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数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法

数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。一.公式法

高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,

21210,

a d a d +=??

+=-?

解得11,

a d =??

=-?

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式

例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。（Ⅰ）求{}n a 的通项公式

解：I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由2

1322,4224a a a q q ==+=+得，

即2

20q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q =

所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈

3、通用公式

若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式

???≥-==-2

11n S S n S a n n n n 求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以

合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例3、已知数列}{n a 的前n 项和12

-=n s n ，求}{n a 的通项公式。

解：011==s a ，当2≥n 时

由于1a 不适合于此等式。 ∴??

?≥-==)

2(12)1(0

n n n a n

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法

一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥；

例4、（2011四川理8）数列

{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若

则32

b =-，

1012

b =，则

8a =

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11

解：由已知知

128,28,

n n n b n a a n +=--=-由叠加法

例5、已知数列{}n a 满足112

,2n n a a a n n

=++，求数列{}n a 的通项公式。解：（1）由题知：12

1111

(1)1

n n a a n n n n n n +-===-+++ 2、叠乘法

一般地对于形如“已知a 1，且

n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：1

112

n n n n n a a a a a a a a ---=

???

?(2)n ≥；例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得

1+=+n n

a a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 1

33221=-?? 所以n a n

1= 3、构造法

当数列前一项和后一项即n a 和

a n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递

推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。（1）、待定系数法

①、一般地对于a n =k a n-1 +m(k 、m 为常数）型，可化为的形式a n +λ=k(a n-1 +λ).重新构造出一个以k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求n a 。

例7、（2011广东理）设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，1

1(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

解：

112(1)n n n a ba n a n --=+-，得111

2(1)121

n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+?，设

n n n b a =，则121

n n b b b b

-=?+(2)n ≥，（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，1

为公差的等差数列，即111

(1)222

n b n n =

+-?=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b λλ-+=?+，则122

(1)n n b b b b

λ-=?+-，令2

1(1)b b λ-=，得12b λ=-，1121()22n n b b b b b

-∴+=?+--(2)n ≥，

知12n b b +

-是等比数列，11112()()22n n b b b b b

-∴+=+?--，又11

b b =， 12112()222n n n n n b b b b b b b -∴=?-=?---，(2)2n n n n

nb b a b -∴=-．

②、对于1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：

i 、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为C Bn Aa a n n ++=+1型，可化为

])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。

例8.设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。解：设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++

与原式比较系数得：221

211

A A

B A B ==????

-==?? 即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++

令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3

ii 、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为B Aa a n n +=+1n

C ?（A 、B 、C 为常数，）型，可化为11++?+n n C a λ=n

n C a A ?+λ(）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求n a

例9.（2003年全国高考题）设0a 为常数，且1123---=n n n a a （*

N n ∈），

证明：对任意n ≥1，02)1(]2)1(3[5

1a a n n n n

n ??-+?-+=

解：证明：设)3(231

1--?--=?-n n n n t a t a 用11

23---=n n n a a 代入可得5

t ∴ {}5

n a -

是公比为2-，首项为5

31-a 的等比数列，

∴ 10)2()53

21(53--?--=-n n n a a （*N n ∈），即：012)1(5

2)1(3a a n n n

n n n ??-+?-+=

- 当然对于B Aa a n n +=+1n

C ?这种形式递推关系求n a 时，当A=C 时，我们往往也会采取

另一种方法，即左右两边同除以C n +1,重新构造数列，来求n a 。

例10、（2007天津理）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*

+==++-∈N ，，其

中0λ>．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

解：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*

+=++-∈N ，0λ>，

可得1

1221n n

n n

n n a a λλλλ+++??

-=-+ ?

???

，所以2n

n n a λλ????

??-?? ???????为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ??-=- ???，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n

n a n λ=-+．

（2）、倒数法

一般地形如1

1n n n a a ka b

--=

+、n n n n a a a a -=?--11等形式的递推数列可以用倒数法将其

变形为我们熟悉的形式来求通项公式。

例11.已知数列{}n a 满足：1

111,31

n n n a a a a --==

+，求{}n a 的通项公式。

解：原式两边取倒数得：111

1311

3n n n n a a a a ---+==+

即1

n a n =-

例12、（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）在数列{n a }中，3

a ，并且对任意2,≥∈*

n N n 都有n n n n a a a a -=?--11成立，令)(1

*∈=

N n a b n

n ．

（Ⅰ）求数列{n b }的通项公式；

解：（1）当n=1时，31

1==

a b ,当2≥n 时，由n n n n a a a a -=?--11 ，等式两边取倒数得：

,1111

=--n n a a 所以11=--n n b b 所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n （3）、对数法

当数列n a 和a n-1的递推关系涉及到高次时，形如：a n p = ma n-1q （其中m 、p 、q 为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。例13、（2006山东）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

解：（1）由已知2

12n n n a a a +=+，

11n a ∴+>，两边取对数得

1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即

1lg(1)

2lg(1)

n n a a ++=+ {lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.

例14、若数列{n a }中，1a =3且2

1n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2002

年上海高考题）.

解由题意知n a ＞0，将2

1n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即

2lg lg 1

=+n

n a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，1

lg 2

lg lg -=?=-n n n a a ，

即1

3-=n n a .

（4）、特征方程法

①、一般地对于形如已知1122,,a m a m ==a n+2=A a n+1 +B a n (A 、B 是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：

我们称方程：x 2-Ax-B=0为数列的特征方程

（i ）当方程有两个相异的实根（或虚根）p 、q 时，有：12n n

n a c p c q =?+?，其中c 1与c 2

由已知1122,,a m a m ==确定。

（ii ）当方程有唯一的实根p 时，有12()n

n a c n c p =?+，其中c 1与c 2由已知1122,,

a m a m ==确定。

法二：可构造成)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，则{11n n a x a +-}为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。

例15、已知 a 1 =2， a 2 =3，n n n a a a -=++122，求通项公式。

解法一：特征方程的根为1，所以a n = (c 1 n+c 2)×1n

由：1212

223c c c c +=??+=?得c 1 = c 2 = 1，所以a n = n + 1。

解法二：设)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，可得x 1 = x 2 = 1，于是{a n+1－a n }是

公比为1的等比数列，a n+1－a n = 1，所以a n = n + 1。

例16．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 。

解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?，

由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121

c c =???=??， 112n n a -∴=+．

例17、（2009陕西卷文）已知数列{}n a 满足， *1

1212,,2

n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝

. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；

(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。解：（1）证明：1211,b a a =-= 当2n ≥时，1111,11

()222

n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=-=--=- 所以{}n b 是以1为首项，1

为公比的等比数列。

（2）解由（1）知1

11()

n n n n b a a -+=-=-

当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+

+-21

11()()2

n -=++-+

当1n =时，

1521()1332a ---==。所以1*

521()()332

n n a n N -=--∈。

本题也可以用特征方程来证明,同学们不妨自己试试。

②、一般地形如：1n n n a a b

a c a d

+?+=?+（a 、b 、c 、d 为常数）

可得到相应的特征方程：ax b x cx d

+=+，再将其变为2

()0cx d a x b +--=，通过该方程的根

的情况来重新构造数列。

（i ）如果方程2

()0cx d a x b +--=有两个相异的实根，则有数列n n a p a q ??-??

-??

是以11a p

a q --为首项，

a cp

a cq

--为公比的等比数列；

（ii ）如果方程2

()0cx d a x b +--=有两个相同的实根，则数列1n a p ?

-??

是以11a p -为首项，

a d

+为公差的等差数列。例18、（2009江西理22）各项均为正数的数列{}n a ，12,a a a b ==，且对满足m n p q

+=+的正整数,,,m n p q 都有.(1)(1)(1)(1)

p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++

（1）当14

,25

a b ==时，求通项;n a 解：（1）由

(1)(1)(1)(1)

p q m n

m n p q a a a a a a a a ++=

++++得 121121.(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++将1214

,25

a a ==代入化简得

构造方程ax b

x cx d

+=+(a=2,b=1,c=1,d=2)化简得：x 2=1解得x=1和-1. 所以数列1{

}1n

a a -+为等比数列，所以

111,131n n n n a a a a ----=?++

从而：

11,13n n n a a -=+即31

.31

n n n a -=+ 可验证，3131

n n n a -=+满足题设条件.

例19已知数列{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．

解：其特征方程为2

x x x +=

+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令1111

n n n n a a c a a ++--=?++ 由12,a =得245a =

，可得13

c =-， ∴数列11n n a a ??-?

+??

是以111113a a -=+为首项，以1

3-为公比的等比数列，1

111133n n n a a --??∴=?- ?+??

，3(1)3(1)n n

n n n

a --∴=+-．三、当题中给出的是S n 和n a 的关系时，我们一般通过作差法结合a n = S n －S n －1 这个通用公式对原等式进行变形，消掉S n 得到n a 和a n+1的递推关系，或消掉n a 得到S n 和S n －1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。

例20、（2007湖北理19）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，1n n a rS +=

(n ∈N *，,1)r R r ∈≠-．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得即21(1),n n a r a ++=+

又21,a ra ra ==所以r=0时，数列{}n a 为：a ，0，…，0，…；

当0,1r r ≠≠-时，由已知0,0n a a ≠≠所以（*

n N ∈），

于是由21(1),n n a r a ++=+可得

1()n n a r n N a *++=+∈，

23,,,n a a a ∴+

成等比数列，

∴≥当n 2时，2

(1).n n a r r a -=+

综上，数列{}n a 的通项公式为2

1,(1),2

n n a n a r r a n -=?=?+≥? 例21：（2007重庆理）已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且（1）求{n a }的通项公式；

解：由)2)(1(6

1111++=

=a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。

又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(6

)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ，

得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n

因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。

因此a n +1- a n -3＝0。从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。

例22.（2009全国卷Ⅱ理）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。

解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-= 由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=- 又

12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．

（II ）由（I ）可得1

1232n n n n b a a -+=-=?，113

224

n n n n a a ++∴

-= ∴数列{

n n

a 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444

n n

a n n =+-=-，2

(31)2n n a n -=-? 四、猜想法

当我们在求数列通项时没想到比较好的方法时，猜想法不失为一种权宜之计。运用猜想法解题一般涉及到三个步骤：（1）利用所给的递推式求出123,,,a a a ……，（2）猜想出满足递推式的一个通项公式n a ，（3）用数学归纳法证明猜想是正确的。

例23、（2007天津理）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*

+==++-∈N ，，其

中0λ>．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

解：222

22(2)22a λλλλ=++-=+，

2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．

由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n

n a n λ=-+．

以下用数学归纳法证明．

（1）当1n =时，12a =，等式成立．

（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k

k a k λ=-+，

那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k

k λλλλλ++=-+++-

11[(1)1]2k k k λ++=+-+．

这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n

n a n λ=-+对

任何n *

∈N 都成立．

总结：数列通项的求解是高考考查的重点。随着素质教育的推行和新课程改革，近年来高考试题的难度有所降低，所以数列通项的求解也不会太繁杂，同学们谨记：较为简单的试题我们往往直接用等差或等比数列公式就能求出数列的通项公式，稍微复杂的试题往往需要对数列进行变形和重新构造再进行求解，当然实在没办法的话，同学们不妨试试猜想法。