高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]
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圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝
对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程2222
(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时1
2
22
2=+b
y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时
2
22
2b x
a y
+＝1
（0a b >>）。方程2
2
Ax By C +=表示椭圆的充要条
件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：5,2）
（2）双曲线：焦点在x 轴上：2
22
2b
y a
x -
=1，焦
点在y 轴上：
2
22
2b
x
a y
-
＝1（0,0a b >>）。方程
22
Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？
（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=
e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C
的方程为_______（答：2
2
6x y -=）
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(
0)y p x p =->，开口向上时
2
2(0)x py p =>，开口向下时2
2(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
121
2
2
=-+
-m
y
m x
表示焦点在y 轴
上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2
3
,1()1,( --∞）
（2）双曲线：由x 2,y 2
项系数的正负决定，焦
点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：在椭圆中，a 最大，222
a b c =+，在双曲
线中，c 最大，222
c a b =+。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以
12
22
2=+
b
y
a x
（0a b >>）为例）：
①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点
(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对
称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2
a
x c
=±；
⑤离心率：c
e a
=
，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆
越圆；e 越大，椭圆越扁。
如（1）若椭圆
15
2
2
=+
m
y
x
的离心率5
10=
e ，则m
的值是__（答：3或
3
25
）；
（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角
形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）
（2）双曲线（以
2
2
2
2
1x
y
a b -
=（0,0a b >>）为
例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一
个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为2
2
,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2
a
x c
=±
； ⑤
离心率：c e a
=
，双曲线?1e >，等轴双曲线
?2e =
，e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；
⑥两条渐近线：b
y x a
=±。
（3）抛物线（以22(0)y p x p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(
,0)2
p
，其中p 的几
何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴
0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）
；④准线：一条准线2
p x =-
； ⑤离心率：c e a
=
，抛物线
?1e =。
如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,
0(a
）； 5、点00(,)P x y 和椭圆
12
22
2=+
b
y a
x （0a b >>）的
关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?22
002
2
1x y a
b
+
>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上?
220220b
y a x +
＝1；（3）点
00(,)P x y 在椭圆内?
22
00
2
2
1x y a
b
+
<
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?
提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线
2
22
2b
y
a x
-
＝1外一点
00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如
下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点
所构成的三角形）问题： 2
0tan ||2
S b c y θ==，当
0||y b =即P 为短轴端点时，max S 的最大值为bc ；对
于双曲线2
tan
2
θb S =
。 如 （1）短轴长为5，
练习：点P 是双曲线上112
2
2
=-
y
x 上一点，21,F F 为
双曲线的两个焦点，且21PF PF =24，求21F PF ?的周长。 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，
若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）若AO 的延长线
交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行
于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。
9、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2
121k
x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则
AB ＝212
11y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为
x ky b =+，则AB ＝2
121k
y y +-。特别地，焦
点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用
弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在
直线的斜率k=－0
202
y a x b ；
弦所在直线的方程： 垂直平分线的
方程： 在双曲线
222
21x y a
b
-
=中，
以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=
2
02
y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，
以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=
p y 。
提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要
条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！
11．了解下列结论
（1）双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 的渐近线方程为
0=±
b
y a
x ；
（2）以x a
b y ±
=为渐近线（即与双曲线
12
22
2=-
b
y a
x 共渐近线）的双曲线方程为λ
λ(2
222
=-
b
y a
x
为参数，λ≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲
线方程可设为22
1m x ny +=；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2
2b a
，焦准距（焦点到相应准线的距离）
为2
b
c
，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，
1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；
②2
2
1212,4
p
x x y y p =
=-
（7）若OA 、OB 是过抛物线2
2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p
12.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)
F
A
P H
B
Q
与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________
(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，因而易发现，当A 、P 、F 三点共线时，
距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2）
（2）（1,41）
1、已知椭圆C 1的方程为
14
2
2
=+y
x
，双曲线C 2的左、
右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分
别是C 1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C 2的方程； (2) 若直线l ：2+
=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2
恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6
解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为
12
22
2=-
b
y a
x ，则
.1,3142
22
22
==+=-=b
c b
a a
得再由
故C 2的方程为
2
2
1.3
x
y -=（II ）将
.
0428)41(14
22
2
2
2
=+++=++=kx x k y
x
kx y 得代入
由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得
,
0)14(16)41(16)28(2
22
2
1>-=+-=?k
k k
即 2
1.4
k >
①
926)31(13
22
2
2
2
=---=-+=kx x k y
x
kx y 得代入
将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得
2
22
222
2130,1 1.3(62)36(13)36(1)0.k k k k k k ?-≠?≠??即且
22629
(,),(,),,131366,(2)(2)
A A
B B A B A B A B A B A B A B A B A B k
A x y
B x y x x x x k k
O A O B x x y y x x y y x x kx kx -+=?=--?<+<+=++
+
设则
由得而
2
22
2
22(1)2()2
962(1)22131337.
31
A B A B k x x k x x k k k k
k
k k =++++-=+?+?
+--+=-
22
2
23715136,0.31
31
k k k k +-<>--于是
即
解此不等式得
2
2
131.15
3
k k >
<
或 ③
由①、②、③得.115
133
1412
2
<<<
k 或 故k 的 取值范 围为 13 311 31 3 (1,)( , )(, )(,1) 15 3 2 2 3 1 5 - -- - 2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲 线C 。 （Ⅰ）求C 的方 程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。 (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以M A = （-x,-1-y ）, M B =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意 得知（M A +M B ）? AB =0,即（-x,-4-2y ）? (x,-2)=0. 所以曲线C 的方程式为y=14 x 2-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0) 为曲线C ：y=14 x 2 -2上一点，因为y ' =12 x,所以l 的 斜率为 12x 因此直线l 的方程为 000 1()2 y y x x x -= -，即2 00220x x y y x -+-=。 则O 点到l 的距离200 20 |2|4 y x d x -= +.又200 124 y x = -， 所以2 02 02 2 001 4142 (4)2,2 4 4 x d x x x +== ++ ≥++ 当2 0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. 3设双曲线222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ) 4、过椭圆 222 2 1x y a b + =(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴 的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F P F ∠= ， 则椭圆的离心率为 5、已知双曲线 )0(12 2 22>=- b b y x 的左、右焦点分别 是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )0 6、已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若 || 2|F A F B =，则k =( ) 7、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛 物线2 4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） 8、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中 点为（2，2），则直线l 的方程为_____________. 9、椭圆2 2 192x y + =的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4P F =，则2||PF = ；12F P F ∠的大小为 . 10、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________ 【解析】设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0' 0|2x x y x ==. 由题意有 00 2y x x =又 2 001 y x =+解得: 2 2 01,2,1()5 b b x e a a =∴ == += 双曲线 12 22 2=- b y a x 的一条渐近线为x a b y = ,由方程组 21 b y x a y x ? =?? ?=+? ,消去y,得2 10b x x a -+=有唯一解,所以△= 2 ()40b a -=,所以 2b a =,2 2 2 1( )5 c a b b e a a a += = =+= 由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是22 2 =-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0） ，且 ) 1,3(P 或 )1,3(-P .不妨去) 1,3(P ， 则 )1,32(1---=PF ，)1,32(2-- =PF . ∴1PF ·2 PF ＝ 1)32)(32()1,32)(1,32(=+-+ -=----- 【解析】设抛物线2 :8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作A M l ⊥ 于M ,B N l ⊥于N , 由 ||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点. 连结OB ,则1||||2 O B AF = , ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为 22022(1,22)1(2) 3 k -∴= = --, 故选D ()()()2 11 1122122 22 2 2 12121212 12 4,,,,444y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ?=?≠?=??--=-∴ = = -+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2） 的点的轨迹叫椭圆。 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ （1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . 注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； B.在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和 2y 的分母的大小。 ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵椭圆的性质 ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e = .【∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为2 2 2 x y a +=。】 ⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF 圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论 （1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02 222=-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）在ABC ?中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出222==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外 心是三角形三边垂直平分线的交点）； （3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角, （8 ） 给出=??+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形; 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH = 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) 圆锥曲线考点及方法总结（江苏）1 化斜为直：利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比，然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化，然后联立直线与曲线的方程，利用韦达定理，涉及最值或范围问题时注意带塔>0； 4圆锥曲线中的最值问题：通常构造函数转化为求函数最值（导数求解），也可以保留两个变量运用基本不等式求解，当然在设点时用圆锥曲线的参数方程，这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质：角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程（与焦半径有关的题目才能用） 9参数方程（涉及最值与定值问题时可尝试） 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负（在涉及线段长度的题目中有效） 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多 设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论：k1*k2为定值（与椭圆对称点）点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧：如两直线过同一点只有K不一样，则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据（不只斜率K可以代换，点也可以代换）减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时，考虑能否整体代换，将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一；求出AB直线方程再求定点 方法二：取两个特殊位置的直线，解出交点C,验证交点C是否在直线AB上，只需算k1=k2即可 方法三，若能观察出定点在x轴上，解出AB方程令y=0，解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍：大胆设点，利用以下结论 一：点在曲线上 二：点满足一定条件（题目所给） 三：韦达定理 运用好这三点，就可以做到舍而不求 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线 22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论 （1）双曲线1222 2=-b y a x 的渐近线方程为02222 =-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222 =-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线 的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）在ABC ?中，给出() 12 AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出2 22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数 ,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已 知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角, 高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 《圆锥曲线》知识要点及重要结论 一、椭圆 1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P 的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在. 2 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -. )0(122 22>>=+b a b x a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a +=. 3 几何性质 椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上. 若椭圆的标准方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，则b y b a x a ≤≤-≤≤-,； 若椭圆的标准方程为)0(122 22>>=+b a b x a y ，则a y a b x b ≤≤-≤≤-,. 二、双曲线 1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线. 若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P 不存在. 2 标准方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -. )0,0(122 22>>=-b a b y a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=. 3 几何性质 双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上. 若双曲线的标准方程为)0,0(122 22>>=-b a b y a x ，则R y a x a x ∈≥-≤,或； 若双曲线的标准方程为)0,0(122 22>>=-b a b x a y ，则R x a y a y ∈≥-≤,或. 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 高考数学常用公式及结论 圆锥曲线 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?. 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=. 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部22 00221x y a b ?+>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程 是 00221x x y y a b +=. （3）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=. 5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22 00221x y a b ?-<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22 22 b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦 点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦 方程是 00221x x y y a b -=.(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
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