该力系________。 ⑴、合成为一合力 ⑵、合成为一力偶 ⑶、平衡
习题9-2图 习题20-3图 Ox F Oy F g m g m 2D d α 习题20-3解图 第9章 动量矩定理及其应用 9-1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动,质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动,图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处(图a );求小球对O 点的动量矩。 2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ,质心为C ,且AC = e ;轮子半径为R ,对轮心A 的转动惯量为J A ;C 、A 、B 三点在同一铅垂线上(图b )。(1)当轮子只滚不滑时,若v A 已知,求轮子的动量和对B 点的动量矩;(2)当轮子又滚又滑时,若v A 、ω已知,求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解:1、2 s m L O ω=(逆) 2、(1) )1()(R e mv e v m mv p A A C + =+==ω R v me J R e R mv J e R mv L A A A C C B ) () ()(2 2 -++=++=ω (2))(e v m mv p A C ω+== ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++= 9-2 图示系统中,已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动,其大、小半径分别为R 、r ,对O 轴的转动惯量为J O ;物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ;试求系统对O 轴的动量矩。 解: ω)(2 2r m R m J L B A O O ++= 9-3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ,并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放,计算刚释放时,杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解:令m = m OA = 50 kg ,则m EC = 2m 质心D 位置:(设l = 1 m) m 6565= = =l OD d 刚体作定轴转动,初瞬时ω=0 l m g l m g J O ?+? =22 α 2 2 2 2 32)2(212 131ml ml l m ml J O =+??+ = 即mgl ml 2 532= α 2 r a d /s 17.865== g l α g l a D 36256 5t = ?= α 由质心运动定理: Oy D F mg a m -=?33t 44912 1136 2533== -=mg g m mg F Oy N (↑) =ω,0n =D a , 0=Ox F (a) v (b) 习题9-1图
(a) A (a) O 第10章 动能定理及其应用 10-1 计算图示各系统的动能: 1.质量为m ,半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时,若已知圆盘上 A 、 B 两点的速度方向如图示,B 点的速度为v B ,θ = 45o(图 a )。 2.图示质量为m 1的均质杆OA ,一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心,另一端放在水平面上,圆盘在地面上作纯滚动,圆心速度为v (图b )。 3.质量为m 的均质细圆环半径为R ,其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上 作纯滚动,图示瞬时角速度为ω(图c )。 解: 1.2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2.2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3.2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10-2 图示滑块A 重力为1W ,可在滑道内滑动,与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ,杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时,试求系统的动能。 解:图(a ) B A T T T += )2121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10-3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ,角速度为ω,齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解: C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10-2图 习题10-3图 B (a) 习题10-1图 (b) (c)
第12章 虚位移原理及其应用 12-1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时,主动力F 1与F 2的大小关系。 解:应用解析法,如图(a ),设OD = l θsin 2l y A =;θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =;θθδcos 6δl y B = 应用虚位移原理:0δδ12=?-?A B y F y F 02612=-F F ;213F F = 12-2图示的平面机构中,D 点作用一水平力F 1,求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知:AC = BC = EC = DE = FC = DF = l 。 解:应用解析法,如图所示: θcos l y A =;θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=;θθδcos 3δ l x D = 应用虚位移原理:0δδ12=?-?-D A x F y F 0cos 3sin 12=-θθF F ;θcot 312F F = 12-3 图示楔形机构处于平衡状态,尖劈角为θ和β,不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。 解:如图(a ),应用虚位移原理:0δδ2211=?+?r F r F 如图(b ): β θtan δδtan δ2 a 1r r r ==;12 δ tan tan δr r θ β = 0δtan tan δ1211=? -?r θβF r F ;θ β tan tan 21?=F F 12-4 图示摇杆机构位于水平面上,已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时,求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图 (a ) 习题12-2解图 习题12-3 (a ) r a (b )